多目标决策方法
一．多目标决策方法简介
1．多目标决策问题及特点
（１） 案例
个人：购物；买房；择业．．．．．．
集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素
行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则
（3） 多目标决策有如下几个特点：
决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；
定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2． 多目标决策问题的描述
)}(),(),({21x f x f x f DR n
0)(,0)(,0)(.21≤≤≤x g x g x g T
S p
决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间
})({X x x f F ∈=
两个例子：
离散型；连续型
3．多目标决策问题的劣解与非劣解
非劣解的寻找连续型有时较难
4．多目标决策主要有以下几种方法：
（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；
（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。（
（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８）多目标群决策和多目标模糊决策。
（９）字典序数法和多属性效用理论法等。
二、几种常见方法简介及应用
1．加性加权法
（1） 基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立； 2.价
值函数的形式是加性的。
虽然价值函数很难确切描述，但决策者认为效用合成可用加性，另外，每个属性的价值函数是关于属性指标的线性函数。 （2） 符号说明：
ij y :第i 个方案关于第j 个属性的取值；ij z :ij y 的规范值；j w :第
j 个属性的权重；i v :第i 个方案的综合取值
(3)加性加权模型：
1max i
i m
v ≤≤
1
n
i j ij
j v W Z ==∑
1,......i m
= 1,.....
j n = （１）
ij z 的规范算法：
max max min ij ij ij ij ij
Y Y Z Y Y -=
- 当为
j 成本型时，
min max min ij ij ij ij ij
i
i
Y Y Z Y Y -=- 当j
为效益型时，
[]0,1ij Z ∈,当1ij Z =时，最优；0ij Z =时，最差。规范后ij Z 是
越大越优的。
Note :特殊问题的规范化值
例子：人员招聘中对人的满意度的评价――――公务员的招聘
（4）权重Wi 的求解 ――关键
两种：一是直接由决策者给出；二是分析者根据决策者给的偏好信息用一定的方法导出。
由决策者对目标的成对比较，来导出属性目标的权重：
成对比较矩阵()ij n n A a ?=
ij a :第i 个目标相对于第j 个目标的重要性
（按1-9比例标度赋值，这是根据心理学家的研究，认为人们区分信息等做的极限能力为7±2，标度1，3，5，7，9对应于两因素相比为同等重要，略微重要，比较重要，非常重要和绝对重要，而2，4，6，8表示两判断之间的中间状态对应的极度值） 成对比较矩阵性质：正互反性ji
a 1
a ij =
，
0W 0A max >≥>且存在时，,n λ；
A 为一致阵
0==?i max ,n λλ
例1：??????
??
??????????=14
32
14
134132
31
22312
14321A ∑=n λ 1)(=A r 理论说明：二阶．三阶
虽然由客观事物的复杂性以及人的认识的多样性，因而判断矩阵A 未必是一致阵。但是仍要求A 有大体上的一致性。也就是说一个判断矩阵如果是有效的就不应该出现诸如“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙比甲极端重要的逻辑谬误。因此对A 需作检验，关于A 的一
致性检验分如下几步： （1） 计算一致性指标
max 1
n
CI n λ-=
- (２)
(2)查找相应的平均一致性指标RI
表1：1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的RI
n 1 2 3
4
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI
0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
（３）计算一致性比例CR
CI
CR RI
=
(３) 如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。
利用上述成对比较矩阵，可采用和法，根法，特征根法，最小平方法来计算权重，具体方法如下：
和法： 1
1
1n ij
i n j kj
k a W n a ===∑∑ 1,2,......i n = ，
1
1n
i
i w
==∑
（４） 例 2 ?????
?
???????
?=13
12313
2131
1
A 1593.01=W 5889.02=W
2578
.03=W 如果已求得各权重向量1w ，…wn ，则 max λ也可由下式计算得到：
1
1
1
max n
ij j
n
j i
a w
n w λλ===∑∑
(５)
根法： 1
1111n n
ij j i n n n kj k j a W a ===??
???=?? ???
∏∑∏ 1,2,......i n = ， 1
1n
i Wi ==∑
（６）
1507.01=W 5753.02=W 2740.03=W 特征根法：()max 0A I W λ-= ()12,,......T
n W W W W =
1
1n
i Wi ==∑ 得 唯一
正解 （７）
0536.3max =λ 1571.01=W 5936.02=W 2493.03=W 最小平方法: ()2
11min n
n
ij j i i j a w w ==-∑∑
1
1n
i Wi ==∑（条件极值求得）
（j
i
w w ≈
ij a ） （８） 1735.01=W 6059.02=W 2206.03=W
迭代法：??????
?
??????
?
=1312
31321311A ???????
?
????????=3131310e
k k Ae e =+1
??
??
?
?????=2206.06176.01618.010e
????
?
?????=75.07
6.13
6.02e
????
??????=??????????=2602.06122.01301.07500.07648.13677.08825
.212
0e ．．．．．． 注意：差异不大，可根据具体情况选择使用
计算实例：控制仪器的购买
某人拟购买一个控制仪器，现有四种产品可供选择。每种产品的满意度用4个目标去衡量，即：可靠度，成本，外观和重量。每个目标对应的属性值都可以量化。每个方案即每个产品对应的属性值 用下表1所示的决策矩阵描述表示的1X ,2X ,3X ,和4X 分别代表4个产品。在这4个目标中，可靠度和外观的值越大越好，成本和重量值越小越好。试帮助该人确定这四种仪器的优势。
仪器购买的决策矩阵
方案
属性
可靠性()1f x 成本()2f x
外观()3f x
重量()4f x
1X 7 8
9 6 2X 6 7 8 3 3X 5 6 7 5
4X
4
10
6
7
表1
方案4X 的每个属性值都劣于方案1X 的每个属性值，故方案4X 是一劣解，将其从方案集中排除，则待选方案为 1X ,2X ,3X 。
对效益型属性1f ,3f 和成本型属性 2f ,4f 利用（3）和（2）将方案1X ,2X ,3X 的属性进行规范化处理，得：
1
0100.50.50.510100.333Z ?? ?
= ? ???
设决策者偏好结构为如下的成对比较矩阵；
1245121221412111512
1
1A ??
?
?
= ?
???
（一致性检验不能少！） 采用（4）式（1
1
1n ij
i n j kj
k a W n a ===∑∑）计算得：
10.5174W =, 20.2446W =,30.1223W =, 40.1157W =
最后计算得三个方案1X ,2X ,3X 的目标值i V 为：
1n
i j ij j V W Z ==∑ 故10.6397V =,20.5579V =,30.2831V =
因此，四种产品的选择顺序为： 1234X X X X >>>
2 基于理想解的排序模型（目标规划法）
（1）基本假设
1. 属性描述用基数定量描述，且相互独立；
2. 决策者偏好用权 （2）符号说明
*j Z ：各属性规范化后的最优值，
*x ：理想解，即*x 所对应的各属性值都是规范化后的最优值
i S ：第i 个方案与理想解的测度
（2） 基于理想解的排序模型
()2
*11
min min
n
i j ij j i m
i
j S w Z Z ≤≤==-∑
（９）
如果决策者不给出权或给出的各属性的权相同，可用如下模型计算：
()2
*11
min min
n
i ij j i m
i
j S Z Z ≤≤==-∑ （10）
注意：ij Y 的规范化可采用如下的方法： ()
2
1
ij
ij m
ij i Y Z Y ==
∑ ()2
1
1m
ij i Z ==∑ （11）
理想解*x 的各个属性值()*1,2,......j Z
j n =的确定可用如下方 法
''1,2,3......,J
J n J
J ==?
应用——控制仪器的购买（内容如上）
首先排除劣解X4，将各方案的各个属性利用（11）式规范化得：
0.66740.65540.64620.70710.57210.57340.57440.35360.47460.49150.50260.5893Z ??
?= ? ???
因此得理想解*x 的各个属性分量为：
()0.66740.49150.64620.3536
权重仍用加性加权模型的结果，即各个权重的属性分量为：
()0.5174
0.24460.12230.1157
代入（９）式计算得：
10.1464S =，20.0835S =，30.1672S =
即四种产品的选择顺序为：2134X X X X >>>
3 线性分配模型
（1） 基本假设
1. 属性描述采用序数形式，决策者的偏好仍用权来表示
2. 对某一属性，不同方案允许并列，但最终排序不允许并列。
（2） 符号说明：
ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称()ij m n W W ?=为权矩阵。在权矩阵中，
如第k 行中对应L 列的元素最大，则方案i X 有最大的可能排在第L 列。 （3） 线性分配模型 例 已知决策矩阵如下： 排序
目 标 属 性
1f 2f 3f 4f 5f
第一名 第二名 第三名
1x 1x 2x 2x 3x 2x 3x 1x 3x 2x 3x 2x 3x 1x 1x
设权为：)3.0,1.0,1.0,3.0,2.0(=W
构造权矩阵：????
?
?????=3.04.03.03.05.02.04.01.05.0W （行为方案，列为名次）
ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称()ij m n W W ?=为权矩阵。在权矩阵中，
如第k 行中对应L 列的元素最大，则方案i X 有最大的可能排在第L 列。
最优决策应使最终排序下权矩阵中对应的总权之和最大，由此可知，
这是一个指派问题：11
max m n
ij ij i i W P ==∑∑
如存在某一属性下的两个方案并列，可将该属性拆分为两个子属性，并分别赋一半的权重。
控制仪器的购买算例
首先，将决策矩阵转化为序数形式。
1f （可靠
性）
2f （成本）
3f （外观）
4f （重量）
一 1X 3X 1X 2X 二 2X 2X 2X 3X 三 3X 1X 3X 1X 四
4X
4X
4X
4X
确定各个目标的权重。仍用模型加行加权模型的结果，即
(0.57140.24460.12230.1157)T W =
属 性
名
次
计算权矩阵12340.639700.363000.11570.8834000.24460.11570.639700001X X W X X ??
?
?= ? ???
第一 第二 第三 第四
所以最优的排序结果为1234X X X X >>>，此时对应的指派问题的解为
112233441P P P P ====，其余0ij P =
4 层次分析法
层次分析法（The Analytic Hierarchy Process 即AHP ） 是二十世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标决策评价法。将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数字化，保持决策者思维的一致，采用先分解后综合的解题思想。
层次分析法的基本假设：是层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进.
AHP 模型的简介
运用AHP 方法进行决策时，大体上可分为4个步骤： １．分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递进层次结构 ２．对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。
３． 判断矩阵计算得到被比较元素对于准则的相对权重 ４．计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。 具体操作如下：
1. 递进层次结构的建立
AHP 的递进层次包括三层：即目标层、准则层、方案层。其中准则层包括了为实现目标所涉及的中间环节，该层可根据实际问题再包括多个子准则层。AHP 层次结构如图1：
决策目标
准则 1 准则2 …… 准则M1
子准则1 子准则2 …… 子准则M2
方案1 方案2 …… 方案N 2. 构造两两比较判断矩阵
对于一个准则P 的因素有N 个，这N 个因素之间相对重要性的比较得判断矩阵记为()ij n n A a ?=，其中ij a 表示因素i u 对j u 的重要性； 3. 单一准则下元素相对权重的计算及判断矩阵的一致性检验 （１）设n 个因素1,......n u u 相对于准则P 及判断矩阵为()ij n n A a ?=,由A 可计算1,......n u u 对P 的相对权重1,......n w w 方法如下：
和法 ：
1
1
1n ij
i n j kj
k a w n a ===∑∑ 1,2,3......i n = (1)
根法：
1
1111n n
ij j i n n n kj k j a w a ===??
???=?? ???
∏∑∏ 1,2,3....i n = (2) 特征根法：
由()0A λI -=,可计算得最大特殊根max λ，则
max W AW λ= (3)
W
是 max λ 对应的特征向量，将W 的各分量进行归一化处理后即可
作为数向量1,......,n w w 最小二乘法：
设权重向量1(,......)T n W w w =则满足残差平方和最小的权向量
()2
11min n
n
ij j i i j a w w ==-∑∑ (4)
其中权向量满足1
1n
i i w ==∑
具体计算时可采用拉格朗日的条件极值求得各i w （２）判断矩阵的一致性检验 计算一致性指标：
max 1
n
CI n λ-=
- (5)
查找相应的平均一致性指标RI ：
表1：1-15阶正相反矩阵计算1000次得到的RI
n 1 2 3
4
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI
0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
计算一致性比例CR ：
CI
CR RI
=
(6) 如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。
4. 计算合成权重，并进行排序
总排序权重要自上而下的将单准则下的权重进行合成，并逐层进行总的判断一致性检验。
设 ()111
11,.....t
k k k nk w w w ----= 表示第1K -层上1k n -元素相对于总目的排序
的权重向量。用 ()1,......j
kj
t
k
k k j
n p p p
=表示第K 层上k
n 个元素对第1
K -上第j 个元素为准则的排序权重向量，其中不受j 元素的支配的元
素权重取为零，矩阵()11,......k k k
nk p p p -=是阶1k k n n -?阶矩阵 ，它表示
第K 层元素对1K -层上各元素的排序，则第K 层上元素对目标的总排序
()11,......t
k k k k k nk w w w p w -==
或1
1
1
k n k
k k i
ij j j w p w --==∑ 1,2,3......i n =
即有公式：12......k k k w p p w -=
其中 2w 是第二层上元素的总排序向量，也是单准则下的排序向量。相应的各层的一致性检验：
论 k j CI 为
1K -层上元素为准则的一致性指标，平均一致性指标为 k j RI ，一致性比例为 k
j CR 11,2,3......k j n -=，则K 层的综合指标 ()1
11,......k k k k nk CI CI CI w
--= ()1
11,......k k k k nk RI RI RI w
--=
k
k
k CI CR RI
=
0.1k j CI <认为递阶层次结构在
K 层水平上的所有判断具有整体满意的一致性。
3.12 AHP 模型的应用——某高校从三个候选人中选一人担任领导 候选人的优劣用六个属性去衡量： ①健康状况②业务知识③书面表达能力 ④口才⑤道德水平⑥工作作风
关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵A 为
1
1141
121
124112112153121414151131311133112223
11??
?
? ?
? ? ?
?
??
? （一致性检验不能少！通过！
） 1
1
1n ij
i n
j kj
k a W n a ===∑∑ 计算得权向量： (0.1592,0.1847,0.1985,0.049,0.1556,0.2539)
①健康状况
114124132131X Y Z ?? ? ? ???
max 3.0193λ= 0.1429
..0.019C R = 0.5714 0.2857 ②业务知识
114154112521X Y Z ?? ? ? ???
max 3.0258λ= 0.0974
..0.025C R = 0.3331 0.5695
③书面表达能力
131********X Y Z ?? ? ? ???
max 3.5607λ=
..0.539*C R =（调整！）
调整判断矩阵为：
131313115351X Y Z ??
? ? ???
max 3.0328λ= 0.2583
..0.032C R =
0.1047
0.6370
④口才
113531715171X Y Z ?? ? ? ???
max 3.0651λ= 0.2790
..0.062C R =
0.6491
0.0719
⑤道德水平
11711717171X Y Z ?? ? ? ???
max 3.00λ= 0.4667
0.4667
0.0667
⑥工作作风
179171519151X Y Z ?? ? ? ???
17
9
17
1519
151X Y Z ?? ? ? ???
max 3.2074λ=
..0.199*C R =
（调整！） (0.7928,0.1312,0.0760)
按健康状况、业务知识、书面表达能力、口才、道德水平、工作作风 的顺序排列
0.14290.09740.25830.27900.46670.79280.57140.33310.10470.64910.46670.13120.28570.56950.63700.07190.06670.0760X B Y Z ??
?
= ? ???
(0.1592,0.1847,0.1985,0.049,0.1556,0.2539)
()0.3771,0.3148,0.3081W =
可知，应选择候选人X 担任该职务 六、残缺判断与群组决策 （1）残缺判断处理方法 **残缺判断可接受条件：
定义1：一个残缺判断矩阵称为是可接受的，如果它的任一残缺元素都可以通过已给出的元素间接获得，否则就是不可接受的。 容易证明：一个残缺判断矩阵可接受的必要条件是除对角元素外，每行每列至少有一个给定元素，故至少要作(n-1)次判断。 设θ表示残缺元素，显然当ij a θ=时.ji a θ= 定义2：方阵A 能用行列同时调换化为1
2
3A O A A ??
????
形式，则A 称为可约矩阵。（否则称为不可约矩阵）
例：1
03
2120010011110;
0123300111012
3-????????
????????????????
??-????
都是可约矩阵。 为了讨论残缺矩阵的可接受性，先将残缺元素θ看成0，则有： 定理：一个残缺判断矩阵可接受的充分必要条件是A 是不可约矩阵。 **残缺矩阵排序向量计算方法 特征根法：
对残缺判断矩阵A 构造辅助矩阵C ，使得：
0,()10,ij
ij ij i j
ij a a i j C c i j w w a i j
?≠≠?
===??=≠?
求C 的特征根问题：max Cw w λ= 等价于求矩阵A 的元素为：
()ij A a ==0,1
10,ij ij i
ij a a i j i j m a i j
?≠≠?
=??+=≠?，1,2,,i n =其中i m 为A 的第i 行中
残缺元素的个数，并且有：max Aw w λ=，A 称为A 的等价矩阵。直接求A 的特征根问题即可求得不完全信息下的排序向量。
例1：设1201
1221012A ????????=????????
，这是一个可接受的残缺判断矩阵，辅助矩阵
1331
121122112
w w C w w ?
???????=?
?????????
， A 的等价矩阵2201122
1
022
A ???????
?=????????
， C 与A 有相同的主特征值max λ和主特征向量.w
解：max Aw w λ=，得：
max 3,(0.5714,0.2857,0.1429)w λ== **一致性检验
A 的一致性检验可用下面的公式：max 1(1)/n
i i n
CI n m n
λ=-=
--∑，
CI
CR RI
=
如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。当A 残缺时，当其它非残缺元素有较协调的判断时，才能满足总体一致性的要求。 2．群组决策
（1）重视并做好专家咨询工作 （2）群组决策综合方法 特征根法：
方法一：加权几何平均综合排序向量法
S 个专家的判断矩阵,()k ij A a k =分别计算出它们的排序向量：
12(,,)T k k nk W w w w =，1,2,.k s =然后求出它们的加权几何平均综合向量
12(,,
)T s W w w w =，其中
当12s λλλ==
=时 j w =112(,,
)s j j js w w w ，1,2,
.j n =
计算j w 的标准差：2
1
1()1s j jk j
k w w s σ==--∑ 相应于新的总体判断矩阵()i
ij j
w A a w ==
的总体标准差： 2,1
1()1s
ij ij k ij k a a s σ==--∑
第13章多目标决策 单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策问题变得非常复杂。 国外一般认为，多目标优化问题最早是在19世纪末由意大利经济学家帕累托（V.Pareto）从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设法变换成一个单一的最优目标来进行求解。到了20世纪40年代，冯诺曼等人由从对策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策问题。1950年代初，考普曼（T.C.koopmans）从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问题，并引入了帕累托最优的概念。1960年代初，菜恩思（F.Charnes）和考柏（J.Cooper）提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。目标规划是线性规划的修正和发展，这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之间的偏差为最小。1970年代中期，甘尼（R.L.Keeney）和拉发用比较完整的描述多属性效用理论来求解多目标决策问题。1970年代末，萨蒂（A.L.Saaty）提出了影响广泛的AHP(the analytical hierarchy process)法，并在1980年代初纂写了有关AHP 法的专著。自1970年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之出现。 总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。 13.1 基本概念 多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较各待选方案的期望效用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。 例13.1房屋设计 某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求根据以下5个目标综合选出最佳的设计方案：1）低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）； 2）抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）； 3）建造时间（越快越好）； 4）结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）； 5）造型美观（评价越高越好） 这三个方案的具体评价表如下。
第十一章多目标决策 (Multi-objective Decision-making) 主要参考文献68, 111 §11.1 序言 MA：评估与排序 MCDP MO：数学规划 一、问题的数学表达 N个决策变量= {, ,…, } n个目标函数() = ( (), (),…, ()) m个约束条件∈X即: ()< 0 k=1,…,m >0 (1) 不失一般性，MODP可表示成： P1 M ax { (), (),…, ()} s.t. ∈X 这是向量优化问题，要在可行域X中找一，使各目标值达到极大。 通常并不存在，只能找出一集非劣解 (2) 若能找到价值函数v( (), (),…, ()) 则MODP可表示成： P2 M ax v ( (), (),…, ()) s.t. ∈X 这是纯量优化问题，困难在于v如何确定。
二、最佳调和解(Best Compromise Solution) P3 DR (f1(x ?),f2(x ? ),…, f n(x ? )) s.t. x ? ∈X 即根据适当的Decision Rule在X中寻找BCS x c ? 常用的Decision Rule: max V max EU min d p (f ? - f ? ) 求BCS必须引入决策人的偏好 三、决策人偏好信息的获取方式 1.在优化之前，事先一次提供全部偏好信息 如：效用函数法，字典式法，满意决策，目的规则 2.在优化过程中：逐步索取偏好信息 如：STEM SEMOP Geoffrion, SWT 3.在优化之后：事后索取偏好，由决策人在非劣解集中选择 i，算法复杂，决策人难理解，ii,计算量大， iii,决策人不易判断各种方式的利弊比较 黄庆来[111]的分类表:
单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这 类问题进行合理分析的方法 和程序。 但在实际工作中所遇到的的决策分析问题， 却常常要考虑多个目标。 这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策 问题变得非常复杂。 总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和 运筹学等领域中得到了更多 的研究和关注。 13.1基本概念 多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较各待选方案的期望效 用值哪个最大即可，而多目 标问题就不如此简单了。 例13.1房屋设计 某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要 求根据以下5个目标综合 选出最佳的设计方案： 低造价（每 平方米造价不低于 抗震性能 建造时间 结构合理 造型美观 这三个方案的具体评价表如下。 表13.1 三种房屋设计方案的目标值 具体目标 方案1 (A 1) 方案2 (A 2) 方案3 (A 3) 低造价（元/平方米） 500 700 600 抗震性能（里氏级） 6.5 5.5 6.5 建造时间（年） 2 1.5 1 结构合理（定性） 中 优 良 造型美观（定性） 良 优 中 由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。某一个方案对其中一个目标来说是最优者，从另一 个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。比如从造价低这个具体目标出发，则方案 1较好；如从 合理美观的目标出发，方案 2就不错；但如果从牢固性看，显然方案 3最可靠等等。 1. 多目标决策问题的基本特点 例13.1就是一个多目标决策问题。类似的例子可以举出很多。多目标决策问题除了目标不至一个 这一明显的特点外，最显 着的有以下两点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。 目标间的不可公度性 是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直接进行比较。例如房屋设计 问题中，造价的单位是元/平 方米，建造时间的单位是年，而结构、造型等则为定性指标。 500元，不高于 700元）； （抗震能力不低于里氏 5级不高于7级）； （越快越好）； （单元划分、生活设施及使用面积比例等） ； （评价越高越好） 1) 2) 3) 4) 5)
第十七章多目标决策法 基本内容 一、多目标决策概述 多目标决策:统计决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为多目标决策。多目标决策的方法有多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数法、模糊决策法等。 多目标决策的特点： 1、目标之间的不可公度性，即众多目标之间没有一个统一标准。 2、目标之间的矛盾性。某一目标的完善往往会损害其他目标的实现。 常用的多目标决策的目标体系分类：单层目标体系；树形多层目标体系；非树形多层目标体系。 多目标决策遵循的原则： 1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。 2、分析各目标重要性大小，分别赋予不同权数。 二、层次分析法 层次分析法，简称AHP法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。 （一）层次分析的基本原理 层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。 层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。 （二）层次分析法的步骤 1、明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。 2、建立层次结构模型。将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。 2、通过对各层元素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。 3、由各层判断矩阵确定各层权重。用特征向量法中的和积法求解判断矩阵的最大特征值和归一化后的特征向量。 4、对各层判断矩阵的一致性进行检验。一致性检验通过后，按归一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要的排序加权值。否则，对判断矩阵进行调整。
多目标决策方法 一．多目标决策方法简介 1．多目标决策问题及特点 （１） 案例 个人：购物；买房；择业．．．．．． 集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素 行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则 （3） 多目标决策有如下几个特点： 决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性； 定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。 2． 多目标决策问题的描述 )}(),(),({21x f x f x f DR n 0)(,0)(,0)(.21 x g x g x g T S p 决策空间：}0)({ x g x X i 目标空间 })({X x x f F 两个例子：
离散型；连续型 3．多目标决策问题的劣解与非劣解 非劣解的寻找连续型有时较难 4．多目标决策主要有以下几种方法： （１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题； （２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。 （３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。（ （４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。 （６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。 （７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。 （８）多目标群决策和多目标模糊决策。 （９）字典序数法和多属性效用理论法等。
多目标决策方法 一．多目标决策方法简介 1．多目标决策问题及特点 （１） 案例 个人：购物；买房；择业．．．．．． 集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素 行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则 （3） 多目标决策有如下几个特点： 决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性； 定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。 2． 多目标决策问题的描述 决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间 })({X x x f F ∈= 两个例子： 离散型；连续型 3． 多目标决策问题的劣解与非劣解 非劣解的寻找连续型有时较难
4．多目标决策主要有以下几种方法： （１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题； （２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。 （３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。（ （４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。 （５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。 （６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。 （７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。 （８）多目标群决策和多目标模糊决策。 （９）字典序数法和多属性效用理论法等。 二、几种常见方法简介及应用 1．加性加权法 （1）基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立； 2.价值函数的形式是加性的。
第十五章多標準決策問題本章內容： 15.1 目標規劃:建立模式及圖解法 15.2 目標規劃:解更複雜的問題 15.3 計分模式 15.4 層級分析法 15.5 用AHP建立優先權 15.6 用AHP建立整體優先順序
線性規劃的基本假設： 1.可加性(Additivity)：目標函數或限制式變數之衡量單位必須相同，如此才能相加減 2.比例性(Proportionality)：就限制式而言，每單位產出所需之資源投入數均為固定，一定倍數的投入可以得到相同倍數的產出 3.確定性(Determinitic)：目標函數係數及限制條件中之技術系數以及擁有資源數量等均為已知且確定的數字，而不含
任何機率分配 4.可分割性(Divisibility)：線性規劃模型解答不一定是整數，可以是任意實數 ▓15.1 目標規劃：建立模型及圖解法 例： 尼可投資顧問公司考慮某顧客有80,000元要投資，投資組合限於以下兩種股票： 美國石油$25 $3 0.50
休伯不動產 50 5 0.25 這個顧客第一目標是風險最高水準為700，第二目標是要年回收至少9,000元，試以目標規劃找出最接近滿足所有目標的投資組合。 根據優先順序的說明，本例題“目標”可表示如下：主要目標（優先等級1） 目標1：找一個投資組合，它的風險在700以下。 次要目標（優先等級2） 目標2：找一個投資組合，它所提供的年回收至少9,000元。 建立限制式及目標方程式 1.先決定決策變數 X1＝購買美國石油股的數目 X2＝購買休柏不動產股的數目
2.建立限制條件 25X 1＋50X 2≦80,000（可用資金） 3.建立目標方程式 （1）目標1之目標方程式(組合風險)： 風險指標可小於等於或大於目標值700，目標方程式如下： 0.5X 1＋0.25X 2－d 1+ ＋d 1- ＝700 d 1+ ＝組合風險指標超過目標值700的部份 d 1- ＝組合風險指標少於目標值700 的部份 （2）目標2之目標方程式(年回收)： 年收入指標可大於等於或小於目標值9000，目標方程式如下： 9000532221=+-+- +d d x x
多目标决策理论及应用作业
1.1 多目标决策方法发展及的国内外研究现状 1.1.1 多目标决策理论发展 综合评价是多目标决策理论研究的重要内容，由于其在工程系统和社会、经济、管理等各个领域的普遍存在性，因而在社会经济的各个领域得到极为广泛的应用，如投资决策、项目评估、方案选优、工厂选址、产业部门发展排序和经济效益综合评价等等。 多目标决策问题是对具有多个目标的有限方案进行排序与优选的问题。人们常常要对有限个方案集的备选方案进行综合评价，比如在水利水电工程建设的过程中，要进行施工导流，由于导流方案直接影响着施工导流工程的规模、主体工程施工安全、施工总工期及工程投资，因此，要考虑工程所在河段的地形、地质条件、河流水文特性等自然因素和主体工程枢纽布置特点、施工导流方式选择要求、施工工期限制条件、施工技术力量、施工设备及物资、资金等等。众多工程因素，确定一个合理的导流方案，可见，多目标决策作为一个工具在解决工程技术经济管理、军事和系统工程等众多方面的问题也越来越显示出它的强大生命力。但是多目标决策作为一门学科，还是在近五十多年来才真正形成为一门完整独立的的科学体系。最早是在1896年，V.Pareto 提出的向量优化的概念涉及到了多目标概念，他从经济学的角度把本质上不可比较的多个目标化成单个目标进行优化求解，即现在使用的Pareto 最优概念。直到1944 年，多目标决策的理论和方法才逐步发展起来，J.v.Neumaee 和0.Morgenstem 从对策论角度提出了彼此矛盾情况下的多目标决策问题，标志着近代意义
上多目标决策的诞生。1951年，美国经济学家Koopmans从有限资源的合理分配与使用问题中提出了多目标决策问题，首次使用了有效向量的概念，这就是现代多目标决策非劣解概念。1961年，Chames 和CooPer 引入了目的规划法，其准则是使目标值和实际值两者之差的绝对值达到最小。1964年，Aumann对多目标决策问题提出了效用函数的概念。1968年，多目标学科自学者Johnson 系统地提出了多目标决策模型的研究报告以后开始迅速发展。到了二十世纪七十年代，1972 年第一次多目标决策会议在美国South Carolina大学召开，会议出版的论文集成为多目标决策研究的经典文献；1976年，R.L.Keeny 和H.Raifats对发展多属性效用理论做了很大贡献；与此同时，美国学者Satty提出了著名的层次分析(AHP)法，多目标决策技术的发展加快，为这一学科体系的建立打下坚实的基础。 1.1.2 多目标决策方法及其研究现状 多目标投资决策是目前决策活动中人们经常遇到的一类决策问题。方案决策结果的好坏，直接关系到各投资目标能否实现，也直接关系到方案实施的综合效益。目前多目标决策大多采用的方法为模糊数学法、目标规划法、AHP 法、属性评价、灰色理论等方法。从二十世纪九十年代开始，随着电脑技术的发展，研究人员又提出了基于人工智能技术、神经网络、遗传算法和粗集理论的决策方法。如1993年 C.M.Fonseca 在第五届国际遗传学会议上提出了基于遗传算法的多属性决策问题；YangJ.B.和WangJin等人提出了用证据推理理论来处理不确定性混合多属性决策问题的重要方法，即ER法；2002年，
1.多目标决策方法概述 1.1 多目标决策理论发展 综合评价是多目标决策理论研究的重要内容，由于其在工程系统和社会、经济、管理等各个领域的普遍存在性，因而在社会经济的各个领域得到极为广泛的应用，如投资决策、项目评估、方案选优、工厂选址、、产业部门发展排序、经济效益综合评价等等。 多目标决策问题是对具有多个目标的有限方案进行排序与优选的问题。人们常常要对有限个方案集的备选方案进行综合评价，比如在水利水电工程建设的过程中，要进行施工导流，由于导流方案直接影响着施工导流工程的规模、主体工程施工安全、施工总工期及工程投资，因此，要考虑工程所在河段的地形、地质条件、河流水文特性等自然因素和主体工程枢纽布置特点、施工导流方式选择要求、施工工期限制条件、施工技术力量、施工设备及物资、资金等等众多工程因素，确定一个合理的导流方案。可见，多目标决策作为一个工具在解决工程技术经济管理、军事和系统工程等众多方面的问题也越来越显示出它的强大生命力。但是多目标决策作为一门学科，还是在近五十多年来才真正形成为一门完整独立的的科学体系。最早是在1896年，V.Pareto 提出的向量优化的概念涉及到了多目标概念，他从经济学的角度把本质上不可比较的多个目标化成单个目标进行优化求解，即现在使用的Pareto最优概念。直到1944年，多目标决策的理论和方法才逐步发展起来，J. v. Neumaee和0.Morgenstem 从对策论角度提出了彼此矛盾情况下的多目标决策问题，标志着近代意义上多目标决策的诞生。1951年，美国经济学家Koopmans从有限资源的合理分配与使用问题中提出了多目标决策问题，首次使用了有效向量的概念，这就是现代多目标决策非劣解概念。1961年Chames 和CooPer引入了目的规划法，其准则是使目标值和实际值两者之差的绝对值达到最小。1964年，Aumann对多目标决策问题提出了效用函数的概念。1968年，多目标学科自学者Johnson 系统地提出了多目标决策模型的研究报告以后开始迅速发展。到了二十世纪七十年代，1972年第一次多目标决策会议在美国South Carolina大学召开，会议出版的论文集成为多目标决策研究的经典文献；1976年，R. L. Keeny和H. Raifats对发展多属性效用理论做了很大贡献；与此同时，美国学者Satty提出了著名的层次分析(AHP)法，多目标决策技术的发
第十七章 多目标决策法 基本内容 一、多目标决策概述 多目标决策:统计决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为多目标决策。多目标决策的方法有多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数法、模糊决策法等。 多目标决策的特点： 1、目标之间的不可公度性，即众多目标之间没有一个统一标准。 2、目标之间的矛盾性。某一目标的完善往往会损害其他目标的实现。 常用的多目标决策的目标体系分类：单层目标体系；树形多层目标体系；非树形多层目标体系。 多目标决策遵循的原则： 1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。 2、分析各目标重要性大小，分别赋予不同权数。 二、层次分析法 层次分析法，简称AHP 法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。 （一）层次分析的基本原理 层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。 层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。 （二）层次分析法的步骤 1、明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。 2、建立层次结构模型。将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。 2、通过对各层元素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。 3、由各层判断矩阵确定各层权重。用特征向量法中的和积法求解判断矩阵的最大特征值和归一化后的特征向量。 4、对各层判断矩阵的一致性进行检验。一致性检验通过后，按归一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要的排序加权值。否则，对判断矩阵进行调整。 5、层次加权得出各方案关于总目标的权重，最大权重的方案为最优方案。 （三）判断矩阵 以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵称为判断矩阵。判断矩阵是层次分析法的核心。 判断矩阵的元素ij a 具有三条性质： （1）1=ii a （2）ji ij a a /1= （3）kj ik ij a a a ?= 判断矩阵的元素ij a 可以利用决策者的知识和经验估计出来。由于决策者的估计并不精确，因此第三条性质不一定成立。 （四）由判断矩阵确定权重 可用特征向量法中的和积法对判断矩阵求最大特征值及所对应的特征向量。特征向量经