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多目标规划求解方法介绍
*
0 0
0
0
0
j0
0
S x f j ( x) f j
* j
^
S
^
j 1
, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x) f1 ( x),, f k ( x) 其中： 要求min； f k 1 ( x),, f p ( x) 要求max。 由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。 1. 功效系数法：针对各目标函数 ，用功效 f j ( x)( j 1,, p) 系数 表示（俗称“打分”）： d j d j ( f j ( x)) , j 1,, p 满足： d j 或 0 d j 1 0 d j 1 使最满意时 ，最不满意时（即最差时） 。 d j 1 dj 0 2. 常用的两种产生功效系数的方法： （1）线性型： min max min f ( x ) f , max f ( x ) f , j 1,2, , p j j j 设 xS j xS
解得：b0 f j1 ( f j0 f j1 ) , b1 1 ( f j0 f j1 ) (b1 0) 0 1 代入式(△)，得到功效系数： ( f1 j f j ( x )) ( f j f j ) d j e e 同理可得当
j 1,, k
时的功效系数：
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
0 0
0
0
0
j0
0
S x f j ( x) f j
* j
^
S
^
j 1
, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x) f1 ( x),, f k ( x) 其中： 要求min； f k 1 ( x),, f p ( x) 要求max。 由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。 1. 功效系数法：针对各目标函数 ，用功效 f j ( x)( j 1,, p) 系数 表示（俗称“打分”）： d j d j ( f j ( x)) , j 1,, p 满足： d j 或 0 d j 1 0 d j 1 使最满意时 ，最不满意时（即最差时） 。 d j 1 dj 0 2. 常用的两种产生功效系数的方法： （1）线性型： min max min f ( x ) f , max f ( x ) f , j 1,2, , p j j j 设 xS j xS
解得：b0 f j1 ( f j0 f j1 ) , b1 1 ( f j0 f j1 ) (b1 0) 0 1 代入式(△)，得到功效系数： ( f1 j f j ( x )) ( f j f j ) d j e e 同理可得当
j 1,, k
时的功效系数：
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
目标管理-多目标决策方法 精品
(x)
j 1
显然，对于不同s.的t. 权x 系X数，最优解x*(w)是不同的
，但是它们都是原多目标问题的非劣解，下面给出几组
权系数及其对应的最优解（表1）.
5
表1 线性加权法的最优解
序
w=(w1,w2,w3)
1
(1, 0, 0)
2
(0, 1, 0)
3
(0, 0, 1)
4
(1/3, 1/3, 1/3)
按统计方法进行比较，例如利用假设检验的方法来确定不同方案
的优劣。
11
1.5 变动权系数法
让线性加权和评价函数
U
x
P
w
j
f
j
x
中的各权系数
j 1
wj(1jp)按一定规则变动，再求解问题（P1），就能
得到多目标决策问题（P0）的全部非劣解。
[例3] 求解双目标决策问题：
min Fx x 2 , 2 x
目标函数，就能得到P2个值。
fk0
f
* k
min
xX
fk (x)
fk (xk )
(k
1,2, ), P)
fkj f j (xk ) ( j k, j 1,2,P) 然后，作线性方程组 jp1 w j f kj k 1, 2, 3, P
jP1 w j 1
其中是待定常数，由此可以解出权系数 wj 1, 2, 3, , P
f1* ,
f
1 2
]
F(x2 ) [ f1 (x2 ), f 2 (x2 )] [ f12 , f1* ]
15
目标空间中的几何图形见图3.3所示。
图3.3 法几何说明
16
记理想点
常用决策分析方法（基本方法）
常用决策分析方法（基本方法）上一节我们说了决策分析的基本概念，这一节我们谈谈决策分析常用的三种方法：决策树法、Bayes方法、Markov方法。
决策树法决策树法（decision tree-based method）：是通过确定一系列的条件（if-then）逻辑关系，形成一套分层规则，将所有可能发生的结局的概率分布用树形图来表达，生成决策树（decision tree），从而达到对研究对象进行精确预测或正确分类的目的。
树的扩展是基于多维的指标函数，在医学领域主要用于辅助临床诊断及卫生资源配置等方面。
决策树分类：•按功能分：分类树和和回归树•按决策变量个数：单变量树和多变量树•按划分后得到分类项树：二项分类树和多项分类树决策树的3类基本节点：1.决策节点（用□表示）2.机会节点（用○表示）3.结局节点（用?表示）从决策节点引出一些射线，表示不同的备选方案，射线上方标出决策方案名称。
射线引导到下一步的决策节点、机会节点或结局节点。
从机会节点引出的线表示该节点可能出现的随机事件，事件名称标在射线上方，先验概率在下方。
每个结局节点代表一种可能的结局状态。
在结局节点的右侧标出各种状态的效用（utility），即决策者对于可能发生的各种结局的（利益或损失）感觉和反应，用量化值表示。
绘制决策树基本规则：1.各支路不能有交点2.每一种方案各种状态发生概率之和为1决策树分析法步骤：1 提出决策问题，明确决策目标2 建立决策树模型--决策树生长2.1决策指标的选择的两个步骤：2.1.1 提出所有分值规则2.1.2 选择最佳规则2.2 估计每个指标的先验概率3 确定各终点及计算综合指标3.1 各终点分配类别3.2 各终点期望效用值得确定3.3 综合指标的计算3.4 计算值排序选优树生长停止情况：1.子节点内只有一个个体2.子节点内所有观察对象决策变量的分布完全一致，不能再分3.达到规定标准一棵树按可能长到最大，通常是过度拟合（overfit）的。
多目标决策方法
多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１） 案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3） 多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。
有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2． 多目标决策问题的描述)}(),(),({21x f x f x f DR n0)(,0)(,0)(.21 x g x g x g TS p决策空间：}0)({ x g x X i 目标空间})({X x x f F两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８）多目标群决策和多目标模糊决策。
多目标决策分析方法研究
多目标决策分析方法研究在现代社会中，决策是一项非常重要的活动，尤其是管理决策，因为一个企业或者组织的命运往往取决于它的决策质量。
而多目标决策分析方法便是解决决策问题的一种有效途径。
下面我们从什么是多目标决策、多目标决策的困难性以及多目标决策分析方法等方面，进行详细介绍。
一、什么是多目标决策多目标决策是指在决策过程中需要考虑到多种目标，并且各个目标之间存在互相制约、互相牵连的情况。
这样的决策问题称为多目标决策问题。
个人的日常生活中，应对多目标决策也是很平常的，比如在选择购买电脑时，我们通常需要考虑电脑的性能、价格、质量等多个因素。
二、多目标决策的困难性多目标决策的困难性表现在以下几个方面：（1）目标的不确定性目标的不确定性指的是因为缺乏信息或者知识而难以确定目标的重要性和权重。
例如在企业经营过程中，知道了要实现利润最大化和客户满意度最大化两个目标，但却难以确定各目标的权重，因为这需要相关知识和信息支持。
（2）多目标之间的矛盾性多目标之间常常存在矛盾，即实现一个目标可能会与其他目标相互牵制。
如在城市规划过程中，建造高楼大厦可能会破坏原有的景观和生态环境，而保护生态环境则会限制城市发展。
（3）优化方案的多样性优化方案的多样性通常会涉及成千上万的变量，真正确定最佳方案需要耗费大量的时间和资源来进行决策分析。
三、多目标决策分析方法为了规避多目标决策的困难性，人们提出了很多的决策分析方法，其中最常用的方法是层次分析法、置信限域方法、熵权法、TOPSIS法等。
这些方法各具特色，可以根据具体的情况选用不同的方法进行决策分析。
层次分析法是一种结果定量化的决策分析方法，以目标可拆分为多个层级结构为特点。
首先，通过层次化分析，确定决策目标并划分各目标间的层级结构；然后在各层次结构内进行两两比较，建立成对比较矩阵，确定各个目标之间的权重关系；最后，计算各个层次的权重系数，得到综合权重最大的方案为最佳解。
置信限域方法是一种方法，采用代表样本进行目标范围分析，确定可选择方案的可靠度。
多目标决策方法
多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１） 案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3） 多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。
有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2． 多目标决策问题的描述)}(),(),({21x f x f x f DR n0)(,0)(,0)(.21≤≤≤x g x g x g TS p决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间})({X x x f F ∈=两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８）多目标群决策和多目标模糊决策。
多目标决策层次分析法介绍
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
由上表，可得成对比较矩阵
1
2 1
1
2 1 1
4 7 1
3
5 1
3
5 1
A 4 7
2 3
1
3 1
1
5 1
2 3
1 1
1
1
3 5
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。
问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。
例3 层次结构模型
目标层
合理选择科研课题A
准则层1 成果贡献B1
人才培养B2
课题可行性B3
财政支持 研究周期 难易程度
科学意义 应用价值
准则层2
c1
c2
方案层
课题D1
课题D2
c3
c4
c5
课题D3
假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、 费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
例3 择业
面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去 选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条 件等因素择业。
例4 科研课题的选择
由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依 据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素 进行选题。
m
a jbij
j 1
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A B
A1, A2 ,, Am
a1, a2 ,, am
B层的层次 总排序
由上表，可得成对比较矩阵
1
2 1
1
2 1 1
4 7 1
3
5 1
3
5 1
A 4 7
2 3
1
3 1
1
5 1
2 3
1 1
1
1
3 5
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。
问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。
例3 层次结构模型
目标层
合理选择科研课题A
准则层1 成果贡献B1
人才培养B2
课题可行性B3
财政支持 研究周期 难易程度
科学意义 应用价值
准则层2
c1
c2
方案层
课题D1
课题D2
c3
c4
c5
课题D3
假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、 费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
例3 择业
面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去 选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条 件等因素择业。
例4 科研课题的选择
由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依 据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素 进行选题。
m
a jbij
j 1
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A B
A1, A2 ,, Am
a1, a2 ,, am
B层的层次 总排序
多目标决策
多指标决策的特点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4. 指标之间的矛盾性。某一指标的完善往往会损害 其他指标的实现，即改进某一指标值可能会使其他指 标值变坏。 5. 定性指标和定量指标混合。 6. 方案与指标的关系可以明显地表示出来，例如， 表示成一个矩阵。
多指标决策的解
设一个决策问题，有两个效益型指标，分别是x1和 x2，有6个备选方案，可以用二维坐标图表示如下：
地理位置
0
职业前景
职业安全性
A公司 B公司
加权分值在雷达图中强调评判决策方案的标准差别，特 别是权重较大的标准。
多指标工作选择 指标 A公司 B公司 权重 工资 0.085 0.09 职业前景 0.285 0.21 职业安全性 0.24 0.38 地理位置 0.18 0.14 0.1975 0.205
决策指标权重的确定
通常，确定指标权重的方法可以分为以下三类： 3. 组合赋权法 由于主、客观赋权法各有利弊，实际应用中应该有 机结合。已有不少学者提出了综合主、客观赋权的组合
赋权法，主要有方差最大化赋权法、组合目标规划法、
但是，决策者可以预先规定一个满足原定目标的最低 要求，然后寻找满足这些最低要求的方案．这样就把决 策过程大大简化了.
例如，在一块面积很大的玉 米田里，如果要找一个最大最长 的玉米，就必须测定所有的玉米 之后，才能找到．但是如果把要 求改为寻找一个能使人吃饱肚子 的玉米，问题就大大简化了．只 要找一个比较大的玉米就能填饱 肚子
多指标决策（Multiple Attribute Decision making ，MADM），也称为多属性决策或有限方案的多目 标决策，是现代信息分析与决策科学中的一个重要 组成部分，在社会、经济、管理、医药卫生等诸多 领域有着广泛的应用。 在医药卫生领域，类似的问题有医疗机构/科室工 作评价、医疗方案选择、临床疗效比较等。 在解决这些问题时，往往要同时考虑多项指标，而 不是简单地由一两个指标来反映。
求解多目标决策常用的三种方法Read
1) 4.000000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
D4PLUS 4.000000 0.000000
X1
4.000000 0.000000
X2
12.000000 0.000000
D1MINUS 0.000000 0.800000
D1PLUS 6.000000 0.000000
1
d
1
10
x1
d
2
d
2
4
5 x1
3 x2
d
3
d
3
56
x1
x2
d
4
d
4
12
d
3
0
x1 ,
x
2
,
d
i
,
d
i
0,
i 1,2,3,4
求出最优目标值为z＝ 2d1++3d2+=12。
3. 只取第三优先级为目标函数，将上次求解结果 的目标值2d1++3d2+=12变为约束
min
z
d
4
缺点：难处在于如何寻到合理的权系数。 例如建设高速公路时，既希望减少开支又希望降低交 通伤亡事故，此时能否用金钱来衡量一个人的生命价 值呢？
2. 序列或优先级法：
序列或优先级法不是对每个目标加权，而是按照目标 的轻重缓急，将其分为不同等级再求解。
优点：避免了权系数的困扰，绝大多数决策者都能采 用，事实上他们在许多决策中也正是这样做的。 例如决定人员的提升时，许多单位是按其工作态度、 工作能力及对单位的有效价值等这样一个先后顺序来 进行评定的。
例1 利润最大化问题：
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知 有关数据如下表所示：
多目标决策方法
多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１） 案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．．（２） 要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3） 多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。
有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2． 多目标决策问题的描述)}(),(),({21x f x f x f DR n0)(,0)(,0)(.21≤≤≤x g x g x g TS p决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间})({X x x f F ∈=两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８） 多目标群决策和多目标模糊决策。
求解多目标决策常用的三种方法Read
需要极小化 的偏差变量
d＋
d－
d－＋d＋
例2 例1的目标规划模型：
1.原材料供应受严格限制 2x1 + x2 ≤11
硬约束
2.产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量
x1 ≤ x2
极小化
x1－x2 ＋ d1－－d1＋ ＝0
d1＋
3.充分利用设备有效台时，不加班
x1＋2x2 ＝ 10 极小化
x1＋2x2 ＋ d2－－d2＋ ＝10
要追求的目标值，在达到目标值时，允许发生正或负
的偏差
软约束
3 . 优先因子与权系数 4 .目标规划的目标函数
min z = f ( d＋, d－ )
三种基本形式：
目标类型
fi(x) ≤ bi fi(x) ≥ bi fi(x) ＝ bi
目标规划格式
fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi
x2 d1-
d1+
d2+
o
x1 d2-
d3+
d3-
最优解为黄色线段上任一点
一般来说，目标期望值可调整以适应实际情况。
三、目标规划的lindo求解
（以《运筹学》P107例5.(2)为例） 主要思想：化成单目标问题，多阶段求解
minzP1d来自3P2 (2d1
3d
2
)
P3d
4
x1 x2 d1 d1 10
1
d
1
10
x1
d
2
d
2
4
5 x1
3 x2
d
3
d
3
56
x1
x2
第17章 多目标决策分析方法3
(4) 确定实施方案: 依据各目标的属性值和决 策规则比较各可行方案，按优劣次序将方案排序， 确定出最佳的实施方案．
2020/8/12
数学建模方法及其应用（3）-- 韩中庚
5
一、多目标决策问题及模型
3、多目标决策问题的基本要素
多目标决策问题的五个基本要素：决策单元、 目标集、属性集、决策情况和决策规则．
•决策单元:制订决策的人（一个或一群人）； •目标:决策人对研究问题的“要求”或“愿望” ，通常有若干个不同的目标构成一个目标集； •属性:实现目标程度的一个度量,即每一个目标都 可设定一个或若干个属性,构成一个属性集； •决策情况:指决策问题的结构和决策环境； •决策规则:用于排列方案优劣次序的规则。
7
4、多目标决策问题的数学模型
一般多目标决策问题的数学模型为
DxRX [ f1(x), X {x R
f2
N
( |
x),, f gi (x)
n (x)] 0,i
1,2,,
m}
(2)
其中 DR（decision rule）表示决策规则。
模型的意义是运用决策规则 DR 依据属性 f1, f2 ,, fn 的值 在 X 中选择一个最好的方案．
可选择这个方案，即决策问题的解；否则可选择一个非劣的方案， 使能最好地满足决策人的要求．
求解多目标决策问题的非劣解，即求向量最优化问题
opt{ f1( x), f2 (x),, fn ( x)} (3)
x X
的解．
2020/8/12
数学建模方法及其应用（3）-- 韩中庚
9
4、多目标决策问题的数学模型
设某股份公司有 n 个股东，每个股东所持股份的
比例分别为 sk (k 1,2,, n) ．公司计划投入 M 万元
2020/8/12
数学建模方法及其应用（3）-- 韩中庚
5
一、多目标决策问题及模型
3、多目标决策问题的基本要素
多目标决策问题的五个基本要素：决策单元、 目标集、属性集、决策情况和决策规则．
•决策单元:制订决策的人（一个或一群人）； •目标:决策人对研究问题的“要求”或“愿望” ，通常有若干个不同的目标构成一个目标集； •属性:实现目标程度的一个度量,即每一个目标都 可设定一个或若干个属性,构成一个属性集； •决策情况:指决策问题的结构和决策环境； •决策规则:用于排列方案优劣次序的规则。
7
4、多目标决策问题的数学模型
一般多目标决策问题的数学模型为
DxRX [ f1(x), X {x R
f2
N
( |
x),, f gi (x)
n (x)] 0,i
1,2,,
m}
(2)
其中 DR（decision rule）表示决策规则。
模型的意义是运用决策规则 DR 依据属性 f1, f2 ,, fn 的值 在 X 中选择一个最好的方案．
可选择这个方案，即决策问题的解；否则可选择一个非劣的方案， 使能最好地满足决策人的要求．
求解多目标决策问题的非劣解，即求向量最优化问题
opt{ f1( x), f2 (x),, fn ( x)} (3)
x X
的解．
2020/8/12
数学建模方法及其应用（3）-- 韩中庚
9
4、多目标决策问题的数学模型
设某股份公司有 n 个股东，每个股东所持股份的
比例分别为 sk (k 1,2,, n) ．公司计划投入 M 万元
多目标决策方法讲义
n
w1 w2 M
wn
AW = nW
W是 A 的最大特征值的向量。
实际评价时，并不知道这权重向量
比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近 似的比值aij aij～wi/wj
得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A. A～ A 精确判断矩阵 A 的最大特征值的向量
W= (w1, w2, …,wn) T 是完全精确的权重向量
基本模型—单层次模型
1. 单层次模型结构
C
C—目标，
A1
Ai—隶属C的n个评价元素 决策者
A2
…… An
问题： 由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评价，对
他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
2. 思想： (1) 整体判断
n个元素的两两比较。
(2) 定性判断
定量表示（通过标量 ）
（3）通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重
DELPHI法使用要点
独立性，专家尽可能互不见面，防止心 理影响（权压，声压，从众行为） 统计处理 滤波技术
第二节 层次分析法
(Analytics Hierarchy Process, AHP)
一、简介 二、基本模型 三、基本步骤 四、应用案例
简介
层次分析法是由美国匹兹堡大学教授 T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思 想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素， 并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个 有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确 定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的 判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。 层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量 描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它 的应用几乎涉及任何科学领域。
多目标决策相关知识简介
多目标决策相关知识简介第13章多目标决策单目标决策问题前三章差不多进行了较为详细的探讨。
从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。
但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。
这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种专门复杂的结构体系，使得决策问题变得专门复杂。
国外一样认为，多目标优化问题最早是在19世纪末由意大利经济学家帕累托〔V.Pareto〕从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设法变换成一个单一的最优目标来进行求解。
到了20世纪40年代，冯诺曼等人由从计策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策问题。
1950年代初，考普曼〔T.C.koopmans〕从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问题，并引入了帕累托最优的概念。
1960年代初，菜恩思〔F.Charnes〕和考柏〔J.Cooper〕提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。
目标规划是线性规划的修正和进展，这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之间的偏差为最小。
1970年代中期，甘尼〔R.L.Keeney〕和拉发用比较完整的描述多属性效用理论来求解多目标决策问题。
1970年代末，萨蒂〔A.L.Saaty〕提出了阻碍广泛的AHP(the analytical hierarchy process)法，并在1980年代初纂写了有关AHP 法的专著。
自1970年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之显现。
总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，专门是在经济、治理、系统工程、操纵论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。
13.1 差不多概念多目标决策和单目标决策的全然区别在于目标的数量。
单目标决策，只要比较各待选方案的期望效用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。
例13.1房屋设计某单位打算建筑一栋家属楼，在差不多确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求依照以下5个目标综合选出最正确的设计方案：1）低造价〔每平方米造价不低于500元，不高于700元〕；2）抗震性能〔抗震能力不低于里氏5级不高于7级〕；3）建筑时刻〔越快越好〕；4）结构合理〔单元划分、生活设施及使用面积比例等〕；5）造型美观〔评判越高越好〕这三个方案的具体评判表如下。
第十七章多目标决策法
第十七章 多目标决策法基本内容一、多目标决策概述多目标决策:统计决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为多目标决策。
多目标决策的方法有多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数法、模糊决策法等。
多目标决策的特点：1、目标之间的不可公度性，即众多目标之间没有一个统一标准。
2、目标之间的矛盾性。
某一目标的完善往往会损害其他目标的实现。
常用的多目标决策的目标体系分类：单层目标体系；树形多层目标体系；非树形多层目标体系。
多目标决策遵循的原则：1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。
2、分析各目标重要性大小，分别赋予不同权数。
二、层次分析法层次分析法，简称AHP 法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。
（一）层次分析的基本原理层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。
层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。
（二）层次分析法的步骤1、明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。
2、建立层次结构模型。
将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。
2、通过对各层元素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。
3、由各层判断矩阵确定各层权重。
用特征向量法中的和积法求解判断矩阵的最大特征值和归一化后的特征向量。
4、对各层判断矩阵的一致性进行检验。
一致性检验通过后，按归一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要的排序加权值。
否则，对判断矩阵进行调整。
5、层次加权得出各方案关于总目标的权重，最大权重的方案为最优方案。
（三）判断矩阵以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵称为判断矩阵。
判断矩阵是层次分析法的核心。
判断矩阵的元素ij a 具有三条性质：（1）1=ii a （2）ji ij a a /1= （3）kjik ij a a a ⋅=判断矩阵的元素ij a 可以利用决策者的知识和经验估计出来。
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一、多目标规划问题的提出：
多目标问题是现实世界中普遍遇到的一类问题， 其中希望（或必须）考虑多个相互矛盾目标的影响。
例如证券投资问题中我们希望利润最大而风险最 小，生产销售问题中我们希望费用较少而获利很大， 等等。
单目标模型只需简单确定一个目标，而将其余的 列为约束；
在构建多目标模型时，则需要对问题有较深的理 解，必须考虑更全面——虽然费时较多，却非常有益， 更切合实际。
8 x1
10 x2
d
3
d
3
56
x1
,
x2
,
d
i
,
d
i
0,
i 1,2,3
【毕】
建模步骤小结：
反映决策者欲望， 如“利润最大”
1. 建立基础模型
配上期望值 的理想目标
2. 为每一个理想目标确定期望值
3. 对每一个现实目标和约束都加上正负偏差 变量
4. 将目标按其重要性划分优先级，第一优先 级为硬约束
5. 建立目标规划函数
二、目标规划的图解法：
x2 d1-
d1+
d2+
o
x1 d2-
d3+
d3-
最优解为黄色线段上任一点
一般来说，目标期望值可调整以适应实际情况。
三、目标规划的lindo求解
（以《运筹学》P107例5.(2)为例） 主要思想：化成单目标问题，多阶段求解
min
z
P1d
3
P2 (2d1
此时的决策是多目标决策问题——目标规划方 法是解决这类决策问题的方法之一。
与建立目标规划模型有关的概念：
1. 正、负偏差变量d+,d-
d+ : 决策值超过目标值的部分
d- ：决策值未达到目标值的部分
硬约束
恒有 d+×d-=0
2 . 绝对约束、目标约束
绝对约束：必须严格满足的等式或不等式约束
目标约束：目标规划所特有的约束，约束右端项看作
d
3
d
3
56
x1
x2
d
4
d
4
12
d
3
0
2
d
1
3
d
2
12
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0,
i 1,2,3,4
求解出最优目标值z=d4+=4，此时x1=4，x2=12。
此时lindo求解结果如下：
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 4.000000
缺点：难处在于如何寻到合理的权系数。 例如建设高速公路时，既希望减少开支又希望降低交 通伤亡事故，此时能否用金钱来衡量一个人的生命价 值呢？
2. 序列或优先级法：
序列或优先级法不是对每个目标加权，而是按照目标 的轻重缓急，将其分为不同等级再求解。
优点：避免了权系数的困扰，绝大多数决策者都能采 用，事实上他们在许多决策中也正是这样做的。 例如决定人员的提升时，许多单位是按其工作态度、 工作能力及对单位的有效价值等这样一个先后顺序来 进行评定的。
d2－＋d2＋
4.利润额不小于56元
8x1＋10x2 ≥ 56
极小化
8x1＋10x2＋d3－－d3＋ ＝56
d3－
综上可得目标规划模型
min
z
P1d
1
P2
(
d
2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2
11
x1
x2
d
1
d
1
0
x1
2 x2
d
2
d
2
10
例1 利润最大化问题：
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知 有关数据如下表所示：
Ⅰ Ⅱ 拥有量
原材料 kg
2
1
11
设备台时 hr 1
2
10
利润 元/件
8
10
试求获利最大的方案。
解：这是一个单目标规划问题，可用线性规划模 型表述为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目标函数 max z = 8x1+10x2
约束条件 2x1 + x2 ≤11
min
z
d
3
x1 x2 d1 d1 10
x1
d
2
d
2
4
5 x1
3 x2
d
3
d
3
56
x1
x2
d
4
d
4
12
x1 ,
x2
,
d
i
,
d
i
0,
i 1,2,3,4
注：在lindo中输入时，d3-可用d3minus表示， d3-可用d3plus表示。
求出最优目标值为z＝ d3- =0。
2. 只取第二优先级为目标函数，将上次求解结果
的目标值d3- =0变为约束
min
z
2
d
1
3
d
2
x1
x2
d
1
d
1
10
x1
d
2
d
2
4
5 x1
3 x2
d
3
d
3
56
x1
x2
d
4
d
4
12
d
3
需要极小化 的偏差变量
d＋
d－
d－＋d＋
例2 例1的目标规划模型：
1.原材料供应受严格限制 2x1 + x2 ≤11
硬约束
2.产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量
x1 ≤ x2
极小化
x1－x2 ＋ d1－－d1＋ ＝0
d1＋
3.充分利用设备有效台时，不加班
x1＋2x2 ＝ 10 极小化
x1＋2x2 ＋ d2－－d2＋ ＝10
D2PLUS 0.000000 0.000000
D3MINUS 0.000000 0.000000
D3PLUS 0.000000 0.600000
D4MINUS 0.000000 1.000000
3d
2
)
P3d
4
x1 x2 d1 d1 10
x1
d
2
d
2
4
5 x1
3 x2
d
3
d
3
56
x1
x2
d
4
d
4
12
x1
,
x2
,
d
i
,
d
i
0,
i 1,2,3,4
用lindo求解步骤：
1. 模型中约束不变，只取第一优先级为目标函数
10
x1 + 2x2 ≤ 10
8
6
x1 , x2 ≥ 0 4
8x1+10x2=c 2
x1 + 2x2 ≤ 10
1
2
3
4
5
6
可用图解法求得最优决策方案为： x1*=4, x2*=3, z*=62
2x1 + x2 ≤11
在实际决策时，还应考虑市场等一系列其他条件，如：
（1）市场调查发现：Ⅰ的销量有下降趋势，故应考虑 适当减少Ⅰ的产量增加Ⅱ的产量，使Ⅰ＜ Ⅱ （2）原材料的价格不断上涨，增加供应会使成本提高。 故不考虑再购买原材料。 （3）为提高效率，应充分利用设备，但不希望加班。 （4）市场虽发生变化，但利润应尽可能达到或超过56 元。
0
x1
,
x2
,
d
i
,
d
i
0,
i 1,2,3,4
求出最优目标值为z＝ 2d1++3d2+=12。
3. 只取第三优先级为目标函数，将上次求解结果 的目标值2d1++3d2+=12变为约束
min
z
d
4
x1
x2
d
1
d
1
10
x1
d
2
d
2
4
5 x1
3 x2
要追求的目标值，在达到目标值时，允许发生正或负
的偏差
软约束
3 . 优先因子与权系数 4 .目标规划的目标函数
min z = f ( d＋, d－ )
三种基本形式：
目标类型
fi(x) ≤ bi fi(x) ≥ bi fi(x) ＝ bi
目标规划格式
fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi
VARIABLE VALUE REDUCED COST
D4PLUS 4.000000 0.000000
多目标问题是现实世界中普遍遇到的一类问题， 其中希望（或必须）考虑多个相互矛盾目标的影响。
例如证券投资问题中我们希望利润最大而风险最 小，生产销售问题中我们希望费用较少而获利很大， 等等。
单目标模型只需简单确定一个目标，而将其余的 列为约束；
在构建多目标模型时，则需要对问题有较深的理 解，必须考虑更全面——虽然费时较多，却非常有益， 更切合实际。
8 x1
10 x2
d
3
d
3
56
x1
,
x2
,
d
i
,
d
i
0,
i 1,2,3
【毕】
建模步骤小结：
反映决策者欲望， 如“利润最大”
1. 建立基础模型
配上期望值 的理想目标
2. 为每一个理想目标确定期望值
3. 对每一个现实目标和约束都加上正负偏差 变量
4. 将目标按其重要性划分优先级，第一优先 级为硬约束
5. 建立目标规划函数
二、目标规划的图解法：
x2 d1-
d1+
d2+
o
x1 d2-
d3+
d3-
最优解为黄色线段上任一点
一般来说，目标期望值可调整以适应实际情况。
三、目标规划的lindo求解
（以《运筹学》P107例5.(2)为例） 主要思想：化成单目标问题，多阶段求解
min
z
P1d
3
P2 (2d1
此时的决策是多目标决策问题——目标规划方 法是解决这类决策问题的方法之一。
与建立目标规划模型有关的概念：
1. 正、负偏差变量d+,d-
d+ : 决策值超过目标值的部分
d- ：决策值未达到目标值的部分
硬约束
恒有 d+×d-=0
2 . 绝对约束、目标约束
绝对约束：必须严格满足的等式或不等式约束
目标约束：目标规划所特有的约束，约束右端项看作
d
3
d
3
56
x1
x2
d
4
d
4
12
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3
0
2
d
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3
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2
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x1
,
x
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,
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,
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0,
i 1,2,3,4
求解出最优目标值z=d4+=4，此时x1=4，x2=12。
此时lindo求解结果如下：
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 4.000000
缺点：难处在于如何寻到合理的权系数。 例如建设高速公路时，既希望减少开支又希望降低交 通伤亡事故，此时能否用金钱来衡量一个人的生命价 值呢？
2. 序列或优先级法：
序列或优先级法不是对每个目标加权，而是按照目标 的轻重缓急，将其分为不同等级再求解。
优点：避免了权系数的困扰，绝大多数决策者都能采 用，事实上他们在许多决策中也正是这样做的。 例如决定人员的提升时，许多单位是按其工作态度、 工作能力及对单位的有效价值等这样一个先后顺序来 进行评定的。
d2－＋d2＋
4.利润额不小于56元
8x1＋10x2 ≥ 56
极小化
8x1＋10x2＋d3－－d3＋ ＝56
d3－
综上可得目标规划模型
min
z
P1d
1
P2
(
d
2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2
11
x1
x2
d
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1
0
x1
2 x2
d
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2
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例1 利润最大化问题：
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知 有关数据如下表所示：
Ⅰ Ⅱ 拥有量
原材料 kg
2
1
11
设备台时 hr 1
2
10
利润 元/件
8
10
试求获利最大的方案。
解：这是一个单目标规划问题，可用线性规划模 型表述为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目标函数 max z = 8x1+10x2
约束条件 2x1 + x2 ≤11
min
z
d
3
x1 x2 d1 d1 10
x1
d
2
d
2
4
5 x1
3 x2
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x1 ,
x2
,
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i
,
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i
0,
i 1,2,3,4
注：在lindo中输入时，d3-可用d3minus表示， d3-可用d3plus表示。
求出最优目标值为z＝ d3- =0。
2. 只取第二优先级为目标函数，将上次求解结果
的目标值d3- =0变为约束
min
z
2
d
1
3
d
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x1
x2
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1
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x1
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x1
x2
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4
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4
12
d
3
需要极小化 的偏差变量
d＋
d－
d－＋d＋
例2 例1的目标规划模型：
1.原材料供应受严格限制 2x1 + x2 ≤11
硬约束
2.产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量
x1 ≤ x2
极小化
x1－x2 ＋ d1－－d1＋ ＝0
d1＋
3.充分利用设备有效台时，不加班
x1＋2x2 ＝ 10 极小化
x1＋2x2 ＋ d2－－d2＋ ＝10
D2PLUS 0.000000 0.000000
D3MINUS 0.000000 0.000000
D3PLUS 0.000000 0.600000
D4MINUS 0.000000 1.000000
3d
2
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P3d
4
x1 x2 d1 d1 10
x1
d
2
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4
5 x1
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x1
,
x2
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0,
i 1,2,3,4
用lindo求解步骤：
1. 模型中约束不变，只取第一优先级为目标函数
10
x1 + 2x2 ≤ 10
8
6
x1 , x2 ≥ 0 4
8x1+10x2=c 2
x1 + 2x2 ≤ 10
1
2
3
4
5
6
可用图解法求得最优决策方案为： x1*=4, x2*=3, z*=62
2x1 + x2 ≤11
在实际决策时，还应考虑市场等一系列其他条件，如：
（1）市场调查发现：Ⅰ的销量有下降趋势，故应考虑 适当减少Ⅰ的产量增加Ⅱ的产量，使Ⅰ＜ Ⅱ （2）原材料的价格不断上涨，增加供应会使成本提高。 故不考虑再购买原材料。 （3）为提高效率，应充分利用设备，但不希望加班。 （4）市场虽发生变化，但利润应尽可能达到或超过56 元。
0
x1
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i 1,2,3,4
求出最优目标值为z＝ 2d1++3d2+=12。
3. 只取第三优先级为目标函数，将上次求解结果 的目标值2d1++3d2+=12变为约束
min
z
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5 x1
3 x2
要追求的目标值，在达到目标值时，允许发生正或负
的偏差
软约束
3 . 优先因子与权系数 4 .目标规划的目标函数
min z = f ( d＋, d－ )
三种基本形式：
目标类型
fi(x) ≤ bi fi(x) ≥ bi fi(x) ＝ bi
目标规划格式
fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi
VARIABLE VALUE REDUCED COST
D4PLUS 4.000000 0.000000