初二上册数学第一章勾股定理及其逆定理知识点

初二上册数学知识点勾股定理及其逆定理初二上册数学知识点勾股定理及其逆定理一、勾股定理：1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的`方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：(1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。

五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理第十八章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

，那么这个三角形是直角三角形。

勾股数：满足222c b a=+的三个正整数，称为勾股数。

3.3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90° （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC 7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a, b, c ,满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1 ）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证c2与a2 b2是否具有相等关系•若c2 a2 b2，则△ ABC是/ C= 90°的直角三角形；若c2 a2 b2，则△ ABC不是直角三角形要点诠释：当a2 b2 c2时，此三角形为钝角三角形；当a2 b2 c2时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程x2 y2 z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13 15、17;④ 7、24、25;⑤ 9、40、41……如果a、b c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）n2 1, 2n, n2 1 （n 1,n是自然数）是直角三角形的三条边长；2 2（2）2n 2n,2n 1,2n 2n 1 （n> 1, n是自然数）是直角三角形的三条边长；2 2 2 2（3）m n ,m n ,2mn （ m n, m n是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段a, b, c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a = 7, b = 24, c = 25；43(2) a =, b = 1, c =3 4(3) a m 2 n 2 , b m 2 n 2, c 2mn (m n 0)；a 2b 2b 2c 2c222mn , m nb 2.b, c 组成的三角形是直角三角形. 【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大， 行判断，即首先确定最大边，然后验证 c 2与a 2 b 2是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形. 举一反三：【变式】（2015春?安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1） 8, 15, 17;（ 2）5, 12, 13; （3） 12, 15, 20; （4） 7, 24, 25.其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1组B.2 组C.3组D.4 组【答案】C.解：①T 82+152=172,二能组成直角三角形；2 2 2② ••• 5+12=13 ,A 能组成直角三角形； ③ 12 +15工20 ,•••不能组成直角三角形； ④ 7+242=252,二能组成直角三角形. 故选C.【思路点拨】 两条线段的平方和是否等于最长线段的平方. 角形.【答案与解析】判断三条线段能否组成直角三角形, 关键是运用勾股定理的逆定理: 若是，则为直角三角形， 看较短的反之，则不是直角三a 2b 272 242 625 , c 2 252 6 25 ,由线段 a,b, c 组成的三角形是直角三角形.c , b 212i 2 25 16 1616 9由线段 (3)va,0,b, c 组成的三角形不是直角三角形.(m 2 \2n )(2 m n)2 m 4 2m 2 n 2 n 4 4m 2n 2m 2n 2 n 4,b 2(m 2 2\2n )m 4 2m 2n由线段a,然后再利用勾股定理的逆定理进C 2、（2016春?丰城市期末）如图，已知四边形 ABCD 中，/ B=Z 90°, AB= 3, BC = 4,C[> 12, At > 13,求四边形 ABCD 的面积.【思路点拨】 由AB = 3, BC = 4, / B = 90°,应想到连接 AC 则在Rt △ ABC 中即可求出△ ABC 的面积，也可求出线段 AC 的长.所以在厶ACD 中，已知AC, AD, CD 三边长，判断这个三角 形的形状，进而求得这个三角形的面积. 【答案与解析】解：连接AC ,在厶ABC 中,因为/ B = 90°, AB= 3, BC = 4,所以 AC 2 AB 2 BC 2 32 42 9 16 25，所以 AC = 5, 在厶 ACD 中, AD- 13, DC= 12, AC = 5, 所以 DC 2 AC 2 52 122 25 144 169 132 AD 2,即 DC 2 AC 2 AD 2. 所以△ ACD 是直角三角形，所以S四边形ABCDABC13 4 5 126 30 36 .2 2【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解， 本题是勾股定理及逆定理的综合考察.类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知：a,b,c 为ABC 的三边且满足a 2 b 2 c 2 338 10a 24b 26c ，试判断ABC 的形状. 【答案与解析】 解：••• a 2 b 2 c 2338 10a 24 b 26c•••a 2 10a b 2 24 b c 226c 338且/ ACD- 90°.1 1S A ACDg AB g BC AC g DC1(a 5)2 (b 12)2 (c 13)2 0(2) 方程两边同时除以(a 2- b 2)时，没有考虑(a 2 - b 2)的值有可能是0; (3) ••• c 2 (a 2 - b 2) = ( a 2+b 2) (a 2- b 2)…c =a +b 或 a - b =0 a 2 - b 2=0• a+b=0 或 a - b=0■/ a+b ^0• c 2=a 2+b 2 或 a - b=0 • c =a +b 或 a=b•该三角形是直角三角形或等腰三角形.4、(2015?秦皇岛校级模拟)如图，铁路 MN 和铁路PQ 在P 点处交汇，点 A 处是第九 十四中学，AP=160米，点A 到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围 100米以内 会受到噪音影响.(1)火车在铁路 MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.• a 5,b 12, c 13, a 2 b 2c 2•••△ ABC 是直角三角形.【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形,定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系•对条件等式进行变形常用的方法有配方法, 因式分解法等• 举一反三:【变式】请阅读下列解题过程：已知 试判断△ABC 的形状. 解：T a 2c 2- b 2c 2=a 4- b 4,• c 2 ( a 2- b 2) = ( a 2+b 2) (a 2- b 2), • c 2=a 2+b 2,• △ ABC 为直角三角形.问：(1) (2) (3)【答案】解: (1) a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足 a 2c 2 - b 2c 2=a 4 - b 4,在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误:错误的原因是：_ 本题正确的结论是：第三步;第一步 第二步 第三步 第四步【思路点拨】（1）过点A 作AE 丄MN 于点E ,由点A 到铁路MN 勺距离为80米可知AE=80m 再由火车行驶时，周围 100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB AC,则AB=AC=100m 在Rt △ ABE 中利用勾股定理求出 BE 的长，进而可得出BC 的长，根据火车的速度是180千米 /时求出火车经过 BC 是所用的时间即可. 【答案与解析】 解：（1）会受到影响.过点A 作AE1 MN 于点E ,•••点A 到铁路MN 的距离为80米， /• AE=80m•••周围100米以内会受到噪音影响， 80V 100, •••学校会受到影响；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于 BC 两点，连接ABAC,贝U AB=AC=100m 在 Rt △ ABE 中， ■/ AB=100m AE=80m • BE =,'.l 二=II ・:II J =60m【巩固练习】 一.选择题1. （2016春？庆云县期末）下列各组数中，以 a , b , c 为边的三角形不是直角三角形的是 （ ）A . a=1.5, b=2, c=3B . a=7, b=24, c=25C . a=6, b=8, c=10D . a=3, b=4, c=52. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）.• BC=2BE=120m•••火车的速度是 180千米/时=50m/s , = =2.4s .50 50在解答此类题目时要根据题意作出辅助线,构造• - t=出直角三角形，再利用勾股定理求解.A.CD EF 、GHB.AB 、EF 、GHC.AB 、CF 、EFD.GH AB CD2 2 23. 下列说法：（1 ）在厶ABC 中，若a +b z C ,则厶ABC 不是直角三角形；（2）若厶ABC 是直 角三角形，/ C=90，贝U a 2+b 2=c 2; （3）在厶ABC 中，若 a 2+b 2=c 2，则/C=90 ; （4）直 角三角形的两条直角边的长分别为 5和12,则斜边上的高为一」.其中说法正确的有（）.13A.4个B.3个C.2 个D.1个4. （2015春？临沂期末）如图，正方形网格中的△ ABC 若小方格边长为1，则△ ABC 的形状为（ ）9.已知x 5 y 3 Z 4 0,则由此x, y, z 为边的三角形是 __________ 三角形•10•在△ ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ___________ . 11.若一个三角形的三边之比为 __________________________ 5:A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D.以上答案都不对5•已知三角形的三边长为A.—定是等边三角形 C. 一定是直角三角形 6.三角形的三边长分别为（ ）. A •直角三角形 B 二.填空题 n 、n 1、m （其中m 2 2n 1），则此三角形（）.B. 一定是等腰三角形 D.形状无法确定a 2b 2、2ab 、a 2 b 2 （ a 、b 都是正整数），则这个三角形是钝角三角形 C .锐角三角形 D .不能确定7. （ 2016春?岳池县期末）若三角形的边长分别为6、8、10,则它的最长边上的高为 _______ .8. （2015?本溪模拟）如图，在 2X2的正方形网格中有 9个格点，已经取定点 A 和B,在余下的7个点中任取一点。

数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。

例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。

二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。

这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。

三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。

记忆是理解的基础。

如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。

cbaD CAB第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。

知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：例2。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c bbbbccccaaaabbb ba accaaACBDAB如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .知识点八：逆定理判断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )ABCD A 'B 'C 'D 'BC5米3米1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2+ n 2, m 2– n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． A815.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ．6.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= ，S △ABC = 。

第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bccbaE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么22c a b =+22b c a -，22a c b - ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+⑵228BC AB AC =- 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC -， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积BC答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得2210AD AE DE + 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：DCBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

八年级数学上册知识点总结数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类：正有理数、有理数零有限小数和无限循环小数、实数负有理数、正无理数、无理数无限不循环小数、负无理数。

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：1）开方开不尽的数，如7、32等；2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如222π+8等；3）有特定结构的数，如0.xxxxxxxx01…等；4）某些三角函数值，如sin60等。

二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=−b，反之亦成立。

2、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（|a|≥）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥；若|a|=−a，则a≤。

3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和−1.零没有倒数。

4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算。

三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

第一章勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段二、典型例题、练习题类型一：勾股定理的直接用法例题：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）． 举一反三【变式1】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少? 【答案】∵∠ACD =90° AD =13, CD=12∴AC 2 =AD 2－CD 2=132－122=25 ∴AC =5又∵∠ABC=90°且BC =3 ∴由勾股定理可得AB 2=AC 2－BC 2=52－32=16 ∴AB = 4∴AB 的长是4.【变式2】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n 。

勾股定理及其逆定理一、勾股定理勾股定理是数学中的基础定理之一，它描述了直角三角形中的关系。

根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

用公式表示就是：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。

勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪的中国和印度，但最早被发现并应用的是中国的古代数学家勾股。

因此，这个定理被称为勾股定理。

勾股定理的应用非常广泛，特别是在测量和计算方面。

例如，我们可以利用勾股定理来计算三角形的边长、角度以及面积等。

在实际应用中，我们经常会遇到需要使用勾股定理解决问题的情况。

二、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形一定是直角三角形。

这个逆定理也被称为勾股定理的逆命题。

为了证明逆定理的正确性，我们可以通过数学推导来证明。

假设一个三角形的三条边为a、b、c，且满足c² = a² + b²。

首先，我们可以假设这个三角形不是直角三角形，即不存在直角。

根据三角形的角度性质可知，三角形的三个角度之和为180度。

如果这个三角形不是直角三角形，那么它的三个角度之和一定小于180度。

假设三个角度分别为A、B、C，且A + B + C < 180度。

然后，我们可以使用余弦定理来推导c²的表达式。

根据余弦定理，c² = a² + b² - 2ab·cosC。

将这个表达式代入c² = a² + b²中，得到a² + b² - 2ab·cosC = a² + b²。

经过简化后可得- 2ab·cosC = 0，即cosC = 0。

根据余弦函数的性质可知，当cosC = 0时，角C等于90度。