【成才之路】2020版高中数学 1-2-1同步练习 新人教B版选修2-2

第一章 1.4 第1课时一、选择题1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大小S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系不确定 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] 只有①正确．故选A.2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．(2014·太原模拟)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ∫2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛－22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求⎠⎛01x 3d x 的值．[解析] (1)分割0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n ＝1. (2)求和⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n . ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 ＝(n ＋1)24n 2.(3)取极限lim n →∞ (n ＋1)24n 2＝14lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14. ∴⎠⎛01x 3d x ＝14.。

(6)若 y＝logax(a>0，a≠1，x>0)，则 y′＝xl1na； (7)若 y＝lnx，则 y′＝1x； (8)若 y＝sinx，则 y′＝cosx； (9)若 y＝cosx，则 y′＝－sinx.
课堂典例探究
求导函数
求下列函数的导数． (1)y＝x3；(2)y＝x x；(3)y＝2sin2xcos2x；(4)y＝x12. [解题提示] 求函数的导数，首先搞清楚函数的结构，若 式子能化简则可先化简再求导．
[方法总结] (1)利用导数求曲线上某点处的切线方程的步 骤：①先求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，即切线斜率 k＝f′(x0)．②根据直线方程的点斜式得切线方程为 y－y0＝ f′(x0)(x－x0)．
(2)求过不在曲线上的点的切线方程的一般方法：先设出切 点的坐标，切点在曲线上，再利用导数的几何意义求解即可．
曲线 y＝cosx 在点 P(π3，12)处的切线的斜率为____________．
[答案]
－
3 2
[解析] ∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
∴y′|x＝π3＝－sinπ3＝－
3 2.
基本初等函数的导数公式总结如下： (1)若 y＝C，则 y′＝0； (2)若 y＝xn(n∈N)，则 y′＝nxn－1； (3)若 y＝xu(x>0，μ∈Q，μ≠0)，则 y′＝μxμ－1； (4)若 y＝ax(a>0，a≠1)，则 y′＝axlna； (5)若 y＝ex，则 y′＝ex；
答案：1.ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 函数的平均变化率 2．曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线斜率 y－y0＝ f′(x0)(x－x0)
1.常数函数的导数 常数函数 f(x)＝C 是导数 f′(x)＝(C)′＝0. 其几何意义可以理解为：曲线 f(x)＝C 在任意点处的切线与 x 轴平行或重合． 2．幂函数的导数 (1)函数 f(x)＝x 的导数 f′(x)＝1. (2)函数 f(x)＝x2 的导数为 f′(x)＝2x. (3)函数 f(x)＝1x的导数为 f′(x)＝－x12.

选修2-2 1.1.2一、选择题1．已知物体做自由落体运动的方程为s (t )＝12gt 2，若Δt →0时，s1＋Δt －s 1Δt无限趋近于9.8m/s ，则正确的说法是( )A ．9.8m/s 是物体在0～1s 这段时间内的速度B ．9.8m/s 是物体在1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8m/s 是物体在t ＝1s 这一时刻的速度D ．9.8m/s 是物体从1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 [答案] C[解析] 由瞬时速度的定义可知选C ，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念． 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 [答案] B[解析] 由导数的定义可知选B.3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．1 B.18 C.12 D.14 [答案] C[解析] Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，Δs Δt ＝12＋18Δt ，则s ′|t ＝2＝lim Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋18Δt ＝12.故选C.4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 [答案] A[解析] f ′(1)＝lim x →1f x －f 1x －1＝lim x →1a ＝a ＝2.故选A. 5．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0 f x 0－k －f x 02k等于( )A ．－1B ．－2C ．1 D.12 [答案] A [解析] lim k →0f x 0－k －f x 02k＝－12·lim k →0 f [x 0＋－k ]－f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－1.故选A.6．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C7．已知函数y ＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.448．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 [答案] B [解析] lim h →0 f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →02⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋h －f x 0－h 2h＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h＝2f ′(x 0)．9．一物体作直线运动，其运动方程为s (t )＝－3t 2＋t ，则该物体的初速度为( ) A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．1 [答案] D[解析] ∵Δs ＝－3(0＋Δt )2＋(0＋Δt )－(－3×02＋0) ＝－3(Δt )2＋Δt .Δs Δt ＝－3Δt ＋1.∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－3Δt ＋1)＝1. 10．设f (x )＝x ·(1＋|x |)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 [答案] B[解析] f ′(0)＝lim Δx →0f 0＋Δx －f 0Δx＝lim Δx →0 Δx 1＋|Δx |Δx＝lim Δt →0 (1＋|Δx |)＝1.故选B.11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________.lim x →x 0f x －f x 02x 0－x＝________.[答案] －11 －112[解析] lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；lim x →x 0f x －f x 02x 0－x ＝－12lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.12．已知函数y ＝x 3，当x ＝2时，lim Δx →0 Δy Δx ＝________. [答案] 12[解析] lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2＋Δx 3－23Δx＝lim Δx →0Δx3＋6Δx2＋12ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋12]＝12. 13．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－11＝Δx －1＋11＋Δx ＝Δx21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx1＋Δx， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δx1＋Δx＝0. 14．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. [答案] 1 [解析] lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 7t 0＋Δt 2－13t 0＋Δt ＋8－7t 20＋13t 0－8Δt＝lim Δt →07Δt 2＋14Δt ·t 0－13ΔtΔt＝lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0－13) ＝14t 0－13 令14t 0－13＝1， ∴t 0＝1. 三、解答题15．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t ＝1时的瞬时速度．[解析] (1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)质点在t ＝1时的瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(－6－3Δt )＝－6. 16．利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数． [解析] 因为Δy ＝x ＋Δx2＋1－x 2＋1＝x ＋Δx 2＋1－x 2－1x ＋Δx 2＋1＋x 2＋1 ＝2x Δx ＋Δx2x ＋Δx2＋1＋x 2＋1， 所以Δy Δx＝2x ＋Δxx ＋Δx2＋1＋x 2＋1.所以f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝2x x 2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 17．已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．[解析] 当t ＝1时，Δs ＝3(Δt ＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴Δs Δt＝3Δt ＋6，∴lim Δt →0 ΔsΔt ＝6， 即当t ＝1时的瞬时速度为6.当t ＝4时，Δs ＝29＋3(Δt ＋4－3)2－29－3(4－3)2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴ΔsΔt＝3Δt ＋6， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝6， 即当t ＝4时的瞬时速度为6.18．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)的x 0值． [解析] 由导数的定义可知f ′(x 0)＝lim Δx →0＝x 0＋Δx 2－x 2Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 3－x 3Δx＝3x 20，因为f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)，所以2x 0＋5＝3x 20， 即3x 20－2x 0－5＝0 解得：x 0＝－1或x 0＝53.。

阶段性测试题十(选修1－2综合能力检测) 时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )A．a＋1b>b＋1aB.ba>b＋1a＋1C．a＋1a>b＋1bD.2a＋ba＋2b>ab[答案] A[解析] 由a>b>0得1b>1a>0，两式相加得a＋1b>b＋1a.2．变量y与x之间的回归方程( )A．表示y与x之间的确定关系B．表示y与x之间的不确定关系C．反映y与x之间的真实关系D．反映y与x之间真实关系达到的最大限度的吻合[答案] D3．下列说法中，正确的是( )①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④ D．①③[答案] B[解析] ①回归方程只适用于我们所研究的样本和总体，故①错误．④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．4．已知数列{an }的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a 4，猜想an＝( )A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1[答案] B[解析] 当n＝2时，S2＝22·a2，a1＋a2＝4a2又∵a1＝1，∴a2＝13＝22×(2＋1)当n＝3时，S3＝9a3，∴a1＋a2＋a3＝9a3∴1＋13＋a3＝9a3，∴a3＝16＝23×(3＋1)当n＝4时，S4＝16a4，∴a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，∴a4＝110＝24×(4＋1)猜想an＝2n(n＋1).5．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( ) A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析] 由归纳推理可知D正确．6．复数z满足方程|z＋21＋i|＝4，那么复数z的对应点P组成的图形为( ) A．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆B．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆C．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆D．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆[答案] C[解析] |z＋21＋i|＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4，设－1＋i的对应点为C(－1,1)，则|PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆．7．(2020·浙江文，3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝( )A．1＋i B．－1＋iC．1－i D．－1－i[答案] A[解析] 本小题主要考查复数及其运算．∵z＝1＋i，∴2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝2(1－i)2＋2i＝1＋i.故选A.8．“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“b≠0”的( )A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．非必要非充分条件[答案] C[解析] 由复数的有关概念，复数为纯虚数的充要条件是实部为零而虚部不为0.9．使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)12(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立的常数a、b、c的值为( ) A．a＝3，b＝11，c＝10B．a＝2，b＝11，c＝10C．a＝3，b＝9，c＝10D．满足条件的a、b、c不存在[答案] A[解析] 由等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)12(an2＋bn＋c)对一切正整数n 都成立的常数a 、b 、c 一定满足n ＝1，n ＝2，n ＝3成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧1·22＝1×(1＋1)12(a ＋b ＋c)1·22＋2·32＝2(2＋1)12(4a ＋2b ＋c)1·22＋2·32＋3·(3＋1)2＝3(3＋1)12(9a ＋3b ＋c)，∴a＝3，b ＝11，c ＝10，故选A. 10．下述流程图输出d 的含义是( )A ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离B ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的平方 C ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离倒数D ．两条平行线间的距离 [答案] A[解析] 由流程图知d 表示点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离． 11．已知f(x)＝sin π3(x ＋1)－3cos π3(x ＋1)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝( )A ．2 3 B. 3 C ．1D ．0[答案] D[解析] ∵f(x)＝2sin π3x，∴f(x)的周期T＝6，∴原式＝335×(f(1)＋f(2)＋…＋f(6))＝0，故选D.12．某一算法流程图如图，输入x＝1的结果( )A.32B．0C．－112D．－92[答案] D[解析] 由流程图可得y＝12×1－5＝－92.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．观察下列等式：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，……猜想第n个式子为________．[答案] 1－22＋32＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)．14．设z ＝(4－3i)4(3－i)6(1－i)12，则|z|＝__________.[答案] 625[解析] ∵z＝(4－3i)4(3－i)6(1－i)12∴|z|＝|4－3i|4·|3－i|6|1－i|12＝54·26(2)12＝54＝625. 15．(2020·安徽文，12)程序框图(即算法流程图)如右图所示，其输出结果是________．[答案] 127[解析] 本题考查程序框图的基本知识．输入a ＝1，循环一次时，a ＝3，循环二次时，a ＝7，循环三次时，a ＝15，循环四次时，a ＝31，循环五次时，a ＝63，循环六次时，a ＝127，此时循环终止，输出127.16．有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法．②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．③通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^及其回归系数b ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势．④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题是________．[答案] ①②③三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)调查某桑场采桑员和辅助工关于桑毛虫皮炎发病情况结果如表：利用2×2认为两者有关系会犯错误的概率是多少？[解析] 因为a＝18，b＝12，c＝5，d＝78，所以a＋b＝30，c＋d＝83，a＋c＝23，b＋d＝90，n＝113.所以χ2＝n(ad－bc)3(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6>6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%.18．(本题满分12分)求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．[证明] ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，∴a2＋b2≥22|a＋b|≥22(a＋b)，同理b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(c＋a)，∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)．19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2、a 3、a 4.(2)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式． [解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1，所以{1a n －1}是等差数列． 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1， 所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的通项公式． 20．(本题满分12分)2020年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间位于192吨到3246吨，船员的人数从5人到32人，船员的人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果：船员人数＝9.1＋0.006×吨位．(1)假定两艘轮船相差1000吨，船员平均人数相差是多少？(2)对于最小的船估计的船员数为多少？对于最大的船估计的船员数是多少？[解析] (1)船员平均人数之差＝0.006×吨位之差＝0.006×1000＝6，∴船员平均相差6；(2)最小的船估计的船员数为9．1＋0.006×192＝9.1＋1.152＝10.252≈10(人)． 最大的船估计的船员数为9．1＋0.006×3246＝9.1＋19.476＝28.576≈28(人)．21．(本题满分12分)设i是虚数单位，f(x)＝ix.(1)求f(i)，f(f(i))，f(f(f(i)))，f(f(f(f(i))))；(2)求f(i)＋f(f(i))＋…＋的值．[解析] (1)由题意可知f(x)＝ix，∴f(i)＝i2＝－1，∴f(f(i))＝f(－1)＝－i，f(f(f(i)))＝f(－i)＝1，f(f(f(f(i))))＝f(1)＝i.(2)结合(1)可知＝f(i)＝－1，从而f(x)＝ix是周期为T＝4的周期函数，且f(i)＋f(f(i))＋f(f(f(i)))＋f(f(f(f(i))))＝－1－i＋1＋i＝0，又2020＝501×4＋3∴f(i)＋f(f(i))＋…＋＝f(i)＋f(f(i))＋f(f(f(i))) ＝－1＋(－i)＋1＝－i.22．(本题满分14分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1,1]，m＋n≠0时，有f(m)＋f(n)m＋n>0.(1)证明：f(x)在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f(x＋12)<f(1x－1)；(3)若f(x)≤t2－2at＋1对任意x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)任取－1≤x1<x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)＋f(－x2)x1－x2·(x1－x2)．因为－1≤x1<x2≤1，所以x1＋(－x2)≠0.由已知f(x 1)＋f(－x 2)x 1－x 2>0，又x 1－x 2<0，所以f(x 1)－f(x 2)<0， 即f(x)在[－1,1]上为增函数．(2)因为f(x)在[－1,1]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x＋12≤1－1≤1x －1≤1x ＋12<1x －1.解得{x|－32≤x <－1，x∈R}．(3)由(1)可知，f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1,1]，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t 2－2at ＋1对任意x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，需t 2－2at ＋1≥1成立，故t 2－2at≥0，记g(a)＝t 2－2at ，对a∈[－1,1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，所以⎩⎨⎧g(－1)≥0g(1)≥0，即⎩⎨⎧t 2＋2t≥0t 2－2t≥0.所以⎩⎨⎧t≥0或t≤－2t≥2或t≤0.所以t≥2或t≤－2或t ＝0.即实数t 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。