成才之路高中数学人教B,选修22练习： 第1课时

第二章 2.2 第1课时一、选择题1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件 [答案] A[解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件． 2．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．归纳法[答案] B[解析] 要证明3＋7<25最合理的方法是分析法． 3．a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥a ＋bD.2ab a ＋b ≥ab [答案] D[解析] ∵a >0，b >0，∴2aba ＋b ≤ab .4．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] ∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－(a －12)2≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2 ≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 只有当b a >0时，才有b a ＋ab≥2，∴应选C.5．若a 、b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．b >aC ．a <b <0D ．ab (a －b )<0[答案] C[解析] 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1b3⇒/a <b <0. ∴a <b <0是1a 3>1b3的一个充分不必要条件．6．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 [答案] B[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15.二、填空题7．已知a 、b 是互不相等的正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b 与4的大小关系是________．[答案] 1a ＋1b>4[解析] ∵a 、b 是互不相等的正数，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b>4. 8．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是________(形状)三角形．[答案] 等边[解析] 由OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，∴△P 1P 2P 3是等边三角形． 三、解答题9．用分析法、综合法证明：若a >0，b >0，a ≠b ，则a ＋b2>ab .[证明] (1)分析法为了证明a ＋b2>ab 成立，需证明下面不等式成立：a ＋b >2ab由于a >0，b >0，即要证(a ＋b )2>4ab 成立． 展开这个不等式左边，即得a 2＋2ab ＋b 2>4ab 即证a 2－2ab ＋b 2>0成立．即证(a －b )2>0成立，以上证明过程步步可逆， ∵a ≠b ，∴(a －b )2>0成立．故a ＋b2>ab 成立．(2)综合法由a >0，b >0，且a ≠b 知a >0，b >0，且a ≠b ∴(a －b )2>0⇒a ＋b >2ab ⇒a ＋b 2>ab .一、选择题1．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( ) A.18 B.14 C.12 D ．1[答案] C[解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12.2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A [答案] A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 3．已知a >0，b >0，1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( )A ．7＋2 6B ．2 3C ．7＋2 3D ．14[答案] A[解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a. 又∵a >0，b >0，∴由均值不等式可得：a ＋2b ＝7＋3a b ＋2ba ≥7＋23a b ·2ba＝7＋2 6.当且仅当3a b ＝2b a 且1a ＋3b ＝1，即3a 2＝2b 2且1a ＋3b＝1时等号成立，故选A.4．已知f (x )＝a x＋1,0<a <1，若x 1、x 2∈R ，且x 1≠x 2，则( )A.f (x 1)＋f (x 2)2≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 B.f (x 1)＋f (x 2)2＝f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 C.f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 D.f (x 1)＋f (x 2)2>f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 [答案] D[解析] ∵f (x 1)＋f (x 2)2＝ax 1＋1＋ax 2＋12>ax 1＋1ax 2＋1＝a x 1＋x 22＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， ∴f (x 1)＋f (x 2)2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，∴选D. 二、填空题5．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________．[答案] 1[解析] ∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1(x ∈R )是奇函数则f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x ＋1＋a (2x ＋1)－22x ＋1＝0∴a ＝1. 6．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________． [答案] p >q [解析] ∵p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥4(当且仅当a ＝3时取“＝”)，q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2<4.∴p >q .三、解答题7．设a 、b 、c 三个数成等比数列，而x 、y 分别为a 、b 和b 、c 的等差中项，求证a x ＋cy ＝2.[证明] 已知a 、b 、c 成等比数列，即a b ＝b c .由比例性质有a a ＋b ＝bb ＋c .又由题设x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，有a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2b b ＋c ＋2c b ＋c ＝2(b ＋c )b ＋c＝2，故等式成立．8．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .[证明] ∵四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，∴AB 綊CD . 又∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴CF 綊AE .∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .又AF ⊄平面PEC ，EC ⊆平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .9．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B .[证明] ∵a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(b 2＋bc )2bc ＝c 2－bc 2bc ＝c －b2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 2＋bc ＋c 2－b 22ac ＝b ＋c 2a ，∴cos 2B ＝2cos 2B －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 2a 2－1＝(b ＋c )22a 2－1＝(b ＋c )22b (b ＋c )－1＝b ＋c 2b －1＝c －b2b ，∴cos A ＝cos 2B .又∵A 、B 均为三角形的内角，∴A ＝2B .。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 2.1 第1课时合情推理同步测试 新人教B版选修2-2一、选择题1．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝( ) A ．n B ．n 2 C ．n 3 D ．n ＋3－n[答案] B[解析] ∵a 1＝1，∴(a 2－1)2－2(a 2＋1)＋1＝0， ∴a 2(a 2－4)＝0，又a n ＋1>a n ，∴a 2＝4，同理a 3＝9. 猜想a n ＝n 2.应选B.2．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第100项的值是( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 [答案] B[解析] ∵1＋2＋3＋4＋5＋…＋13＝13×13＋12＝91，∴第100项的值是14.3．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③教室内有一把椅子坏了，那么该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④ [答案] C[解析] ①是合情推理中的类比法，排除D ；②是归纳推理，排除B ；④是归纳推理．应选C.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的一个表达式是( )A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案]C[解析]a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，应选C.5．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：假设概念在R上的函数f(x)知足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案]D[解析]此题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，表现了对学生观看能力，归纳归纳推理能力的考查．6．咱们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数量的点子能够排成一个正方形(如以下图)，那么第n－1个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案]C[解析]第n－1个正方形数的数量点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.应选C.7．依照给出的数塔猜想123456×9＋7等于( )1＋9×2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B8．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于底边的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一极点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方式正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3) D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方式都正确，需注意的是类比推理取得的结论是不是正确与类比推理方式是不是正确并非等价，方式正确结论也不必然正确．应选C.二、填空题9．假设三角形内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，那么三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，依照类比思想，假设四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，那么四面体的体积V ＝________.[答案]13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)[解析] 将球心与四面体连结，组成四个棱锥，棱锥底面积别离为S 1，S 2，S 3，S 4，高都是R ， ∴V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)．10．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n 个图有________个原子，有________个化学键．[答案] 4n ＋2 5n ＋1[解析] 图①中有6个原子，6个化学键；图②中增加了4个原子，5个化学键；图③中又增加了4个原子，5个化学键；设第n 个图中原子个数为a n ，化学键个数为b n ，则a n ＝6＋(n －1)×4＝4n ＋2，b n ＝6＋(n －1)×5＝5n ＋1. 11．(2021·陕西文，13)观看以劣等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析] 观看规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．三、解答题12．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d (n >m ，n ，m ∈N *)(2)假设m ＋n ＝p ＋q ，其中，m 、n 、p 、q ∈N *，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)假设m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N *，那么a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 组成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． [解析] 等比数列{b n }中，设公比为q ，前n 项和为S n . (1)a n ＝a m ·q n －m (n >m ，n ，m ∈N *)．(2)假设m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)假设m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，那么a 2p ＝a m ·a n. (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (各项均不为零)组成等比数列. 一、选择题1．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，那么猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cosθ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n[答案] B[解析] ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.应选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的以下哪些性质，你以为比较适当的是( )①各棱长相等，同一极点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一极点上的任两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共极点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．应选C.3．把3、六、10、1五、2一、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数量的点子能够排成一个正三角形(如以下图)，试求第六个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 [答案] B[解析] 观看归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个，∴第六个三角形数为7×7＋12＝28.应选B.4．(2021·华池一中期中)平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A.43a B.63aC.54a D.64a[答案]B[解析]将正三角形一边上的高32a类比到正四面体一个面上的高63a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方式类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题5．在平面上，假设两个正三角形的边长比为12，那么它们的面积比为1 4.类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长比为12，那么它们的体积比为________．[答案]18[解析]V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.6．(2021·三峡名校联盟联考)观看以下不等式：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为__________________．[答案]1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 此题考查了归纳的思想方式．观看能够发觉，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n ＋12<2n ＋1n ＋1， 因此第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116.三、解答题7．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有如何的不等式成立？[解析] 依照已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一样性的规律：n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *)． 8．(2021·西宁质检)已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一样性的等式，使你写出的等式包括已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos 60°＋2a2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos 60°＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。

第一章 1.4 第1课时一、选择题1．设f (x )是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的积分⎠⎛－a af (x )d x ，由定积分的几何意义得⎠⎛－a af (x )d x 的值为( )A ．0B ．2⎠⎛－af (x )d xC. ⎠⎛－af (x )d xD ．⎠⎛0a f (x )d x[答案] B[解析] 偶函数图象关于y 轴对称，对称区间上面积相等．2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33 B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：(1)sin x d x ；(2)⎠⎛-4212x 2d x ；(3)－⎠⎛49(－x 12 )d x .一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1n B ．f ⎝⎛⎭⎫2n C ．f ⎝⎛⎭⎫i n D ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ⎠⎛2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛-22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛-224－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3围成的曲边梯形的面积．(提示：此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2)[解析] 将[0,2]平均分成n 等份，每份2n ，第i 个小曲边梯形的面积S 1＝2n ·(2i n )3，S ＝lim n →＋∞ 2n [(2n )3＋(4n )3＋…＋(2n n )3]＝lim n →＋∞ 16n 4(13＋23＋…＋n 3)＝lim n →＋∞ 4(n ＋1)2n 2＝4.。

第三章 3.2 第1课时一、选择题1．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－5＋2i ，z 1、z 2对应的点分别为P 1、P 2，则P 2P 1→对应的复数为)A ．－8＋6iB ．8－6iC ．8＋6iD ．－2－2i答案] B解析] 因为P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，对应的复数为z 1－z 2＝(3－4i)－(－5＋2i)＝8－6i.故选B. 2．设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的)A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案] A解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A.3．|(3＋2i)－(4－i)| ) A.58 B ．10 C ．2 D ．－1＋3i答案] B解析] 原式＝|－1＋3i|＝(－1)2＋32＝10.4．复数(1－i)－(2＋i)＋3i ) A ．－1＋i B ．1－i C ．i D ．－i 答案] A解析] 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i ＝－1＋i.5．设f (z )＝z ，且z 1＝1＋5i ，z 2＝－3＋2i ，则f (z 1－z 2) ) A ．－2＋3i B ．－2－3i C ．4－3i D ．4＋3i 答案] D解析] ∵z 1－z 2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i∴z 1－z 2＝4－3i ，∵f (z )＝z ，∴f (4－3i)＝4－3i ＝4＋3i.故选D.6．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i| ) A ．0 B ．1 C.22D ．12答案] C解析] ∵|z ＋1|＝|z －i|，∴复数z 的对应点轨迹为连结点A (－1,0)，B (0,1)的线段的中垂线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到定点(0，－1)的距离，∴|z ＋i|≥22.故选C.7．已知|z －3|＋|z ＋3|＝10且|z －5i|－|z ＋5i|＝8，则复数z ) A ．4i B ．－4i C ．±4i D ．以上都不对答案] B解析] 由几何意义可知复数z 的对应点在以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为焦点、长轴长为10的椭圆上，又在F 3(0，－5)，F 4(0,5)为焦点、实轴长为8的双曲线的下支上．如图故z ＝－4i.故选B.8．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1、z 2、z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案] D解析] 由几何意义知，z 到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心． 二、填空题9．复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1,2i,5＋2i ，则由A 、B 、C 所构成的三角形形状是________答案] 直角三角形解析] ∵|AB →|＝|2i －1|＝5，|AC →|＝|(5＋2i)－1|＝|4＋2i|＝25， |BC →|＝|(5＋2i)－2i|＝|5|＝5. 且|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．10．已知复数z 的模是2，则|z －i|的最大值为________答案] 3解析] 解法1：设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2＝2，∴x 2＋y 2＝4，|z －i|＝x 2＋(y －1)2＝x 2＋y 2－2y ＋1＝5－2y .∵－2≤y ≤2，∴1≤5－2y ≤9，∴1≤|z －i|≤3.解法2：∵|z |＝2，∴复数z 对应点z 在以原点为圆心2为半径的圆上，|z －i|表示圆上点到定点(0,1)的距离，显然|z －i|max ＝3.11．已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________答案] －1－5i解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i. 三、解答题12．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13＋2i ，求复数z 1和z 2解析] ∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝(3x ＋y )－(4y －2x )]＋(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， ∴z ＝(5x －3y )－(x ＋4y )i又∵z ＝13＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2]－5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.一、选择题1．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|) A ．1 B ． 2 C ．2 D ． 5答案] A解析] 设复数－i 、i 、－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1、Z 2、Z 3，因为|z ＋i|＋|z －i|＝2，|Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值， ∵|Z 1Z 3|＝1.故选A.2．满足条件|z |＝1及⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪z －32的复数z) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＋32i ，－12－32iB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12＋12i ，12－12i C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12＋32i ，12－32iD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫22＋22i ，22－22i 答案] C解析] 解法1：设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2，解得⎩⎨⎧x ＝12y ＝±32.∴z ＝12±32i.解法2：根据复数模的几何意义知|z |＝1是单位圆，⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪z －32是以A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0为端点的线段AB 的中垂线x ＝12. ∴满足此条件的复数z 是以12为实部的一对共轭复数，由模为1知选C.故选C.3．A 、B 分别是复数z 1、z 2在复平面上对应的两点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案] B解析] 由复数与向量的对应关系，|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|⇔|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|， ∴以OA →、OB →为邻边的平行四边形为矩形， ∴∠AOB 为直角．故选B.4．若θ∈(34π，54π)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案] B解析] cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)，θ∈(34π，54π)，θ＋π4∈(π，32π)，2sin(θ＋π4)<0，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)，θ－π4∈(12π，π)，2sin(θ－π4)>0，sin θ－cos θ>0.∴复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在第二象限． 二、填空题5．在复平面内，若复数z 满足|z ＋3|＋|z －3|＝10，则z 在复平面内对应的点的轨迹方程为____________答案] x 225＋y 216＝1解析] 根据模的几何意义，复数z 在复平面内对应的点到两定点(－3,0)、(3,0)的距离之和为定值10，故其轨迹是以(－3,0)、(3,0)为焦点的椭圆．∵2c ＝6,2a ＝10，∴b ＝4， 从而其轨迹方程是x 225＋y 216＝1.6．(2015·锦州期中)已知|z |＝1，则|1－3i －z |的最大值是________，最小值是________．答案] 3 1解析] 因为|z |＝1，所以z 在半径为1的圆上，|1－3i －z |＝|z －(－1＋3i)|即圆上一点到点(－1，3)的距离，d max ＝3，d min ＝1.7．已知z ＝1＋i ，设ω＝z －2|z |－4，则ω＝答案] －(3＋22)＋i 解析] ∵z ＝1＋i ，∴|z |＝2， ∴ω＝z －2|z |－4＝(1＋i)－22－4 ＝－(3＋22)＋i. 三、解答题8．若f (z )＝2z ＋z －3i.f (z ＋i)＝6－3i ，试求f (－z )解析] ∵f (z )＝2z ＋z －3i ，∴f (z ＋i)＝2(z ＋i)＋(z ＋i)－3i ＝2z ＋2i ＋z －i －3i ＝2z ＋z －2i ， 又f (z ＋i)＝6－3i ，∴2z ＋z －2i ＝6－3i 即2z ＋z ＝6－i设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. ∴2(a －b i)＋(a ＋b i)＝6－i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝6－b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1， ∴z ＝2＋i ，∴f (－z )＝－2z －z －3i ＝－2(2＋i)－(2－i)－3i ＝－6－4i.9．已知复数z 1、z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，z 1＋z 2＝2i ，求z 1、z 2解析] 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝2i ，∴z 2＝2i －z 1＝－a ＋(2－b )i ， |z 1＋z 2|＝2.又|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，(－a )2＋(2－b )2＝2，解得a ＝±3，b ＝1.故所求的复数为z 1＝3＋i ，z 2＝－3＋i 或z 1＝－3＋i ，z 2＝3＋i.。