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02 第二节 可分离变量的微分方程.

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可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程

代入原方程得
du (1 2e ) u y 2e u (1 u) 0 dy
u
u 1 2 e dy 分离变量，得 du 0 u y u 2e
两端积分
d ( u 2e u ) dy u 2e u y ln C
y( u 2e u ) C .
.
第三节 齐次方程
dy y 1. 定义 可化为形如 dx x
的一阶微分方程, 称为齐次方程.
例如，方程 (2 y 2 xy )dx ( x 2 xy y 2 )dy
y y 2 2 dy 2 y xy x x . 可化成 2 2 2 y y dx x xy y 1 x x 是齐次方程.
两端积分

dy csc xdx y ln y
lnln y ln(csc x cot x ) ln C
于是，y
e
C (csc x cot x )
为原方程的通解.
将y x e 代入，有
2
ee
C (10)
, C 1.
csc x cot x
故所求特解为
ye
du u cos u 1 代入原方程得 x u dx cos u dx 分离变量，得 cos udu x
两端积分，得
sin u ln x C
y 原方程的通解为 sin ln x C . x
x x x y y 例2 解方程 1 2e dx 2e 1 dy 0. y x dx du 解 令 u( y ), 则 u y . y dy dy

dy f ( x )dx . g( y )

第二节可分离变量的微分方程-PPT精品

第二节可分离变量的微分方程-PPT精品

规衰变律
思考题
求解微分方程 d yco x syco x sy.
dx 2
2
思考题解答
d yco x syco x sy0 ,
dx 2
2
dy2sin xsin y0, dx 2 2
2sdiyny sin2xdx,
2
lncscy coty 22
2cosxC, 2
为所求解.
三、齐次方程
1.定义 形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
(0衰变)系dM数 M dt
dMMdt, l|n M | t lC n 1 ,即 MC et,
代M 入 t0M 0 得M0C0e C,
M M 0et
dx
解 dy 2 y y dx x x
令u y , 则 dy u x du ,
x
dx
dx
有uxdu 2 uu, dx
1 du dx 0, 2(u u) x
2(u1 u)dudxx 0,
x( u 1) c
微分方程的解为
xy x c
四、小结
１分离变量法步骤: 分离变量;
化下列方程为齐次方程,并求出通解:
1、 y x y 1 ； x y3
2、 (2 x 5 y 3)dx (2 x 4 y 6)dy 0 .
练习题答案
一、1、y2 x2(2lnx C)；
x
2、x2yey C. 二、1、y2 x2 y3；
2、x2 y2 x y. 三、1、arctayn21ln[(x1)2 (y2)2]C；

第二节--可分离变量微分方程教学文案

第二节--可分离变量微分方程教学文案

分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
积 分 得 aru c 1 t ln a 1 u n ( 2 ) l|n x | C , 2
或 写 成 x1 u 2 C 1 e aru c, tan
再 将uy代 入 ,得 通 解 为 x
xduu f(u) dx
注意：须将u代回.
例
求方dy程 ytayn的通解。 dx x x
dyxd u u dx
解 令 uy，d则 yuxdu，
x dx dx
dy xduu
于是，原方程化为
dx dx
du dx， tanu x
两边积分，得
tdaunudxx，
1 coxtcoxs
tanx
sinx
l|n su i | l n |n x | l|n C |，
当q(x)0时， 方程称为一阶非齐线性方程。
一般说来， p(x)、 当 q(x)函 C数 时，方程有唯
习惯上，称 为方程
yp(x)y0 y p (x )y q (x )
所对应的齐方程。
一阶齐线性方程的解
方程 yp(x)y0是一个变量可。 分离方程
运用分离变量法，得
两边积分，得
dyp(x)dx， (y0)， y
这时旋转曲面方程为
y2z2d4h2x1d26h
三、可化为齐次方程的方程
dY dX
Y X
齐次方程
变量代换
dyfa1xb1yc1 dx a2xb2yc2 可化为齐次方程的方程
变量代换 YZX
a 1x b 1yc 10
dZ dX f (Z)Z X 变量分离方程
a 2x b 2y c2 0

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程
M M0
（2）解微分方程： ）解微分方程： 分离变量 两边积分
dM ∫ M = ∫ λdt ,
O
t
ln M = λt + ln C , 即M = Ce λt , 代入M t = 0 = M 0 ,得 M 0 = Ce 0 = C ,
∴ M = M 0e
λt
衰变规律
放射性物质都具有类似的衰变规律： 放射性物质都具有类似的衰变规律：
A B C ,b = , 记a = D D
若a = 0, 即A = B ,
饮食量仅够维持新陈代谢 身体快速消瘦
则w = w0 e bt . lim w ( t ) = 0
dw = a bw(t ). 若b = 0,即C = 0, 只吃饭、不锻炼 dt 只吃饭、 dw 则方程变为 = a , 解得w = at + w0 . dt 当t → ∞时，w → ∞ . 身体越来越胖 危险！ 危险！
思考题
下列微分方程是否为可分离变量方程 下列微分方程是否为可分离变量方程? 是否为可分离变量方程
y′ 1. x = y x +y
2 2
不是 是 是
2. y(1 + x 2 ) y′ x 1 y 2 = 0
3. 2e dx + ( 1 x ) dy = 0
y
作业
p.269 习题 －2 习题12－ 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
(1 )
y′ = f ( x , y )
问题： 问题： d y = 2 x y 2 dy = 2 xdx dy = 2 xdx dx y2 y2 dy dx 1 xy ′ y ln y = 0 = = x2 + C 例如： 例如： y ln y x y 1 ( e x + y e x ) dx + ( e x + y + e y ) dy = 0y = x 2 + C e x (e y 1)dx + e y (e y + 1)dy = 0 y e ex dy = x dx y 1e e +1 均可化为(1)的形式 的形式. 均可化为 的形式

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程
解: 方程变形为
y (1) 0
dy y y 2 1 ( ) dx x x y 这是齐次方程, 令u 代入方程得 x du x 1 u2 dx du dx 将变量分离后得 2 x 1 u
两边积分得: ln u 1 u 2 ln x ln c 整理后得 变量还原得
dx 2 x 1 u
du
u 1 u cx
2
y y 2 1 ( ) cx x x
最后由初始条件 (1) 0, 可定出c 1. y
故初值问题的解为
1 2 y ( x 1) 2
(II) 形如
dy a1 x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
dy dx
a1 x b1 y c1 dY a1 X b1Y Y f a x b y c dX f ( a X b Y ) g ( X ) 2 2 2 2 2
此外,诸如
dy f (ax by c) u ax by c dx
(2.2)
f (x)的某一原函数 1 的某一原函数 ( y)
由(2.2)所确定的函数 ( x, c)就为(2.1)的解. y
例：
分离变量: 两边积分:
dy x2 y2 1 dx dy x 2 dx y2 1
dx C
1 3 arctan y x C 3
1 两边积分得: sin x c, y
dy cos xdx 2 y
1 因而通解为: y sin x c ,
其中c为任意常数 .
此外y 0也是方程的解 且不能在通解中取适当 c得到. , 的
再求初值问题的通解, 以y(0) 1代入通解 得c 1 ,

02 第二节 可分离变量的微分方程.

02 第二节 可分离变量的微分方程.

第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★可分离变量微分方程★例2 ★例6★逻辑斯谛方程★齐次方程★例1★例4 ★例5 ★例8 ★例10★例13 ★例14★例17 ★例18★例3 ★例7 ★例9★例11 ★例12★可化为齐次方程的微分方程★例15 ★内容小结★习题7—2★例16★课堂练习★返回内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程dydx=F(x,y),如果其右端函数能分解成F(x,y)=f(x)g(x)，即有dydx=f(x)g(y). (2.1)则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(x)都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如dy⎛y⎫=f ⎪ (2.8) dx⎝x⎭的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的微分方程：对于形如dy⎛a1x+b1y+c1=f ax+by+cdx22⎝2⎫⎪⎪⎭的方程，先求出两条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0的交点(x0,y0)，然后作平移变换⎧X=x-x0⎨⎩Y=y-y0 即⎨⎧x=X+x0⎩y=Y+y0 这时，dydx=dYdX，于是，原方程就化为齐次方程⎛a1X+b1Y=f aX+bYdX2⎝2dY⎫⎪,⎪⎭例题选讲可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程解分离变量得从而y=±ex例2（E02）求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy的通解.解先合并dx及dy的各项,得y(x-1)dy=(y2-1)dx设y2-1≠0,x-1≠0,分离变量得两端积分⎰yy-122dydx=2xy的通解. dyy=dyy=2xdxx2两端积分得⎰⎰2xdxln|y|=x2+C1 2+C1=±eC1⋅e,记C=±eC1,则得到题设方程的通解 y=Cex. yy-12dy=21x-1dx dy=⎰x-11dx得 12ln|y-1|=ln|x-1|+ln|C1|于是 y2-1=±C12(x-1)2记C=±C12,则得到题设方程的通解 y2-1=C(x-1)2.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定g(y)≠0的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使g(y)=0的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C≠0，但这样方程就失去特解y=±1，而如果允许C=0，则y=±1仍包含在通解y-1=C(x-1)22中.例3 已知 f'(sin2x)=cos2x+tan2x, 当0<x<1时，求f(x).解设y=sin2x,则cos2x=1-2sin2x=1-2y,sincos22tan2x=xx=sin2x21-sinx=y1-y.所以原方程变为f'(y)=1-2y+⎛⎝1y1-y,即f'(y)=-2y+11-y. 所以 f(y)= -2y+⎫2⎪dy=-y-ln1(-y)+C, 1-y⎪⎭故 f(x)=-[x2+ln(1-x)]+C(0<x<1).例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律.解设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t),在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:⎧dT(1)⎪=-k(T-20) ⎨dt(2)⎪T|t=0=100⎩其中k(k>0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分⎰1T-20=dTT-20=-kdt; ⎰-kdt,得ln|T-20|=-kt+C11(其中C1为任意常数)， 1即 T-20=±e-kt+C=±eCe-kt=Ce-kt(其中C=±eC). 1从而T=20+Ce-kt,再将条件(2)代入,得C=100-20=80,于是，所求规律为T=20+80e-kt.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37 C按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为35 C，并且假定周围空气的温度保持20 C 不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是30 C，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？解根据物体冷却的数学模型，有⎧dT⎪=-k(T-20),⎨dt⎪⎩T(0)=37k>0,.其中k>0是常数．分离变量并求解得T-20=Ce-kt，为求出k值，根据两个小时后尸体温度为35 C这一条件，有35=20+17e-k⋅2，求得k≈0.063，于是温度函数为T=20+17e-0.063t，将T=30代入上式求解t，有1017=e-0.063t，即得t≈8.4(小时)．于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.例6（E04）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.解设降落伞下落速度为v(t),降落伞下落时，同时收到重力P与阻力R的作用. 降落伞所受外力为 F=mg-kv根据牛顿第二定律: F=mα,得到v(t)满足微分方程mdvdt=mg-kv (1)初始条件 vt=0=0.将方程(1)分离变量得dvmg-kvdtm=两边积分得⎰mg-1kdv-kv=⎰m tm+C1，-kmt-kC⎛e1C＝－ k⎝dtln(mg-kv)=即 mg-kv=e⎛t⎫-k +C1⎪⎝m⎭或 v=mgkmgk+Ce⎫⎪⎪⎭代入初始条件得 C=-⎫⎪. ⎪⎭k-tmg⎛m 1-e故所求特解为 v=k ⎝下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t),则有dh(t)dt=kh(t)[H-h(t)] (2.8)其中k>0的是比例常数. 这个方程称为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.注：Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”,因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型dydt=y(k-by),y(t0)=y0 (2.9)其中k,b的称为生命系数.这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得b=2，从而估计得：(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿.(2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得，水从孔口流出的流量为Q＝dVdt=0⋅流量系数孔口截面面积重力加速度S=1cm, ∴dV=0.6222ghdt. ①2设在微小的时间间隔[t,t+∆t],水面的高度由h降至h+∆h,则dV=-πrdh,r=2-(100-h)2=200h-h, ∴dV=-π(200h-h)dh. ② 22比较①和②得:-π(200h-h)dh=0.622ghdt, 即为未知函数得微分方程.dt=-2π0.622g-(200h-h)dh,3ht=0=100, ∴C=π0.622g⨯14155⨯10,5所求规律为 t=π4.652g(7⨯10-103h3+3h).5例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?解设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x(t)%,在[t,t+dt]内，CO2的通入量=2000⋅dt⋅0.03,CO2的通入量—CO2的排出量,即dxdt16-16t12000dx=2000dt⋅0.03-2000dt⋅x(t)=-16(x-0.03)x=0.03+Ce,e由x|t=0=0.C=0.07x=0.03+007-t,-1x|t=6=0.03+0.07e≈0.056,故6分钟后，车间内CO2的百分比降低到0.056%. 齐次方程例9（E05）求解微分方程dydx=yxyx+tandydxyx满足初始条件ydudx1x, dx.x=1=π的特解.解题设方程为齐次方程,设u=代入原方程得u+x dudx,则=u+x=u+tanu,分离变量得cotudu=两边积分得ln|sinu|=ln|x|+ln|C|sinu=Cx, 将u=yx回代，则得到题设方程的通解为sinyx=Cx.利用初始条件y|x=1=π/6,得到C=例10 求解微分方程xdx212.从而所求题设方程的特解为sinyx=12x.-xy+y2=dy2y2-xy.解原方程变形为dydx=2y-xyx-xy+y222=y⎛y⎫2 ⎪-x⎝x⎭1-⎛y⎫+ ⎪x⎝x⎭22y2,令u=yx,则dydx=u+xdudx,方程化为u+xdudx=2u-u21-u+u,分离变量得⎢两边积分得⎡1⎛1⎣2⎝u-2-1⎫21⎤dx+du=, ⎪-⎥xu⎭u-2u-1⎦ln(u-1)-32ln(u-2)-=Cx.12lnu=lnx+lnC,整理得u-1u(u-2)3/2所求微分方程的解为 (y-x)2=Cy(y-2x)3. 例11（E06）求解微分方程 y+x22dydx2=xydydx.解原方程变形为dydx=y22xy-xdudx⎛y⎫⎪⎝x⎭,（齐次方程） =y-1xdudx=u2令u=yx,则y=ux,⎛⎝dydx=u+x,故原方程变为u+xu-1,即xdudx=uu-1.分离变量得 1-回代u=yx1⎫dx⎪du=.两边积分得u-ln|u|+C=ln|x|或ln|xu|=u+C. u⎭x ,便得所给方程的通解为 ln|y|=yx+C.例12 求下列微分方程的通解:x(lnx-lny)dy-ydx=0. 解原方程变形为ln代入原方程并整理yxdy+yxdx=0,dxx令u=.yx,则dydx=u+dudx,lnuu(lnu+1)du=-两边积分得 lnu-ln(lnu+1)=-lnx+lnC,即y=C(lnu+1).变量回代得所求通解 y=C ln⎝⎛⎫+1⎪. x⎭y例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面——旋转抛物面. 解设旋转轴Ox轴，光源在(0,0), L:y=y(x),1设M(x,y)为L上任一点，MT为切线，斜率为y',MN为法线，斜率为-, ∠OMN=∠NMR, ∴tan∠OMN=tan∠NMR, 由夹角正切公式得-1ytan∠OMN=y'-x1-y, tan∠NMR=1y',xy'x2得微分方程 yy'+2xy'-y=0, y'=-y±⎛ x⎫y⎪⎪+1,⎝⎭2令 u=yx,方程化为 u+xdu1±1+udx=-u, 分离变量得udu=-dx,(1+u2)±+u2x令 1+u2=t2,得tdtt(t±1)=-dxx,积分得 ln|t±1|=lnCx, 即u2+1=Cx±1.平方化简得u2=C22Cx2+x, 代回u=yx,得y2=2C ⎛x+C⎫⎝2⎪.⎭y'所求旋转轴为Ox轴得旋转抛物面的方程为 y2+z2=2C x+⎝⎛C⎫⎪. 2⎭例14（E07）设河边点O的正对岸为点A, 河宽OA=h, 两岸为平行直线, 水流速度为 a, 有一鸭子从点A游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为b(b>a), 且鸭子游动方向始终朝着点O, 求鸭子游过的迹线的方程.解设水流速度为a(|a|=a),鸭子游速为b(|b|=b),则鸭子实际运动速度为v=a+b. 取坐标系如图，设在时刻t鸭子位于点P(x,y),则鸭子运动速度v={vx,vy}={xt,yt}, 故有dxdyxtytvxvy .现在a=(a,0),而b=be,其中ePO为与PO同方向的单位向量. po ==由PO=-{x,y},故ePO=-{x,y}于是b=-bx+y22x+y, 22{x,y},⎛ v=a+b=a-⎝bxx+y22,-byx+y22⎫⎪. ⎪⎭由此得微分方程dxdy=vxvy=-ax+yby222+xy,即 dxdy=-abxy⎛x⎫x ⎪+1+, y⎪y⎝⎭=u,则x=yu,ydxdy=yabdudy+u,代入上面的方程,得 2初始条件为x|y=h=0.令dudy=-u+1,分离变量得abduu+12=-abydy, 积分得arshu=-故x=y2[(Cy)-a/b(lny+lnC),a/b即u=shln(Cy)-a/b=1[(Cy)1-a/b12[(Cy)-a/b-(Cy)a/b], -(Cy)]=2C-(Cy)1+a/b]. 将初始条件代入上式得C=1/h,故所求迹线方程为1-a/b1+a/b⎤⎛y⎫h⎡⎛y⎫- ⎪⎢⎪⎥,0≤h≤y. x=h⎭2⎢⎝h⎭⎝⎥⎣⎦可化为齐次方程的方程例15（E08）求dydx=x-y+1x+y-3的通解.解直线x-y+1=0和直线x+y-3=0的交点是(1,2),因此作变换x=X+1,y=Y+2.代入题设方程,得dYdX=Y⎫⎛= 1-⎪X⎭X+Y⎝X-YY⎫⎛1+⎪X⎭⎝dudX12=1-u1+u,令u=YX,则Y=uX,dYdX2=u+XdudX,代入上式,得u+X2分离变量,得即u=YX1+u1-2u-udu=ln|X|+lnC1,两边积分,得-ln|1-2u-u|=ln|X|+lnC1回代得X2-2XY-Y2=C,再将X=x-1,Y=y-2回代，并整理所求题设方程的通解x2-2xy-y2+2x+6y=C. 例16（E09）利用变量代换法求方程解令x+y=u,则分离变量得du1+u2dydx=(x+y)的通解.dudx=1+u,22dydx=dudx-1,代入原方程得=dx,两边积分得arctanu=x+C,回代得arctan(x+y)=x+C,故原方程的通解为y=tan(x+C)-x.例17 求微分方程y'=解令u=x+2y,则dudx12tan(x+2y)dydx22的通解.=1+2,代入原方程得u⇒1⎛du⎫1-1⎪=tan2⎝dx⎭2dudx=1+tanu,2即dudx=secu.2分离变量得两端积分得dusecu2=dx或1+cos2u2du=dx.1⎛1⎫u+sin2u⎪=x+C,2⎝2⎭即sin[2(x+2y)]+4112(x+2y)=x+C,故所求通解为 y=x2+C-14sin(2x+4y).例18 求下列微分方程的通解. x+y222yy'=ex+x+yx22-2x.解令u=x+y,则再令v=ux,则dudxdvdx22dudx=2x+2ydydx,原方程化为dudxdxxu=ex+ux. =v+x,代入上式，并整理得e-vdv=,两边积分得 -e-v=lnx+C,变量还原得通解x+y22-ex=lnx+C.课堂练习1.求微分方程dydx+cosx-y2=cosx+y2的通解.x2.方程⎰⎡2y(t)+t2+y2(t)⎤dt=xy(x)是否为齐次方程? 0⎢⎣⎥⎦3.求齐次方程(x+ycosyx)dx-xcosyxdy=0的通解.。

什么是可分离变量的微分方程

什么是可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程是指可以通过分离变量的方法将微分方程转化为两个只包含一个变量的方程，然后分别对这两个方程进行积分的微分方程形式。

具体而言，可分离变量的微分方程可以写成以下形式：
dy/dx = f(x)g(y)
其中，f(x)是关于自变量x的函数，g(y)是关于因变量y的函数。

为了解这个微分方程，我们可以将dy/dx 移至方程的一边，将g(y) 移至方程的另一边，得到：
1/g(y) dy = f(x) dx
然后我们可以对两边同时积分，得到：
∫(1/g(y)) dy = ∫f(x) dx
这样就将原始的微分方程分离成两个只包含一个变量的方程，分别是关于y的方程和关于x的方程。

最后，通过求解这两个方程，可以得到原始微分方程的解析解或者特定的解形式。

需要注意的是，并非所有的微分方程都是可分离变量的微分方程，但可分离变量的微分方程是一类比较容易求解的常见微分方程形式。

第二节 可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程

曲线族的包络。
y
y ( x C)
2
o
y0
x
例5 设雨滴在下落的过程中所受到的空气的阻力与其下落的
速度的平方成正比，求雨滴运动速度随时间变化的规律。 解 设雨滴下落的速度为 v(t) ，雨滴下落时，同 时受到重力 P 与阻力 R 的作用，重力大小为 mg , 方向与 v 一致，阻力大小为 kv
例10 解 如图
抛物线的光学性质
实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面
y T
设旋转轴ox轴
光源在(0,0), L : y y( x ) 设M ( x , y )为上任一点，
M
R
MT为切线, 斜率为 y,
O
N
x
OMN NMR ,
1 MN为法线, 斜率为 , y
L
T
y
M
CO2 的通入量 2000 dt 0.03, CO2 的排出量 2000 dt x( t ),
CO2 的改变量 CO2 的通入量 CO2 的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x( t ),
1 t 6
dx 1 ( x 0.03), x 0.03 Ce dt 6
2
A
h
}
O
b
P
a
v
x
所以
a x y dx vx x dy v y by y
2
dx a x x 1 dy b y y
2
dx a x x 1 dy b y y
令
2
x dx du u, y u, dy dy y
代入上方程，得

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程

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令u = xy, 则 du = xdy + ydx ,
du − ydx f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x
dx g(u) du = 0, + x u[ f (u) − g(u)] g ( u) du = C . 通解为 ln | x | + ∫ u[ f ( u) − g ( u)]
u − ln(1 + eu ) = x + C ln(1 + ex+ y ) = y − C ( C 为任意常数 ) 所求通解: 所求通解
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三、小结
1.可分离变量微分方程的概念 可分离变量微分方程的概念 说明］ ［说明］通解不一定是方程的全部解 . 例如, 例如 方程
y x 提示］ ［提示］(1) 分离变量 1 + y2dy = 1 + x2dx
(2) 方程变形为 y′ = −2cos xsin y y ln tan = −2sin x + C 2
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补例1】 【补例 】 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37° 按照牛 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 °C按照牛 顿冷却定律（ 顿冷却定律（物体温度的变化率与该物体和周围介质 温度之差成正比）开始变凉。 温度之差成正比）开始变凉。假设两个小时后尸体温 并且假定周围空气的温度保持 空气的温度保持20° 度变为 35°C ，并且假定周围空气的温度保持 °C ° 不变。 不变。 (1)求出自谋杀发生后尸体的温度 是如何作为时间 t 求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间 求出自谋杀发生后尸体的温度 以小时为单位）的函数随时间变化的; （以小时为单位）的函数随时间变化的; (2)画出温度 画出温度——时间曲线； 时间曲线； 画出温度 时间曲线 (3)最终尸体的温度如何？用图象和代数两种方式表示 最终尸体的温度如何？ 最终尸体的温度如何 这种结果； 这种结果； (4)如果尸体被发现时的温度是 °C， 时间是下午 如果尸体被发现时的温度是30° ， 时间是下午4 如果尸体被发现时的温度是 那么谋杀是何时发生的？ 时，那么谋杀是何时发生的？

《微积分》第二节 可分离变量的微分方程

《微积分》第二节 可分离变量的微分方程

x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y C x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
半衰期：放射性元素衰减一半所需时间.
M0 e t
1 2
M0
.
半衰期： ln 2 .
小结：
一、可分离变量的微分方程类型：
二、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
作业
P270习题4_2 1(单)，2(单)，3
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t 0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
M M 0 e t . ( 0 ) 指数衰减
第二节 可分离变量的微分方程
变量分离的微分方程的标准形式：g( y)dy f ( x)dx
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法：两边积分
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y

第十二章 第2节 可分离变量的微分方程

第十二章 第2节 可分离变量的微分方程

由初始条件得 C = 1 故所求特解为 y x 2 1 1
4
例3
求方程
y
dy dx
e
x y
的通解 .
解法 1：分离变量 e y d y e x d x
e e C
y
x
或
( e C ) e 1 0
x
(C<0 )
解法 2: 令 u x y , 则 u 1 y 故有 积分
2
问 从运 动开 始经 过了一 分钟 后的 速度是 多少? 四 、小 船 从 河 边 点 0 处 出 发 驶 向 对 岸 ( 两 岸 为 平 行 直 线 ) . 设 船速为 a , 船 行 方 向 始 终 与 河 岸 垂 直 , 设 河 宽
为 h ,河中任 意点 处的 水流速 度与 该点 到两 岸距离
y
3 x y 的通解. 说明: 在求解过程
2
3x d x
2
中每一步不一定是 同解变形, 因此可 能增、减解.

dy y
3x d x
2
得 ln y x 3 C1 即 y e e 令 C eC 1
x C1
3
或
C1 x
3
如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.
2
解: 令 则
u x y 1 u 1 y
2
故有 1 u sin u 即
sec u d u d x
2
解得 tan u x C
即
tan( x y 1) x C
( C 为任意常数 )
6
例5
求解微分方程
dy dx dy dx 2 sin

第二节可分离变量得微分方程

第二节可分离变量得微分方程

解：设oA：y f (x).
则x2 x f (x)dx 1 xf (x)
0
2
y p(x, y)
A(1,1)
求导，2x f (x) 1 f (x) 1 xf (x)
2
2
即xf (x) f (x) 4x
0x
x
df (x) 1 f (x) 4且f (1) 1 dx x

y

arcsin 1
1 x2
例3 一曲线通过点（1，2），它在两坐标轴间得任意点的切线 线段均被切点所平分，求这曲线的方程。
解：（1）建立微分方程：
设P(x, y)是所求曲线y y(x)上任一点。
则切线方程 Y y y(X x)
y
令Y 0,
得x轴上截距a x
y y
的特解
6
解：原式为cos y dy 2x dx
sin y
1 x2

cos y dy sin y
1
2x x2
dx

C1
ln sin y ln(1 x2 ) ln C
sin
y

1
C x2
即y

arcsin 1
C x2
代入y
x1
得C
6
1
dt
by
a
x2 y2 x
x2 y2
by
y
令
x y

u,得
du u2 1


a by
dy,
得arshu


a b
(ln
y

ln c)

资料：02 第二节 可分离变量的微分方程

资料：02 第二节 可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.内容分布图示★ 可分离变量微分方程★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 逻辑斯谛方程★ 齐次方程★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 可化为齐次方程的微分方程★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 题库12—2 ★ 返回内容要点：一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程),(y x F dxdy=, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有)()(y g x f dxdy=. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、 可化为齐次方程的方程：对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy的方程，先求出两条直线,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a的交点),(00y x ，然后作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X 即 ⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x 这时，dXdYdx dy =，于是，原方程就化为齐次方程 ,2211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Y b X a Y b X a f dX dY例题选讲：可分离变量的微分方程例1（讲义例1）求微分方程xy dxdy2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.例3 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f例4（讲义例3）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（讲义例4）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时)0(=t 速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为),(t h 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (2.8)其中0>k 的是比例常数. 这个方程称为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.注：Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (2.9)其中b k ,的称为生命系数.这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得2=b ，从而估计得：(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 例6 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.例7 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?齐次方程例8（讲义例5）求解微分方程 x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 例9 求解微分方程.2222xyy dy y xy x dx -=+-例10（讲义例6）求解微分方程 .22dxdy xy dx dy xy =+ 例11 求下列微分方程的通解:.0)ln (ln =--ydx dy y x x例12 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面 ——旋转抛物面.例13（讲义例7）设河边点O 的正对岸为点A , 河宽h OA =, 两岸为平行直线, 水流速度为a, 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子(在静水中)的游速为)(a b b >, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 求鸭子游过的迹线的方程.可化为齐次方程的方程例14（讲义例8）求31-++-=y x y x dx dy 的通解. 例15（讲义例9）利用变量代换法求方程2)(y x dxdy+=的通解. 例16 求微分方程)2(tan 212y x y +='的通解. 例17 求下列微分方程的通解. .222222x xy x e y y xy x -++='+课堂练习 1.求微分方程2cos2cos yx y x dx dy +=-+的通解. 2.方程)()()(2022x xy dt t y t t y x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰是否为齐次方程?3.求齐次方程0cos )cos (=-+dy xyx dx x y y x 的通解.。

第02节 可分离变量的微分方程

第02节 可分离变量的微分方程
y2）dx y(1 x)dy 0
它是可分离变量方程
分离变量 两边积分
dx y dy 1 x 1 y2
dx y dy 1 x 1 y2
得： 即： 记
ln(1
x)
1 2
ln(1
y
2
)
C1
2ln(1 x) ln(1 y2) 2C1
2C1 ln C
2 dy 1 dx
g( y)
P( y)
Q (x)
2
1
第二步：两边积分
dy h(x)dx 或
Q (y)
P( x)
2 dy 1 dx
g( y)
P( y)
Q (x)
2
1
针对
dy h(x)dx g( y)
设
G( y)和
H(x)依次为
1和 g( y)
h(x) 的原函数，
则 G( y) H (x) C 为微分方程的解(又叫隐式通解)
七、主要题型
1. 对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解 2. 简单的应用题
八、学习方法指导
熟记“标准型”，掌握可分离变量方程 的特征和一些简单的变量代换；会使用分离 变量法，并要加强不定积分运算训练。
九、常见问题辅导：
1.为什么在微分方程中，
1 u
du
ln
|
u
|
C
和
1 du ln u C 常常通用，而不严格区分其 u
消失，两个解便完全一致)
即 y Cex2 （C任意常数）为所求通解。
2.为什么有时候把积分常数C写成 ln c 、ln | c |？
答：当积分一个微分方程出现自然对数（如：
ln | y | ln f (x) c ）时，常将C写成 ln c1 (c1 0)

第二节 可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程
二、1、 2 cos y cos x ； 2、e x 1 2 2 cos y .
三、v 269.3厘米/秒.
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 x 轴 , y 轴 指向对 岸,则所求航线为 x k (h y2 1 y3 ). a2 3
例 9 有高为 1 m 的半球形容器 , 水从它的底部 小孔流出 , 小孔横截面积为 1 cm2 (如图). 开始时 容器内盛满了水 , 求水从小孔流出过程中容器里 水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离) 随时间 t 的变化规律 .

dy
y2

x2dx ,
解得

1 y

1 3
x3

C1
,
即
y


x3
3
C
.
可分离变量的微分方程初值问题:
g( y) dy f ( x) dx

y
x

x0

y0
的解也可直接用变上限积分来确定：
y
x
g( y) dy f ( x) dx
y0
x0
三、小结
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分——隐式通解.
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、典型例题
一、可分离变量的微分方程
形如 y f ( x) g( y) 的方程，称为可分离变量
的微分方程.
分离变量，得：g( y)d y f ( x)dx, ①
设 y= (x) 是方程①的解, 则有恒等式：
g( ( x))( x)dx f ( x)dx,
两边积分, 得 g( ( x))( x)dx f ( x)dx,

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程
微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同，学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。

今天来学习可分离变量的微分方程，以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程。

一、可分离变量的微分方程
这种方程的形式为：
我们往往会以为将上式两端积分即可求解。

其实是不对的。

因为两端积分后，得，
右端即含有x，又含有y，是什么也求不出的，所以最终求不出y来。

其正确解法为：设y=y(x) 为所求的解，利用微分的知识，当y=y(x)时，有
这一步把y 的函数及dy ，与x的函数及dx分开了，称为分离变量，即习惯上将变量y放在了等号左边，将变量x放在了等号右边，这是求解关键的一步，下一步我们就可由不定积分进行求解了。

求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法。

注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们假定被除的函数不等于0，得到的通解不包含使被除的函数等于0的特解。

但是, 如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C 不等于0，但这样方程就失去特解y等于正负1，而如果允许C 等于0，则y等于正负1仍包含在通解中.。

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第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★可分离变量微分方程★例2 ★例6★逻辑斯谛方程★齐次方程★例1★例4 ★例5 ★例8 ★例10★例13 ★例14★例17 ★例18★例3 ★例7 ★例9★例11 ★例12★可化为齐次方程的微分方程★例15 ★内容小结★习题7—2★例16★课堂练习★返回内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程dydx=F(x,y),如果其右端函数能分解成F(x,y)=f(x)g(x)，即有dydx=f(x)g(y). (2.1)则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(x)都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如dy⎛y⎫=f ⎪ (2.8) dx⎝x⎭的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的微分方程：对于形如dy⎛a1x+b1y+c1=f ax+by+cdx22⎝2⎫⎪⎪⎭的方程，先求出两条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0的交点(x0,y0)，然后作平移变换⎧X=x-x0⎨⎩Y=y-y0 即⎨⎧x=X+x0⎩y=Y+y0 这时，dydx=dYdX，于是，原方程就化为齐次方程⎛a1X+b1Y=f aX+bYdX2⎝2dY⎫⎪,⎪⎭例题选讲可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程解分离变量得从而y=±ex例2（E02）求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy的通解.解先合并dx及dy的各项,得y(x-1)dy=(y2-1)dx设y2-1≠0,x-1≠0,分离变量得两端积分⎰yy-122dydx=2xy的通解. dyy=dyy=2xdxx2两端积分得⎰⎰2xdxln|y|=x2+C1 2+C1=±eC1⋅e,记C=±eC1,则得到题设方程的通解 y=Cex. yy-12dy=21x-1dx dy=⎰x-11dx得 12ln|y-1|=ln|x-1|+ln|C1|于是 y2-1=±C12(x-1)2记C=±C12,则得到题设方程的通解 y2-1=C(x-1)2.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定g(y)≠0的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使g(y)=0的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C≠0，但这样方程就失去特解y=±1，而如果允许C=0，则y=±1仍包含在通解y-1=C(x-1)22中.例3 已知 f'(sin2x)=cos2x+tan2x, 当0<x<1时，求f(x).解设y=sin2x,则cos2x=1-2sin2x=1-2y,sincos22tan2x=xx=sin2x21-sinx=y1-y.所以原方程变为f'(y)=1-2y+⎛⎝1y1-y,即f'(y)=-2y+11-y. 所以 f(y)= -2y+⎫2⎪dy=-y-ln1(-y)+C, 1-y⎪⎭故 f(x)=-[x2+ln(1-x)]+C(0<x<1).例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律.解设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t),在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:⎧dT(1)⎪=-k(T-20) ⎨dt(2)⎪T|t=0=100⎩其中k(k>0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分⎰1T-20=dTT-20=-kdt; ⎰-kdt,得ln|T-20|=-kt+C11(其中C1为任意常数)， 1即 T-20=±e-kt+C=±eCe-kt=Ce-kt(其中C=±eC). 1从而T=20+Ce-kt,再将条件(2)代入,得C=100-20=80,于是，所求规律为T=20+80e-kt.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37 C按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为35 C，并且假定周围空气的温度保持20 C 不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是30 C，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？解根据物体冷却的数学模型，有⎧dT⎪=-k(T-20),⎨dt⎪⎩T(0)=37k>0,.其中k>0是常数．分离变量并求解得T-20=Ce-kt，为求出k值，根据两个小时后尸体温度为35 C这一条件，有35=20+17e-k⋅2，求得k≈0.063，于是温度函数为T=20+17e-0.063t，将T=30代入上式求解t，有1017=e-0.063t，即得t≈8.4(小时)．于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.例6（E04）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.解设降落伞下落速度为v(t),降落伞下落时，同时收到重力P与阻力R的作用. 降落伞所受外力为 F=mg-kv根据牛顿第二定律: F=mα,得到v(t)满足微分方程mdvdt=mg-kv (1)初始条件 vt=0=0.将方程(1)分离变量得dvmg-kvdtm=两边积分得⎰mg-1kdv-kv=⎰m tm+C1，-kmt-kC⎛e1C＝－ k⎝dtln(mg-kv)=即 mg-kv=e⎛t⎫-k +C1⎪⎝m⎭或 v=mgkmgk+Ce⎫⎪⎪⎭代入初始条件得 C=-⎫⎪. ⎪⎭k-tmg⎛m 1-e故所求特解为 v=k ⎝下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t),则有dh(t)dt=kh(t)[H-h(t)] (2.8)其中k>0的是比例常数. 这个方程称为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.注：Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”,因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型dydt=y(k-by),y(t0)=y0 (2.9)其中k,b的称为生命系数.这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得b=2，从而估计得：(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿.(2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得，水从孔口流出的流量为Q＝dVdt=0⋅流量系数孔口截面面积重力加速度S=1cm, ∴dV=0.6222ghdt. ①2设在微小的时间间隔[t,t+∆t],水面的高度由h降至h+∆h,则dV=-πrdh,r=2-(100-h)2=200h-h, ∴dV=-π(200h-h)dh. ② 22比较①和②得:-π(200h-h)dh=0.622ghdt, 即为未知函数得微分方程.dt=-2π0.622g-(200h-h)dh,3ht=0=100, ∴C=π0.622g⨯14155⨯10,5所求规律为 t=π4.652g(7⨯10-103h3+3h).5例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?解设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x(t)%,在[t,t+dt]内，CO2的通入量=2000⋅dt⋅0.03,CO2的通入量—CO2的排出量,即dxdt16-16t12000dx=2000dt⋅0.03-2000dt⋅x(t)=-16(x-0.03)x=0.03+Ce,e由x|t=0=0.C=0.07x=0.03+007-t,-1x|t=6=0.03+0.07e≈0.056,故6分钟后，车间内CO2的百分比降低到0.056%. 齐次方程例9（E05）求解微分方程dydx=yxyx+tandydxyx满足初始条件ydudx1x, dx.x=1=π的特解.解题设方程为齐次方程,设u=代入原方程得u+x dudx,则=u+x=u+tanu,分离变量得cotudu=两边积分得ln|sinu|=ln|x|+ln|C|sinu=Cx, 将u=yx回代，则得到题设方程的通解为sinyx=Cx.利用初始条件y|x=1=π/6,得到C=例10 求解微分方程xdx212.从而所求题设方程的特解为sinyx=12x.-xy+y2=dy2y2-xy.解原方程变形为dydx=2y-xyx-xy+y222=y⎛y⎫2 ⎪-x⎝x⎭1-⎛y⎫+ ⎪x⎝x⎭22y2,令u=yx,则dydx=u+xdudx,方程化为u+xdudx=2u-u21-u+u,分离变量得⎢两边积分得⎡1⎛1⎣2⎝u-2-1⎫21⎤dx+du=, ⎪-⎥xu⎭u-2u-1⎦ln(u-1)-32ln(u-2)-=Cx.12lnu=lnx+lnC,整理得u-1u(u-2)3/2所求微分方程的解为 (y-x)2=Cy(y-2x)3. 例11（E06）求解微分方程 y+x22dydx2=xydydx.解原方程变形为dydx=y22xy-xdudx⎛y⎫⎪⎝x⎭,（齐次方程） =y-1xdudx=u2令u=yx,则y=ux,⎛⎝dydx=u+x,故原方程变为u+xu-1,即xdudx=uu-1.分离变量得 1-回代u=yx1⎫dx⎪du=.两边积分得u-ln|u|+C=ln|x|或ln|xu|=u+C. u⎭x ,便得所给方程的通解为 ln|y|=yx+C.例12 求下列微分方程的通解:x(lnx-lny)dy-ydx=0. 解原方程变形为ln代入原方程并整理yxdy+yxdx=0,dxx令u=.yx,则dydx=u+dudx,lnuu(lnu+1)du=-两边积分得 lnu-ln(lnu+1)=-lnx+lnC,即y=C(lnu+1).变量回代得所求通解 y=C ln⎝⎛⎫+1⎪. x⎭y例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面——旋转抛物面. 解设旋转轴Ox轴，光源在(0,0), L:y=y(x),1设M(x,y)为L上任一点，MT为切线，斜率为y',MN为法线，斜率为-, ∠OMN=∠NMR, ∴tan∠OMN=tan∠NMR, 由夹角正切公式得-1ytan∠OMN=y'-x1-y, tan∠NMR=1y',xy'x2得微分方程 yy'+2xy'-y=0, y'=-y±⎛ x⎫y⎪⎪+1,⎝⎭2令 u=yx,方程化为 u+xdu1±1+udx=-u, 分离变量得udu=-dx,(1+u2)±+u2x令 1+u2=t2,得tdtt(t±1)=-dxx,积分得 ln|t±1|=lnCx, 即u2+1=Cx±1.平方化简得u2=C22Cx2+x, 代回u=yx,得y2=2C ⎛x+C⎫⎝2⎪.⎭y'所求旋转轴为Ox轴得旋转抛物面的方程为 y2+z2=2C x+⎝⎛C⎫⎪. 2⎭例14（E07）设河边点O的正对岸为点A, 河宽OA=h, 两岸为平行直线, 水流速度为 a, 有一鸭子从点A游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为b(b>a), 且鸭子游动方向始终朝着点O, 求鸭子游过的迹线的方程.解设水流速度为a(|a|=a),鸭子游速为b(|b|=b),则鸭子实际运动速度为v=a+b. 取坐标系如图，设在时刻t鸭子位于点P(x,y),则鸭子运动速度v={vx,vy}={xt,yt}, 故有dxdyxtytvxvy .现在a=(a,0),而b=be,其中ePO为与PO同方向的单位向量. po ==由PO=-{x,y},故ePO=-{x,y}于是b=-bx+y22x+y, 22{x,y},⎛ v=a+b=a-⎝bxx+y22,-byx+y22⎫⎪. ⎪⎭由此得微分方程dxdy=vxvy=-ax+yby222+xy,即 dxdy=-abxy⎛x⎫x ⎪+1+, y⎪y⎝⎭=u,则x=yu,ydxdy=yabdudy+u,代入上面的方程,得 2初始条件为x|y=h=0.令dudy=-u+1,分离变量得abduu+12=-abydy, 积分得arshu=-故x=y2[(Cy)-a/b(lny+lnC),a/b即u=shln(Cy)-a/b=1[(Cy)1-a/b12[(Cy)-a/b-(Cy)a/b], -(Cy)]=2C-(Cy)1+a/b]. 将初始条件代入上式得C=1/h,故所求迹线方程为1-a/b1+a/b⎤⎛y⎫h⎡⎛y⎫- ⎪⎢⎪⎥,0≤h≤y. x=h⎭2⎢⎝h⎭⎝⎥⎣⎦可化为齐次方程的方程例15（E08）求dydx=x-y+1x+y-3的通解.解直线x-y+1=0和直线x+y-3=0的交点是(1,2),因此作变换x=X+1,y=Y+2.代入题设方程,得dYdX=Y⎫⎛= 1-⎪X⎭X+Y⎝X-YY⎫⎛1+⎪X⎭⎝dudX12=1-u1+u,令u=YX,则Y=uX,dYdX2=u+XdudX,代入上式,得u+X2分离变量,得即u=YX1+u1-2u-udu=ln|X|+lnC1,两边积分,得-ln|1-2u-u|=ln|X|+lnC1回代得X2-2XY-Y2=C,再将X=x-1,Y=y-2回代，并整理所求题设方程的通解x2-2xy-y2+2x+6y=C. 例16（E09）利用变量代换法求方程解令x+y=u,则分离变量得du1+u2dydx=(x+y)的通解.dudx=1+u,22dydx=dudx-1,代入原方程得=dx,两边积分得arctanu=x+C,回代得arctan(x+y)=x+C,故原方程的通解为y=tan(x+C)-x.例17 求微分方程y'=解令u=x+2y,则dudx12tan(x+2y)dydx22的通解.=1+2,代入原方程得u⇒1⎛du⎫1-1⎪=tan2⎝dx⎭2dudx=1+tanu,2即dudx=secu.2分离变量得两端积分得dusecu2=dx或1+cos2u2du=dx.1⎛1⎫u+sin2u⎪=x+C,2⎝2⎭即sin[2(x+2y)]+4112(x+2y)=x+C,故所求通解为 y=x2+C-14sin(2x+4y).例18 求下列微分方程的通解. x+y222yy'=ex+x+yx22-2x.解令u=x+y,则再令v=ux,则dudxdvdx22dudx=2x+2ydydx,原方程化为dudxdxxu=ex+ux. =v+x,代入上式，并整理得e-vdv=,两边积分得 -e-v=lnx+C,变量还原得通解x+y22-ex=lnx+C.课堂练习1.求微分方程dydx+cosx-y2=cosx+y2的通解.x2.方程⎰⎡2y(t)+t2+y2(t)⎤dt=xy(x)是否为齐次方程? 0⎢⎣⎥⎦3.求齐次方程(x+ycosyx)dx-xcosyxdy=0的通解.。