高二数学当堂练习杨辉三角和二项式系数的性质

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质预习课本P32～36,思考并完成以下问题 1．杨辉三角具有哪些特点？2．二项式系数的性质有哪些？[新知初探]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn . 2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C mn ＝C n －mn )． (2)增减性与最大值：当k<n ＋12时,二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值；当n 是偶数时,中间一项C n2n 取得最大值；当n 是奇数时,中间两项C n －12n ,C n ＋12n 相等,同时取得最大值．(3)各二项式系数的和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n,②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ) (2)二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知(ax ＋1)n的展开式中,二项式系数和为32,则n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案：A3．(1＋x)2n(n∈N *)的展开式中,系数最大的项是( ) A ．第n2＋1项B ．第n 项C ．第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项答案：C4．在(a ＋b)n 的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案：A与杨辉三角有关的问题[典例] (1)杨辉三角如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被5整除,则具有类似性质的行是( )A ．第6行B ．第7行C ．第8行D ．第9行(2)如图,在杨辉三角中,斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n 项和为S(n),则S(16)等于( )A．144 B．146C．164 D．461[解析] (1)由题意,第6行为1 6 15 20 15 6 1,第7行为1 7 21 35 35 21 7 1,故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除．(2)由题干图知,数列中的首项是C22,第2项是C12,第3项是C23,第4项是C13,…,第15项是C29,第16项是C19.所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.[答案] (1)B (2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．[活学活用]如图, 在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知,第一行中的数是C01,C11；第2行中的数是C02,C12,C22；第3行中的数是C03,C13,C23,C33,…,第n行中的数是C0n,C1n,C2n,…,C n n.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3,则C13n∶C14n＝2∶3,解之得n＝34.答案：34求展开式的系数和[典例] 设(1－2x)2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016·x2 016(x∈R)．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 016的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 016|的值． [解] (1)令x ＝1,得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 016＝(－1)2 016＝1.①(2)令x ＝－1,得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 016＝32 016.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＝1－32 016, ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015＝1－32 0162.(3)∵T r ＋1＝C r2 016(－2x)r＝(－1)r·C r2 016·(2x)r, ∴a 2k －1＜0(k∈N *),a 2k ＞0(k∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 016| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 016＝32 016.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b)n,(ax 2＋bx ＋c)m(a,b,c∈R ,m,n∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x ＝1即可；对(ax ＋by)n(a,b∈R ,n∈N *)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地,若f(x)＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f(1)＋f(－1)2,偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f(1)－f(－1)2.[活学活用]已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7,求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7,a 0＋a 2＋a 4＋a 6.解：(1)∵(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7, 令x ＝1,得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1,① 令x ＝0,得a 0＝1, ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)令x ＝－1,得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2 187,② 由①,②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094, a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.求展开式中系数或二项式系数的最大项[典例] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中, (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ [解] T r ＋1＝C r8·(x)8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r ·C r 8·2r·x 4－5r 2.(1)二项式系数最大的项为中间项,即为第5项, 故T 5＝C 48·24·x4－202＝1 120x －6.(2)设第r ＋1项系数的绝对值最大,则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，即⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .整理得⎩⎪⎨⎪⎧r≥5，r≤6.于是r ＝5或6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [一题多变]1．[变设问]在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．解：由本例(1)知, 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大, 第6项的系数为负, 第7项的系数为正．故系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x－11.系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25x －172＝－1 792x －172.2．[变条件,变设问]在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,求展开式中常数项．解：由题意知n ＝8,通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k ·x8－43k,令8－43k ＝0,得k ＝6,故常数项为第7项,且T 7＝(－1)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 68＝7.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a ＋b)n中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时,中间两项的二项式系数最大． (2)当n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大．层级一 学业水平达标1．关于(a －b)10的说法,错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为1 024 B ．展开式中第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n,故A 正确；当n 为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B 正确,C 错误；D 也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数,所以是系数中最小的．2．已知(a ＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n 等于( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选D ∵只有第5项的二项式系数最大, ∴n2＋1＝5.∴n＝8. 3．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n,当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝254时,n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 令x ＝1,则a 0＋a 1＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2),∴2(1－2n)1－2＝254,∴n＝7.4．若对于任意实数x,有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3,则a 2的值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选B x 3＝[2＋(x －2)]3,a 2＝C 23·2＝6.5．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝729,则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31解析：选B C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n＝729. ∴n＝6,∴C 16＋C 36＋C 56＝32.6．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n (n∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ,b n ,则a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.解析：由题意知a n ＝2n成等比数列,令x ＝1则b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 也成等比数列,所以a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋1.答案：2n ＋17．(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________． 解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10, 令x ＝1,得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1,再令x ＝－1,得 310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10,两式相减,可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.答案：1－31028．(1＋x)n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是________． 解析：因为8<C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn <32,即8<2n<32.所以n ＝4.所以展开式共有5项,系数最大的项为T 3＝C 24(x)2＝6x. 答案：6x9．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解：(1)令f(x)＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10, a 0＝f(0)＝25＝32,a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝f(1)＝0, 故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(2)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝f(1)·f(－1)＝0.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数．解：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ,整理得n 2－21n ＋98＝0, ∴n＝7或n ＝14,当n ＝7时,展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5,T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352；T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70；当n ＝14时,展开式中二项式系数最大项是T 8,T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.层级二 应试能力达标1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n－1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C 法一：令x ＝1得,1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.法二：令n ＝1,知各项系数和为3,排除A 、B 、D 选项．2．在(1＋x)n(n 为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A,偶数项的和为B,则(1－x 2)n的值为( ) A ．0 B ．AB C ．A 2－B 2D ．A 2＋B 2解析：选C (1＋x)n＝A ＋B,(1－x)n＝A －B,所以(1－x 2)n＝A 2－B 2. 3．若(1－2x)2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016(x∈R),则a 12＋a 222＋…＋a2 01622 016的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C (1－2x)2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016,令x ＝12,则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 016＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0,其中a 0＝1,所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.4．若(x ＋y)9按x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x ＋y ＝1,xy<0,则x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45 D ．(1,＋∞)解析：选D 二项式(x ＋y)9的展开式的通项是T r ＋1＝C r9·x9－r·y r.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy<0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x)－4x 7·(1－x)2≤0，x(1－x)<0，由此解得x>1,即x 的取值范围是(1,＋∞)．5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为2n,∴2n＝64,∴n＝6. ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r . 由6－2r ＝0得r ＝3, ∴其常数项为T 3＋1＝C 36＝20. 答案：206．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含有x 的项为第6项,若(1－3x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n,则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n展开式的通项为T r ＋1＝C rn (x 2)n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r. 因为含x 的项为第6项, 所以r ＝5,2n －3r ＝1,解得n ＝8.令x ＝1,得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28,令x ＝0,得a 0＝1, ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝28－1＝255. 答案：2557．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中偶数项的二项式系数和比(a ＋b)2n 的展开式中奇数项的二项式系数和小于120,求第一个展开式中的第3项．解：因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n －1,而(a ＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1,所以有2n －1＝22n －1－120,解得n ＝4,故第一个展开式中第3项为T 3＝C 24(x)2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x.8．在二项式(ax m＋bx n )12(a ＞0,b ＞0,m,n≠0)中有2m ＋n ＝0,如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．(1)求系数最大的项是第几项？ (2)求ab的范围．解：(1)设T r ＋1＝C r 12(ax m )12－r·(bx n )r＝C r12a12－r b r x m(12－r)＋nr为常数项,则有m(12－r)＋nr ＝0,即m(12－r)－2mr ＝0, ∴r＝4,它是第5项． (2)∵第5项是系数最大的项,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3， ①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5. ②由①得12×11×10×94×3×2a 8b 4≥12×11×103×2a 9b 3,∵a＞0,b ＞0, ∴94b≥a ,即a b ≤94. 由②得a b ≥85,∴85≤a b ≤94. 故a b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，94.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )A ．7B ．64C ．12D ．81解析：选C 根据分步乘法计数原理,共有4×3＝12种． 2．(1－x)10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120D ．－120解析：选D 由T r ＋1＝C r10(－x)r＝(－1)r C r10x r,因为r ＝3,所以系数为(－1)3C 310＝－120. 3.某城市的街道如图,某人要从A 地前往B 地,则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种解析：选B 此人从A 到B,路程最短的走法应走两纵3横,将纵用0表示,横用1表示,则一种走法就是2个0和3个1的一个排列,只需从5个位置中选2个排0,其余位置排1即可,故共有C 25＝10种．4．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )A ．300B ．216C ．180D ．162解析：选C 由题意知可分为两类,(1)选“0”,共有C 23C 12C 13A 33＝108,(2)不选“0”,共有C 23A 44＝72,∴由分类加法计数原理得72＋108＝180,故选C ．5．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园．为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：选B 第一步,将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步,将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 33种排法,故总的排法有2×2×A 33＝24种．6．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个解析：选B 依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．7．已知直线ax ＋by －1＝0(a,b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有交点,且交点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条解析：选B 先考虑x≥0,y≥0时,圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1),依圆的对称性知,圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有C 212＝66(条),过每一点的切线共有12条,又考虑到直线ax ＋by －1＝0不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条,所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．8．将二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式中所有项重新排成一列,有理式不相邻的排法种数为( ) A ．A 37 B ．A 66A 36 C ．A 66A 37D ．A 77A 37解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·(x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝C r82r ·x 16－3r 4,r ＝0,1,2,…,8.当16－3r 4为整数时,r ＝0,4,8. ∴展开式共有9项,其中有有理项3项,先排其余6项有A 66种排法,再将有理项插入形成的7个空档中,有A 37种方法．∴共有A 66A 37种排法．二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)9．男、女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有________人．解析：设女生有x 人,则C 28－x ·C 1x ＝30,即(8－x)(7－x)2·x＝30,解得x ＝2或3.答案：2或310．若(1＋2)4＝a ＋b 2(a,b 为有理数),则a ＝________,b ＝________. 解析：∵(1＋2)4＝C 04(2)0＋C 14(2)1＋C 24(2)2＋C 34(2)3＋C 44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4 ＝17＋122,由已知,得17＋122＝a ＋b 2, ∴a＝17,b ＝12. 答案：17 1211．已知(1＋x)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n,若a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝16,则n ＝________,a 3＝________. 解析：令x ＝1,得2n＝16,则n ＝4.a 3＝C 34＝4. 答案：4 4 12．若⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于________,此时常数项为________． 解析：二项式的通项为T r ＋1＝C rn (2x 3)n －r·⎝⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r n 2n －r ·x3n －7r 2,令3n －72r ＝0,即r ＝67n,而r∈N *.∴n 为7的整数倍,即最小的正数n 等于7,此时常数项为T 7＝C 67·2＝14.答案：7 1413．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120,则实数a ＝________,展开式中各项系数的和是________．解析：T r ＋1＝(－a)r C r 8x8－2r,令8－2r ＝0⇒r ＝4.∴T 5＝C 48(－a)4＝1 120,∴a＝±2.当a ＝2时,各项系数的和为(1－2)8＝1；当a ＝－2时,各项系数的和为(1＋2)8＝38.答案：±2 1或3814．用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以适合题意的四位数有24－2＝14个．答案：1415．将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴世博会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：先分组C 25C 23C 11A 22,再把三组分配乘以A 33得：C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种．答案：90三、解答题(本大题共5小题,共74分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)已知(1＋2x)n的展开式中,某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍,而且是它的后一项系数的56,试求展开式中二项式系数最大的项．解：二项式的通项为T k ＋1＝C k n (2k)x k 2由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍,是第k ＋2项系数的56,∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n·2k ＋1，解得n ＝7.∴展开式中二项式系数最大两项是： T 4＝C 37(2x)3＝280x 32与T 5＝C 47(2x)4＝560x 2.17．(本小题满分15分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上,有2件商品不能参加评选,要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的两件商品放上,有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品,除去不能参加评选的2件商品,剩下8件,从中选出4件进行排列,有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)．(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上,有A 26种方法,再从剩下的8件商品中选出4件,布置在剩下的4个位置上,有A 48种方法,共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．18．(本小题满分15分)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中,前三项系数成等差数列． (1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．解：(1)∵前三项系数1,12C 1n ,14C 2n 成等差数列．∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ,即n 2－9n ＋8＝0.∴n＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r .C r 8.x4－34r,r ＝0,1, (8)∴第三项的二项式系数为C 28＝28.第三项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7.(3)令4－34r ＝1,得r ＝4,∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358.19.(本小题满分15分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种,并且相邻的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂色方法？解：分为两类：第一类：若1,3同色,则1有5种涂法,2有4种涂法, 3有1种涂法(与1相同),4有4种涂法． 故N1=5×4×1×4=80.第二类：若1,3不同色,则1有5种涂法,2有4种涂法,3有3种涂法,4有3种涂法． 故N2=5×4×3×3=180种．综上可知不同的涂法共有N ＝N 1＋N 2＝80＋180＝260种．20．(本小题满分15分)7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等,按从高到低的顺序站； (4)老师不站中间,女生不站两端．解：(1)两名女生站在一起有站法A 22种,视为一种元素与其余5人全排,有A 66种排法．故有不同站法有A 22·A 66＝1 440种．(2)先站老师和女生,有站法A 33种,再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生,每空一人,有插入方法A 44种．故共有不同站法A 33·A 44＝144种．(3)7人全排列中,4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种,而由高到低有从左到右,或从右到左的不同．故共有不同站法2×A 77A 44＝420种．(4)中间和两端是特殊位置,可如下分类求解：①老师站两端之一,另一端由男生站,有A 12·A 14·A 55种站法,②两端全由男生站,老师站除两端和正中间的另外4个位置之一,有A 24·A 14·A 44种站法．故共有不同站法共有A 12·A 14·A 55＋A 24·A 14·A 44＝2 112种．。

“杨辉三角”与二项式系数的性质一、选择题1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为( ).A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项答案:C解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足:奇数项相等,偶数项互为相反数.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.2.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数和是( ).A.2n+1B.2n+1+1C.2n+1-1D.2n+1-2答案:D解析:令x=1,可知其各项系数和为2+22+…+2n=2n+1-2.3.展开式中只有第6项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( ).A.180B.90C.45D.360答案:A解析:因为的展开式中只有第6项二项式系数最大,所以n=10,则由T r+1=)10-r·2r,令=0,解得r=2,所以展开式中的常数项是·22=180,故选A.4.(2-)8展开式中不含x4项的系数的和为( ).A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:令x=1,得展开式中各项系数之和为(2-)8=1,由T r+1=·28-r()r,令r=8,得T9=·20x4=x4,其系数为1,故展开式中不含x4的项的系数和为1-1=0.5.已知展开式中的第10项是常数项,则展开式中系数最大的项是( ).A.第19项B.第17项C.第17项或第19项D.第18项或第19项答案:A解析:T10=)n-9·,由T10为常数项,得-9=0,所以n=36,故第19项系数最大.6.已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=( ).A.1B.-1C.36D.26答案:C解析:由已知展开式中a0,a2,a4,a6大于零,a1,a3,a5小于零.令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,①令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36,②则①+②得a0+a2+a4+a6=,①-②得a1+a3+a5=,故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|==36.二、填空题7.(2014安徽高考)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i,a i)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.答案:3解析:由题意得a1=·=3,∴n=3a;a2==4,∴n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.8.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.答案:34解析:由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3,故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3,即=2∶3,所以=2∶3,故,即n=34.三、解答题9.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.解:由,得T r+1=··,令T r+1为常数项,则20-5r=0,所以r=4,常数项T5==16.又(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于2n,由此得到2n=16,n=4.所以(a2+1)4展开式中系数最大项是中间项T3=a4=54.所以a=±.10.(2014河北邢台一中高二月考)(1)求的展开式中的常数项;(2)已知x10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10,求a1+a2+a3+…+a10的值.解:(1)展开式通项为T r+1=(r=0,1,2,…,9).由r-9=0,可得r=6.因此展开式的常数项为第7项T6+1=.(2)恒等式中赋值,分别令x=-2与x=-1,得到②-①得a1+a3+…+a10=1-210=-1023.故a1+a2+…+a10的值为-1023.11.求证:(1)+2+…+n=n·2n-1;(2)+…+(2n+1-1).证明:(1)∵k=k·=n·=n,∴左边=n+n+…+n=n(+…+)=n·2n-1=右边.(2)∵·=·=.∴左边=+…+.=+…+)=(2n+1-1)=右边.12.已知在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.(1)求n;(2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.解:(1)∵展开式中只有第6项的二项式系数最大,∴n是偶数,第6项即为中间项.∵它前边5项,后边5项,共有11项,∴+1=6,得n=10.(2)展开式的通项是T r+1=(-1)r·2-r·,系数的绝对值是·2-r,若它最大,则≤r≤.∵r∈N*,∴r=3.因此系数绝对值最大的项是第4项,即-·2-3·=-15.系数最大的项应在项数为奇数的项之内,即r取偶数0,2,4,6,8时,各项系数分别为=1,·2-2=·2-4=·2-6=·2-8=,故系数最大的项是第5项,即.13.在杨辉三角中,每一个数值是它左上角和右上角两个数值之和,三角形开头几行如下:(1)利用杨辉三角展开(1-x)6;(2)求0.9986的近似值,使误差小于0.001;(3)在杨辉三角中的哪一行会出现相邻的数,它们的比是3∶4∶5?解:(1)由杨辉三角知,第6行二项式系数为1,6,15,20,15,6,1.所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.令其中a=1,b=-x,得(1-x)6=1-6x+15x2-20x3+15x4-6x5+x6.(2)0.9986=(1-0.002)6=1-6×0.002+15×0.0022+…+0.0026≈1-6×0.002=0.988.(3)设在第n行出现,并设相邻的三个数分别是,那么有故即故解得n=62,k=27,即第62行,此时=3∶4∶5.。