成才之路高中数学人教B选修练习： 第课时 演绎推理

第一章 1.4 第1课时一、选择题1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大小S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系不确定 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] 只有①正确．故选A.2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．(2014·太原模拟)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ∫2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛－22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求⎠⎛01x 3d x 的值．[解析] (1)分割0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n ＝1. (2)求和⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n . ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 ＝(n ＋1)24n 2.(3)取极限lim n →∞ (n ＋1)24n 2＝14lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14. ∴⎠⎛01x 3d x ＝14.。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 2.1 第2课时 演绎推理练习 新人教B 版选修1-2一、选择题1．(2021～2021学年度河南新野高二时期测试)下面几种推理进程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因此假设∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 D ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)·180°[答案] A[解析] 选项B 是类比推理，选项C 、D 是归纳推理，只有选项A 是演绎推理．2．以下说法中正确的选项是( )A ．演绎推理和合情推理都能够用于证明B ．合情推理不能用于证明C ．演绎推理不能用于证明D ．以上都不对[答案] B[解析] 合情推理不能用于证明．3．命题“有些有理数是无穷循环小数，整数是有理数，因此整数是无穷循环小数”是假命题，推理错误的缘故是( )A ．利用了归纳推理B ．利用了类比推理C ．利用了“三段论”，但大前提利用错误D ．利用了“三段论”，但小前提利用错误[答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提利用错误致使结论错误．4．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，因此y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是( )A ．大前提错致使结论错B ．小前提错致使结论错C ．推理形式错致使结论错D ．大前提和小前提都错致使结论错[答案] A[解析] 大前提y ＝log a x 是增函数不必然正确．因为a >1仍是0<a <1不能确信，因此选A.5．完全归纳推理是( )的推理( )A ．一样到个别B ．个别到一般C ．一样到一样D ．个别到个别[答案] B[解析] 完全归纳推理是个别到一样的推理．6．△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，那么△ABC 必然是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 [答案] C[解析] ∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos(A ＋B )>0，∴A ＋B 为锐角，即∠C 为钝角．二、填空题7．以下推理进程省略的大前提为：____________.因为a 2＋b 2≥2ab ，因此2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab .[答案] 若a ≥b ，那么a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：假设a ≥b ，那么a ＋c ≥b ＋c .8．关于函数f (x )＝2x x 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，假设f (x )的概念域为实数，那么a 的取值范围是________．[答案] 0<a <4 [解析] 要使f (x )概念域为R ，那么x 2＋ax ＋a ≠0，即Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.三、解答题9．求证：对任意不相等正实数a 、b ，有(a b)a －b >1. [证明] 当a >b >0时，有a b >1，a －b >0，由指数函数的单调性知(a b )a －b >(a b )0＝1，当b >a >0时，有0<a b<1， a －b <0，那么(a b)a －b >(a b )0＝1. 综上：(a b)a －b >1. 一、选择题1．三段论：“①雅安人必然顽强不屈；②雅安人是中国人；③所有的中国人都顽强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”别离是( )A ．③②B ．③①C ．①②D ．②③[答案] A[解析] 由三段论推理的概念可知大前提为③，小前提为②.2．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 大前提是矩形都是对角线相等的四边形．3．(2021～2021学年度灵宝高二检测)在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的进程中，有以下四个命题：①增函数的概念是大前提；②增函数的概念是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1知足增函数的概念是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1知足增函数的概念是小前提．其中正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ [答案] A[解析] 依照三段论特点，进程应为：大前提是增函数的概念；小前提是f (x )＝2x ＋1知足增函数的概念；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．二、填空题4．(2021·全国新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同窗被问到是不是去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：咱们三人去过同一城市；由此可判定乙去过的城市为________．[答案] A[解析] 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A 、C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A .5．△ABC 中，假设a 2b 2＝tan Atan B ，那么△ABC 的形状是________．[答案] 直角三角形或等腰三角形[解析] 由正弦定理得，a 2b 2＝sin2Asin 2B ＝tan A tan B ＝sin Acos Asin B cos B＝sin A ·cos B cos A ·sin A ，于是有sinAsin B ＝cos Bcos A即sin A ·cos A －sin B ·cos B ＝0，12(sin 2A －sin 2B )＝0，cos(A ＋B )·sin(A －B )＝0，因此有A ＋B ＝π2或A －B ＝0.6．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m ，n ∈N ＋都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确结论为________．[答案] (1)(2)(3)[解析] 由条件可知，因为f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，因此f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9.又因为f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，因此f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，因此f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确．三、解答题7．如图，△ABC 中，D 、E 、F 别离是BC 、CA 、AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥BA .求证ED ＝AF ，写出“三段论”形式的演绎推理．[解析] 大前提：同角相等，两直线平行∴前提：∠BFD ＝∠A结论：DF ∥EA .大前提：两组对边别离平行的四边形是平行四边形，小前提：DE ∥BA 且DF ∥EA ，结论：四边形AFDE 是平行四边形．大前提：平行四边形的对边相等，小前提：ED 和AF 为平行四边形的对边，结论：ED ＝AF .8．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．[分析] 此题要紧考查用“三段论”证明函数的单调性的方式，解决此类问题应先找出证明的大前提，然后在大前提下证明小前提知足大前提，从而得出结论．[证明] 对∀x 1、x 2∈I ，且x 1<x 2，假设f (x 1)<f (x 2)，那么y ＝f (x )在I 上是增函数．大前提设x 1、x 2是(－1，＋∞)上的任意两数，且x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1 ＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，∵a >1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0.又∵x 1>－1，x 2>－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．小前提∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．结论9．已知a 、b 、c 是全不为1的正数，x 、y 、z 为正实数，且有a x ＝b y ＝c z 和1x ＋1z ＝2y ，求证a ，b ，c 成等比数列．[证明] 令a x ＝b y ＝c z ＝k ，则x ＝log a k ，y ＝log b k ，z ＝log c k .∵1x ＋1z ＝2y， a 、b 、c 是全不为1的正数，∴1log a k ＋1log c k ＝2log b k ，∴lg a lg k ＋lg c lg k ＝2lg b lg k ， ∴lg a ＋lg c ＝lg b 2，∴b 2＝ac .∴a ，b ，c 成等比数列．。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 2.1 第1课时合情推理同步测试 新人教B版选修2-2一、选择题1．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝( ) A ．n B ．n 2 C ．n 3 D ．n ＋3－n[答案] B[解析] ∵a 1＝1，∴(a 2－1)2－2(a 2＋1)＋1＝0， ∴a 2(a 2－4)＝0，又a n ＋1>a n ，∴a 2＝4，同理a 3＝9. 猜想a n ＝n 2.应选B.2．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第100项的值是( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 [答案] B[解析] ∵1＋2＋3＋4＋5＋…＋13＝13×13＋12＝91，∴第100项的值是14.3．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③教室内有一把椅子坏了，那么该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④ [答案] C[解析] ①是合情推理中的类比法，排除D ；②是归纳推理，排除B ；④是归纳推理．应选C.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的一个表达式是( )A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案]C[解析]a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，应选C.5．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：假设概念在R上的函数f(x)知足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案]D[解析]此题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，表现了对学生观看能力，归纳归纳推理能力的考查．6．咱们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数量的点子能够排成一个正方形(如以下图)，那么第n－1个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案]C[解析]第n－1个正方形数的数量点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.应选C.7．依照给出的数塔猜想123456×9＋7等于( )1＋9×2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B8．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于底边的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一极点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方式正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3) D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方式都正确，需注意的是类比推理取得的结论是不是正确与类比推理方式是不是正确并非等价，方式正确结论也不必然正确．应选C.二、填空题9．假设三角形内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，那么三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，依照类比思想，假设四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，那么四面体的体积V ＝________.[答案]13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)[解析] 将球心与四面体连结，组成四个棱锥，棱锥底面积别离为S 1，S 2，S 3，S 4，高都是R ， ∴V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)．10．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n 个图有________个原子，有________个化学键．[答案] 4n ＋2 5n ＋1[解析] 图①中有6个原子，6个化学键；图②中增加了4个原子，5个化学键；图③中又增加了4个原子，5个化学键；设第n 个图中原子个数为a n ，化学键个数为b n ，则a n ＝6＋(n －1)×4＝4n ＋2，b n ＝6＋(n －1)×5＝5n ＋1. 11．(2021·陕西文，13)观看以劣等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析] 观看规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．三、解答题12．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d (n >m ，n ，m ∈N *)(2)假设m ＋n ＝p ＋q ，其中，m 、n 、p 、q ∈N *，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)假设m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N *，那么a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 组成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． [解析] 等比数列{b n }中，设公比为q ，前n 项和为S n . (1)a n ＝a m ·q n －m (n >m ，n ，m ∈N *)．(2)假设m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)假设m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，那么a 2p ＝a m ·a n. (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (各项均不为零)组成等比数列. 一、选择题1．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，那么猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cosθ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n[答案] B[解析] ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.应选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的以下哪些性质，你以为比较适当的是( )①各棱长相等，同一极点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一极点上的任两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共极点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．应选C.3．把3、六、10、1五、2一、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数量的点子能够排成一个正三角形(如以下图)，试求第六个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 [答案] B[解析] 观看归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个，∴第六个三角形数为7×7＋12＝28.应选B.4．(2021·华池一中期中)平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A.43a B.63aC.54a D.64a[答案]B[解析]将正三角形一边上的高32a类比到正四面体一个面上的高63a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方式类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题5．在平面上，假设两个正三角形的边长比为12，那么它们的面积比为1 4.类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长比为12，那么它们的体积比为________．[答案]18[解析]V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.6．(2021·三峡名校联盟联考)观看以下不等式：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为__________________．[答案]1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 此题考查了归纳的思想方式．观看能够发觉，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n ＋12<2n ＋1n ＋1， 因此第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116.三、解答题7．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有如何的不等式成立？[解析] 依照已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一样性的规律：n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *)． 8．(2021·西宁质检)已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一样性的等式，使你写出的等式包括已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos 60°＋2a2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos 60°＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。

第一章 1.3第2课时一、选择题1．(2015·山东文，5)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[答案] D[解析]一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D.2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．能被6整除的整数，一定不能被3整除[答案] B[解析]9能被3整除，但不能被6整除，排除A；9不能被6整除，但能被3整除，排除C；12能被6整除，也能被3整除，排除D.或根据一个命题的等价命题是其逆否命题判断．3．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题[答案] D[解析]∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．4．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C ．逆否命题D ．无关命题[答案] A[解析] 由原命题与逆命题的关系知，选A.5．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4[答案] C[解析] 本题主要考查命题的四种形式．由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．6．如果命题“若p ，则q ”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是( ) A ．若p ，则q B ．若¬p ，则¬q C ．若¬q ，则¬p D ．以上都不对[答案] B[解析] 因为命题，“若q ，则p ”为真，所以“若¬p ，则¬q ”为真． 二、填空题7．命题“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题是____________________． [答案] 若x >－3，则x 2＋x －6≤08．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________；逆否命题是____________________．[答案] 逆命题：若x ＋y ＝8，则x ＝3，y ＝5； 否命题：若x ≠3，或y ≠5，则x ＋y ≠8； 逆否命题：若x ＋y ≠8，则x ≠3，或y ≠5. 三、解答题9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)若x 2－5x －14＝0，则x ＝7或x ＝－2；(2)已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d . [解析] (1)逆命题：若x ＝7或x ＝－2，则x 2－5x －14＝0.真． 否命题：若x 2－5x －14≠0，则x ≠7且x ≠－2.真． 逆否命题：若x ≠7且x ≠－2，则x 2－5x －14≠0.真．(2)“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d ”是条件p ，“a ＋c ＝b ＋d ”是结论q ，所以逆命题是“已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”，假．否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”，假． 逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d ”，真.一、选择题1．原命题：若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1，那么原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题真，逆命题真D ．原命题假，逆命题假[答案] A[解析] 命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”是真命题，其逆命题“若a 、b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”是假命题，故应选A.2．命题“当AB ＝AC 时，△ABC 为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．0[答案] C[解析] 当AB ＝AC 时，△ABC 为等腰三角形为真，故逆否命题为真， 逆命题：△ABC 为等腰三角形，则AB ＝AC 为假， 故否命题为假．3．命题“若x ＝3，则x 2－9x ＋18＝0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] 命题“若x ＝3，则x 2－9x ＋18＝0”为真，故逆否命题为真，逆命题为假，故否命题为假．4．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[答案] A[解析]a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，∴其否命题和逆否命题都是真命题，故选A.二、填空题5．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．[答案]假[解析]假如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．6．设有两个命题：(1)关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；(2)函数f(x)＝log m x是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．[答案]m≥1或m＝0[解析]命题p：关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R，m≥0；命题q：函数f(x)＝log m x是减函数，0<m<1.p假：m<0；q假：m≥1或m≤0.p真q假：m≥1或m＝0；p假q真：无解．综上所述，m的取值范围是：m≥1或m＝0.三、解答题7．证明：对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.[解析]若a>b，由c≤0知b≥b＋c，∴a>b＋c.∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，即对任意c≤0，若有a≤b＋c成立，则a≤b.8．命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论． [证明] 证法一：是真命题． ∵m >0，∴Δ＝1＋4m >0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价．∴命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题． 证法二：是真命题．原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴Δ＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．9．已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若¬q 为真，则¬p 必为真，求实数m 的取值范围．[解析] 由题意可知，¬q ⇒¬p ，等价于p ⇒q . 设A ＝{x ||1－x －13|≤2}，B ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0}． p ⇒q 等价于A ⊆B .又|1－x －13|≤2⇒－2≤x ≤10，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)⇒(x －1)2≤m 2(m >0)， 1－m ≤x ≤1＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2⇒m ≥9. 故m 的取值范围是[9，＋∞)．。

第二章基本知能检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，以上推理的方法是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．合情推理[答案] C[解析]演绎推理是由一般到特殊的推理，当前提为真时，结论必然为真，上述推理是演绎推理．2．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，显然成立，所以不等式2＋3> 5.上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法[答案] B[解析]根据证明过程可以看出符合执果索因的证法，故为分析法．3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(αβ)类比，则有sin(αβ)＝sinα＋sinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析] 只有③正确，故选B.4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，所以g (－x )＝－g (x )． 5．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] (312)2＝3a ·3b ＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝11a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥21＋2＝4 当且仅当b a ＝ab即a ＝b 时等号成立，故选B.6．a 、b 、c 、d 均为正实数，设S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dd ＋a ＋b ，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4[答案] B[解析] 令a ＝b ＝c ＝d ＝1知S ＝13＋13＋13＋13＝43，因1<43<2，故选B.7．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( ) A ．有两个内角是钝角 B ．有三个内角是钝角 C ．至少有两个内角是钝角 D ．没有一个内角是钝角 [答案] C[解析] 逻辑中“最多有n 个”的反面是“至少有(n ＋1)个”，故选C.8．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3[答案] A[解析] 由a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，故猜a n ＝3n －1.9．在十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制(逢5进1)中数码2 004折合成十进制为( )A ．29B ．254C ．602D ．2 004[答案] B[解析] 2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254.10．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] 如果a >b ，则c ＋1－c >c －c －1. ∴c ＋1＋c －1>2c ，∴c ＋1＋c －1＋2c 2－1>4c ；即c 2－1>c 矛盾，∴选B.11．观察下列等式：1＝1， 13＝1， 1＋2＝3, 13＋23＝9， 1＋2＋3＝6, 13＋23＋33＝36，1＋2＋3＋4＝10, 13＋23＋33＋43＝100， 1＋2＋3＋4＋5＝15, 13＋23＋33＋43＋53＝225. … …可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3可表示为( ) A.12n (n ＋1) B.12n 2(n ＋1)2C.14n 2(n －1)2 D ．14n 2(n ＋1)2[答案] D[解析] 由1＝12,9＝32,36＝62,100＝102，…，知13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2＝n 2(n ＋1)24，故选D. 12．如果函数f (x )对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M |x |恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛函数，下面四个函数：①f (x )＝1；②f (x )＝x 2；③f (x )＝(sin x ＋cos x )x ；④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中属于有界泛函数的是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④[答案] D[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，∴存在常数M ≥2成立|sin x ＋cos x |≤M ， ∴|x (sin x ＋cos x )|≤M |x |， 即|f (x )|≤M |x |成立， ∴③是有界泛函数； ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，∴|1x 2＋x ＋1|≤43， ∴存在常数M ≥43，使|x ||x 2＋x ＋1|≤M |x |， 即|f (x )|≤M |x |成立，∴④是有界泛函数，因此选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_____________．[答案] 表面积一定的空间体中，球的体积最大[解析] 平面中的“周长”类比成空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．14．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝1且b ＝1”，用反证法证明时应假设为________．[答案] a ≠1或b ≠1[解析] 因为“p 且q ”的否定为“非p 或非q ”，所以“a ＝1且b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”．15．已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，则a 2、a 3、a 4、a 5分别为______________，猜想a n ＝____________.[答案] 37，38，39，310 3n ＋5[解析] 每一项的分子相同，分母是从7开始的自然数．16．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________． [答案] 32[解析] ∵{a n }为等比数列，a n >0，a 7＝a 6＋2a 5， ∴a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，∴q ＝－1或2. ∵a n >0，∴q ＝2.∵a m ·a n ＝4a 1，∴a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，∴qm ＋n －2＝16， 即2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16·(5＋n m ＋4m n )≥32，等号在n m ＝4m n ，即m ＝2，n＝4时成立．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知a 是整数，a 2是偶数．求证：a 是偶数． [证明] 假设a 不是偶数，即a 是奇数，则设a ＝2n ＋1(n ∈Z )． ∴a 2＝4n 2＋4n ＋1.∵4(n 2＋n )是偶数，∴4n 2＋4n ＋1是奇数， 这与已知a 2是偶数矛盾，故假设错误， 从而a 一定是偶数．18．(本题满分12分)观察下列数表：1， 2,3， 4,5,6,7， 8,9,10,11,12,13,14,15，……(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 015是第几行的第几个数？[解析] (1)由表知，从第二行起每行的第一个数为偶数，所以第n ＋1行的第一个数为2n ，第n 行的最后一个数为2n －1.(2)由(1)知第n －1行的最后一个数为2n －1－1，第n 行的第一个数为2n －1，第n 行的最后一个数为2n －1.又观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得S n ＝2n －1(2n －1＋2n －1)2＝22n －3＋22n －2－2n －2.(3)因为210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一个数为211－1＝2 047，所以2 015是在第11行中，由等差数列的通项公式得2 015＝1 024＋(n －1)·1，所以n ＝992，所以2 015是第11行的第992个数．19．(本题满分12分)已知a 、b 是不相等的正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证1<a ＋b <43.[证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2，a ≠b ， ∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b .又∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ， 即(a ＋b )2>a ＋b ，且a >0，b >0， ∴a ＋b >1.要证a ＋b <43，只需证3(a ＋b )<4， 即证3(a ＋b )2<4(a ＋b )，也就是要证3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)， 即需证(a －b )2>0.而(a －b )2>0显然成立，∴1<a ＋b <43.20．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a 、b 、c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S . [解析] (1)在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B (sin A cos A ＋sin C cos C )＝sin A cos A ·sin Ccos C， 所以sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C . 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ， 所以sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝ 2. 由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34.因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.21．(本题满分12分)已知f (x )＝－x 3－x ＋1(x ∈R )． (1)求证：y ＝f (x )是定义域上的减函数；(2)求证：满足f (x )＝0的实数根x 至多只有一个．[证明] (1)∵f ′(x )＝－3x 2－1 ＝－(3x 2＋1)<0(x ∈R )， ∴y ＝f (x )是定义域上的减函数．(2)假设f (x )＝0的实数根x 至少有两个，不妨设x 1≠x 2，且x 1、x 2∈R ， f (x 1)＝f (x 2)＝0.∵y ＝f (x )在R 上单调递减， ∴当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)，这与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，故假设不成立， 所以f (x )＝0至多只有一个实数根．22．(本题满分14分)(1)已知x 、y ∈R ，求证下列不等式： ①12x 2＋12y 2≥⎝⎛⎭⎫12x ＋12y 2； ②13x 2＋23y 2≥⎝⎛⎭⎫13x ＋23y 2； ③14x 2＋34y 2≥⎝⎛⎭⎫14x ＋34y 2. (2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论． [解析] (1)证明：①12x 2＋12y 2－⎝⎛⎭⎫12x ＋12y 2 ＝12x 2＋12y 2－14x 2－12xy －14y 2 ＝14x 2－12xy ＋14y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －12y 2≥0， ∴12x 2＋12y 2≥⎝⎛⎭⎫12x ＋12y 2. ②13x 2＋23y 2－⎝⎛⎭⎫13x ＋23y 2＝29x 2＋29y 2－49xy ＝29(x 2－2xy ＋y 2)＝29(x －y )2≥0， ∴13x 2＋23y 2≥⎝⎛⎭⎫13x ＋23y 2. ③14x 2＋34y 2－⎝⎛⎭⎫14x ＋34y 2 ＝14x 2＋34y 2－⎝⎛⎭⎫116x 2＋38xy ＋916y 2＝316(x －y )2≥0， ∴14x 2＋34y 2≥⎝⎛⎭⎫14x ＋34y 2.(2)一般的结论是：已知x、y∈R，a、b都是正数，且a＋b＝1，则(ax2＋by2)≥(ax＋by)2.证明：∵a＋b＝1，∴a＝1－b>0，b＝1－a>0.∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，又∵a>0,1－a>0，(x－y)2≥0，∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，即ax2＋by2≥(ax＋by)2.。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 2.1 第1课时合情推理练习新人教B版选修1-2一、选择题1．关于合情推理，以下说法正确的选项是( )A．归纳推理是一样到一样的推理B．类比推理是一样到特殊的推理C．类比推理的结论必然是正确的D．归纳推理的结论不必然成立[答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一样的推理，其结论不必然正确．2．观看以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，那么a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199[答案] C[解析] 利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．3．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是( )A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案] C[解析] a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，应选C.4．以下哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为适合( )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形[答案] C[解析] 只有平行四边形与平行六面体较为接近，应选C.5．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，那么数列的第k项是( )A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析] 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，且次数持续，故第k项为a k －1＋a k＋…＋a2k－2，应选D.6．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大[答案] A[解析] 由图知：三白二黑周而复始接踵排列，∵36÷5＝7余1，∴第36颗珠子的颜色是白色．二、填空题7．观看以下式子：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，由上可得出一样的结论为________．[答案] 1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1[解析] 因为3＝2×2－1,5＝2×3－1,7＝2×4－1，…，因此1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1.8．观看以劣等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第五个等式应为______________________．[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析] 此题考查学生的推理能力．依据前4个等式的规律，第n个等式左侧是从n开始的2n－1个自然数的和，右边是(2n－1)2，因此第五个等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.三、解答题9．在平面内观看，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，….由此猜想凸n边形有几条对角线？[解析] 由题意知，f(5)－f(4)＝3，f(6)－f(5)＝4，……f(n)－f(n－1)＝n－2，将上面各式相加得：f(n)－f(4)＝3＋4＋…＋(n－2)，f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－2)＝12n(n－3).一、选择题1．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于第三边的一半；(3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)中位面(以任意三条棱的中点为极点的三角形)的面积等于第四个面的面积的14； (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方式正确的有( )A ．(1)B ．(1)(2)C ．(1)(2)(3)D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方式都正确，需注意的是类比推理取得的结论是不是正确与类比推理方式是不是正确并非等价，方式正确，结论也不必然正确．2．观看以下事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4 , |x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8, |x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，那么|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92 [答案] B[解析] 此题考查了不完全归纳．由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )个数为4n ，因此|x |＋|y |＝20不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80.归纳表现了由特殊到一样的思维进程．3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三边的边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理能够取得四面体的体积为( )A ．V ＝13abc B ．V ＝13Sh C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4别离为4个面的面积，r 为四面体内切球的半径) D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h [答案] C[解析] ∵三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三边的边长，r 为三角形内切圆半径，∴四面体的体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . S 1、S 2、S 3、S 4别离为4个面的面积，r 为四面体内切球的半径． 4．概念A *B 、B *C 、C *D 、D *B 别离对应以下图形那么以下图形中，能够表示A *D 、A *C 的别离是( )A ．(1)、(2)B ．(2)、(3)C ．(2)、(4)D ．(1)、(4) [答案] C[解析] 由A *B 、B *C 、C *D 、D *B 的概念图形知A 为，B 为，C 为——，D 为. 二、填空题5．(2021～2021学年度北京高二检测)观看以下不等式：①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112<3；…请写出第n 个不等式________． [答案] 12＋16＋112＋…＋1n n ＋1<n [解析] 由①12<1，即11×2<1， 由②12＋16<2，即11×2＋12×3<2， 由③12＋16＋112<3， 即11×2＋12×3＋13×4<3， 故第n 个式子为12＋16＋112＋…＋1n n ＋1<n .6．现有一个关于平面图形的命题：如下图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，为a 24，类比到空间，其中一个的某极点在另一个的中心，那么这两个正方形重叠部份的面积恒有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某极点在另一个的中心，那么这两个正方体重叠部份的体积恒为________．[答案] a 38[解析] 两个正方形重叠部份的面积为(a 2)2＝a 24，类比到空间后，两个正方体重叠部份的体积为(a 2)3＝a 38. 三、解答题7．(2021～2021学年度聊城高二检测)某同窗在一次研究性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子当选择一个，求出那个常数；(2)依照(1)的计算结果，将该同窗的发觉推行为三角恒等式，并证明你的结论．[解析] (1)选择②式计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34. (2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°·cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 8．已知{a n }知足a 1＝1,4a n ＋1－a n ·a n ＋1＋2a n ＝9，写出a 1、a 2、a 3、a 4，试猜想出那个数列的通项公式．[解析] 由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9得a n ＋1＝2－1a n －4，∴a 2＝2－1a 1－4＝2＋13，a 3＝2－1a 2－4＝2＋35， a 4＝2－1a 3－4＝2＋57， 猜想：a n ＝2＋2n －32n －1. 9．假设a 1、a 2∈R ＋，那么有不等式a 21＋a 222≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推行吗？请你至少写出两个不同类型的推行．[解析] 本例能够从a 1，a 2的个数和指数上进行推行． 第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2， a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…，a 21＋a 22＋…＋a 2n n≥(a 1＋a 2＋…＋a n n )2； 第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4， …，a n 1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…， a m 1＋a m 2＋…＋a m n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n )m .上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.。

其次章 2.2第2课时一、选择题1．反证法是导学号 96660885 ()A．从结论的反面动身，推出冲突的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法[答案] A[解析]反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出冲突，从而确定结论的真实性．2．(2021～2022学年度河南新野高二阶段测试)用反证法证明“a＋b＋c>3，则a、b、c中至少有一个大于1”时，“假设”应为导学号 96660886 ()A．假设a、b、c中至少有一个小于1B．假设a、b、c中都小于等于1C．假设a、b、c至少有两个大于1D．假设a、b、c都小于1[答案] B[解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故“a、b、c中至少有一个大于1”的反面是“a、b、c中都小于等于1.”3．应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件使用导学号 96660887 ()①结论相反推断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③[答案] C[解析]由反证法的定义可知为①②③.4．“M不是N的子集”的充分必要条件是导学号 96660888 ()A．若x∈M则x∉NB．若x∈N则x∈MC．存在x1∈M⇒x1∈N，又存在x2∈M⇒x2∉ND．存在x0∈M⇒x0∉N[答案] D[解析]按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N 的子集，只需存在x0∈M但x0∉N.选D.5．用反证法证明命题：“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是导学号 96660889 ()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案] A[解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选A.6．用反证法证明命题“a、b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个是5的倍数”时，反设正确的是导学号 96660890 ()A．a、b都是5的倍数B．a、b都不是5的倍数C．a不是5的倍数D．a、b中有一个是5的倍数[答案] B[解析]“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“都不是”．二、填空题7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．导学号 96660891[答案]存在一个三角形，其外角最多有一个钝角[解析]“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设正实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．导学号 96660892[答案]13[解析]假设a、b、c都小于13，则a＋b＋c<1，“假设错误，故a、b、c中至少有一个数不小于13.”三、解答题9．证明：对于直线l：y＝kx＋1.不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．导学号 96660893[解析]假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)直线AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)在直线y＝ax上，所以⎩⎨⎧ka ＝－1， ①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2， ②y 1＋y 22＝a x 1＋x22. ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0. ④ 由②③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2， ⑤ 由④知x 1＋x 2＝2k 3－k 2，代入⑤整理得ak ＝3.这与①冲突．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称.一、选择题1．设a 、b ∈(0，＋∞)，则a ＋1b ，b ＋1a 导学号 96660894( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2[答案] D[解析] 假设a ＋1b <2，b ＋1a <2，则(a ＋1b )＋(b ＋1a )<4①.又a 、b ∈(0，＋∞)，所以a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )≥2＋2＝4，这与①式相冲突，故假设不成立，即a ＋1b ，b ＋1a至少有一个不小于2.2．已知x >0，y >0，x ＋y ≤4，则有导学号 96660895 ( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 [答案] B[解析] 由x >0，y >0，x ＋y ≤4得1x ＋y ≥14，A 错；x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，C 错；xy ≤4，∴1xy ≥14，D 错．3．已知数列{a n }、{b n }的通项公式分别为：a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是导学号 96660896 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个[答案] A[解析] 假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n ，使得a n ＝b n ，但若a >b ，n ∈N *，恒有a ·n >b ·n ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立．∴不存在n ，使得a n ＝b n .故应选A.4．假如两个数之和为正数，则这两个数导学号 96660897 ( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数[答案] C[解析] 假设两个都是负数，其和必为负数． 二、填空题5．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为___________________________．导学号 96660898[答案] ∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP[解析] 反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP . 6．设a 、b 是两个实数，给出下列条件： 导学号 96660899①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a 、b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．[答案] ③[解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出． 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出． 对于③即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1. 反证法：假设a ≤1且b ≤1. 则a ＋b ≤2与a ＋b >2冲突．因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 三、解答题7．已知：非实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不行能成等差数列．导学号 96660900[证明] 假设1a ，1b ，1c 成等差数列．则2b ＝1a ＋1c.∴2ac ＝bc ＋ab ①又a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ② ∴把②代入①得2ac ＝b (a ＋c )＝b ·2b ∴b 2＝ac .③由②平方4b 2＝(a ＋c )2.把③代入4ac ＝(a ＋c )2，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c . 代入②得b ＝a ，∴a ＝b ＝c . ∴公差为0，这与已知冲突． ∴1a ，1b ，1c不行能成等差数列． 8．已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a 、b 、c 、d 都是非负数． ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1，∴(a ＋b )(c ＋d )＝1. 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc >ac ＋bd . ∴ac ＋bd <1.这与已知ac ＋bd >1冲突， ∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[证明] 假设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0. 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，这与假设x 0<0相冲突，故方程f (x )＝0没有负数根．。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 2.2 第1课时合情推理同步测试 新人教B版选修2-2一、选择题1．用分析法证明问题是从所证命题的结论动身，寻求使那个结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件 [答案] A2．下面的四个不等式： ①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ； ②a (1－a )≤14；③b a ＋ab≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] C [解析]∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0 a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2 ≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， ∴①②④正确．应选C. 3．设x ＝2，y ＝7－3，z ＝6－2，那么x 、y 、z 的大小顺序是( )A ．x >y >zB ．z >x >yC ．y >z >xD ．x >z >y[答案] D[解析] ∵x 、y 、z 都是正数，又x 2－z 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36＞0，∴x ＞z .∵z y＝6－27－3＝7＋36＋2＞1.∴z ＞y .∴x >z >y .应选D.4．(2021·重庆理，6)假设a <b <c ，那么函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点别离位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 [答案] A[解析] 因为a <b <c ，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.5．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·bm ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，那么p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确信[答案] B [解析] q ＝ab ＋mad n＋nbc m＋cd≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .应选B.6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，那么A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .应选A. 7．假设x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，那么x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17[答案] B[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15. 8．(2021·陕西理，7)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边别离为a 、b 、c ，假设b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 [答案] B[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，因此，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．二、填空题9．设a >0，b >0，c >0，假设a ＋b ＋c ＝1，那么1a ＋1b ＋1c的最小值为________．[答案] 9[解析] ∵a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b＋b c≥3＋2b a ·ab＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝9，等号在a ＝b ＝c ＝13时成立．10．假设0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，那么在a ＋b,2ab ，a 2＋b 2和2ab 中最大的是________．[答案] a ＋b[解析] ∵0<a <1,0<b <1，∴a 2<a ，b 2<b ， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，又a 2＋b 2>2ab (a ≠b )， ∴2ab <a ＋b ，又a ＋b >2ab (a ≠b )，故a ＋b 最大．11．设p ＝2x 4＋1，q ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，那么p 与q 的大小关系是________． [答案] p ≥q[解析] ∵p －q ＝2x 4＋1－(2x 3＋x 2)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)， 又2x 2＋2x ＋1恒大于0，∴p －q ≥0，故p ≥q . 三、解答题12．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.[证明] 要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证：a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32， 只需证：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证：(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 因此a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立.一、选择题1．(2021·浙江理，3)已知x 、y 为正实数，那么( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案] D[解析] 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .2．已知a >0，b >0，1a ＋3b＝1，那么a ＋2b 的最小值为( )A ．7＋2 6B ．23C ．7＋2 3D ．14[答案] A[解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a . 又∵a >0，b >0，∴由均值不等式可得：a ＋2b ＝7＋3a b ＋2ba ≥7＋23a b ·2ba ＝7＋26.当且仅当3a b ＝2ba且1a ＋3b ＝1，即3a 2＝2b 2且1a ＋3b＝1时等号成立，应选A.3．(2021·哈六中期中)假设两个正实数x 、y 知足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) [答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy ≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，应选B.4．(2021·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m 、n 都有： (1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出以下三个结论： ①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是________个． ( ) A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列， ∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)组成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，应选A.二、填空题5．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，那么f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是________________．[答案] f (3.5)<f (1)<f (2.5)[解析] 由已知f (x )关于x ＝2对称，又f (x )在(0,2)上是增函数， ∴结合f (x )图象得f (3.5)<f (1)<f (2.5)．6．若是不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，那么实数a 的取值范围是________．[答案] 12≤a ≤32[解析] 由|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(a －1，a ＋1)那么有⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤12a ＋1≥32，解得12≤a ≤32.7．已知f (x )＝a 2x ＋1－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________．[答案] 1[解析] 解法1：∵f (x )＝a 2x ＋1－22x ＋1(x ∈R )是奇函数，那么f (－x )＋f (x )＝a 2－x ＋1－22－x ＋1＋a 2x ＋1－22x ＋1＝0，∴a ＝1.解法2：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即f (0)＝a 20＋1－220＋1＝0，∴a ＝1.三、解答题8．(2021·华池一中高三期中)已知n ∈N *，且n ≥2，求证：1n>n －n －1.[证明] 要证1n>n －n －1，即证1>n －n n －1，只需证n n －1>n －1，∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2， 只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．9．(2021·合肥一六八中高二期中)观看下题的解答进程： 已知正实数a 、b 知足a ＋b ＝1，求2a ＋1＋2b ＋1的最大值．解：∵2a ＋1·2≤2a ＋12＋222＝a ＋32，2b ＋1·2≤2b ＋12＋222＝b ＋32，相加得2a ＋1·2＋2b ＋1·2＝2(2a ＋1＋2b ＋1)≤a ＋b ＋3＝4.∴2b ＋1＋2b ＋1≤22，等号在a ＝b ＝12时取得，即2a ＋1＋2b ＋1的最大值为22.请类比上题解法利用综合法证明下题： 已知正实数x 、y 、z 知足x ＋y ＋z ＝2，求证：2x ＋1＋2y ＋1＋2z ＋1≤21.[解析] ∵2x ＋1·73≤2x ＋12＋7322＝x ＋53，2y ＋1·73≤2y ＋12＋7322＝y ＋53，2z＋1·73≤2z＋12＋7322＝z＋53，相加得(2x＋1＋2y＋1＋2z＋1)·73≤x＋y＋z＋5＝7，即2x＋1＋2y＋1＋2z＋1≤7·37＝21，等号在x＝y＝z＝23时取得．。

第一章 1.2 1.2.2一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是导学号641500103 ()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数[答案] B[解析]本题主要考查了存在性命题与全称命题的互化问题．将“存在”改为“任意”，将“它的平方是有理数”改为“它的平方不是有理数”即可，命题的否定指将存在性命题，改为全称命题，否定其结论，或将全称命题改为存在性命题，否定其结论．2．假如命题“¬p或¬q”是真命题，命题“¬p且¬q”是假命题，那么导学号641500104 ()A．命题p和q都是真命题B．命题p和q都是假命题C．命题p与“¬q”的真假相同D．命题p与“¬q”的真假不同[答案] C[解析]“¬p或¬q”是真命题，说明¬p与¬q至少有一为真命题，而¬p且¬q是假命题，说明¬p与¬q至少有一为假命题，所以¬p和¬q有一真命题一假命题，∴p与“¬q”真假相同．3．(2021·浙江理，4)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是导学号641500105 ()A．∀n∈N*, f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*, f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*, f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*, f(n0)∉N*或f(n0)>n0[答案] D[解析]依据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4．命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是导学号641500106 ()A．∃x0∉∁R Q，x30∈QB．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈QD．∀x∈∁R Q，x3∉Q[答案] D[解析]本题考查量词命题的否定改写．∀x0∈∁R Q，x30∉Q，留意量词肯定要改写．5．命题“全部奇数的立方都是奇数”的否定是导学号641500107 ()A．全部奇数的立方都不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方不是奇数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数[答案] C[解析]全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．6．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列推断正确的是导学号641500108 ()A．p为真B．¬q为假C．p∧q为假D．p∨q为真[答案] C[解析]函数y＝sin2x的最小正周期为T＝2π2＝π，所以命题p假，函数y＝cos x的图象关于直线x＝kπ(k ∈Z)对称，所以命题q假，¬p为真，p∨q为假．二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．导学号641500109[答案]对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.[解析]该题考查命题的否定．留意存在性命题的否定是全称命题．8．若命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．导学号641500110[答案][－1,3][解析]若命题为假命题，则命题的否定为真命题，即∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立，则Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.三、解答题9．已知：p ：|3x －4|>2，q ：1x 2－x －2>0，求¬p和¬q 对应的x 值的集合．导学号 641500111[解析] 由p ：|3x －4|>2，得p ：x >2或x <32，∴¬p ：23≤x ≤2.即¬p ：{x |23≤x ≤2}．由q ：1x 2－x －2>0，得q ：x >2或x <－1，∴¬q ：－1≤x ≤2，即¬q ：{x |－1≤x ≤2}.一、选择题1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为导学号 641500112 ( ) A ．(¬p )∨(¬q ) B ．p ∨(¬q ) C ．(¬p )∧(¬q ) D ．p ∨q[答案] A[解析] ∵¬p “甲没降落在指定范围”，¬q “乙没降落在指定范围”， ∴“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p )∨(¬q )，故选A.2．(2022·浙江理，4)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *使得n ≥x 2”的否定形式是导学号 64150113( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *使得n <x 2[答案] D[解析] 依据含有量词的命题的否定的概念可知，选D. 3．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(¬q )”是假命题； ③命题“(¬p )∨q ”是真命题； ④命题“(¬p )∨(¬q )”是假命题． 其中正确的是导学号 641500114 ( ) A ．②④ B ．②③ C ．③④ D ．①②③[答案] B[解析] 由于对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x ＝52>1，所以p 为假；由于x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．因而②③正确．4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④(¬p )∨q 中，真命题是导学号 641500115 ( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] C[解析] 当x >y 时，两边乘以－1可得－x <－y ，所以命题p 为真命题，当x ＝1，y ＝－2时，由于x 2<y 2，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C.二、填空题5．已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2x －1≤0的解集为{x |1<x ≤2}，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”、“¬p ”“¬q ”中正确的命题是________．导学号 641500116 [答案] p ∨q ，¬p[解析] p 的范围应为∅，故p 为假；q 为真，故“p ∨q ”与“¬p ”为真，而“p ∧q ”与“¬p ”为假． 6．已知命题p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z 且“p ∧q ”与“¬q ”同时为假命题，则x 的值为________． 导学号 641500117[答案] －1、0、1、2 [解析] ∵“p ∧q ”为假，∴p 、q 至少有一个命题为假，又“¬q ”为假， ∴q 为真，从而可知p 为假． 由p 为假且q 为真，可得|x 2－x |<6且x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6x 2－x >－6x ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6<0x 2－x ＋6>0x ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈R ，x ∈Z .故x 的值为－1、0、1、2. 7．下列说法错误的是________．①“p 且q ”的否定是“¬p 或¬q ” ②若q 为真，则¬q 为假 ③若p ∧q 为真，则¬p 为假④命题p ：若M ∪N ＝M ，则N ⊆M ，命题q ：5∉{2,3}，则命题“p 且q ”为假[答案] ④[解析] ④中p 为真q 为真，所以p 且q 为真． 三、解答题8．写出下列命题的“否定”，并推断其真假：(1)p ：∀x ∈R ；x 2－x ＋14≥0； (2)q ：全部的正方形都是矩形； (3)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.[解析] (1)¬p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0.是假命题，由于由∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立． (2)¬q ：至少存在一个正方形不是矩形．是假命题．(3)¬s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0.是假命题，这是由于x ＝－1时，x 3＋1＝0.9．已知p ：方程x 2－mx ＋m ＋3＝0有两个不等的负根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋24＝0无实根．若p ∨q 为真，p ∧q 为假．求实数m[解析] 当p 为真命题时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－m )2－4(m ＋3)>0，x 1＋x 2＝m <0，x 1x 2＝m ＋3>0，即⎩⎨⎧m 2－4m －12>0m <0m >－3⇔⎩⎨⎧m <－2或m >6m <0m >－3⇔－3<m <－2.当q 为真命题时有Δ＝[2(m －2)]2－4(－3m ＋24)<0，即m 2－4m ＋4＋3m －24<0⇔m 2－m －20<0⇔－4<m <5. ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 中有一真命题，一假命题，即p 真q 假或p 假q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3<m <－2m ≤－4或m ≥5或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3或m ≥－2－4<m <5⇔－4<m ≤－3或－2≤m <5.所以所求实数m 的取值范围是(－4，－3]∪[－2,5)．。

第一章 1.2第1课时一、选择题1．下列命题中是“p∧q”形式的命题是导学号 96660062 ()A．28是5的倍数或是7的倍数B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根C．函数y＝a x(a>1)是增函数D．函数y＝ln x是减函数[答案] B[解析]选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由规律联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由规律联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．2．下列说法与x2＋y2＝0含义相同的是导学号 96660063 ()A．x＝0且y＝0B．x＝0或y＝0C．x≠0且y≠0 D．x≠0或y≠0[答案] A[解析]因两个非负数的和等于0，故每个加数都为0，即x2＝0且y2＝0，所以x＝0且y＝0.3．下列命题是真命题的是导学号 96660064 ()A．5>2且7>8B．3>4或3<4C．7－1≥7D．方程x2－3x＋4＝0有实根[答案] B[解析]虽然p:3>4假，但q:3<4真，所以p∨q为真命题．4．有下列命题：①2022年10月1日是国庆节，又是国际音乐日；②10的倍数肯定是5的倍数；③2是偶数或3不是质数；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用规律联结词的命题有导学号 96660065 () A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析]①属p∧q型，用“且”．②是简洁命题，无联结词．③属p∨q型，用“或”．④属p∨q型，用“或”．故选C.5．下列为假命题的是导学号 96660066 ()A．3是7或9的约数B．两非零向量平行，其所在直线平行或重合C．菱形的对角线相等且相互垂直D．若x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0[答案] C[解析]菱形的对角线相互垂直但不肯定相等．6．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是导学号 96660067 ()A．(0，－3)B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)[答案] C[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y＝2x－3y＝－x2，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1y＝－1，∴P(1，－1)，故选C.二、填空题7．若p:2是8的约数，q:2是12的约数．则“p∨q”为________；“p∧q”为________．(填具体的语句内容)．导学号 96660068[答案]2是8的约数，或者是12的约数2既是8的约数，又是12的约数8．用“p∨q”、“p∧q”填空．导学号 96660069命题“a2＋1≥1”是________形式．[答案]“p∨q”[解析]a2＋1≥1即为a2＋1>1或a2＋1＝1.三、解答题9．下列语句是命题吗？假如是命题，请指出命题的构成形式：导学号 96660070(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或内切圆；(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数并且是周期函数．[解析](1)是p∧q形式命题．其中p:向量有大小，q:向量有方向．(2)是p∨q形式命题．其中p:矩形有外接圆，q:矩形有内切圆．(3)是p∧q形式命题．其中p:正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，q:正弦函数y＝sin x(x∈R)是周期函数.一、选择题1．下列命题，其中假命题的个数为导学号 96660071 ()①5>4或4<5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”．A．0B．1C．2D．3[答案] A[解析]①②③都是真命题，故选A.2．下列命题中既是p∧q的命题，又是真命题的是导学号 96660072 ()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根和是1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形[答案] D[解析]有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形既是p∧q的命题，又是真命题．3．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．推断如下两个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．能使命题甲、乙均为真的全部函数的序号是导学号 96660073 ()A．①②B．①③C．②D．③[答案] C[解析]f(x)＝|x＋2|，则f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，排解选项A、B；f(x)＝cos(x－2)在(－∞，2)上不具有单调性，排解D，故选C.4．命题p：函数y＝log a(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：假如函数y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，则有导学号 96660074 ()A．“p且q”为真B．“p或q”为假C．p真q假D．p假q真[答案] C[解析]对于命题p：当x＝－1时，y＝log a a＝1，故命题p为真；对于命题q：将函数y＝f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝f(x－3)的图象，故函数y＝f(x－3)的图象关于点(6,0)对称，∴命题q为假，故选C.二、填空题5．命题p：x2＋2x－3>0，命题q：(x－2)(x－3)<0.若p且q为真，则x的取值范围是____________．导学号 96660075[答案](2,3)[解析]由(x＋3)(x－1)>0，得x>1或x<－3，∴p真：x>1或x<－3.由(x－2)(x－3)<0，得2<x<3，∴q真：2<x<3.若p且q为真，则⎩⎨⎧x>1或x<－32<x<3，∴2<x<3.6．设有两个命题：导学号 96660076①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝log m x是减函数．假如这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m的取值范围是________．[答案]m＝0或m≥1[解析]①是真命题则m≥0，②是真命题则0<m<1，若①真②假，则m＝0或m≥1；若②真①假，则m 不存在，综上，m＝0或m≥1.三、解答题7．命题p：二次函数y＝(5－3)x2＋(3－2)x＋(2－5)的图象与x轴相交，命题q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，推断由p、q组成的新命题p∧q的真假．导学号 96660077[解析]p：二次函数y＝(5－3)x2＋(3－2)x＋(2－5)的图象与x轴相交，易知图象过(1,0)，故p 为真．q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，而Δ＝－3<0，故q为假，所以p∧q为假命题．8．已知a >0，设命题p :函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q :不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a [解析] ∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p :a >1； 又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， ∴Δ<0且a >0，即a 2－4a <0，∴0<a <4， ∴q :0<a <4.而命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，那么p 、q 中有且只有一个为真，一个为假． (1)若p 真，q 假，则a ≥4； (2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．9．已知命题p ：函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域为R 命题q ：函数y ＝xa 2－2a －3在x ∈(0，＋∞)上是减函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 命题p ：函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域为R ，即ax 2－ax ＋1>0对一切实数x 恒成立，其充要条件为a ＝0或⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a <0， ∴0≤a <4.命题q ：函数y ＝xa 2－2a －3在x ∈(0，＋∞)上是减函数，得a 2－2a －3<0，所以－1<a <3.由题意知，命题p 、q 有且只有一个是真命题，当p 为真，q 为假时，⎩⎨⎧0≤a <4a ≤－1或a ≥3，∴3≤a <4.当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－1<a <3⇒－1<a <0，综上可得，实数a 的取值范围是－1<a <0或3≤a <4.。

【成才之路】2015—2016学年高中数学第2章 2、1第2课时演绎推理课时作业新人教B版选修2—2一、选择题1。

下面说法正确的个数为（）①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

A.1 B。

2C.3 D。

4［答案] C2.三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提"是（)A。

①B。

②C.①②D.③[答案］ B3。

（2015·锦州期中）若三角形两边相等,则该两边所对的内角相等,在△ABC中,AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C,以上推理运用的规则是（)A。

三段论推理B。

假言推理C.关系推理D.完全归纳推理［答案］ A[解析］根据三角形两边相等，则该两边所对的内角相等（大提前）,在△ABC中,AB＝AC，（小前提）所以在△ABC中，∠B＝∠C（结论），符合三段论。

4。

观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( ）大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l,则a∥b、小前提:正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1,且AD⊥AA1、结论:A1B1∥AD、A.推理正确B.大前提出错导致推理错误C。

小前提出错导致推理错误D.仅结论错误［答案] B[解析］由l⊥a,l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误。

5。

下面的推理是关系推理的是( )A。

若三角形两边相等,则该两边所对的内角相等，在△ABC中,AB＝AC,所以在△ABC中,∠B＝∠CB.因为2是偶数,并且2是素数,所以2是素数C.因为a∥b，b∥c,所以a∥cD。

因为错误!是有理数或无理数,且错误!不是有理数,所以错误!是无理数[答案] C［解析]A是三段论推理，B、D是假言推理。

故选C、6.“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等.”补充上述推理的大前提( )A.正方形都是对角线相等的四边形B。

第二章 2.2 第1课时一、选择题1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件 [答案] A[解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件． 2．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．归纳法[答案] B[解析] 要证明3＋7<25最合理的方法是分析法． 3．a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥a ＋bD.2ab a ＋b ≥ab [答案] D[解析] ∵a >0，b >0，∴2aba ＋b ≤ab .4．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] C[解析] ∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－(a －12)2≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 只有当b a >0时，才有b a ＋ab≥2，∴应选C.5．若a 、b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．b >aC ．a <b <0D ．ab (a －b )<0[答案] C[解析] 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1b3⇒/ a <b <0. ∴a <b <0是1a 3>1b3的一个充分不必要条件．6．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17[答案] B[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15.二、填空题7．已知a 、b 是互不相等的正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b 与4的大小关系是________．[答案] 1a ＋1b>4[解析] ∵a 、b 是互不相等的正数，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b>4. 8．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是________(形状)三角形．[答案] 等边[解析] 由OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，∴△P 1P 2P 3是等边三角形． 三、解答题9．用分析法、综合法证明：若a >0，b >0，a ≠b ，则a ＋b2>ab .[证明] (1)分析法为了证明a ＋b2>ab 成立，需证明下面不等式成立：a ＋b >2ab由于a >0，b >0，即要证(a ＋b )2>4ab 成立． 展开这个不等式左边，即得a 2＋2ab ＋b 2>4ab 即证a 2－2ab ＋b 2>0成立．即证(a －b )2>0成立，以上证明过程步步可逆， ∵a ≠b ，∴(a －b )2>0成立．故a ＋b2>ab 成立．(2)综合法由a >0，b >0，且a ≠b 知a >0，b >0，且a ≠b ∴(a －b )2>0⇒a ＋b >2ab ⇒a ＋b2>ab .一、选择题1．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( ) A.18 B.14 C.12 D ．1[答案] C[解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12.2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A [答案] A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b )．3．已知a >0，b >0，1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( )A ．7＋2 6B ．2 3C ．7＋2 3D ．14[答案] A[解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a. 又∵a >0，b >0，∴由均值不等式可得：a ＋2b ＝7＋3a b ＋2ba ≥7＋23a b ·2ba＝7＋2 6.当且仅当3a b ＝2b a 且1a ＋3b ＝1，即3a 2＝2b 2且1a ＋3b＝1时等号成立，故选A.4．已知f (x )＝a x＋1,0<a <1，若x 1、x 2∈R ，且x 1≠x 2，则( )A.f (x 1)＋f (x 2)2≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 B.f (x 1)＋f (x 2)2＝f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 C.f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 D.f (x 1)＋f (x 2)2>f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 [答案] D[解析] ∵f (x 1)＋f (x 2)2＝ax 1＋1＋ax 2＋12>ax 1＋1ax 2＋1＝a x 1＋x 22＋1＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， ∴f (x 1)＋f (x 2)2>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，∴选D.二、填空题5．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________．[答案] 1[解析] ∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1(x ∈R )是奇函数则f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x ＋1＋a (2x ＋1)－22x ＋1＝0∴a ＝1. 6．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________． [答案] p >q [解析] ∵p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥4(当且仅当a ＝3时取“＝”)， q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2<4.∴p >q . 三、解答题7．设a 、b 、c 三个数成等比数列，而x 、y 分别为a 、b 和b 、c 的等差中项，求证a x ＋cy ＝2.[证明] 已知a 、b 、c 成等比数列，即a b ＝b c .由比例性质有a a ＋b ＝bb ＋c .又由题设x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，有a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2b b ＋c ＋2c b ＋c ＝2(b ＋c )b ＋c＝2，故等式成立．8．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .[证明] ∵四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，∴AB 綊CD . 又∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴CF 綊AE .∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .又AF ⊄平面PEC ，EC ⊆平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .9．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B .[证明] ∵a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(b 2＋bc )2bc ＝c 2－bc 2bc ＝c －b 2b，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 2＋bc ＋c 2－b 22ac ＝b ＋c 2a ，∴cos 2B ＝2cos 2B －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 2a 2－1＝(b ＋c )22a 2－1＝(b ＋c )22b (b ＋c )－1＝b ＋c 2b －1＝c －b 2b ，∴cos A ＝cos 2B .又∵A 、B 均为三角形的内角，∴A ＝2B .。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 第二章 推理与证明知能基础测试 新人教B 版选修2-2时刻120分钟，总分值150分．一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．k 棱柱有f (k )个对角面，那么k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋k D ．f (k )＋k －2[答案] A[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k －2条侧棱形成k －2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原先为侧面，此刻也成了一个对角面，故共增加了k －1个对角面，∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.应选A.2．已知a >0，b >0，a 、b 的等差中项为12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，那么α＋β的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 由已知得a ＋b ＝1，∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋a ＋b a ＋a ＋b b ＝3＋b a ＋ab≥3＋2＝5.应选C.3．已知f (x )＝x 3＋x (x ∈R )，a 、b 、c ∈R ，且a ＋b >0，b ＋c >0，c ＋a >0，那么f (a )＋f (b )＋f (c )的符号为( )A ．正B ．负C ．等于0D ．无法确定[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋1>0， ∴f (x )在R 上是增函数．又a ＋b >0，∴a >－b .∴f (a )>f (－b )． 又f (x )＝x 3＋x 是奇函数， ∴f (a )>－f (b )，即f (a )＋f (b )>0.同理：f (b )＋f (c )>0，f (c )＋f (a )>0， ∴f (a )＋f (b )＋f (c )>0，应选A.4．(2021·东北三校模拟) 以下代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1 C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k )[答案] D[解析] 特值法：当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除，应选D. 证明如下：当k ＝1时，已验证结论成立，假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36. ∵3(2＋7n )能被9整除，36能被9整除， ∴21(2＋7n )－36能被9整除， 这确实是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 故命题对任何k ∈N *都成立．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在如此的a 、b 、c [答案] A[解析] 令n ＝1，得1＝3(a －b )＋c ， 令n ＝2，得1＋2×3＝9(2a －b )＋c ， 令n ＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，∴a ＝12，b ＝c ＝14.应选A.6．假设m ，n 是正整数，那么m ＋n >mn 成立的充要条件是( ) A ．m ，n 都等于1 B ．m ，n 都不等于2 C ．m ，n 都大于1 D ．m ，n 至少有一个等于1[答案] D[解析] ∵m ＋n >mn ，∴(m －1)(n －1)<1. ∵m ，n ∈N *，∴(m －1)(n －1)∈Z ， ∴(m －1)(n －1)＝0. ∴m ＝1或n ＝1，应选D.7．给出以下类比推行，其中类比推行符合类比推理要求的有( )(1)在平面内：若是一条直线和两条平行线中的一条相交，那么必和另一条相交． 推行到空间中：若是一个平面和两个平行平面中的一个相交，那么必和另一个相交． (2)在平面直角坐标系中点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 两点间的距离为 |AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.类比上述结论在空间直角坐标系中，点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，那么有A 、B 两点间的距离为|AB | ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.(3)成立了向量的坐标表示后，平面直角坐标系中的点就与向量的坐标成立了一一对应关系，假设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么有a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．类比上述结论，成立复数与平面直角坐标系中的点的一一对应关系后，复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，那么应有z 1＋z 2＝(x 1＋x 2)＋(y 1＋y 2)i .A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个[答案] C[解析] ①将平面类比直线正确；②平面内两点间距离与空间中两点的距离类比正确；③将复数的坐标表示与向量的坐标表示类比，复数的加法与向量的加法类比，正确．应选C.8. (2021·济宁梁山一中高二期中)已知函数f (x )知足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如下图，那么f (x )的图象与x 轴围成的封锁图形的面积为( )A.13 B ．43C ．2D ．83[答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ， 由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎜⎛－2(x 2＋2x )dx ＝⎪⎪⎪－13x 3＋x 20－2＝43.9．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f (n )块区域，有f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝8，那么f (n )的表达式为( )A ．2nB ．n 2－n ＋2C ．2n －(n －1)(n －2)(n －3)D ．n 3－5n 2＋10n －4 [答案] B[解析] 四个选项的前三项是相同的，但第四项f (4)＝14(如图)就只有B 符合，从而否定A ，C ，D ，选B ，一样地，可用数学归纳法证明f (n )＝n 2－n ＋2.应选B.10．已知等比数列a n ＝13n －1，其前n 项和为S n ＝∑k ＝1na k ，那么S k＋1与S k 的递推关系不知足( )A ．S k ＋1＝S k ＋13k ＋1B ．S k ＋1＝1＋13S kC ．S k ＋1＝S k ＋a k ＋1D ．S k ＋1＝3S k －3＋a k ＋a k ＋1[答案] A[解析] S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1 ＝S k ＋a k ＋1.C 真．S k ＋1＝1＋13＋…＋13k＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －1＝1＋13S k .B 真．3S k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －1＝3＋1＋13＋…＋13k －2＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －2＋13k －1＋13k －a k －a k ＋1＝3＋S k ＋1－a k －a k ＋1.D 真．事实上，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝S k ＋13k .A 不真．应选A.11．以下结论正确的选项是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值[答案] B[解析] A 错在lg x 的正负不清；C 错在等号成立的条件不存在；依照函数f (x )＝x －1x的单调性，当x ＝2时，f (2)max ＝32，故D 错．应选B.12．有一个奇数列1,3,5,7,9…此刻进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…观看每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为( )A ．等于n 2B ．等于n 3C ．等于n 4D ．等于(n ＋1)n[答案] B二、填空题(本大题共4个小题，每题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2021·安阳中学高二期末)设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观看：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……依照以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.[答案]x2n －1x ＋2n[解析] 观看f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )、f 4(x )的表达式可见，f n (x )的分子为x ，分母中x 的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n .故f n (x )＝x2n －1x ＋2n.14．(2021·厦门六中高二期中)在平面上，咱们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.假想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，若是用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比取得的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ， ∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ， ∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ， ∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.15．关于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如下图的“割裂”，仿此，记53的“割裂”中的最小数为a ，而52的“割裂”中最大的数是b ，那么a ＋b ＝________.[答案] 30[解析] 类比规律∴a ＝21，b ＝9故a ＋b ＝30.16．(2021·洛阳部份重点中学教学检测)观看以劣等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一样的结论：关于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝________.[答案] 1－1n ＋1·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…， 因此关于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝1－1n ＋12n.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)17．(此题总分值12分)(2021·济南市高二下学期期末测试)已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．用反证法证明三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明] 假设三个方程中都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0， Δ3＝4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0， 即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．18．(此题总分值12分)(2021·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，那么有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方式得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比取得的结论是：在椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 别离是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，那么k AC ·k BC ＝－b 2a 2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，那么A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，那么k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 2a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，那么有k AB ·k BP＝－b 2a 2.19．(此题总分值12分)已知a 、b ∈R ，求证：|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |.[证明] 设f (x )＝x1＋x，x ∈[0，＋∞)．设x 1、x 2是[0，＋∞)上的任意两个实数，且0≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 11＋x 11＋x 2.因为x 2>x 1≥0，因此f (x 2)>f (x 1)．因此f (x )＝x1＋x 在[0，＋∞)上是增函数．(大前提)由|a |＋|b |≥|a ＋b |≥0(小前提) 知f (|a |＋|b |)≥f (|a ＋b |) 即|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |成立．20．(此题总分值12分)设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. [证明] 证法1：用分析法． 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立．又因a ＋b >0， 只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立． 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立． 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，那么(a －b )2>0显然成立． 由此命题得证． 证法2：用综合法．a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.21．(此题总分值12分)(1)已知x ，y ∈R ，求证以下不等式： ①12x 2＋12y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12y 2； ②13x 2＋23y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋23y 2； ③14x 2＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋34y 2.(2)依照上述不等式，请你推出更一样的结论，并证明你的结论．[解析] (1)证明：①12x 2＋12y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12y 2 ＝12x 2＋12y 2－14x 2－12xy －14y 2 ＝14x 2－12xy ＋14y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12y 2≥0，∴12x 2＋12y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12y 2. ②13x 2＋23y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋23y 2＝29x 2＋29y 2－49xy ＝29(x 2－2xy ＋y 2)＝29(x －y )2≥0，∴13x 2＋23y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋23y 2. ③14x 2＋34y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋34y 2 ＝14x 2＋34y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫116x 2＋38xy ＋916y 2＝316(x －y )2≥0， ∴14x 2＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋34y 2. (2)一样的结论是：已知x ，y ∈R ，a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(ax 2＋by 2)≥(ax ＋by )2. 证明：∵a ＋b ＝1，∴a ＝1－b >0，b ＝1－a >0.∵(ax 2＋by 2)－(ax ＋by )2＝(a －a 2)x 2－2abxy ＋(b －b 2)y 2＝a (1－a )x 2－2a (1－a )xy ＋a (1－a )y 2＝a (1－a )(x 2－2xy ＋y 2)＝a (1－a )(x －y )2，又∵a >0,1－a >0，(x －y )2≥0， ∴(ax 2＋by 2)－(ax ＋by )2≥0， 即ax 2＋by 2≥(ax ＋by )2.22．(此题总分值14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 知足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．[解析] (1)由S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1得a 21＝1， ∵a n >0，∴a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2得a 22＋2a 2－1＝0. ∴a 2＝2－1.由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立， 由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。