初二第一讲勾股定理

初二数学《勾股定理》课件一、教学内容本节课我们将学习人教版八年级数学上册第17章《勾股定理》的第一节内容。

具体包括勾股定理的发现与证明，以及其在直角三角形中的应用。

二、教学目标1. 知识与技能：掌握勾股定理，并能够灵活运用其解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、猜想、归纳、证明的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，提高学生的合作意识和探究精神。

三、教学难点与重点教学重点：勾股定理的发现、证明和应用。

教学难点：勾股定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、多媒体课件。

学具：直角三角形模型、练习本、铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示我国古代建筑中的直角三角形结构，引导学生观察、思考其中可能存在的数学规律。

2. 新课导入：让学生用直角三角形模型进行拼摆，观察三条边的关系，引导学生发现勾股定理。

3. 例题讲解：讲解勾股定理的证明过程，以及如何运用勾股定理解决实际问题。

4. 随堂练习：让学生独立完成教材第17页的练习题，巩固所学知识。

5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，探讨勾股定理在实际生活中的应用。

六、板书设计1. 勾股定理：a^2 + b^2 = c^22. 证明过程：通过图形展示和数学推导，呈现勾股定理的证明过程。

3. 应用实例：展示勾股定理在实际问题中的应用。

七、作业设计1. 作业题目：教材第18页的习题1、2、3。

答案：（1）3^2 + 4^2 = 5^2（2）5^2 + 12^2 = 13^2（3）8^2 + 15^2 = 17^22. 拓展作业：探讨勾股定理在生活中的应用，例如测量房屋面积、计算建筑物高度等。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等多种教学手段，使学生掌握了勾股定理的发现、证明和应用。

课后，教师应关注学生的学习反馈，针对学生的疑问进行解答，提高教学效果。

1 / 59225400 A225400B256112 C144400D第一讲 勾股定理［情景引入］ 【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：222c b a =+2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=那么这个三角形是直角三角形。

【典型习题】例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。

=A S =B S =C S =D S例3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm2.8米9.6米例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。

例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB 所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C 和点D 处。

CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB=25km ，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E 建在距A 点多远时，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？例 7、如图所示，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线MN 的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km ，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km 。

现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短。

第一讲勾股定理及勾股定理逆定理一、知识梳理1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足关系，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c+的三个，称为勾股数。

ba=4、常用勾股数： 3 5 67 8 99 12 155、直角三角形斜边上的高等于。

二、精讲精练1.三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_______2.在Rt△ABC中, ∠C=90°, AB=13, AC=12, 则BC= , S△ABC= , 斜边AB上的高CD= .3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm4.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里5.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

6.如图,一棵10 m高的树在一次台风中被刮断, 求这棵树从几米处折断?7.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形和一个边长为c的正方形, 四个直角三角形的两直角边长分别是a, b, 斜边长为c, 请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1) 画出拼成的图形的示意图;(2) 证明勾股定理.8.如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图3，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了多少米?9.在矩形纸片ABCD 中, AB=12, BC=5, 点E 在AB 上, 将△DAE 沿DE 折叠, 使点A 落在对角线BD 上的点A' 处, 则AE 的长为 。

八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ，b，斜边为 c ，那么 a 2b2c2２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法DC b a A aDH a cb bcEc GF cb c E bca aaA cB a b B bC３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中， C 90 ，则c a2b2， b c2a2， ac2b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５ .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a ，b， c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方 c2 作比较，若它们相等时，以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a 2b2c2，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ，b， c 及 a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ，b， c 满足a2c2b2，那么以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 b 2c2中， a ，b， c 为正整数时，称 a ，b， c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2n, n2 1 （ n2, n 为正整数）；2n1,2n22n,2n 2 2 n 1 （ n 为正整数）m2n2 ,2 mn,m2n 2（m n, m，n为正整数）７．勾股定理的应用８.．勾股定理逆定理的应用９ .勾股定理及其逆定理的应用CCC30°A DB B DAA B B二、常见考题分析题型一：直接考查勾股定理例１ .在ABC 中， C 90．⑴已知 AC 6 ， BC 8 ．求 AB 的长⑵已知 AB 17， AC15 ，求 BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c题型二：应用勾股定理建立方程例２ .⑴在ABC中，ACB90 ， AB5cm ，BC 3 cm ，CD AB于D，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为 15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30 cm，斜边长为 13 cm，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．列方程求解例３ .如图ABC中，C90，1 2，CD 1.5，BD 2.5，求AC的长CD1A2E B分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例 4.如图Rt ABC，C90 AC3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CAB题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树，一棵高8 cm，另一棵高 2 cm，两树相距 8 cm，一只小鸟从一棵树至少飞了mA8、如 ，一 直角三角形的 片，两直角AC=6㎝， BC=8㎝。

- 1 -第一讲、勾股定理及其逆定理一、勾股定理：（1）文字表述：在任何一个直角三角形（Rt △）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。

（2）数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c （斜边对应的角为直角），那么222c b a =+。

（a ：勾，b ：股，c ：弦）。

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222c b a =+中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ，常见的勾股数有3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25等。

（2）平方根的表示方法一个正数a 的正的平方根，用符号2a 表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数（一般情况下省略不写），正数a 的负的平方根用符号-2a 表示，a 的平方根合起来记作±2a ，其中2±读作二次根号，2a 读作“二次根号下a ”．根指数为2的平方根也可记作“2a ±”读作“正、负根号”。

时，未必等于有正负两个解。

=- 2 -，即，那么这个正数的平方根或二次方根。

这就是说，如果，那么2、已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形。

3、能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。

请你写出三组勾股数：___________。

4、如图，求出下列直角三角形中未知边的长度。

c=________ b=__________h=__________5、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________。

6、已知等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为__________7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是。

初二数学《勾股定理》课件一、教学内容本节课我们将学习人教版八年级数学上册第15章《勾股定理》的第1节内容。

详细内容包括勾股定理的概念、证明和应用。

通过这一章节的学习，学生将理解直角三角形三边之间的关系，掌握勾股定理并能熟练运用。

二、教学目标1. 理解勾股定理的概念，并能够准确表述。

2. 学会运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 通过勾股定理的学习，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

三、教学难点与重点教学难点：勾股定理的证明过程。

教学重点：勾股定理的概念及其应用。

四、教具与学具准备1. 课件：展示勾股定理的相关内容和例题。

2. 直角三角板：帮助学生直观理解勾股定理。

3. 练习题：巩固勾股定理的应用。

五、教学过程1. 导入：通过讲解“埃及金字塔”的故事，引出直角三角形三边关系，激发学生兴趣。

2. 勾股定理概念：讲解勾股定理的定义，让学生理解直角三角形三边之间的关系。

3. 勾股定理证明：引导学生通过观察、思考、讨论，完成勾股定理的证明过程。

4. 例题讲解：结合勾股定理，讲解相关例题，分析解题思路。

5. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固勾股定理的应用。

7. 课堂小结：对本节课内容进行概括，布置作业。

六、板书设计1. 勾股定理概念2. 勾股定理证明3. 例题及解题步骤4. 练习题及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

（2）已知直角三角形的斜边长度为13cm，一条直角边为5cm，求另一条直角边的长度。

2. 答案：（1）斜边长度为5cm。

（2）另一条直角边长度为12cm。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对勾股定理的理解和应用情况，针对学生的掌握程度，调整教学方法。

2. 拓展延伸：引导学生探索勾股定理在生活中的应用，如建筑、工程等领域，提高学生的学习兴趣。

同时，让学生了解勾股定理的起源和发展，培养学生的数学素养。

重点和难点解析1. 勾股定理的证明过程2. 例题的选取和讲解3. 作业设计中的题目难度和答案解析4. 课后反思与拓展延伸的实际应用探索一、勾股定理的证明过程1. 几何拼贴法：通过将直角三角形复制并拼贴成平行四边形或正方形，直观展示三边关系。

ba HG F E D C B Aa bc c b a E D C B A b a c b a cc ab c a b C B D A A B C30°D CB A A D BC 第一讲： 勾股定理与勾股定理的逆定理知识点复习 一、勾股定理 1、勾股定理：____________________________________________________________ 数学表达：___________________________【注】①直角三角形；②找准斜边、直角边。

2、验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．___________________ _________________ __________________ 3、（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a ,,满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。

（2）勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为______________。

常见的勾股数 :______________________________________________用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4、勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则， __________________,___________,__________===a b c ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5、勾股定理及其逆定理的应用常见图形 常见图形：6、最短路径的求法：____________________________,___________________________ 二、例题讲解例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长21ED C BA AB C D E题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mD CB A 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =课堂训练一、选择题：1. 在ABC △中，34AC BC ==，，则AB 的长是（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．大于1且小于72. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）Ａ．三角形三边分别是9，40，41； Ｂ．三角形三内角之比为1:2:3； Ｃ．三角形三内角中有两个互余； Ｄ．三角形三边之比为2:3:4． 3. 满足下列条件的ABC △，不是直角三角形的是（ ）Ａ．A B C ∠=∠-∠ Ｂ．::1:1:2A B C ∠∠∠= Ｃ．::1:1:2a b c = Ｄ．222b a c =-4. 已知ABC △中，81517AB BC AC ===，，，则下列结论无法判断的是（ ）Ａ．ABC △是直角三角形，且AC 为斜边 Ｂ．ABC △是直角三角形，且90ABC ∠= Ｃ．ABC △的面积为60 Ｄ．ABC △是直角三角形，且60A ∠= 5. D 是ABC △中BC 边上一点，若222AC CD AD -=，那么下列各式中正确的是（ ） Ａ．2222AB BD AC CD -=- Ｂ．222AB AD BD =-Ｃ．222AB BC AC += Ｄ．2222AB BC BC AD +=+6. 如果ABC △的三边分别为22121(1)m m m m -+>，，，则下列结论正确的是（ ）Ａ．ABC △是直角三角形，且斜边的长为21m + Ｂ．ABC △是直角三角形，且斜边的长为2m Ｃ．ABC △是直角三角形，且斜边的长需由m 的大小确 Ｄ．ABC △无法判定是否是直角三角形 7. 在ABC △中，::1:1:2A B C ∠∠∠=，则下列说法错误的是（ ） Ａ．90C ∠= Ｂ．222a b c =- Ｃ．222c a = Ｄ．a b =8. 如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm9．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm ，高为18cm ，则一只小虫底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ ）A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm二、填空题：11. ABC △中，1310AB BC ==，，中线12AD =，则AC =_________．12．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为_____. 13. 有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是___．14. 如果ABC △的三边长a b c 、、满足关系式2(260)18300a b b c +-+-+-=，则ABC △的三边分别为a =_________，b =_________，c =_________，ABC △的形状是_________． 15. 在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++=_________．16. 如图：5米长的滑梯AB 开始在B 点距墙面水平距离3米，当向后移动1米，A 点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离_________大于，小于或等于）1米。