多目标决策方法
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2-多目标决策分析方法
f i di d i f i (i 1,2,, K )
式中： i和 d i分别表示与 f i 相应的、与 f i* d 相比 的目标超过值和不足值，即正、负偏差变 量；pl 表示第l个优先级； lk 、 lk表示在同一优
先级 pl 中不同目标的正、负偏差变量的权系数。
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f jmin f j f jmax ( j 2,3,, k )
采用矩阵可记为
max(min) f1 ( X ) Z
Φ( X ) G
F1min F1 F1max
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值
数，假定有K个目标，L个优先级
(L K ) 目标规划模型的数学形式为
，
，
f i 同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系
min Z pl ( lk d k lk d k ) l 1 k 1
L
K
（2.18） （2.19） （2.20）
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
2
多目标规划求解技术简介
效用最优化模型
罚款模型
约束模型 目标规划模型
为了求得多目标规划问题的非劣 解，常常需要将多目标规划问题转化 为单目标规划问题去处理。实现这种 转化，有如下几种建模方法：
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过 一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目 标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过 效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单 目标规划问题
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可 以给出一个可供选择的范围，则该目标就 可以作为约束条件而被排除出目标组，进 入约束条件组中。
式中： i和 d i分别表示与 f i 相应的、与 f i* d 相比 的目标超过值和不足值，即正、负偏差变 量；pl 表示第l个优先级； lk 、 lk表示在同一优
先级 pl 中不同目标的正、负偏差变量的权系数。
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f jmin f j f jmax ( j 2,3,, k )
采用矩阵可记为
max(min) f1 ( X ) Z
Φ( X ) G
F1min F1 F1max
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值
数，假定有K个目标，L个优先级
(L K ) 目标规划模型的数学形式为
，
，
f i 同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系
min Z pl ( lk d k lk d k ) l 1 k 1
L
K
（2.18） （2.19） （2.20）
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
2
多目标规划求解技术简介
效用最优化模型
罚款模型
约束模型 目标规划模型
为了求得多目标规划问题的非劣 解，常常需要将多目标规划问题转化 为单目标规划问题去处理。实现这种 转化，有如下几种建模方法：
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过 一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目 标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过 效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单 目标规划问题
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可 以给出一个可供选择的范围，则该目标就 可以作为约束条件而被排除出目标组，进 入约束条件组中。
多目标决策分析决策理论与方法课件
况对方案进行调整和优化。
反馈与改进
根据实施结果和监控数据，对多 目标决策分析过程进行反馈和改
进，提高决策质量。
04
多目标决策分析的案例研究
案例一：企业投资决策分析
总结词
企业投资决策是一个多目标问题，涉及到风险、收益、市场 等多个方面。
详细描述
企业在进行投资决策时，需要综合考虑多个目标，如风险控 制、收益最大化、市场份额扩大等。多目标决策分析方法可 以帮助企业权衡不同目标之间的矛盾，制定出最• 多目标决策分析概述 • 多目标决策分析的基本方法 • 多目标决策分析的步骤与流程 • 多目标决策分析的案例研究 • 多目标决策分析的挑战与展望
01
多目标决策分析概述
定义与特点
定义
多目标决策分析是指在多个相互 冲突或竞争的目标下进行决策的 方法。
特点
多目标决策分析考虑了多个目标 的权衡和取舍，旨在寻找满足所 有目标的最佳解决方案。
详细描述
环境保护方案评估需要综合考虑多个环境要素，如空气质量、水质量、土壤保护等。多目标决策分析方法可以帮 助评估者全面评估方案对环境的影响，为决策者提供科学的依据。
案例四：交通规划方案选择
总结词
交通规划需要考虑多个目标，如交通效率、交通安全、环保等。
详细描述
交通规划需要考虑多个目标，如提高交通效率、保障交通安全、减少环境污染等。多目标决策分析方 法可以帮助规划者权衡不同目标之间的矛盾，制定出最优的交通规划方案。
重要性及应用领域
重要性
多目标决策分析在现实世界中具有广 泛的应用，如企业管理、城市规划、 环境保护等。
应用领域
多目标决策分析广泛应用于金融、医 疗、军事、科研等领域。
多目标决策分析的历史与发展
反馈与改进
根据实施结果和监控数据，对多 目标决策分析过程进行反馈和改
进，提高决策质量。
04
多目标决策分析的案例研究
案例一：企业投资决策分析
总结词
企业投资决策是一个多目标问题，涉及到风险、收益、市场 等多个方面。
详细描述
企业在进行投资决策时，需要综合考虑多个目标，如风险控 制、收益最大化、市场份额扩大等。多目标决策分析方法可 以帮助企业权衡不同目标之间的矛盾，制定出最• 多目标决策分析概述 • 多目标决策分析的基本方法 • 多目标决策分析的步骤与流程 • 多目标决策分析的案例研究 • 多目标决策分析的挑战与展望
01
多目标决策分析概述
定义与特点
定义
多目标决策分析是指在多个相互 冲突或竞争的目标下进行决策的 方法。
特点
多目标决策分析考虑了多个目标 的权衡和取舍，旨在寻找满足所 有目标的最佳解决方案。
详细描述
环境保护方案评估需要综合考虑多个环境要素，如空气质量、水质量、土壤保护等。多目标决策分析方法可以帮 助评估者全面评估方案对环境的影响，为决策者提供科学的依据。
案例四：交通规划方案选择
总结词
交通规划需要考虑多个目标，如交通效率、交通安全、环保等。
详细描述
交通规划需要考虑多个目标，如提高交通效率、保障交通安全、减少环境污染等。多目标决策分析方 法可以帮助规划者权衡不同目标之间的矛盾，制定出最优的交通规划方案。
重要性及应用领域
重要性
多目标决策分析在现实世界中具有广 泛的应用，如企业管理、城市规划、 环境保护等。
应用领域
多目标决策分析广泛应用于金融、医 疗、军事、科研等领域。
多目标决策分析的历史与发展
多目标决策的方法
多目标决策的方法
多目标决策的方法有以下几种：
1.加权平均法
将每个目标的重要性以权重的形式表达，通过求加权平均数来选择最优方案。
2.熵权法
通过熵的概念，确定每个指标的权重来进行决策。
3.层次分析法
对多个目标进行层次化，确定目标层次之间的关系，并根据重要性对每个层次所涉及的目标进行权重分配，最终选择最优方案。
4.电子表格法
将多个目标以及相应的权重列出，通过电子表格进行计算，根据计算结果确定最优方案。
5.支持向量机
利用支持向量机来处理多个目标之间的较为复杂的关系，从而选择最优方案。
目标规划模型
目标规划模型目标规划是一种多目标决策方法，旨在寻找一个可行的目标向量，这个向量最好满足一组优先级排序的目标。
目标规划模型可以用来解决多目标决策问题。
目标规划模型通常包括以下几个要素：决策者的目标向量、决策变量、约束条件和目标函数。
决策者的目标向量是指决策者对决策问题中各个目标的优先级排序。
在目标规划模型中，通常将目标向量表示为一个具有多个元素的向量，每个元素表示各个目标的权重。
决策变量是可以被决策者调整的变量，在目标规划模型中，在决策变量的取值范围内寻找一个可行的解。
决策变量的具体取值将影响各个目标的实现程度。
约束条件是对决策变量的限制条件。
这些限制条件可能是由于资源有限，或由于业务规则等原因导致的。
约束条件是确保决策方案可行和符合实际情况的必要条件。
目标函数是目标规划模型的核心部分。
目标函数是一个由决策变量和目标向量构成的函数，表示决策方案对各个目标的实现程度。
目标函数的含义是在满足约束条件的前提下，最大化或最小化目标向量中的各个元素。
目标规划模型的解决方法通常有两种：基于罚函数的解法和基于切比雪夫距离的解法。
基于罚函数的解法通过引入罚函数，将目标规划问题转化为单目标规划问题，然后使用传统的单目标规划方法求解。
基于切比雪夫距离的解法则通过计算决策方案与目标向量之间的切比雪夫距离，将目标规划问题转化为一个单目标规划问题。
目标规划模型的求解过程通常包括以下几个步骤：确定决策变量、建立目标函数、建立约束条件、确定目标权重、求解目标规划模型。
目标规划模型具有以下几个优点：可以考虑多个目标，能够灵活地适应不同的决策需求；可以根据决策者的需求制定不同的目标权重，不受固定的优先级限制；可以通过引入不同的解决方法，得到不同的结果，提供更多的选择。
总之，目标规划模型是一种多目标决策方法，可以用于解决多目标决策问题。
它通过优化决策方案和目标向量之间的关系，寻找一个满足决策者需求的最优解。
目标规划模型具有灵活性和鲁棒性等优点，是现代决策科学中的重要工具之一。
强化学习多目标决策与控制方法
强化学习多目标决策与控制方法强化学习是一种基于试错的机器学习方法，其通过智能体与环境之间的交互学习，从而使其在面临类似任务时能够自主作出决策和控制行为。
在多目标决策与控制问题中，强化学习可以帮助我们在面对多个目标或者多个约束条件时，找到最优的决策策略。
本文将介绍强化学习在多目标决策与控制方法中的应用。
一、多目标决策问题的定义多目标决策问题是指在面临多个相互矛盾的目标时，需要从可行解空间中找到一组最优的解决方案。
在实际问题中，我们常常需要考虑多个目标之间的权衡和平衡。
例如，在交通管制系统中，我们需要同时考虑车辆的通行效率和路口的交通安全。
为了找到最优的解决方案，我们可以使用强化学习进行多目标决策与控制。
二、多目标强化学习算法传统的强化学习算法通常只考虑单一目标，在多目标决策问题中无法直接应用。
为了解决这个问题，研究人员提出了多目标强化学习算法，其中最常用的方法是基于Q-value的多目标强化学习算法。
基于Q-value的多目标强化学习算法扩展了传统的Q-learning算法，引入了一个额外的目标向量，用于表示每个状态-动作对的多个目标值。
具体来说，我们定义一个目标向量，包含每个目标函数的权重。
然后，我们通过最小化目标向量和当前状态-动作对的Q-value之间的距离来更新Q-value。
这样，我们可以在不同的目标函数之间找到最优的权衡。
三、多目标决策与控制应用案例以下是一个多目标决策与控制的应用案例，以说明强化学习在解决多目标问题上的优势。
假设我们有一个机器人需要在一个复杂的环境中完成多个任务。
这些任务包括清理垃圾、洗碗和打扫地板。
我们希望机器人能够快速高效地完成这些任务，并且在操作过程中保证安全。
使用传统的单目标强化学习算法，我们只能优化其中一个任务的性能，无法考虑到其他目标。
然而，使用多目标强化学习算法，我们可以在保证安全的前提下，找到一组最优策略，使机器人在清理垃圾、洗碗和打扫地板之间进行权衡，从而提高整体任务的效率。
多目标决策方法
所以这个例子的非劣解集是X*=[0，2]。
但是，变动权系数法对于较大的n和p,以及复杂的分量函数，求解是 很困难的，怎样不断变动权系数还是一个问题。
2 确定加权系数的方法
2.1 法
考虑多目标数学规划问题：
min F (x) s.t.x X
[
f1 (x),
f 2 (x), ,
f p (x)]
( p 2)
s.t. 2 x 2
作评价函数 U x wx2 1 w2 x
求解
min U x
s.t. 2 x 2
令 dU (x) 0 ，得 2wx (1 w) 0
dx
最优解为： x * (w) 1 w
2w
当w从1变动到5，x*由0变到2，
0 w 1
当w从1/5变动到0，x*由2变到+∞，但是这些解不可行，不予考虑。
…
w1p
w1
w2
…
wj
…
wp
在对在均值偏差太大的权系数进行适当协商和调整之后，求
出各个权系数wj的平均值：
wj
1 l
k 1
wkj
然后构造统计加权和评价函数:
U x
P
wj
f
j
x
j 1
因为这时把权系数wj看成是一个随机数，因此在比较两个方
案x1和x2的优劣时，不能直接比较 U x1 和 U x2 的大小，而只能
fi(x),[(1≤j≤p)具有相同的度量单位，那就可以按照一定的规
则加权后，再按某种方式求和，构成评价函数。然后，再对评价
函数求单目标极小化。对于权系数的不同处理和求和方式的不同
，可有下列不同方法。
1.1 线性加权和法
分别给多目标函数F(x)的第j个分量fj(x)赋以权
层次分析法--多目标决策
多目标决策
单目标与多目标决策
• 决策的标准根据一个指标来决定，这样的 决策称为单目标决策，例如，是否兼并一 家公司，决策的依据是这家公司的净资产； 是否投资某一个项目，决策的依据是这个 项目的投资回报指标；
• 许多决策方法都是建立在单目标决策的基 础上的，例如线性规划模型就是，典型的 单目标决策模型
多目标决策的线性加权法
• 解决多目标决策问题的一种常用方法是将 多目标分解为单目标问题，然后线性加权 求和的方法。 • 例子11.1 商品住宅选择问题。有三套住宅 可供选择，选择的目标包括面积、单价、 朝向、地段和楼层五个因素宅选择的多目标决策问题
面积(平 方米） 住宅A 住宅B 200 180 单价（元 朝向 /平方米） 4800 南 5500 西
商品住宅选择的多目标决策问题
• 为了将五个指标转化为一个目标，需要确 定各目标对决策者的重要性，即各目标的 权重。然后用相应的权重对各指标的归一 化值进行线性加权求和。
• 根据决策者对五个目标的偏好，设定目标 重要性由大到小依次排列为：单价》面积》 地段》朝向》楼层。设五个目标的权重为
1、2、3、4、5、其中1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0.
一、建立层次结构模型
将所包含的因素分组设层，并标明各层因素之间的关系， 如对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。
目标层A
目标A
准则层C
准则C1
准则C2
准则C3
方案层P
方案P1
方案P2
方案P3
方案P4
方案P5
12
二、基本思路
先分解后综合的系统思想： 首先将所要分析的问题层次化：根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成 不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按不同层次聚集组合，形成 一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层 （总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。 分解
单目标与多目标决策
• 决策的标准根据一个指标来决定，这样的 决策称为单目标决策，例如，是否兼并一 家公司，决策的依据是这家公司的净资产； 是否投资某一个项目，决策的依据是这个 项目的投资回报指标；
• 许多决策方法都是建立在单目标决策的基 础上的，例如线性规划模型就是，典型的 单目标决策模型
多目标决策的线性加权法
• 解决多目标决策问题的一种常用方法是将 多目标分解为单目标问题，然后线性加权 求和的方法。 • 例子11.1 商品住宅选择问题。有三套住宅 可供选择，选择的目标包括面积、单价、 朝向、地段和楼层五个因素宅选择的多目标决策问题
面积(平 方米） 住宅A 住宅B 200 180 单价（元 朝向 /平方米） 4800 南 5500 西
商品住宅选择的多目标决策问题
• 为了将五个指标转化为一个目标，需要确 定各目标对决策者的重要性，即各目标的 权重。然后用相应的权重对各指标的归一 化值进行线性加权求和。
• 根据决策者对五个目标的偏好，设定目标 重要性由大到小依次排列为：单价》面积》 地段》朝向》楼层。设五个目标的权重为
1、2、3、4、5、其中1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0.
一、建立层次结构模型
将所包含的因素分组设层，并标明各层因素之间的关系， 如对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。
目标层A
目标A
准则层C
准则C1
准则C2
准则C3
方案层P
方案P1
方案P2
方案P3
方案P4
方案P5
12
二、基本思路
先分解后综合的系统思想： 首先将所要分析的问题层次化：根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成 不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按不同层次聚集组合，形成 一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层 （总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。 分解
分层法的适用条件
分层法的适用条件
分层法又称为层次分析法，是一种多目标决策方法。
该方法将一个复杂的多目标决策
问题分解成若干个相对独立的层次，逐层递进地进行分析，最后利用数学方法综合各层的
分析结果，得出最终决策方案。
分层法适用于以下条件：
1、多目标决策问题
分层法适用于存在多个决策目标的问题，这些目标可能存在着相互矛盾或者互不关联。
分层法能够将多个目标综合考虑，得到一个相对综合的决策方案。
2、层次结构清晰
分层法适用于问题结构相对清晰和明确的问题，即问题能够分解成若干个相对独立的
层次，并且各层次之间具有相对的关联性。
如果问题结构模糊或复杂，分层法的效果可能
会有所降低。
3、决策者权重判断准确
在分层法中，每一层的因素和指标都需要被赋予权重，这些权重反映了决策者对各因
素和指标的重视程度。
如果决策者权重判断不准确，那么得到的综合决策方案可能会出现
偏差。
4、数据量充足
分层法需要大量的数据支持，这些数据包括各层次的因素和指标数据以及决策者权重
数据等。
如果数据量不足或者数据质量不高，那么分层法的效果可能会受到影响。
5、方法实现操作简便
分层法需要使用专业的软件工具进行计算和分析，如果软件工具难以操作或者计算过
于繁琐，那么该方法在实际应用中很难大规模推广。
综上所述，分层法适用于多目标决策问题，要求问题结构清晰，决策者权重判断准确，数据量充足且方法实现操作简便。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的决策方法，以便得到更为准确和可行的决策方案。
机械设计中的多目标优化与决策方法
机械设计中的多目标优化与决策方法在机械设计领域，为了满足不断变化和日益复杂的市场需求，提高产品的性能、质量和降低成本等多方面的要求，多目标优化与决策方法逐渐成为了至关重要的工具。
这些方法能够帮助设计师在众多可能的设计方案中，找到最理想的解决方案，实现多个相互冲突的目标之间的平衡。
多目标优化问题的特点在于需要同时考虑多个目标函数，这些目标往往相互制约、相互影响。
例如，在设计一款汽车发动机时，既要追求更高的功率输出，又要降低燃油消耗，同时还要减少尾气排放和降低噪声。
这些目标之间并非完全独立，提高功率可能会导致燃油消耗增加，而降低噪声又可能会增加成本。
因此，多目标优化的关键在于找到一组最优的设计变量，使得各个目标函数都能达到相对满意的水平。
在解决多目标优化问题时，常用的方法包括加权法、目标规划法和Pareto 最优解方法等。
加权法是将多个目标函数通过赋予不同的权重转化为一个综合的目标函数，然后进行优化求解。
这种方法的优点是简单直观，但权重的确定往往具有一定的主观性，可能会影响最终的优化结果。
目标规划法则是通过设定各个目标的期望水平和偏差范围，将多目标问题转化为一个目标与期望水平偏差最小的规划问题。
这种方法能够较好地处理目标之间的优先级关系，但对于复杂的多目标问题，可能会出现计算量过大的问题。
Pareto 最优解方法是目前多目标优化中应用较为广泛的一种方法。
Pareto 最优解是指在一组解中，不存在任何一个解在不降低其他目标函数值的情况下，能够使得某一个目标函数值得到进一步的改善。
通过寻找 Pareto 最优解集，设计师可以根据实际需求从众多非劣解中选择一个最满意的解。
这种方法能够充分考虑多个目标之间的权衡关系，为设计师提供更多的选择。
然而，仅仅得到多目标优化的解集还不够，还需要进行决策以确定最终的设计方案。
决策过程需要综合考虑各种因素，如技术可行性、经济成本、市场需求和社会环境等。
常用的决策方法包括基于偏好的决策方法、基于多属性决策的方法和基于模糊理论的决策方法等。
多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型
2
程中常是定性的。 例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。 而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。 （S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。 以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。 三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因 而 Santy 等人提出：一致矩阵法 ．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 因素比较方法 —— 成对比较矩阵法： 目的是，要比较某一层 n 个因素 C1 , C 2 , , C n 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解 中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性） 。 採用的方法是：每次取两个因素 C i 和 C j 比较其对目标因素 O 的影响，并用 aij 表示，全部 比较的结果用成对比较矩阵表示，即：
分析：
W1 W2 若重量向量 W 未知时， 则可由决策者对物体 M 1 , M 2 , , M n 之间两两相比关系， W n 主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使 A 矩阵（不一定有一致性）
为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 A ，并且此 A （不一致）在不一致 的容许范围内，再依据： A 的特征根或和特征向量 W 连续地依赖于矩阵的元素 aij ，即当 aij 离 一致性的要求不太远时， A 的特征根 i 和特征值（向量）W 与一致矩阵 A 的特征根 和特征向 量 W 也相差不大的道理：由特征向量 W 求权向量 W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致 性检查的方法。 问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 n （即必要条件） ，但用特征根来求特征向量 时， 应回答充分条件： 即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互 反矩阵 A 的最大特征根 max n 时， A 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 A 的特征根 和特征向量 W 连续逼近一致阵 A 的特征根 和特征向量 W 时，即： 由 lim k
程中常是定性的。 例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。 而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。 （S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。 以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。 三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因 而 Santy 等人提出：一致矩阵法 ．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 因素比较方法 —— 成对比较矩阵法： 目的是，要比较某一层 n 个因素 C1 , C 2 , , C n 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解 中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性） 。 採用的方法是：每次取两个因素 C i 和 C j 比较其对目标因素 O 的影响，并用 aij 表示，全部 比较的结果用成对比较矩阵表示，即：
分析：
W1 W2 若重量向量 W 未知时， 则可由决策者对物体 M 1 , M 2 , , M n 之间两两相比关系， W n 主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使 A 矩阵（不一定有一致性）
为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 A ，并且此 A （不一致）在不一致 的容许范围内，再依据： A 的特征根或和特征向量 W 连续地依赖于矩阵的元素 aij ，即当 aij 离 一致性的要求不太远时， A 的特征根 i 和特征值（向量）W 与一致矩阵 A 的特征根 和特征向 量 W 也相差不大的道理：由特征向量 W 求权向量 W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致 性检查的方法。 问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 n （即必要条件） ，但用特征根来求特征向量 时， 应回答充分条件： 即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互 反矩阵 A 的最大特征根 max n 时， A 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 A 的特征根 和特征向量 W 连续逼近一致阵 A 的特征根 和特征向量 W 时，即： 由 lim k
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多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１） 案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3） 多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。
有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2． 多目标决策问题的描述)}(),(),({21x f x f x f DR n0)(,0)(,0)(.21 x g x g x g TS p决策空间：}0)({ x g x X i 目标空间})({X x x f F两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８）多目标群决策和多目标模糊决策。
（９）字典序数法和多属性效用理论法等。
二、几种常见方法简介及应用1．加性加权法（1） 基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立； 2.价值函数的形式是加性的。
虽然价值函数很难确切描述，但决策者认为效用合成可用加性，另外，每个属性的价值函数是关于属性指标的线性函数。
（2） 符号说明：ij y :第i 个方案关于第j 个属性的取值；ij z :ij y 的规范值；j w :第j 个属性的权重；i v :第i 个方案的综合取值(3)加性加权模型：1max ii mv1ni j ijj v W Z1,......i m1,......j n（１）ij z 的规范算法：max max min ij ij ij ij ijY Y Z Y Y当为j 成本型时，min max min ij ij ij ij ijiiY Y Z Y Y 当j为效益型时，0,1ij Z ,当1ij Z 时，最优；0ij Z 时，最差。
规范后ij Z 是越大越优的。
Note :特殊问题的规范化值例子：人员招聘中对人的满意度的评价――――公务员的招聘（4）权重Wi 的求解 ――关键两种：一是直接由决策者给出；二是分析者根据决策者给的偏好信息用一定的方法导出。
由决策者对目标的成对比较，来导出属性目标的权重：成对比较矩阵 ij n n A aij a :第i 个目标相对于第j 个目标的重要性（按1-9比例标度赋值，这是根据心理学家的研究，认为人们区分信息等做的极限能力为7±2，标度1，3，5，7，9对应于两因素相比为同等重要，略微重要，比较重要，非常重要和绝对重要，而2，4，6，8表示两判断之间的中间状态对应的极度值） 成对比较矩阵性质：正互反性jia 1a ij，0W 0A max 且存在时，,n ；A 为一致阵0 i max ,n例1：143214134132312231214321A n 1)( A r 理论说明：二阶．三阶虽然由客观事物的复杂性以及人的认识的多样性，因而判断矩阵A 未必是一致阵。
但是仍要求A 有大体上的一致性。
也就是说一个判断矩阵如果是有效的就不应该出现诸如“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙比甲极端重要的逻辑谬误。
因此对A 需作检验，关于A 的一致性检验分如下几步： （1） 计算一致性指标max 1nCI n(２)(2)查找相应的平均一致性指标RI表1：1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的RI（３）计算一致性比例CRCICR RI(３) 如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。
利用上述成对比较矩阵，可采用和法，根法，特征根法，最小平方法来计算权重，具体方法如下：和法： 111n iji n j kjk a W n a 1,2,......i n ，11nii w（４）例 2131231321311A 1593.01 W 5889.02 W2578.03 W如果已求得各权重向量1w ，…wn ，则 max 也可由下式计算得到：111max nijjnj ia wn w(５)根法： 11111n nij j i n n n kj k j a W a1,2,......i n ，11ni Wi（６）1507.01 W 5753.02 W 2740.03 W 特征根法： max 0A I W 12,,......Tn W W W W11ni Wi 得 唯一正解 （７）0536.3max 1571.01 W 5936.02 W 2493.03 W 最小平方法: 211min nnij j i i j a w w11ni Wi （条件极值求得）（jiw wij a ） （８） 1735.01 W 6059.02 W 2206.03 W迭代法：131231321311A3131310ek k Ae e 12206.06176.01618.010e7500.07648.13677.02e2602.06122.01301.07500.07648.13677.08825.2120e ．．．．．． 注意：差异不大，可根据具体情况选择使用计算实例：控制仪器的购买某人拟购买一个控制仪器，现有四种产品可供选择。
每种产品的满意度用4个目标去衡量，即：可靠度，成本，外观和重量。
每个目标对应的属性值都可以量化。
每个方案即每个产品对应的属性值 用下表1所示的决策矩阵描述表示的1X ,2X ,3X ,和4X 分别代表4个产品。
在这4个目标中，可靠度和外观的值越大越好，成本和重量值越小越好。
试帮助该人确定这四种仪器的优势。
仪器购买的决策矩阵表1方案4X 的每个属性值都劣于方案1X 的每个属性值，故方案4X 是一劣解，将其从方案集中排除，则待选方案为 1X ,2X ,3X 。
对效益型属性1f ,3f 和成本型属性 2f ,4f 利用（3）和（2）将方案1X ,2X ,3X 的属性进行规范化处理，得：10100.50.50.510100.333Z设决策者偏好结构为如下的成对比较矩阵；124512122141211151211A（一致性检验不能少！） 采用（4）式（111n iji n j kjk a W n a ）计算得：10.5174W , 20.2446W ,30.1223W , 40.1157W最后计算得三个方案1X ,2X ,3X 的目标值i V 为：1ni j ij j V W Z 故10.6397V ,20.5579V ,30.2831V因此，四种产品的选择顺序为： 1234X X X X2 基于理想解的排序模型（目标规划法）（1）基本假设1. 属性描述用基数定量描述，且相互独立；2. 决策者偏好用权 （2）符号说明*j Z ：各属性规范化后的最优值，*x ：理想解，即*x 所对应的各属性值都是规范化后的最优值 i S ：第i 个方案与理想解的测度（2） 基于理想解的排序模型2*11min min ni jijji m ij S w ZZ（９）如果决策者不给出权或给出的各属性的权相同，可用如下模型计算：2*11min min ni ijji m ij S ZZ （10）注意：ij Y 的规范化可采用如下的方法：21ij mij i Y Z Y211mij i Z （11）理想解*x 的各个属性值 *1,2,......j Z j n 的确定可用如下方 法''1,2,3......,J J n J J U I应用——控制仪器的购买（内容如上）首先排除劣解X4，将各方案的各个属性利用（11）式规范化得：0.66740.65540.64620.70710.57210.57340.57440.35360.47460.49150.50260.5893Z因此得理想解*x 的各个属性分量为：0.66740.49150.64620.3536权重仍用加性加权模型的结果，即各个权重的属性分量为：0.51740.24460.12230.1157代入（９）式计算得：10.1464S ，20.0835S ，30.1672S即四种产品的选择顺序为：2134X X X X3 线性分配模型（1） 基本假设1. 属性描述采用序数形式，决策者的偏好仍用权来表示2. 对某一属性，不同方案允许并列，但最终排序不允许并列。
（2） 符号说明：ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称ijm nW W 为权矩阵。
在权矩阵中，如第k 行中对应L 列的元素最大，则方案i X 有最大的可能排在第L 列。
（3） 线性分配模型 例 已知决策矩阵如下：设权为：)3.0,1.0,1.0,3.0,2.0( W构造权矩阵：3.04.03.03.05.02.04.01.05.0W （行为方案，列为名次） ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称ijm nW W 为权矩阵。
在权矩阵中，如第k 行中对应L 列的元素最大，则方案i X 有最大的可能排在第L 列。
最优决策应使最终排序下权矩阵中对应的总权之和最大，由此可知，这是一个指派问题：11max m nij ij i i W P如存在某一属性下的两个方案并列，可将该属性拆分为两个子属性，并分别赋一半的权重。
控制仪器的购买算例首先，将决策矩阵转化为序数形式。
1f （可靠性）2f （成本） 3f （外观） 4f （重量）一 1X 3X 1X 2X 二 2X 2X 2X 3X 三 3X 1X 3X 1X 四4X4X4X4X确定各个目标的权重。
仍用模型加行加权模型的结果，即(0.57140.24460.12230.1157)T W属 性名次计算权矩阵12340.639700.363000.11570.8834000.24460.11570.639700001X X W X X第一 第二 第三 第四所以最优的排序结果为1234X X X X ，此时对应的指派问题的解为112233441P P P P ，其余0ij P4 层次分析法层次分析法（The Analytic Hierarchy Process 即AHP ） 是二十世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标决策评价法。