分离变量法例题

分离变量一、填空题1. 已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为．2. 已知函数，若对区间上的任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是．3. 已知实数，满足条件若不等式恒成立，则实数的最大值是．4. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是．5. 若不等式对于一切成立，则的范围是．6. 已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围是．7. 若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围是．8. 已知函数，若函数在上有极值，则实数的取值范围为．9. 若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是．10. 已知方程在上有解，则实数的取值范围为．11. 若曲线通过点（），则的取值范围是．12. 设函数．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为．13. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．14. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为．15. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．16. 设，若函数存在整数零点，则的取值集合为．17. 三个同学对问题"关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围"提出各自的解题思路．甲说："只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值"．乙说："把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值"．丙说："把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象"．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．18. 已知为上的偶函数，当时，．若存在实数，对任意的，都有成立，则满足条件的最小的整数的值是．19. 关于的不等式在上恒成立，则实数范围为．20. 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围为．二、解答题21. 若函数的值恒大于，求实数的取值范围．22. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．23. 已知点，是函数图象上的两个动点，轴，点在轴的右侧，点是线段的中点．(1)设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式；(2)若（1）中的满足对所有，恒成立，求实数的取值范围．24. 若，恒成立，求实数的取值范围．25. 已知函数，．(1)当时，求的最小值；(2)若，求的取值范围．26. 若关于的方程有解，求实数的取值范围．27. 已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．28. 已知命题：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．若和都是假命题，求实数的取值范围．29. 已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求实数的取值范围．30. 已知函数，其中，．若对任意恒有，试确定的取值范围．31. 已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围．32. 若关于的方程有实数根，试确定实数的取值范围．33. 已知函数，(1)若，求的值；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．34. 设，且，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设方程在上有两个不同的解，求集合．35. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．36. 已知函数，，其中．(1)若曲线与在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；(2)若对任意恒成立，求实数的值；(3)当时，对于函数，记在图象上任意两点，连线的斜率为，若恒成立，求的取值范围．37. 已知函数．设，且．(1)试将函数表示成关于的函数，并写出的范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围．38. 已知函数．(1)当时，求在最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围；(3)若存在单调递减区间，求的取值范围．39. 设函数，方程有唯一解，数列满足，且，数列满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)数列满足，其前项和为，若存在，使成立，求的最小值；(3)若对任意，使不等式成立，求实数的最大值．40. 已知函数．(1)是否存在实数，使得函数在区间上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)当时，讨论函数的零点个数．答案第一部分1234567891011121314151617181920第二部分21 由题意对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，因为函数的最大值为，所以，即或．22 (1) 若，则，使．即．令，由上，易知．从而．(2) 若，则，都有，即．由（1）可知，此时．23 (1) 设，，，则，所以．(2) 由得，的对称轴为，因为，所以，所以在上的最大值为，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，因为当且仅当时成立，所以．24 原不等式，则有①因为由得．从而有在上最大值为．代入①得，，解得．故实数的取值范围为．25 (1) 当时，．当时，；当时，．所以的极小值为，又因为的定义域为，所以的最小值为．(2) ，即．因为，所以等价于．令，则．当时，；当时，．所以有极小值，且为最小值，为．故，所以的取值范围是．26 法一：因为当且仅当时，等号成立．所以，解得．法二：令，则方程变成．原方程有解即此方程有正根，又两根之积为，所以有解得．27 (1) ，因为，所以，故函数的值域为．(2) 由，得，令，因为，所以，所以对一切恒成立，①当时，；②当时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，综上，．28 当为真时，有，成立，所以，且，解得．所以为假时，．当为真时，对一切正实数均成立，即．又因为在上是减函数，所以，即，因此只需．所以为假时，有．综上，，都假时，有．29 (1) 或(2)30 对任意恒有，即对恒成立．即对恒成立．记，，则只需．而在上是减函数．所以，故．31 (1) 当时，，所以．由题意得，即，解得，所以函数的单调递增区间是．(2) 求导得，因为在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，易知，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为，所以的取值范围是．32 由，原方程可化为即其中．当时，有最小值；当时，有最大值．由此，因此，所求的取值范围是．33 (1) 当时，；当时，；由条件可知，即解得，．(2) 当时，即，，，，故的取值范围是．34 (1) ，且，，．，．(2) 在上单调递减，证明如下：设，．，，，，，，，在上单调递减．(3) 方程为，令，，则．方程在内有两个不同的解，．由图知时，方程有两个不同解，．35 (1) 求导函数可得，令，则或，，；令，则或，，；函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2) 由题意得，①若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，在上单调递减，，．②若函数在上的单调减函数，则在上恒成立，不可能．实数的取值范围．36 (1) ，，依题意得：，曲线在处的切线为，曲线在处的切线方程为．两直线间的距离为．(2) 令，则当时，注意到，所以，所以在单调递减，又，故时，，即，与题设矛盾．当时，，当，，当时，．所以在上是增函数，在上是减函数，所以．因为，又当时，，与不符．所以．(3) 当时，由（2）知，所以在上是减函数，不妨设，则，，所以．等价于，即，令，在上是减函数，因为，所以在时恒成立，所以．又时，，所以．又，所以的取值范围是．37 (1) 由，得．由，得．又所以(2) 因为对于任意的恒成立，所以对于任意的上恒成立．令，则．由解得；由，解得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由此，的取值范围是．(3) 方程有四个不同的解，等价于在上有两个不相等的实根，等价于函数在上有两个零点，于是解得．故的取值范围是．38 (1) ，定义域为．因为所以在上是增函数．．(2) 由题在上恒成立即因为，而当且仅当时取等号所以所以．(3) 解法1：因为因为存在单调递减区间，所以有正数解，即有正实数解．①当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．解法2：存在，使得即存在，使得由⑵得：．39 (1) 因为，方程有唯一解，所以，即有唯一解，所以，解得，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以数列首项为，公差为的等差数列．(2) 由（1）得，所以．因为，所以，所以，所以因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．(3) 因为，所以．令．因为，所以，所以所以是递增数列，所以，所以，所以的最大值是．40 (1) 因为在上单调递减，所以对任意的上恒成立，即对任意的上恒成立．而．当且仅当，即时，上式等号成立．于是故满足题意的实数的取值范围为．(2) 由，得．令，得．列表如下：极小值所以．（i）当时，，所以在定义域内无零点．（ii）当时，，所以在定义域内有唯一的零点．（iii）当时，．①因为，所以在增区间内有唯一的零点．②．设，则，所以在上单调递增，从而，即，于是在减区间内有唯一的零点．所以当时，在定义域内有两个零点．综上所述，当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．。

第三章 分离变量法3。

2 基础训练3.2.1 例题分析例1 解下列定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-==∂∂=><<∂∂=∂∂====0,20,00,0020022222t t lx x t u lx x u x uu t l x x u a t u （1） 解：分离变量，即令(,)()()u x t X x T t = （2） 代入方程（（1）中第一式），得0)()(2=+''t T a t T λ （3）0)()(=+''x X x X λ （4）其中λ为分离常数。

（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得0)()0(='=l X X （5）相应的本证值问题为求⎩⎨⎧='==+''0)()0(0)()(l X X x X x X λ （6） 的非零解．下面针对λ的取值情况进行讨论： （1）当0λ<时，（6）式中方程的通解是()X x Ae =+ （7）其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得A B Ae+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ （8）由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。

(2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。

（3）当02>=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为x B x A x X ββsin cos )(+=代入条件（6）中边界条件，得0cos ,0==l B A β由于 0≠B ，故 0cos =l β，即),2,1,0(212 =+=n ln πβ从而得到一系列固有值与固有函数2224)12(ln n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin)( =+=n x ln B x X n n π与这些固有值相对应的方程（3）的通解为),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )( =+'++'=n tlan D t l a n C t T n nn ππ于是，所求定解问题的解可表示为x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∑∞=利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得0=n D33202)12(322)12(sin )2(2ππ+-=+-=⎰n l xdxln lx x l C l n故所求的解为x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0332πππ++⨯+-=∑∞=例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。

习题3.11．考察长为l 的均匀细杆的导热问题，若（1）杆的两端温度保零度； （2）杆的两端均绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热，而初始温度分布均为)(x ϕ； 试用分离变量法求解在这三种情况下的杆的导热问题的解。

解：（1）该问题的数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧=>==><<=)()0,(0,0),(),0(0,0,2x x u t t l u t u t l x u a u xx t ϕ 其D a =2Step1：分离变量：令)()(),(t T x X t x u =，代入齐次方程及齐次边界条件有：)()()()0()()()()(2==''='t T l X t T X t T x x a t T x X由于0)(,0)(≠≠t T x X 所以有：)()0()()()()(2==='=''∆l X X t T a t T x X x X λ 整理得)()(0)()0(0)()(2=-'===-''t T a t T l X X x X x X λλStep2：求解特征值问题⎩⎨⎧===-''0)()0(0)()(l X X x X x X λ 讨论：若0=λ，则0)(=''x X此时Dx C x X +=)(将0)()0(==l X X 代入得0==D C ，于是0)(=x X ∴λ=0不合适，舍去。

若0>λ时方程0)()(=-''x X x X λ的特征方程为02=-λr ∴ λ±=2,1r∴ xxDe Cex X λλ-+=)(将0)()0(==l X X 代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-00ll DeCe D C λλ 得C=-D=0∴ 0)(=x X ∴ 0>λ也不合适，舍去。

若0<λ时方程0)()(=-''x X x X λ的特征方程为02=-λr ∴ i r λ-±=2,1∴ x D x C x X λλ-+-=s i n c o s )( 将0)0(=X 代入有C=0将0)(=l X 代入有0sin =-l D λ ∵ 0≠D ∴ 0s i n =-l λ ∴πλn l =- ∴ ,2,1,)(2=-=n ln n πλ 此时 ,2,1 sin )(==n x ln D x X n n πStep3：将2)(ln n πλ-=代入关于)(t T 的常微分方程有 0)()()(2=+'t T la n t T n n π ∴ ,2,1 )(2)(==-n eC t T t la n n n π∴ t la n n n n n n e C lx n D t T x X t x u 2)(s i n )()(),(ππ-==x ln ea t la n n ππsin2)(-= ,2,1=n 其中n a 待求。

分离变量法习题第十章习题解答1求解混合问题«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为«Skip Record If...»，则， «Skip Record If...»代入混合问题中的微分方程可得：«Skip Record If...»由初始条件可得：«Skip Record If...»由此可得，«Skip Record If...»为如下常微分方程边值问题的非零解：«Skip Record If...»若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为«Skip Record If...»，代入边值条件后可得«Skip Record If...»，不符合要求。

若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为«Skip Record If...»，代入边值条件后仍可得«Skip Record If...»，不符合要求。

若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为«Skip Record If...»，代入边界条件后可得：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以可取«Skip Record If...»由«Skip Record If...»所满足的方程可得：«Skip Record If...»，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为«Skip Record If...»，设原混合问题的解函数为«Skip Record If...»，则由初始条件可得：«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（*）所以，原混合问题的解为«Skip Record If...»，其中的«Skip Record If...»由（*）给出。

第十章习题解答1 求解混合问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(02x x u x u t l u t u t l x u a u t xx tt ϕ，其中⎪⎩⎪⎨⎧<≤++<<--≤<=lx c c x c v c x x δδδδϕ000)(0解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为)()(),(t T x X t x u =，则，)()(),(),()(),(t T x X t x u t T x X t x u xx tt ''=''=代入混合问题中的微分方程可得：λ-=''=''⇒=''-'')()()()(0)()()()(22t T t T a x X x X t T x X a t T x X 由初始条件可得：0)()0(0)()(),()()0(),0(==⇒====l X X t T l X t l u t T X t u 由此可得，)(x X 为如下常微分方程边值问题的非零解：⎩⎨⎧==<<=+''0)(,0)0()0(0)()(l X X l x x X x X λ若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为 )ex p()ex p()(21x c x c x X λλ-+=，代入边值条件后可得0)(021≡⇒==x X c c ，不符合要求。

若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c c x X 21)(+=，代入边值条件后仍可得0)(021≡⇒==x X c c ，不符合要求。

若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c x c x X λλsin cos )(21+=， 代入边界条件后可得：x c x X c c c X λλλsin )(00sin 0cos )0(2121=⇒==+=，22,0sin 0)(,0sin )(⎪⎭⎫⎝⎛===⇒≠==l n l x X l c l X n πλλλλ，所以可取 ),2,1(sin)()(Λ===n lx n x X x X n π由)(t T 所满足的方程可得： latn b l at n a t T t T t T at T n n n ππλsincos)()(0)()(22+==⇒=+''， 所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 lxn l at n b l at n a t T x X t x u t x u n n n n n πππsin)sin cos ()()(),(),(+===， 设原混合问题的解函数为 ∑+∞=+=1sin )sin cos(),(n n nlx n l at n b l at n at x u πππ， 则由初始条件可得：),2,1(0sin)0,(01Λ==⇒==∑+∞=n a lxn a x u n n n π ∑+∞==1sin cos ),(n n t l xn l at n b l a n t x u πππ， ⎰∑=⇒==+∞-l n n n t dx l xn x a n b l x n b l at n x u x 01sin )(2sin )0,()(πϕπππϕ， ))(cos )((cos 2sin 22200l c n l c n an l v dx l x n v a n b c c n δπδππππδδ+--==⎰+- （*） 所以，原混合问题的解为 ∑+∞==1sin sin),(n n lxn l at n b t x u ππ，其中的n b 由（*）给出。

26上海中学数学2014年第4期用“变量分离法"解几个含参问题211700江苏省盱眙县实验中学姜登翠211700江苏省盱眙中学李刚l问题的提出文[1]研究了几个有关函数不等式恒成立求参数值的范围问题，解决了“变量分离法”不易解决时的一般处理策略，笔者读后深受启发，并对文中涉及的三道例题作了进一步探究，在使用“变量分离法”之后，如果从高等数学角度来研究会更加方便．7．如图10是一座建筑纪念物的底座(不能进入建筑物内)，工人师傅想测量一下在地面上形成的么A B C的度数，你能找到测量的办法吗?B图10(五)小结反思本节课你有什么收获?还有什么疑惑?设计意图：通过对所学知识进行回顾和梳理，学生提升了归纳总结能力．(六)作业布置作业分为必做题和选做题．必做题是面向全体学生的题目，侧重于基础知识及其应用；选做题供学有余力的学生选做，侧重于拓展性和创新性．设计意图：布置习题分为必做题和选做题，为学生提供个性化发展的空间．通过动手做数学，学生开拓了思维空间，提高了自主探究能力，逐步养成反思总结的学习习惯．三、思考与启示(一)注重知识形成的“过程化”通过创设合适的情境，学生经历了“具体一抽象一具体”的认知历程，感受到了知识的发生过程，体会了知识的形成过程，从中体悟了知识的“前世今生”，提高了学思维能力．本设计中，学生经历了对顶角的实际背景和形成过程，能够有效识别对顶角文[1]的三道例题如下：例1已知函数厂(z)一z2+2z+以l嗽，当￡≥1时，不等式厂(2f一1)≥2．厂(f)一3恒成立，求实数丑的取值范围．例2设函数厂(z)一∥一1一z—nz2．(1)略；(2)若当．r≥o时，厂(．r)≥o，求n的取值范围．例3已知函数厂(z)一z一1n(z+口)的最小值的关键特征．(二)注重问题解决的“过程化”学生经历了知识的发生发展过程后，需要进一步把新知识纳入自己的认知结构．本设计中，题组的有效创设为学生搭建了“观察一猜想一说理”的平台，这一过程深化了学生解决问题的过程．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化渗透于问题解决中，加深了学生对对顶角的概念及其性质的理解．假以时日，学生的问题解决能力一定能够从“简单模仿”的初级阶段逐步飞跃到“图式应用”的高级阶段．(三)注重总结反思的“过程化”一节课下来，学生的收获各有不同，但是优秀的教学设计下课程的目标达成应比较接近“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上有不同的发展”．探究发现数学理论(定义、性质、法则、定理等)的过程也是不断反思、不断提出问题的过程，这种反思应该始终伴随着教学活动的进行而开展．这样的教学设计帮助学生将反思孕于教学的始终，而不是课堂小结环节的五分钟．刘素梅老师在其编写的《教师反思与写作手册》中写道：“思之则活，思活则深，思深则透，思透则新，思新则进．”因此，应把总结反思贯穿于整个课堂的学习过程，使数学学习过程成为学生在已有经验基础上的主动建构过程，做到生本课堂，从而大幅度地提升教学效能．参考文献[1]胡瑁。

分离变量法解决导数问题目录类型一：恒成立（存在问题）求解参数a范围 (1)角度1：完全分离参数法 (1)角度2：部分分离参数法 (7)类型二：已知零点个数求解参数a范围 (11)角度1：完全分离参数法 (11)角度2：部分分离参数法 (16)高频考点类型一：恒成立（存在问题）求解参数a范围角度1：完全分离参数法角度2：部分分离参数法由此可得当0k ≤时，(k x +当0k >时，要使不等式2x 当()y f x =过点()()4,4g 时，显然()()22h g >，即(2)f >则这两个整数要么是2，3，不是当(1)0f ≤时，即20a -≤，解得显然至少有3个整数使得对应的函数值大于是3，所以()()()()()()112233g fg fg f⎧<⎪<⎨⎪≥⎩,即22ln234ln246ln2kkk<⎧⎪<-⎨⎪≥-⎩解得342ln2 ln433k≤<.类型二：已知零点个数求解参数a范围角度1：完全分离参数法由图象，知要使直线y a=与只需a<0或2e14a+ =.综上，若()0f x=有两个不等的实根，则＜.，).＝.令g(x )＝，g′(x )＝，所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在所以g (x )max ＝g (1)＝.当x →－∞时，g (x )＜0当x →＋∞时，g (x )＞根据函数的图象，若方程＝有两个不同的解，则，).2．（23-24高二下·阶段练习）已知函数x +220x y --=.(1)求()f x 的解析式；(2)若方程()f x m =【答案】(1)()f x =2⎛⎫.3．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若方程()()R f x a a =∈有两个实数解，求实数角度2：部分分离参数法例题1．（2024高三上·河南·专题练习）已知函数因为函数21e ()()x ag x f x x-+=-+所以121e e ea --=，解得3e a =+【点睛】关键点点睛：第(2)问的转化是一个关键，由于直接研究函数练透核心考点1．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数()e cos 2xf x ax x =-+-．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在()0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)当1a >时，判断()f x 在()0,∞+零点的个数，并说明理由．【答案】(1)()1y a x =-(2)(],1-∞(3)仅有一个零点，理由见解析；【分析】（1）利用导函数的几何意义，求出()f x 在()()0,0f 处的导数值，再由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）根据导函数与原函数的关系可知，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，构造函数()()e sin ,0,x g x x x =-∈+∞并求出其最小值即可求得实数a 的取值范围；（3）利用函数与方程的思想，求出方程e cos 2x x ax +=+的根的个数即可，在同一坐标系下画出函数()e cos xh x x =+和2y ax =+的图象，利用切线方程位置可求出结果.【详解】（1）由()e cos 2x f x ax x =-+-可得()e sin xf x a x '=--，此时切线斜率为()0e sin 010f a a '=--=-，而()00e 0cos020f =-+-=；所以切线方程为()()010y a x -=--，即()1y a x =-；即曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()1y a x =-；（2）根据题意，若()f x 在()0,∞+上单调递增，即可得()e sin 0xf x a x '=--≥在()0,∞+上恒成立，即e sin x a x ≤-恒成立；令()()e sin ,0,x g x x x =-∈+∞，则()()e cos ,0,xg x x x '=-∈+∞；显然e x 在()0,x ∈+∞上满足0e e 1x >=，而cos 1≤x 恒成立，所以()e cos 0xg x x '=->在()0,x ∈+∞上恒成立；即()e sin xg x x =-在()0,x ∈+∞单调递增，所以()()01g x g >=；所以1a ≤即可；因此实数a 的取值范围为(],1-∞.（3）令()e cos 20xf x ax x =-+-=，即可得e cos 2x x ax +=+；构造函数()e cos x h x x =+，()0,x ∈+∞，易知()e sin 0xh x x '=->在()0,∞+上恒成立，即()h x 在()0,∞+上单调递增，如下图中实曲线所示：又函数2y ax =+恒过()0,2，且()00e cos0=2h =+，易知()00e sin 01h '=-=，所以函数()e cos xh x x =+在()0,2处的切线方程为2y x =+；又1a >，所以2y ax =+（图中虚线）在()0,∞+范围内恒在2y x =+（图中实直线）的上方；所以由图易知2y ax =+与()e cos xh x x =+在()0,∞+范围内仅有一个交点，即函数()f x 在()0,∞+内仅有一个零点.。

分离变量练习题分离变量是微积分中一种常用的技巧，用于解决某些复杂函数的微分方程。

通过分离变量，我们可以将一个关于多个变量的微分方程转化为一系列关于单个变量的方程，从而更容易求解。

以下是几道分离变量的练习题，帮助你熟悉和掌握这个技巧。

练习题一：解方程：dy/dx = xy解法：首先将方程中的变量分离，得到 dy/y = x dx。

对上述等式两边进行积分，得到 ln|y| = (x^2)/2 + C，其中C为常数。

再通过指数函数的性质，得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。

练习题二：解方程：dy/dx = 3x^2 y^2解法：将方程中的变量分离，得到 y^(-2) dy = 3x^2 dx。

对上述等式两边同时积分，可以得到 -y^(-1) = x^3 + C，其中C为常数。

移项并对等式两边取倒数，得到 y = -1/(x^3 + C)，其中C为任意常数。

练习题三：解方程：dy/dx = 2xy/(1+x^2)解法：将方程中的变量分离，得到 (1+y^2) dy = 2x dx。

对上述等式两边同时积分，可以得到 y + (1/3)y^3 = x^2 + C，其中C为常数。

练习题四：解方程：dy/dx = x/y解法：将方程中的变量分离，得到 y dy = x dx。

对上述等式两边同时积分，可以得到 (1/2)y^2 = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。

通过以上四道练习题，你有机会更好地理解和掌握分离变量的技巧。

不同的题目可能会有不同的方程形式，但核心思想始终是将方程中的变量分离并进行积分，最终得到解析解。

在实际应用中，分离变量常被用于求解物理、生物和经济等领域中的微分方程问题。

需要注意的是，对于某些方程，可能不存在解析解，或者解析解过于复杂难以计算。

在这种情况下，我们可以考虑使用数值方法进行求解，例如欧拉法或龙格-库塔法等。

希望以上练习题对你加深对分离变量的理解有所帮助。

继续练习和应用这个技巧，你会在微积分的学习中取得更多的进展。

偏微分方程分离变量法两题例1. 求解定解问题：()0,02,0(0,)(2,)0(,0)sin ,(,0)0tt xx x x t u u x t u t u t u x x x u x ππ-=<<>⎧⎪==⎨⎪=-=⎩。

解：设)()(),(t T x X t x u =，代入方程分离变量整理得0,0X X T T λλ''''+=+=，代入条件边界条件有(0)(2)0X X π''==， 从而求得固有值2()2n n λλ==，固有函数()cos 2n n X x x =，0,1,2,n= 代入固有值，可解得()sin cos 22n n n n n T t C t D t =+， 因此满足边界条件的解为0(,)(sin cos )cos 222n n n n n n u x t C t D t x ∞==+∑ 代入初值条件得 0n C =， 0221232,0,(21)(21)(23)n n D D D n n n π+===-++ 从而得原问题的解：202121cos sin 22(,)32(21)(21)(23)n n n x t u x t n n n π∞=++⎛⎫ ⎪=+ ⎪-++ ⎪ ⎪⎝⎭∑2.用分离变量法求解下列矩形域上的边值问题：00cos 0,01,1cos ,1xx yy x x x y y u u x x y u u u x x u x ππππ====⎧+=<<<<⎪⎪=-=⎨⎪=-=-⎪⎩ 解：(,)(,)()u x t v x t w x =+，其中()w x 满足常微分方程边值问题 ()cos (0)1,()1w x x w w π''=⎧⎨'=-=⎩，解该问题得()cos w x x x =-， 于是得()v x 满足的定解问题：0000,00,00,cos 1xx yy x x x y y v v x y v v v v x ππππ====⎧+=<<<<⎪⎪==⎨⎪==-⎪⎩。