2020文科高考押题专题17 算法、复数(高考押题)(解析版)

新数学《复数》高考知识点一、选择题1．设3443i z i-=+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ）A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i +【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】 解：3443iz i-=+Q ()()()()344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q()()()21f z i i i ∴=---+=故选：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v向左平移一个单位后得到00O P u u u u v，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i【答案】D 【解析】 【分析】要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v，从而可求P 0对应的复数 【详解】因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数，即0OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．3．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ） A ．61 B ．13 C ．20 D ．10【答案】C 【解析】由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为，则，从而,选C.4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.5．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．6．（2018江西省景德镇联考）若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2 BC ．1D ．【答案】B 【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a az i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212aa z i -=⇒==-，,z ==,故选B.7．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi8．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简z =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|zi i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-，则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i -【答案】B 【解析】 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.10．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188i + B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到18iz --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.11．若复数()234sin12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B 【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ） AB ．15C ．25D．5【答案】D 【解析】 【分析】 化简得到1355z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++===-，∴1355z i =+，∴||5z =. 故选：D . 【点睛】本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.13．设2i2i 1iz =++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i +D ．2i -【答案】A【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解． 【详解】由题意，可得复数()()()2i 1i 2i2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．14．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ．考点：复数的代数运算及几何意义．15．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m =-+++-，若z 为负实数，则m 的取值集合为（ ）A ．{}0B ．{}8C ．()2,4-D ．()4,2- 【答案】B【解析】由题设可得2280{280m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。

高考押题专题17算法、复数1．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为()A．2B．5C．11D．232．执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为() A．7B．8C．9D．103．如图所示的程序框图的运行结果为()C．1D．2A．－1 B.124．复数z＝2＋i的共轭复数对应的点在复平面内位于()1－iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则1z＝()A．i B．－i C．2i D．－2i6．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x的个数为() A．1B．2C．3D．47．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是()A ．－3B ．0 C.3D ．33638．观察这列数：1,2,3,3,2,1,2,3,4,4,3,2,3,4,5,5,4,3,4,5,6,6,5,4，…，则第2016个数是()A ．335B ．336C ．337D ．3389．已知复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z 的模为()A ．1B.2C.3D ．210．执行如图所示的程序框图，如果输出的k 的值为3，则输入的a 的值可以是()A ．20B ．21C ．22D ．2311．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于()A.34B.43C ．－43D ．－3412．执行如图所示的程序框图，若要使输出的y 的值等于3，则输入的x 的值可以是()A ．1B ．2C ．8D ．913．在复平面内，复数3－4i ，i(2＋i)对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为()A ．－2＋2iB ．2－2iC ．－1＋iD ．1－i14．如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内就填入的条件是()A．k>3?B．k>4?C．k>5?D．k>6?15．从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为()A.3 4B.58C.78D.1216．设i是虚数单位，如果复数a＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a的值为()A.1 3B．－13C．3D．－317．若复数z满足(1＋2i)z＝(1－i)，则|z|＝()A.2 5B.35C.105D.1018．已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z－z2的共轭复数是() A．－1＋3i B．1＋3i C．1－3i D．－1－3i19．若z＝(a－2)＋a i为纯虚数，其中a∈R，则a＋i71＋a i＝()A．i B．1C．－i D．－120．已知复数z＝11－i，则z－|z|对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限。

2020年高考数学（文）二轮复习命题考点串讲系列-专题17 算法、复数、推理与证明1、考情解读1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．2、重点知识梳理 一、算法框图与复数 1.算法框图(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种． (2)三种基本的算法结构①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构． ③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构． 2．复数(1)复数的相关概念及分类①定义：形如a ＋b i(a 、b ∈R )的数叫复数，其中a 为实部，b 为虚部；i 是虚数单位，且满足i 2＝－1.②分类：设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )z ∈R ⇔b ＝0；z 为虚数⇔b ≠0，z 为纯虚数⇔⎩⎨⎧a ＝0b ≠0.③共轭复数：复数a ＋b i 的共轭复数为a －b i. ④复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a 、b 、c 、d ∈R )． 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a 、b ∈R )． (3)运算法则①加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. ②乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. ③除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd＋bc －ad ic 2＋d 2.(4)复数加减法的几何意义①加法：若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．②减法：复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向OZ 1→的终点的向量对应的复数． 二、推理与证明 1.合情推理 (1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜测一般性结论． (2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 2．演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真． (2)演绎推理的一般模式——“三段论” ①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．4．间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．5．数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立．3、高频考点突破考点1 程序框图例1．【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤ 【答案】B【解析】由题意得4x = 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =n=n +1输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n 开始【答案】C【变式探究】(2015·四川，3)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32 B. 32C ．－12 D.12 【答案】D【解析】每次循环的结果依次为： k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4， ∴S ＝sin 5π6＝12.选D. 考点2 复数的概念例2．【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．【变式探究】【2016高考新课标3文数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【变式探究】(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B考点3 复数的四则运算例3．【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A【解析】由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【2016高考天津文数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．【变式探究】(2015·北京，1)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i【解析】i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 【答案】A 考点4 类比推理例4、【2017课标II ，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D【变式探究】在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则1h21＝1CA2＋1CB2；类比此性质，如图，在四面体P－ABC中，若P A、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为________．【答案】1h2＝1P A2＋1PB2＋1PC2【解析】本题考查了合情推理的能力．连接CO并延长交AB于点D，连接PD，由已知可得PC⊥PD，在直角三角形PDC中，DC·h＝PD·PC，则PD2＋PC2·h＝PD·PC，所以1h2＝PD2＋PC2PD2·PC2＝1PC2＋1PD2.容易知道AB⊥平面PDC，所以AB⊥PD，在直角三角形APB中，AB·PD＝P A·PB，所以P A2＋PB2·PD＝P A·PB，1PD 2＝P A 2＋PB 2P A 2·PB 2＝1P A 2＋1PB 2，故1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2.(也可以由等体积法得到)．【变式探究】在平面直角坐标系中，设△ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b,0)、C (c,0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a 、b 、c 、p 均为非零实数，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，一同学已正确算出OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a )y ＝0，则OF 的方程为：(________)x ＋(1p －1a )y ＝0.【答案】1c －1b【解题分析】观察E ，F 两点可以发现，E 、F 两点的特征类似，E 是BP 与AC 的交点，F 是CP 与AB 的交点，故直线OE 与OF 的方程应具有类似的特征，而y 的系数相同，故只有x 的系数满足某种“对称性”，据此可作猜测．y p ＝1，两式相减得(1c －1b )x ＋(1p －1a )y ＝0，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．考点5 直接证明与间接证明例5、若数列a n ：a 1，a 2，…，a n (n ≥2)满足|a k ＋1－a k |＝1(k ＝1,2，…，n －1)，则称a n 为E 数列．记S (a n )＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)写出一个满足a 1＝a 5＝0，且S (A 5)>0的E 数列A 5；(2)若a 1＝12，n ＝2000，证明：E 数列a n 是递增数列的充要条件是a n ＝2011.【解题分析】解答这类新定义题型，一定要先弄清新定义的含义，由条件知E 数列{a n }任意两邻两项相差1，故可据此任意构造E 数列，同时，E 数列{a n }递增⇔a n ＋1－a n ＝1. 学@科网【变式探究】已知数列{a n }满足：a 1＝12，31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． 【解析】(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，假设数列{b n }中存在三项b r 、b s 、b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t <b s <b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1.两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． ∴假设不成立．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列． 4、真题感悟（2014-2017年）1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ． 【考点】复数运算，复数基本概念 2.【2017课标II ，文2】(1i)(2i)++=A.1i -B.13i +C.3i +D.33i + 【答案】B 【解析】由题意，故选B.3.【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C. 【考点】复数运算4.【2017北京，文2】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ 【答案】B5.【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A【解析】由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【考点】复数的运算6. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x 值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤【答案】Bx=时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【解析】由题意得4【考点】程序框图7.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足321000n n->的最小偶数n，那么在和A．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【答案】D8.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，100100,1010S M ==-=-，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时101001090,110S M -=-==-=，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D.【考点】循环结构流程图9.【2017课标II ，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D 【考点】推理10. 【2017课标II ，文10】执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S = A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】阅读流程图，初始化数值.循环结果执行如下：【考点】循环结构流程图11.【2017北京，文3】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85【答案】C【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环，2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C.【考点】循环结构12.【2017天津，文9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a aii i i-----+-+===-++-为实数，13.【2017北京，文14】某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】6,12【考点】1.不等式的性质；2.推理.14.【2017江苏，2】已知复数(1i)(12i),z=++其中i是虚数单位，则z的模是.10【解析】(1)(12)1122510z i i i i=++=++==10【考点】复数的模15.【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入x的值为116,则输出的y的值是.【答案】-2【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为-2． 1.【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n 开始【答案】C2.【2016高考新课标3文数】执行下图的程序框图，如果输入的46，，那么a b==输出的n=（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B3.【2016年高考四川文数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35 【答案】B4.【2016高考新课标2文数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n ==，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C5.【2016年高考北京文数】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】输入1=a ，则0=k ，1=b ；进入循环体，21-=a ，否，1=k ，2-=a ，否，2=k ，1=a ，此时1==b a ，输出k ，则2=k ，选B.6.【2016高考山东文数】执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________.【答案】37.【2016高考天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） （A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【答案】B【解析】依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环，输出S 4=，选B. 8.【2016高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 .【答案】91.【2016新课标理】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( ) （A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2 【答案】B【解析】因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B. 2.【2016高考新课标3文数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）(A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 3.【2016高考新课标2文数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A【解析】要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.4.【2016年高考北京文数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_____.【答案】－1【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：－15.【2016高考山东文数】若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（ ） （A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B【解析】设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B. 6.【2016高考天津文数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为___.【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．7.【2016高考江苏卷】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是______. 【答案】5【解析】(12)(3)55=+-=+，故z的实部是5z i i i1．(2015·重庆，7)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)【答案】B【解析】第一次循环：S＝1－1＝0，t＝1＋1＝2；x＝0，y＝2，k＝1；第二次循环：S＝0－2＝－2，t＝0＋2＝2，x＝－2，y＝2，k＝2；第三次循环：S＝－2－2＝－4，t＝－2＋2＝0，x＝－4，y＝0，k＝3.输出(－4，0)．2．(2015·福建，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()A．2 B．1 C．0 D．－1【答案】C3．(2015·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A．s≤34B．s≤56C．s≤1112D．s≤2524【答案】C【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此s＝12＋14＋16＝1112(此时k＝6)还必须计算一次，因此可填s≤1112，选C.4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝()A．0 B．2 C．4 D．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T的值为________.【答案】116【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋21102x ＝1＋12＝32；当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋31103x ＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.6．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B【解析】因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.7．(2015·广东，2)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i【答案】D【解析】因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D. 8．(2015·四川，2)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( ) A ．－i B ．－3i C ．i D ．3i 【答案】C【解析】i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i.选C. 9．(2015·山东，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i【答案】A 【解析】∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i. 10．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝( ) A ．1 B . 2 C. 3 D ．2 【答案】A 【解析】由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i＝i ，∴|z |＝|i|＝1. 11．(2015·重庆，11)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 【答案】3【解析】由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 1. 【2014高考安徽卷文第1题】设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则zi z i+⋅=（ ） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2 【答案】C【解析】由题意21(1)(1)1112z i i ii z i i i i i i i i+++⋅=+-=++=-++=，故选C. 【考点定位】复数的运算、共轭复数.2. 【2014高考北京版文第9题】复数21()1i i+=- .【答案】1-【解析】i i i i i i i ==+-+=-+22)1)(1()1(112，所以1)11(22-==-+i ii . 【考点定位】复数的运算3. 【2014高考福建卷第1题】复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i + 【答案】C【解析】依题意可得32,23z i z i =+∴=-.故选C.【考点定位】复数的运算.4. 【2014高考广东卷文第2题】已知复数z 满足()3425i z +=，则z =（ ） A.34i - B.34i + C.34i -- D.34i -+ 【答案】A【考点定位】复数的四则运算5. 【2014高考湖北卷文第1题】 i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ）A. 1-B. 1C. i -D.i 【答案】A【解析】因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选A.【考点定位】复数的运算6. 【2014高考湖南卷第1题】满足i ziz =+（i 是虚数单位）的复数=z （ ） A.i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2121-- 【答案】B 【解析】由题可得()()()()111111122i i z i i i z i zi z i i z i z i i i -++-=⇒+=⇒-=-⇒===---+, 故选B.【考点定位】复数运算7. 【2014高考江苏卷第2题】已知复数2(52)Z i =-（i 为虚数单位），则复数Z 的实部是 .【答案】21【解析】由题意22(52)25252(2)2120z i i i i =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． 【考点定位】复数的概念8. 【2014江西高考文第1题】z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ）A.i +1B. i --1C. i +-1D. i -1 【答案】D【解析】设,(,)z a bi a b R =+∈，则,z a bi =-由2=+z z 得：1a =，由2)(=-i z z 得：1b =-，所以1,z i =-选D.【考点定位】共轭复数9. 【2014辽宁高考文第2题】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【答案】A 【解析】因为5223(2)z i z i i =+∴=+-，故选A. 【考点定位】 复数的运算.10. 【2014全国1高考理第2题】=-+23)1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D【解析】由已知得=-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----． 【考点定位】复数的运算11. 【2014全国2高考文第2题】设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i 【答案】A【解析】由题意知：22z i =-+，所以12z z =-5，故选A 。

2020年全国高考数学临考押题试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D12已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D135已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D199将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82820（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D1【分析】利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，化为：2+a+（2a﹣1）i＝3+bi，∴2+a＝3，2a﹣1＝b，解得a＝1，b＝1∴z＝1+i，则|z|＝＝，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}【分析】求出集合A，B，再由交集的定义求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}故选：D【点评】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算能力，是基础题32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数【分析】根据题中给出的图形中的数据，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意，2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重都在39%～40.8%，故选项A正确；2015年至2019年每年第一产业增加值占国内生产总值比重先下降后上升，但无法据此判断第一产业产值是否在下降，故选项B错误；第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加，第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数，故选项C，D正确故选：B【点评】本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D13【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出首项a1和公差d，即可求出a10的值【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，所以，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝3+（n﹣1）×1＝n+2，a10＝10+2＝12故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式应用问题，是基础题5已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos（2α﹣）＝，进而根据诱导公式即可化简求解【解答】解：因为sin2（）＝＝，可得cos（2α﹣）＝，所以sin（）＝sin[+（2α﹣）]＝cos（2α﹣）＝故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a【分析】判断a＜0，由幂函数y＝x0.2的单调性得出0.70.2＞0.30.2，由指数函数y＝0.3x 的单调性得出0.30.2＞0.30.5，判断b＞c＞0，即可得出结论【解答】解：因为a＝5＝﹣log35＜0，由幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上是单调增函数，且0.7＞0.3，所以0.70.2＞0.30.2，又指数函数y＝0.3x是定义域R上的单调减函数，且0.2＜0.5，所以0.30.2＞0.30.5，所以0.70.2＞0.30.5＞0，即b＞c＞0所以b＞c＞a故选：D【点评】本题考查了根据函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2﹣mx+4＞0对于∀x∈[3，+∞）恒成立，可得m＜x+，求出x+的最小值，可得m的取值范围，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：∵x∈[3，+∞），由x2﹣mx+4＞0x＞0，得m＜x+，∵当x∈[3，+∞）时，x+≥，当x＝3时，取得最小值∴m＜，∵{m|m＜4}⫋{m|m}∴“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立问题和充要条件的判断，属于基础题8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D19【分析】根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，由AB＝CD得到弦心距OE＝OF，可得出四边形EMFO 为正方形，由M与O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AB与CD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ACBD的面积【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣15＝0，得（x﹣1）2+y2＝16，则圆心坐标为O（1，0），根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB＝CD，∴四边形EMFO为正方形，又M（﹣1，3），∴|OM|＝，∴|OE|＝×＝，又|OA|＝4，∴根据勾股定理得：|AE|＝，∴|AB|＝|CD|＝2|AE|＝，则S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝19故选：D【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，是中档题9将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z【分析】首先利用关系式的平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用正弦函数的性质的应用求出结果【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx+ω+φ）的图象，因为函数y＝g（x）的周期为π＝，可得ω＝2，所以g（x）＝sin（2x++φ），因为函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，且g（x）是由f（x）的图像向左平移个单位长度得到，所以f（x）的一条对称轴为x＝+＝，所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）【分析】设出点P的坐标，根据椭圆方程求出左右焦点的坐标，然后利用点P在椭圆上以及点P满足的向量关系联立求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立不等关系，进而可以求解【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，由椭圆的方程可得：a2＝30，b2＝5，则c＝，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），则＝（﹣5﹣x0，﹣y0）•（5﹣x0，﹣y0）＝x…①又…②，联立①②解得：x（负值舍去），所以点P的坐标为（2，1），则点P到直线AB的距离为d＝＝，解得﹣10，即实数m的取值范围为（﹣10，0），故选：C【点评】本题考查了椭圆的性质以及向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D【分析】取AD中点M，连接PM，ON，MN，求解三角形证明OM＝MA＝MD＝MP，说明三棱锥P﹣AOD的外接球的球心O，在PM上，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积【解答】解：如图，取AD中点M，连接PM，∵平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA＝PD＝3，AD＝2，所以M为底面△AOD的外心，PM⊥平面AOD，所以三棱锥P﹣AOD的外接球的球心在PM上，球心为O，设球的半径为R，PM＝＝2，所以R2＝（2R）2+12，解得R＝，∴PD⊥AD，PD⊥ON，三棱锥P﹣AOD的外接球的体积：＝故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m【分析】利用极值点的定义，结合题意得到方程f'（x）＝0有两个正解，从而求解得出正确结论【解答】解：∵函数的定义域为：x∈（0，+∞），∴函数有两个极值点，即得f'（x）＝0有两个正解，∵f'（x）＝∴方程x2﹣x﹣m＝0有两个正解x1，x2，故有x1+x2＝1，即得B正确；根据题意，可得△＝1+4m＞0⇒m＞，且有x1•x2＝﹣m＞0⇒m＜0所以可得＜m＜0，故D正确；又因为根据二次函数的性质可知，函数y＝x2﹣x﹣m的对称轴为x＝，由上可得0＜x1＜，＜x2＜1，故C正确；∴﹣ln2＜lnx2＜0，∴x1+lnx2∈（﹣ln2，），故A错误故选：A【点评】本题考查函数极值点的定义，以及函数零点与方程的根的关系属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣4【分析】根据y＝f（x）+3是R上的奇函数，并且f（1）＝﹣2即可得出f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），然后解出f（﹣1）即可【解答】解：∵y＝f（x）+3是R上的奇函数，且f（1）＝﹣2，∴f（﹣1）+3＝﹣[f（1）+3]，即f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），解得f（﹣1）＝﹣4 故答案为：﹣4【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为【分析】根据条件可得出，进而可求出的值，从而可得出与的夹角【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为【分析】由|OA|＝c，得到AF1⊥AB，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，c的关系，进而得到离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由|OA|＝＝c＝|OF1|+|OF2|，可得AF1⊥AB，由|BF1|＝5a，可得|BF2|＝5a﹣2a＝3a，设|AF1|＝m，可得|AF2|＝m+2a，|AB|＝m+3a，由直角三角形ABF1，可得（m+3a）2+（m+2a）2＝（5a）2，化为m2+5ma﹣6a2＝0，解得m＝a，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a，所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，则离心率e＝＝故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理法运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为1010【分析】根据已知关系式推出，然后利用累乘法求出a n，再利用裂项相消法求出S n，进而可以求解【解答】解：由已知（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），则（2n2﹣n﹣1）a，即（2n+1）（n﹣1）a n＝（2n﹣3）（n﹣1）a n﹣1，所以，则a×＝＝，则S＝，因为S，则，解得n，所以n的最小值为1010，故答案为：1010【点评】本题考查了数列的递推式的应用，涉及到利用累乘法求解数列的通项公式以及裂项相消求和的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（1）因为a＝b cos C+c，所以sin A＝sin B cos C+sin C＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，即sin C＝sin C cos B，因为sin C＞0，所以cos B＝，由B∈（0，π）得B＝；（2）由余弦定理得b2＝9＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S＝＝故面积的最大值【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积【分析】（1）由已知可得D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥BC，再证明BC⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面BDD1；（2）由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，求得DD1＝5，再由棱锥体积公式求四棱锥D1﹣ABCD的体积【解答】（1）证明：已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则D1D⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC，在直角梯形ABCD中，过B作BE⊥CD，则BE＝AD＝2，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝4，∴BC＝，BD2＝AD2+AB2＝5，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，∵BD∩DD1＝D，∴BC⊥平面BDD1；（2）解：由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，且tan∠D1BD＝，则DD1＝5∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V＝【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）求出平均值，由72与平均值比较大小得结论；（2）由题意填写2×2列联表，再求出K2的观测值k，与临界值表比较得结论；（3）利用分层抽样求出8人中文理科所占人数，再由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）由表可得高三600名文科生的成绩的平均值为：＝70，∴某文科生72分的成绩达到该校高三年级文科生的平均水平；（2）2×2列联表：文科理科总计较好掌握125 75 200非较好掌握475 725 1200 总计600 800 1400 K2的观测值k＝≈36.762＞10.828，故有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”；（3）由分层抽样方法从200名学生中抽取8名，文科所占人数为人，则理科有3人在8人中随机抽取2人，2人中至少有1人学理科的概率为P＝＝【点评】本题考查频率分布表，考查独立性检验，训练了古典概型概率的求法，是中档题20（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值【分析】（1）由抛物线的定义和范围，可得|PF|的最小值为，可得所求抛物线的方程；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得|DF|，即可得到定值【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，设P（x0，y0），x0≥0，可得x0+的最小值为＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以AB的中点坐标为（1+2m2，2m），AB的垂直平分线方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣1﹣2m2），令y＝0，解得x＝2+2m2，即D（3+2m2，0），|DF|＝2（1+m2），又|AB|＝x1+x2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，则为定值【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【分析】（1）f′（x）＝1﹣cos x，可得f′（π），又f（π）＝π，利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0多次利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣cos x，f′（π）＝1﹣cosπ＝2，又f（π）＝π﹣sinπ＝π，∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣π＝2（x﹣π），即y＝2x ﹣π（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0 g′（x）＝1﹣cos x﹣x2＝h（x），h（0）＝0，x∈（0，π），h′（x）＝sin x﹣x＝u（x），u（0）＝0，x∈（0，π），u′（x）＝cos x﹣1＜0，x∈（0，π），∴u（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴h′（x）＝u（x）＜u（0）＝0，∴h（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴g′（x）＝h（x）＜h（0）＝0，∴函数g（x）在x∈（0，π）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0∴x﹣sin x﹣x3＜0，即当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果（2）利用直线与圆的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝设曲线上的点的坐标为P（2cosθ，1+2sinθ），原点的坐标为O（0，0），所以，当（k∈Z）时，|PO|max＝3（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），由于直线与圆相交，故，整理得ρ2﹣2ρsinα﹣3＝0，所以ρA+ρB＝2sinα，ρAρB＝﹣3，故|OA|+|OB|＝＝，整理得sinα＝0，所以直线与x轴平行，故直线的方程为y＝0【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a＝3代入函数解析式，然后根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得f（x）≥|a+2|，把不等式f（x）≥2a，对任意x∈R 恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，然后求出a的取值范围【解答】解：（1）把a＝3代入f（x）＝|x+2|+|x﹣a|，可得f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，当x≤﹣2时，f（x）≥6等价于﹣2x+1≥6，解得x≤，则x≤﹣，当﹣2＜x＜3时，f（x）≥6等价于5≥6，此式不成立，当x≥3时，f（x）≥6等价于2x﹣1≥6，解得x，则x综上，不等式f（x）≥6的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣a|＝|x+2|+|a﹣x|≥|x+2+a﹣x|＝|a+2|，∴不等式f（x）≥2a，对任意x∈R恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，若2a＜0，即a＜0，则不等式|a+2|≥2a成立，若2a≥0，即a≥0，则a2+4a+4≥4a2，即3a2﹣4a﹣4≤0，解得≤a≤2，则0≤a≤2综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题。

专题17 复数-高考题专项练习一、单选题1．（2018·全国高考真题（文）） A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据公式，可直接计算得(23)32i i i +=-+ 【解析】 ，故选D ．【名师点睛】复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错． 2．（2018·全国高考真题（理）） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 故选D ．3．（2019·全国高考真题（文））设，则= A ．2 B ． C ．D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求． 【解析】因为，所以，所以，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．4．（2019·全国高考真题（理））设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1y x +-= D ．22(+1)1y x +=【答案】C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．5．（2020·浙江高考真题）已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a = A ．1 B ．–1 C ．2D ．–2【答案】C【解析】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选C 6．（2020·全国高考真题（理））复数的虚部是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】利用复数的除法运算求出z 即可． 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数的虚部为．故选D ．【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题． 7．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4= A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可． 【解析】．故选A ．【名师点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题． 8．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |= A ．0B ．1【答案】D【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可． 【解析】由题意可得()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-．故．故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题． 9．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则 A ．0 B ．1 C ． D ．2【答案】C【分析】先根据将化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 10．（2017·山东高考真题（文））已知i 是虚数单位，若复数z 满足，则= A ．-2i B ．2i C ．-2D ．2【答案】A【解析】由得22(i)(1i)z =+，即，所以，故选A ．【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．注意下面结论的灵活运用：（1）(1±i)2＝±2i ；（2）＝i ，＝－i ．11．（2017·全国高考真题（理））设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则． 其中的真命题为 A ．B ．【答案】B【解析】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得，所以，故正确；当时，因为22i 1z ==-∈R ，而知，故不正确； 当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B ．【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可．12．（2017·北京高考真题（文））若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞）【答案】B【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得，故选B ．【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量． 13．（2018·全国高考真题（文））设，则 A ． B ． C ．D ．【答案】C【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模． 【解析】()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+，则，故选C ． 【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．14．（2019·北京高考真题（理））已知复数z=2+i，则A．B．C．3D．5【答案】D【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得．【解析】因为z2i,z z(2i)(2i)5=+⋅=+-=故选D．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题．．15．（2018·浙江高考真题）若复数，其中i为虚数单位，则 =A．1+i B．1−iC．−1+i D．−1−i【答案】B【解析】22(1i)1i,1i1i(1i)(1i)z z+===+∴=---+，选B．【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目．从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一．16．（2019·全国高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果．【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．17．（2019·全国高考真题（文））设z=i(2+i)，则=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i【答案】D【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以，选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．18．（2020·北京高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则． A ． B ． C ．D ．【答案】B【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果． 【解析】由题意得，．故选B ．【名师点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题．19．（2020·海南高考真题）= A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选B. 20．（2020·海南高考真题） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D【分析】根据复数除法法则进行计算． 【解析】，故选D.【名师点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题． 21．（2017·全国高考真题（理））复数等于 A ． B ． C ．D ． 【答案】D【解析】＝2－i ．故选D ．【名师点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作．22．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，则 A ．1或 B ．或 C ．D ．【答案】A【解析】由,4z a z z =+⋅=得，所以，故选A ．【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得的方程即可．23．（2017·全国高考真题（文））（2017新课标全国卷II （文）） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】由题意，故选B ．【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+)i(,,,)ad bc a b c d R ∈． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b R ∈的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．24．（2017·全国高考真题（文））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限． 所以选C ．【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a b a b +∈R 的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为25．（2017·全国高考真题（理））(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ． B ． C ． D ．2【答案】C【解析】由题意可得，由复数求模的法则可得，则．故选C ． 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有： （1）1212z z z z ±=±；（2）1212z z z z ⨯=⨯；（3）； （4）；（5）；（6）．26．（2018·全国高考真题（理）） A ． B ． C ．D ． 【答案】D【分析】根据复数除法法则化简复数，即得结果．【解析】212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D ．【名师点睛】本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力． 二、填空题1．（2017·天津高考真题（文））已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________． 【答案】-2 【解析】为实数， 则．【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(,)z a bi a b R =+∈，当时，为虚数，当时，为实数，当0,0a b =≠时，为纯虚数． 2．（2019·江苏高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是________． 【答案】2【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值． 【解析】， 令得．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．3．（2017·上海高考真题）已知复数满足，则________． 【答案】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案． 【解析】由，得，设(,)z a bi a b R =+∈， 由得，即，解得， 所以，则．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．4．（2019·浙江高考真题）复数（为虚数单位），则________． 【答案】【分析】本题先计算，而后求其模．或直接利用模的性质计算． 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．【解析】1|||1|2z i ===+． 5．（2018·天津高考真题（理））i 是虚数单位，复数________． 【答案】4–i【分析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果． 【解析】由复数的运算法则得．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6．（2019·上海高考真题）设为虚数单位，，则的值为________． 【答案】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【解析】由365z i i -=+，得366z i =+，即 ，本题正确结果：【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 7．（2019·天津高考真题（文））是虚数单位，则的值为________． 【答案】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 8．（2018·上海高考真题）已知复数满足()117i z i +=-（是虚数单位），则________． 【答案】5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解析】由（1+i ）z=1﹣7i ，得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则|z|=5=．故答案为5．【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 9．（2020·江苏高考真题）已知是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是________． 【答案】3【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值． 【解析】因为复数，所以2223z i i i i =-+-=+， 所以复数的实部为3．故答案为3．10．（2020·天津高考真题）是虚数单位，复数________． 【答案】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果．【解析】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-．故答案为． 11．（2020·全国高考真题（理））设复数，满足，，则=________． 【答案】【分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果．方法二：设复数所对应的点为，12OP OZ OZ =+， 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算．【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，，又，所以，，，2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-==．故答案为．方法二：如图所示，设复数所对应的点为，12OP OZ OZ =+，由已知，所以平行四边形为菱形，且都是正三角形，所以12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-= 所以．【名师点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解12．（2017·江苏高考真题）已知复数z=（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是________．【答案】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解析】复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，所以|z |==【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．13．（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【分析】先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果． 【解析】因为，则12i 2i iz +==-，则的实部为． 【名师点睛】本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．三、双空题1．（2017·浙江高考真题）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则________，ab =________．【答案】5， 2【解析】由题意可得，则，解得，则225,2a b ab +==．【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为、虚部为、模为、对应点为（，）、共轭为等．。

数学《复数》复习知识要点一、选择题1．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1ix i i =-是虚数单位），而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-，故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．2．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= )A ．10BC ．5D 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+Q ，z ∴==故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线【答案】A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．4．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9 【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上，又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.5．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi6．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z 的共轭复数为1322z i =-，复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．7．设复数4273i z i -=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129【答案】C【解析】【分析】 根据复数运算法则求解1712929z i =-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.8．设3443i z i -=+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i + 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．【详解】 解：3443i z i-=+Q ()()()()344334434343i i i z i i i i ---∴===-++-()21f x x x =-+Q()()()21f z i i i ∴=---+=故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．9．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.10．已知复数z 满足11212i i z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.11．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ）A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.13．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数【答案】C【解析】【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误；z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.14．复数11i+的共轭复数是 （ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1i - D ．1i +【答案】A【解析】【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数11i+，进而可得结果.【详解】 因为()()111121211i i i i i -+--==+， 所以11i+的共轭复数是1122i +， 故选：A.【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.15．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．16．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.17．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.18．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】 复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）A B ．2 C ．52 D ．54【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,12222||2i i i i z i i z ----====-+∴== 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.20．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。

高考专题训练十七 算法初步、复数班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(·天津)i 是虚数单位，复数1－3i1－i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i 解析：1－3i 1－i ＝－＋－＋＝2－i.答案：B2．(·湖南)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1解析：(a ＋i)i ＝b ＋i ⇒－1＋a i ＝b ＋i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1.答案：D3．(·课标)执行如图的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A ．1B ．7．1440D ．5040解析：由程序框图知，k ＝1，p ＝1 k ＝2，p ＝2 k ＝3，p ＝6 k ＝4，p ＝24k ＝5，p ＝1＝6，p ＝7输出7答案：B4．(·天津)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由程序框图可知， 运行第一次i ＝1，a ＝2 运行第二次i ＝2，a ＝5 运行第三次i ＝3，a ＝16 运行第四次i ＝4，a ＝65>50. 故输出i ＝4. 答案：B5．(·东城区2月综合练习)某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f (x )＝x 2，f (x )＝1x，f (x )＝e x，f (x )＝sin x ，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝sin x解析：由框图可知，输出函数是奇函数且存在零点，只有D 满足． 答案：D6．(·南昌一模)下图是计算函数y ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤－20，－2<x ≤32x ， x >3的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是( )A ．y ＝ln(－x )，y ＝0，y ＝2xB ．y ＝ln(－x )，y ＝2x，y ＝0 C ．y ＝0，y ＝2x，y ＝ln(－x ) D ．y ＝0，y ＝ln(－x )，y ＝2x解析：依题意得，当x ≤－2时，y ＝ln(－x )．因此①处应填y ＝ln(－x )；当－2<x ≤3时，y ＝0，因此③处应填y ＝0；当x >3时，y ＝2x，因此②处应填y ＝2x.综上所述，选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在题中横线上． 7．(·福建)运行如图所示的程序，输出的结果是________．a ＝1b ＝2a ＝a ＋b PRINT aEND解析：a ＝1＋2＝3. 答案：38．(·山东)执行如图所示的程序框图，输入l＝2，m ＝3，n ＝5，则输出的y 的值是________．解析：当输入l ＝2，m ＝3，n ＝5时，不满足l 2＋m 2＋n 2＝0，因此执行：y ＝70l ＋21m ＋15n ＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y ＝y －105，执行后y ＝278－105＝173，再执行一次y ＝y －105后y 的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68.答案：689．(·江苏)根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2,3时，最后输出的m 的值是________．解析：由图知该程序是找a 与b 两个数的最大值，∵3>2， ∴m ＝3. 答案：310．(·湖南)若执行如图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于________．解析：本题框图是求容量为3的一个样本的方差的程序框图． ∵x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2， ∴S ＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23.答案：23三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)国庆期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： ①若不超过，则不予优惠；②若超过，但不超过500元，则按标价价格给予9折折惠；③如果超过500元，500元的部分按②条优惠，超过500元的部分给予7折优惠，设计一个收款的算法，并画出程序框图．解：依题意，付款总额y 与标价x 之间的关系式为(单位为元)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≤2000.9x ， 200<x ≤5000.9×500＋x －， x >500.算法分析： 第一步：输入x 值；第二步：判断，如果x ≤则输出x ，结束算法；否则执行第三步；第三步：判断，如果x ≤500成立，则计算y ＝0.9×x ，并输出y ，结束算法；否则执行第四步；第四步：计算：y ＝0.9×500＋0.7×(x －500)，并输出y ，结束算法． 程序框图：12．(13分)(·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)．复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数．求z2.解：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.。

押新高考卷2题
复
数
考点3年考题
考情分析
复数
2022年新高考Ⅰ卷第2题2022年新高考Ⅱ卷第2题
2021年新高考Ⅰ卷第2题2021年新高考Ⅱ卷第1题2020年新高考Ⅰ卷第2题2020年新高考Ⅱ卷第2题
高考对复数知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练复数基础知识点，包括复数的代数形式，复数的实部与虚部，共轭复数，复数模长，复数的几何意义及四则运算．纵观近几年的新高考试题，均以复数的四则运算为切入点，考查复数的四则运算、共轭复数及几何意义．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕复数的四则运算为背景展开命题．
1.虚数单位：i ，规定12-=i
2.虚数单位的周期4
=T 3.复数的代数形式：Z=(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部4.复数的分类
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧⎩⎨⎧=≠≠⎩⎨⎧===+=000
00
00
a b b b a b bi a z 纯虚数：虚数：：实数：5.复数相等：,,21di c Z bi a Z +=+=若则,21Z Z =d
b c a ==,6.共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；
(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，
()()()2
22
22
2b a z z b a bi a bi a bi a z z +=⋅+=-=-+=⋅结论：推广：7.复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应
复平面内的点(,)
Z a b
8.复数的模：()R b a bi a Z ∈+=,，
则||z a bi =+=；。

专题 算法、复数、推理与证明考点1 算法1．（2020全国Ⅰ文9）执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A ．17B ．19C ．21D ．23 【答案】C【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，∴输出的21n =，故选C ．2．（2020全国Ⅱ文7）执行右图的程序框图，若输入的0,0k a ==，则输出的k 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程：0,0k a ==，第1次循环，2011a =⨯+=,011k =+=，210>为否；第2次循环，2113a =⨯+=,112k =+=，310>为否； 第3次循环，2317a =⨯+=,213k =+=，710>为否；第4次循环，27115a =⨯+=,314k =+=，1510>为是，退出循环，输出4k =．故选C ． 3．（2019天津文理】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．29【答案】B【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．【解析】1,2S i ==；11,1225,3j S i ==+⨯==；8,4S i ==，结束循环，输出8S =．故选B ．4．（2019北京文理】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】初始：1s =，1k =，运行第一次，2212312s ⨯==⨯-，2k =，运行第二次，2222322s ⨯==⨯-，3k =，运行第三次，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出2s =，故选B ．5．（2019全国Ⅰ文理】如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+【答案】A【解析】初始：1,122A k ==≤，∵第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2； 执行第2次，22k =≤，∵第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3， 结束循环，故循环体为12A A=+，故选A ．【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．6．（2019全国Ⅲ文理】执行下边的程序框图，如果输入的ε为0．01，则输出s 的值等于A ．4122- B ．5122-C ．6122-D ．7122-【答案】C【解析】输入的ε为0.01，11,01,0.01?2x s x ==+=<不满足条件； 1101,0.01?24s x =++=<不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<满足条件，结束循环；输出676111112(1)22222S =+++=⨯-=-，故选C ．7．(2018北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．12B ．56 C ．76D ．712【答案】B 【解析】运行程序框图，k =l ，s =1；1111(1)22s =+-⨯=，2k =；2115(1)236s =+-⨯=，k =3；满足条件，跳出循环，输出的56s =，故选B ． 8．(2018全国Ⅱ文理)为计算11111123499100=-+-++-…S ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1=+i iB ．2=+i iC ．3=+i iD ．4=+i i【答案】B 【解析】由程序框图的算法功能知执行框1=+N N i计算的是连续奇数的倒数和，而执行框11=++T T i 计算的是连续偶数的倒数和，∴在空白执行框中应填入的命令是2=+i i ，故选B ． 9．(2018天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】20N =，2i =，0T =，20102N i ==，是整数；011T =+=，213i =+=，35<，203N i =，不是整数；314i =+=，45<，2054N i ==，是整数；112T =+=，415i =+=，结束循环，输出的2T =，故选B ．10．（2017新课标Ⅰ文理）下面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n和A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+【答案】D 【解析】由题意选择321000n n ->，则判定框内填1000A ≤，由∵选择偶数，∴矩形框内填2n n =+，故选D ．11．（2017新课标Ⅱ文理）执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S = A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】初始输值为1a =-，1k =，0S =．则第一次：011S =-=-，1a =，2k =；第二次：121S =-+=，1a =-，3k =；第三次：132S =-=-，1a =，4k =；第四次：242S =-+=，1a =-，5k =；第五次：253S =-=-，1a =，6k =；第六次：363S =-+=，1a =-，7k =；循环结束，输出3S =．故选B ．12．（2017天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63N N ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出2N =，故选C ．13．（2017新课标Ⅲ文理）执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】D 【解析】若2N =，第一次循环，12≤成立，100S =，10M =-，22i =≤成立，第二次循环，此时90S =，1M =，32i =≤不成立，∴输出9091S =<成立，∴输入的正整数N 的最小值是2，故选D ．14．（2017山东文）执行如图的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为【答案】B 【解析】输入x 的值为4时，由226,log 42x +==可知4x =不满足判断框中的条件，只能是4x >，故选B ．15．（2017山东理）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为A ．0，0B ．1，1C ．0，1D ．1，0【答案】D 【解析】第一次7x =，227<，3b =，237>，1a =；第二次9x =，229<，3b =，239=，0a =．选D ．16．（2017北京文理）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．2 B ．32 C ．53D ．85【答案】C 【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环1k =，2s =，13<成立；第二次进入循环，2k =，32s =，23<成立；第三次进入循环3k =，53s =，33<否，输出53s =，故选C ． 17．（2016全国I 文理)执行如图的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足 A ．2y x = B ．3y x = C ．4y x = D ．5y x =【答案】C 【解析】运行程序，第1次循环得0,1,2x y n ===，第2次循环得1,2,32x y n ===，第3次循环得3,62x y ==，此时2236x y +，输出,x y ，满足C 选项．18．（2016全国II 文理）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = A ．7 B ．12 C ．17 D ．34【答案】C 【解析】由程序框图知，第一次循环：2,2,2,0222,1x n a s k ====⨯+==； 第二次循环：2,2226,2a s k ==⨯+==；第三次循环：5,62517,3a s k ==⨯+==． 结束循环，输出s 的值为17，故选C ．19．（2016全国III 文理）执行如图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】第一次循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二次循环，得2a =-，6,4,10,2b a s n ====；第三次循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四次循环，得2,6,4,20,4a b a s n =-====，此时2016s =>，退出循环，输出的4n =，故选B ．20．（2015湖南文理）执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S = A ．67 B ．37 C ．89 D ．49【答案】B 【解析】第一次循环，113S =⨯，此时2i ，不满足条件，继续第二次循环111335S =+⨯⨯，此时3i ，不满足条件，继续第三次循环11131335577S =++=⨯⨯⨯，此时43i =>，退出循环，输出S的值为37，故选B ．21．（2015重庆文理）执行如图所示的程序框图，若输出k 值为8，则判断框内可填入的条件是 A ．34s ≤B ．56s ≤ C ．1112s ≤ D ．2524s ≤【答案】C 【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112S ≤，故选C ． 22．（2015新课标I 文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C 【解析】由程序框图可知11111,,1,0.012242=-===>S m n ； 11111,,2,0.0124484=-===>S m n ；11111,,3,0.01488168=-===>S m n ；11111,,4,0.01816163216=-===>S m n ；11111,,5,0.011632326432=-===>S m n ；11111,,6,0.0132646412864=-===>S m n ；11111,,7,0.0164128128256128=-===<S m n ，故选C ． 23．（2015新课标II 文理）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a = A ．0 B ．2 C ．4 D ．14【答案】B 【解析】第一次执行，输入14a ，18b ，∵a b ，∴18144b =-=；第二次执行，输入14a ，4b ，∵a b >，∴14410a =-=； 第三次执行，输入10a ，4b ，∵a b >，∴1046a =-=；第四次执行，输入6a ，4b ，∵a b >，∴642a =-=；第五次执行，输入2a，4b ，∵a b <，∴422b =-=；此时2a b ．24．（2015北京文理）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B 【解析】初始值1,1,0x y k ===，执行程序框图，则0,2s t ==，0,2,1x y k ===；2,2,2,2,2s t x y k =-==-==；4,0,4,0,3s t x y k =-==-==，此时输出(,)x y ，则输出的结果为(4,0)-．25．（2015四川文理）执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 A．2-B．2 C ．12- D ．12【答案】D 【解析】这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：，2;3;4;5k k k k ====大于4，∴输出的51sinsin 662S ππ===． 26．（2014新课标I 文理）执行如图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =A ．203 B ．72 C ．165 D ．158【答案】D 【解析】第一次循环：33,2,,222M a b n ====；第二次循环：83,32M a ==，8,33b n ==；第三次循环：15815,,,4838M a b n ====则输出的158M =，故选D ．27．（2014新课标II 文理）执行如图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】D 【解析】第一步2,5,2M S k ===；第二步2,7,3M S k ===，故输出的结果为7． 28．（2014天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为 A ．15 B ．105 C ．245 D ．945【答案】B 【解析】1i 时，3T ，3S ；2i 时，5T ，15S ；3i 时，7T ，105S ，4i 输出105S ．29．（2014重庆文理）执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是 A ．12s >B ．35s > C ．710s > D ．45s >【答案】C 【解析】当输出6k =时，98771109810s =⨯⨯⨯=，结合题中的程序框图知，故选C ． 30．（2014安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A ．34 B ．55 C ．78 D ．89【答案】B 【解析】5550>，故运算7次后输出的结果为55．31．（2014福建文理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于 A ．18 B ．20 C ．21 D ．40【答案】B 【解析】10,1,0213,2S n S n ===++==；∵315≥不成立，执行循环：23229S =++=，3n =，∵915≥不成立，执行循环：392320,4S n =++==，∵2015≥成立，停止循环：∴输出的S 得值为20．32．（2014湖南文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于 A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】由程序框图可知，2213,[2,0)3,[0,2]t t S t t ⎧+-∈-=⎨-∈⎩，其值域为(2,6][3,1][3,6]-⋃--=-．33．（2014四川文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2．34．（2013新课标I 文理）执行如图程序框图，如果输入的，则输出s 属于[2,2]t ∈-S [6,2]--[5,1]--[4,5]-[3,6]-[1,3]t ∈-A ．[-3，4]B ．[-5，2]C ．[-4，3]D ．[-2，5]【答案】A 【解析】有题意知，当时，，当时，，∴输出s 属于[-3，4]，故选．35．（2013安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】故选D ． 36．（2013江西文理）阅读如图程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为[1,1)t ∈-3s t =[3,3)∈-[1,3]t ∈24s t t =-[3,4]∈A 162524341112.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s 5i =A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，当5i =时，空白的判断框中的语句应使10S ≥；故选项A ，B 中，当5i = 时，都有10S <；故排除；假设空白的判断框中的语句是C 项中的2*S i =，则第一次运行时，2,5i S ==；第二次运行时，3,6i S ==；第三次运行时，4,9i S ==；第四次运行时，5,10i S ==；此时不满足10S <，故输出5i =，满足题意，故选C ．37．（2013福建文理）阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是 A ．计算数列的前10项和 B ．计算数列的前9项和C ．计算数列的前10项和D ．计算数列的前9项和【答案】C 【解析】第一次循环：，；第二次循环：；第三次循环：…．第九次循环：；第十次循环：，输2*2S i =-2*1S i =-2*S i =2*4S i =+10k ={}12n -{}12n -{}21n-{}21n-1,2S i ==10i <3,3,10S i i ==<7,4,10S i i ==<921,10,10S i i =-==1021,11,10S i i =-=>出S ．根据故选项，，故为数列的前10项和，故选A ．38．（2013浙江文理）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则 A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】 ；输出的结果为，此时，故．39．（2013天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 A ．64B ．73C ．512D ．585【答案】B 【解析】第一次循环，，；第二次循环，；第三次循环，，跳出101(12)12S -=-12n -594=a 5=a 6=a 7=a13151,11;2,11;2233k s k s ==+-===+-=17193,11;4,114455k s k s ==+-===+-=595k a =>4a =1S =2x =9,4S x ==73S =循环．40．（2013陕西文理）根据下列算法语句， 当输入x 为60时， 输出yA ．25B ．30C ．31D ．61【答案】C 【解析】此算法的功能是计算分段函数0.5,50()250.6(x 50),50x x f x x ⎧=⎨+->⎩≤的值，∴(60)250.6(6050)31f =+⨯-=，故选C ．41．（2012新课标文理）如果执行如图的程序框图，输入正整数)2(≥N N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A 、B ，则A ．B A +为N a a a ,,,21 的和 B ．2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C ．A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数【答案】C 【解析】由当x A >时A x =可知A 应为12,,,N a a a ⋅⋅⋅中最大的数，由当x B <时B x =可知B 应为12,,,N a a a ⋅⋅⋅中最小的数．42．（2012安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．8【答案】B 【解析】第一次进入循环体有x=2，y=2，第二次进入循环体有x=4，y=3，第三次进入循环体有x=8，y=4，跳出循环体，输出结果为4，故选D ．43．（2011天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为A ．0．5B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】由框图可知：4x =-，||3x >，|43|7x =--=；7,||3,|73|4x x x =>=-=；4,||3,|43|13x x x =>=-=<，122y ==，故选C ．44．（2011陕西文理）如图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分．当126,9x x ==，8.5p =时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7【答案】C 【解析】本题代入数据验证较为合理，显然满足8.5p =的可能为6118.52+=或988.52+=，显然若311x =，不满足3132||||x x x x -<-，则111x =，计算119102p +==，不满足题意；而若38x =，不满足3132||||x x x x -<-，则18x =，计算898.52p +==，满足题意． 45．（2020江苏5）下图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ．【答案】3-【解析】由题可知2,0,1,0x x y x x ⎧>=⎨+≤⎩，当2y =-时，得12x +=-，解得3x =-．46．（2019江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______________．【答案】5【解析】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =47．（2018江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．【答案】8【解析】该伪代码运行3次，第1次，I =3，S =2；第2次，I =5，S =4；第3次，I =7，S =8，结束运行，故输出的S 的值为8．48．（2017江苏）如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-． 49．（2015安徽文理）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为【答案】4 【解析】由题意，程序框图循环如下：①；②；③；④，此时，∴输出．50．（2014山东文理）执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ．1,1a n ==131,2112a n =+==+171,33512a n =+==+1171,471215a n =+==+17| 1.414|0.0030.00512-≈<4n =【答案】3【解析】214130,2,1x n -⨯+==≤；224230,3,2x n -⨯+==≤；234330,4,3x n -⨯+==≤；244430,5,4x n -⨯+>==，此时输出n 值，故输出n 的值为3．51．（2014江苏）如图是一个算法流程图，则输出的的值是 ．【答案】5【解析】该流程图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32,∴输出的的值是5． 52．（2014辽宁文理）执行如图的程序框图，若输入9x =，则输出y = ．n n【答案】299【解析】第一次循环：5,5y x ==；第二次循环：1111,33y x ==；第三次循环：299y =，此时291141939y x -=-=<，故输出299y =． 53．（2013浙江文理）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_____．【答案】【解析】1111,1;1,2;1,3121223k S S k S k ===+==++=⨯⨯⨯ 当5k =时程序结束，此时119112455S =+++=⨯⨯．9554．（2013山东文理）执行如图的程序框图，若输入的ε的值为0．25，则输出的n 的值为___．【答案】3【解析】第一次循环，，此时不成立．第二次循环，，此时成立，输出．55．（2012江西文理）如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________．【答案】3【解析】由程序框图可知： 第一次：T=0，k=1，sin 1sin 002π=>=成立，a=1，T=T+a=1，k=2，2<6，满足判断条件，继续循环；第二次：sin 0sin12ππ=>=不成立，a=0，T=T+a=1，k=3，3<6，满足判断条件，继续循环；第三次：3sin1sin 02ππ=->=不成立，a=0，T=T+a=1，k=4，4<6， 满足判断条件，继续循环；第四次： 3sin 20sin 12ππ=>=-成立，a=1，T=T+a=2，k=5， 满足判断条件，继续循环；第五次：5sin1sin 202ππ=>=成立，a=1，T=T+a=2，k=6，6<6不成立，不满足判断条件，跳出循环，故输出T 的值3．56．（2012江苏）如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ．【答案】5【解析】由452+-k k ＞0得1k <或4k >，∴5k =． 57．（2011福建文理）运行如图所示的程序，输出的结果是_______．【答案】3【解析】1,2a b ==把1与2的和输给a ，即3a =，输出的结果为3．58．（2011江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2，3时，最后输出的m 的值是 ．【答案】3【解析】伪代码的含义是输出两个数的较大者，∴输出的3m =．考点114 复数ENDPRINT a a =a +b b =2a =159．（2020全国Ⅰ文2）若312i i z =++，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2 【答案】C【解析】∵31+21+2i i i i 1i z =+=-=+，∴z ==C ．60．（2020全国Ⅰ理1）若1i z =+，则22z z -= （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【解析】由题意可得：()221i 2i z =+=，则()222212z z i i -=-+=-，故2222z z -=-=，故选D ．61．（2020全国Ⅱ文2）()41i -=（ ）A ．4-B ．4C ．i 4-D ．i 4 【答案】A【解析】422222(1i)[(1i)](12i i )(2i)4-=-=-+=-=-．故选A ． 62．（2020全国Ⅲ文2）复数()1i 1i z +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i 【答案】D【解析】∵21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，∴z i ，故选D 63．（2020全国Ⅲ理2）复数113i-的虚部是 （ ）A ．310-B ．110- C ．110 D ．310【答案】D 【解析】∵1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，∴复数113z i =-的虚部为310，故选D ． 64．（2020浙江2）已知a ∈R ，若()12i a a -+-（i 为虚数单位）是实数，则a = （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】C【解析】由条件可知20a -=，即2a =，故选C ．65．（2020北京2）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,2，则i z ⋅=（ ）A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【解析】由题意z=1+2i ，iz=-2+i ，故选B ．66．（2020山东2）2i12i-=+ （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++-，故选D ． 67．（2019全国Ⅰ文）设3i12iz -=+，则||z =A ．2BCD ．1【答案】C【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，∴||z ==C ．方法2：由题可得|3i ||||12i |z -====+C ．68．（2019全国Ⅰ理）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=【答案】C【解析】由题可得i,i (1)i,z x y z x y =+-=+-i 1,z -==则22(1)1x y +-=．故选C ．69．（2019全国Ⅱ文）设)i i (2z =+，则z = A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -D ．12i --【答案】D【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，∴12i z =--，故选D ． 70．（2019全国Ⅱ理）设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由32i,z =-+得32i,z =--则32i z =--对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 71．（2019全国Ⅲ文理）若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 72．（2019年高考北京文理）已知复数2i z =+，则z z ⋅=A B C ．3D ．5【答案】D【解析】由题2i z =+，则(2i)(2i)5z z ⋅=+-=，故选D ． 74．(2018北京文理)在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+--+，其共轭复数为11i 22-，对应的点为11(,)22-，故选D ．75．(2018全国卷Ⅰ文理)设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D 【答案】C 【解析】∵21i (1i)2i=2i i 2i i 1i (1i)(1i)--=++=-+=++-z ，∴|z |1=，故选C ．76．(2018全国卷Ⅱ文)()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+【答案】D 【解析】()i 23i 32i +=-+，故选D ． 77．(2018全国卷Ⅱ理)12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 【答案】D 【解析】12i (12i)(12i)34i 12i (12i)(12i)55+++==-+--+，故选D ． 78．(2018全国卷Ⅲ文理)(1i)(2i)+-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D 【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-=-+-=+．故选D ． 79．(2018浙江)复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】∵22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+，∴复数21i-的共轭复数为1i -．故选B ． 80．（2017新课标Ⅰ文）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．2i(1i)+ B ．2i (1i)- C ．2(1i)+ D ．i(1i)+ 【答案】C 【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ． 81．（2017新课标Ⅰ理）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p 【答案】B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i(i)a b z a b a b-==∈++R ，得0b =，∴z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ． 82．（2017新课标Ⅱ文）(1)(2)i i ++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【解析】由复数的运算法则，2(1i)(2i)123i i 13i ++=⨯++=+，故选B ． 83．（2017新课标Ⅱ理）3i1i+=+ A ．1+2i B ．1−2i C ．2+i D ．2−i 84．（2017新课标Ⅲ文）复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【解析】∵i(2i)12i z =-+=--，∴复数z 在复平面内对应的点(1,2)Z --，位于第三象限，故选C ．85．（2017新课标Ⅲ）设复数z 满足(1i)2z i +=，则||z = A ．12BCD ．2【答案】C 【解析】由(1i)2z i +=，得2i1i 1iz ==++，∴||z ==C ． 86．（2017山东文）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z = A ．-2i B ．2i C ．-2 D ．2 【答案】A 【解析】由i 1i z =+，得1i1i iz +==-，22(1i)2i z =-=-，故选A ． 87．（2017山东理）已知a R ∈，i是虚数单位，若z a =+，4z z ⋅=，则a = A ．1或-1 B或 C ．- D【答案】A【解析】由,4z a z z =+⋅=得234a +=，∴1a =±，故选A ．88．（2017北京文理）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】B 【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-，∵对应的点在第二象限，∴，解得，故选B ．1010a a +<⎧⎨->⎩1a <-89．（2016全国I 文）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3【答案】A 【解析】∵(12i)(i)a ++=(2)(21)i a a -++，由已知的221a a -=+， 解得3a =-．故选A ．90．(2016年全国I 理)设(1)1i x yi +=+，其中,x y 是实数，则 A ．1 BCD ．2 【答案】B 【解析】∵(1)1i x x xi yi +=+=+，∴1x y ==， ∴|||1|x yi i +=+==，故选B ．91．（2016全国II 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 【答案】C 【解析】由i 3i z +=-得，32z i =-，∴32z i =+，故选C ．92．(2016年全国II 理)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．()31-，B ．()13-，C ．()1,∞+D ．()3∞--，【答案】A 【解析】由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(3,1)m m +-， ∴30m +>，10m -<，解得∴31m -<<，故选A ． 93．（2016全国III 文）若，则||zz = A ．1 B ．C ．D ．【答案】D 【解析】43||55z i z ==-，故选D ． 94．(2016年全国III 理)若12z i =+，则41izz =-（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i 【答案】C 【解析】441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ． 95．(2016年山东理) 若复数z 满足232z z i +=- 其中i 为虚数单位，则z = A ．1+2iB ．12iC ．D ．【答案】B 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，i =x y +43i z =+1-43i 55+43i 55--12i -+12i --故22()332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=-， ∴1,2a b ==-，∴12z i =-，故选B ． 96．（2015新课标I 文理）设复数z 满足11zi z+=-，则||z = A ．1 BCD ．2 【答案】A 【解析】由题意知1zi zi ，21(1)1(1)(1)i i zi i i i ，∴|z |1．97．（2015广东文理）若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z = A ．23i - B ．23i + C ．32i + D ．32i - 【答案】A 【解析】∵23zi ，∴23z i ．98．（2015安徽文理）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B ．99．（2015山东文理）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+【答案】A 【解析】2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-．100．（2015四川文理）设i 是虚数单位，则复数32i i-= A ．i - B ．3i - C ．i D ．3i【答案】C 【解析】32222ii i i i i i i． 101．（2015湖北文理）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】A 【解析】，故选 B ．102．（2015湖南文理）已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --22(1)2211(1)(1)2i i i ii i i i +-+===-+--+(1,1)-i i i i-=⋅=⨯31514607【答案】D 【解析】由题意得，，故选D ． 103．（2014新课标I 文理）设i iz ++=11，则=||z A ．21B ．22C ．23D ．2【答案】B 【解析】i i z ++=11=1122i +，∴||2z ==． 104．（2014新课标I 文理）32(1)(1)i i +-=A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --【答案】D 【解析】32(1)(1)i i +-=13322122i i ii i i-+--+==----．105．（2014新课标II 文理）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．5- B ．5 C ．4i -+ D ．4i -- 【答案】A 【解析】22z i =-+，∴12z z =(2)(2)5i i +-+=-． 106．（2014新课标II 文理）131ii+=- A ．12i + B ．12i -+ C ．1-2i D ．1-2i - 【答案】B 【解析】131ii+=-12i -+． 107．（2014山东文理）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a A ．i 45- B ．i 45+ C ．i 43- D ．i 43+【答案】D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴22(2)34a bi i i +=+=+（）． 108．（2014广东文理）已知复数z 满足，则z = A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】由得2525(34)(34)3425i z i i -===-+，故选D ． 109．（2014安徽文理）设是虚数单位，表示复数的共轭复数．若则zi z i+⋅= A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2ii iii i z --=+-=+-=1121)1(2(34)25i z +=34i -+34i --34i +34i -(34)25i z +=i z z ,1i z +=【答案】C 【解析】1(1)(1)(1)2z i i z i i i i i i++⋅=+⋅-=--++=． 110．（2014福建文理）复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于 A ．23i -- B ．23i -+ C ．23i - D ．23i + 【答案】C 【解析】∵(32)z i i =-=23i +，∴23z i =-．111．（2014天津文理）i 是虚数单位，复数734iiA ．1i B ．1i C ．17312525i D ．172577i 【答案】A 【解析】73472525134343425i i i i i ii i．112．（2014重庆文理）实部为2-，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】实部为-2，虚部为1的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，故选B ． 113．（2013新课标I 文理）若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为 A ．－4B ．45-C ．4D ．45【答案】D 【解析】由题知===，故z 的虚部为，故选D ．114．（2013新课标II 文）设复数满足，则= A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】． 115．（2013山东文理）复数满足 (为虚数单位)，则的共轭复数为 A ．2+iB ．2-iC ．5+iD ．5-i【答案】D 【解析】，得535,52z i z i i=+=+=--． 116．（2013安徽文理）设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则= A ． B ． C．D ．【答案】A 【解析】设，则，由得，z |43|34i i +-4)(34)(34)i i i +-+3455i +45z ()12i z i -=z 1i -+1i --1i +1i -()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+z ()()325z i --=i z z ()()325z i --=i _z z 22z zi z ⋅+=z 1+i 1i -1+i -1-i -z a bi =+z a bi =-22z zi z ⋅+=，故选A ．117．（2013广东文理）若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是 A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】对应的点的坐标是，故选C ． 118．（2013江西文理）已知集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{4}M N ⋂=，则复数z = A ．-2i B ．2i C ．-4i D ．4i 【答案】C 【解析】由{4}M N ⋂=知，4zi =，∴4z i =-． 119．（2013湖北文理）在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】，． 120．（2013北京文理）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A 【解析】()212i i i -=+，故选A ．121．（2013四川文理）如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】B 【解析】设(,)A x y 表示复数z x yi =+，则z 的共轭复数z x yi =-对应的点位(,)B x y -． 122．（2013辽宁文理）复数的11z i =-模为（ ） ()()()222222a bi a bi i a b i a bi +-+=++=+i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22z 24iz i =+z ()2,4()2,4-()4,2-()4,22442iz i i+==-()4,2-21iz i=+i 211iz i i==++1z i ∴=-(2)i i -xA ．B ． CD ．【答案】B 【解析】由已知111(1)(1)22i z i i i --==---+--，∴||z =．123．（2012新课标文理）复数z ＝32ii-++的共轭复数是 （ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 【答案】D 【解析】∵z =32ii-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D ． 124．（2012北京文理）在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ．（1，3） B ．（3，1） C ．(1,3-） D ．31-（，） 【答案】A 【解析】由1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-对应复平面内的点为A ． 125．（2012广东文理）设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --【答案】D 【解析】依题意： 256(56)65i i ii i i --==--，故选D ． 126．（2012辽宁文理）复数 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，故选A ．127．（2012湖南文理）复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的共轭复数是 A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +【答案】A 【解析】由(1)z i i =+=，及共轭复数定义得． 128．（2012天津文理）i 是虚数单位，复数73ii-+= A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 【答案】B 【解析】73i i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -．12222-=2+i i34-55i 34+55i 41-5i 31+5i ()()()22-2-3-434===-2+2+2-555i i i i i i i 1i -+1z i =--129．（2012浙江文理）已知i 是虚数单位，则31ii+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i + 【答案】D 【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i ++++===+--+． 130．（2012江西文理）若复数(为虚数单位)z 是z 的共轭复数 ， 则22z z +的虚部为 A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2 【答案】A 【解析】∵1z i =+，∴1z i =-，∴22z z +=0．131．（2012山东文理）若复数满足（为虚数单位），则为 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】．故选A ． 另解：设，则 根据复数相等可知，解得，于是． 132．（2012陕西文理）设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】“”则或，“复数为纯虚数”则且，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B ．133．（2011山东文理）复数z =（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】z ==3455i -在复平面内对应的点所在象限为第四象限． 134．（2011安徽文理）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为A ．2B ． 2C ．D ．【答案】A 【解析】设，则，∴．故选A ． 135．(2011新课标文理)复数的共轭复数是1z i =+i z ()i i z 7112+=-i z i 53+i 53-i 53+-i 53--i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=),(R b a bi a z ∈+=i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+72,112=-=+a b b a 5,3==b a i z 53+=,a b R ∈i 0ab =ba i+0ab =0=a 0=b ba i+0=a 0≠b 0ab =ba i+22ii-+i 22i i -+i aii 1+2--1-212()aibi b R i1+∈2-=1+(2)2ai bi i b bi =-=+1,2b a ==212ii+-A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】=共轭复数为C ． 136．（2011湖南文理）若，为虚数单位，且，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】因，根据复数相等的条件可知． 137．（2011广东文理）设复数z 满足(1+i )z =2，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1-i C ．2+2i D ．2-2i 【答案】B 【解析】22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-． 138．（2011辽宁文理）i 为虚数单位，=+++7531111i i i iA ．0B ．2iC ．i 2-D ．4i【答案】A 【解析】∵21i =-，∴=+++7531111i i i i 11110i i i i-+-=． 139．（2011福建文理）i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 【答案】B 【解析】∵21i =-，1S -∈，∴2i S ∈．140．（2011浙江文理）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则= A ．3－i B ．3+i C ．1+3iD ．3【答案】A 【解析】(1)(2)(1i)3i z z i +⋅=+-=-．141．（2020全国Ⅱ理15）设复数21,z z 满足i z z z z +=+==322121，，则=-21z z ．【答案】【解析】122z z ==，可设12cos 2sin z i θθ=+⋅，22cos 2sin z i αα=+⋅，()()122cos cos 2sin sin z z i i θαθα∴+=+++⋅=，()()2cos cos 2sin sin 1θαθα⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩()422cos cos 2sin sin 4θαθα++=，35i -35i i -i 212i i+-(2)(12),5i i i ++=,a b R ∈i ()a i i b i +=+1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b =-=-1,1a b ==-()1a i i ai b i +=-+=+1,1a b ==-化简得：1cos cos sin sin 2θαθα+=-， ()()122cos cos 2sin sin z z iθαθα∴-=-+-⋅====．故答案为：142．（2020江苏2）已知i 为虚数单位，则复数()()1i 2i z =+-的实部是 ． 【答案】3 【解析】()()1i 2i 3i z =+-=+，则复数z 的实部为3．143．（2020天津10）i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 【答案】32i -【解析】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-．故答案为：32i -． 144．（2020上海3）已知复数12z i =-（i 为虚数单位），则|z |= ．【解析】z ==145．（2020海南2）()()12i 2i ++==（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选B ． 146．（2019天津文理】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________．【解析】5i (5i)(1i)|||||23i |1i (1i)(1i)---==-=++-． 147．（2019浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________．【解析】由题可得1|||1i |2z ===+． 148．（2019江苏卷】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________． 【答案】2 【解析】2(2i)(1i)i 2i 2i 2(2)i a a a a a ++=+++=-++，令20a -=，解得2a =．149．(2018天津文理)i 是虚数单位，复数67i12i+=+ ． 【答案】4i -【解析】67i (67i)(12i)205i4i 12i (12i)(12i)5++--===-++-．150．(2018上海文理)已知复数z 满足(1i)17i z +=-（i 是虚数单位），则||z = ．【答案】5【解析】由题意17i (17i)(1i)68i34i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，∴|||34i |5z =--==． 151．（2018江苏）若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 【答案】2【解析】复数12i(12i)(i)2i iz +==+-=-的实部是2． 152．（2017天津文理）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-． 153．（2017浙江文）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 【答案】5，2【解析】∵222(i)2i 34i a b a b ab +=-+=+，∴223a b -=，2ab =，又22222222()()491625a b a b a b +=-+=+=，∴225a b +=，2ab =．154．（2017江苏文理）已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是______．|||1i ||12i |z =++==155．（2015天津文理）i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ．【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，∴20a +=，即2a =-． 156．（2015重庆文理）设复数(,R)a bi a b +∈，则()()a bi a bi +-＝ ．【答案】3【解析】由，即，∴．157．(2014江苏文理)已知复数2(52)z i =+ (i 为虚数单位)，则的实部为 ． 【答案】21【解析】2(52)z i =+=2120i +，的实部为21．158．（2014浙江文理）已知i 是虚数单位，计算21(1)ii -+＝________． 【答案】12i --【解析】211(1)1(1)222i i i i ii i -----===+-． 159．（2014北京文理）复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________．【答案】1-1【解析】211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭22(1)1(1)i i +=--．160．（2014湖南文理）复数23ii +（i 为虚数单位）的实部等于_________． 【答案】3-【解析】23ii+=3i --．实部为3-．161．（2013重庆文理）已知复数（是虚数单位），则 5(12)2(12)(12)i i z i i i -==++-，∴||z ==162．（2013天津文理）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a + i)(1 + i) = bi ，则a + bi = ． 【答案】【解析】由题意，即，∴a + bi =．163．（2012湖北文理）若31bii +-=a bi +（,a b 为实数，i 为虚数单位），则a b +=____________． 【答案】3【解析】∵31bia bi i+=+-，∴()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-．又∵,a b 都为实数，故由复a bi +==223a b +=22()()3a bi a bi a b +-=+=z z 512iz i=+i _________z =12i +101a a b -=⎧⎨+=⎩12a b =⎧⎨=⎩12i +。

2020届全国百师联盟新高考押题仿真模拟（十七）数学试卷（文）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知集合{}|1 2 A x x =-<<， {}2|20 B x x x =+≤，则A B =I （ ）A. {}|0 2 x x <<B. {}|0 2 x x ≤<C. {}|10 x x -<<D. {}|10 x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ， B ，然后根据交集定义求出A B ⋂【详解】{}|12A x x =-<<Q ， {}{}2|20|20B x x x x x =+≤=-≤≤{}|10A B x x ∴⋂=-<≤故选D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题 2.若201924(1)2i z i i =+--，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数四则运算法则可将复数z 化简为12i --，从而得到对应点的坐标，进而得到结果. 【详解】()()5044201923342112211224ii ii i i i i i i i iz i ⨯+=+=-+=---=----+=+--z ∴对应的点的坐标为：()1,2--，位于第三象限本题正确选项：C【点睛】本题考查复数与复平面上的点的对应关系，关键是能够熟练应用复数的四则运算法则将复数化简为a bi +的形式，属于基础题.3.已知双曲线2221x y -=的一个焦点为F ,则焦点F 到其中一条渐近线的距离为（ ）A. 2B. 1C.2D.12【答案】C 【解析】 【分析】求得双曲线的a ，b ，c ，焦点F 的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求． 【详解】双曲线2221x y -=的a=1，b=2，c=2， 右焦点F0），一条渐近线方程为x 0=，则F 到渐近线的距离为．故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．4.设函数()(1)x f x x e =+，则'(1)f =（ ） A. 1 B. 2 C. 3+e D. 3e【答案】D 【解析】 【分析】对函数()()1xf x x e =+求导，然后把1x =代入即可.【详解】()()()()112,x x x xf x x e e x e x e =+=++=+'Q()()1'1123,f e e ∴=+=故选C.【点睛】本题考查函数在某一点出的导数，属基础题.5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入3,2,1,312,0n x v i i ====-=≥成立；1224v =⨯+=，211,0i i =-=≥成立； 4219v =⨯+=，110,0i i =-=≥成立；92018v =⨯+=，011,0i i =-=-≥不成立，输出18v =.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.6.已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A. 310 B.35 C. − 310D. 110【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tan α的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选：A ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 7.如图，E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点，10PC =，6AB =，7EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）A. 30°B. 120︒C. 60︒D. 45︒【答案】C 【解析】 【分析】取AC 中点D ，连接,DE DF ，根据三角形中位线性质可知异面直线AB 与PC 所成的角即为DE 与DF 所成角；利用余弦定理可求得120EDF ∠=o ，根据异面直线所成角的范围可知所求角为18012060-=o o o . 【详解】取AC 中点D ，连接,DE DF,,D E F Q 分别为,,AC AP BC 的中点 ,ED DF ∴分别为,ACP ABC ∆∆的中位线 1//2DE PC ∴，1//2DF AB∴异面直线AB 与PC 所成的角即为DE 与DF 所成角又152DE PC ==，132DF AB ==，7EF =222259491cos 22532DE DF EF EDF DE DF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，即120EDF ∠=oDE ∴与DF 所成角为：18012060-=o o o即异面直线AB 与PC 所成的角为60o 本题正确选项：C【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，关键是能够通过平行关系将异面直线平移为相交直线，从而将所求角放到三角形中来进行求解.8.数列{}n a 中“211n n n a a a -+=对任意2n ≥且*n N ∈都成立”是“{}n a 是等比数列”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】由“{a n }为等比数列”能推出“a n 2=a n ﹣1•a n +1”，当数列为a n =a n ﹣1=a n +1=0时，尽管满足“a n 2=a n ﹣1•a n +1”，但“{a n }不为等比数列，故“211n n n a a a -+=对任意2n ≥且*n N ∈都成立”是“{}n a 是等比数列”的必要不充分条件，故选：A ．9.定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且(2)2018f =，则(2018)+(2016)f f =（ ）A. 2018B. 2020C. 4034D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由()y f x =是定义域为R 的奇函数，且其图象关于直线2x =对称，可得()y f x = 的周期，结合()22018f =，可求()()2018+2016f f 的值.【详解】由()y f x =是定义域为R 的奇函数，且其图象关于直线2x =对称，则()()()(),4,f x f x f x f x -=+=- 则()()()()()()8444,f x f x f x f x f x +=++=-+=--=即函数的周期为8，则()()()()()()2018+201625282+25282+020*******.f f f f f f =⨯+⨯==+= 故选A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的周期性的应用，注意分析函数的奇偶性．10.函数()()1ln f x x x =-的图象可能为 ( )．A. B. C. D.【答案】A 【解析】当1x >时，()()1ln 0f x x x =->，故排除C ，D ，当01x <<时，10x -<，ln 0x <，∴()()1ln 0f x x x =->，故排除B ，故选A.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.11.已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且2AB BC ==2AC =，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ） A.50081πB.1009πC.259πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可知AB BC ⊥，从而求得1ABC S ∆=；根据棱锥体积公式可知，若三棱锥体积最大则可得点D 到平面ABC 的最大距离3DO '=，在Rt OAO '∆中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径R ，代入球的表面积公式可求得结果. 【详解】2AB BC ==Q ，2AC = 222AB BC AC ∴+= AB BC ∴⊥112ABC S AB BC ∆∴=⋅= 如下图所示：若三棱锥D ABC -体积最大值为1，则点D 到平面ABC 的最大距离：3d = 即：3DO '=设球的半径为R ，则在Rt OAO '∆中：()22213R R =+-，解得：53R =∴球的表面积：210049S R ππ==本题正确选项：B【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离，根据外接球的性质可确定球心的大致位置，通过勾股定理构造关于半径的方程求得外接球半径.12.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.22B. 23C.52D.63【答案】D 【解析】试题分析：设1212,F F c AF m ==，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴1AB AF m ==，1BF =．由椭圆的定义可知1F AB ∆的周长为4a ，∴42a m =+，2(2m a=．∴222)AF a m a=-=．∵2221212AF AF F F +=，∴222224(21)4a a c +=，∴29e =-e =．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，得出1AB AF m ==，1BF =，再由椭圆的定义，得到1F AB ∆的周长为4a ，列出,a c 的关系式，即可求解离心率.二、填空题13.命题：“x R ∀∈，x e x ≤”的否定是________． 【答案】,xx R e x ∃∈> 【解析】 【分析】根据含量词命题的否定直接写出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以原命题的否定为：x R ∃∈，x e x > 本题正确结果：x R ∃∈，x e x >【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.14.已知x ，y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z=2x+y 的最大值为__________．【答案】4 【解析】【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可. 【详解】解：由已知不等式组得到平面区域如图： 目标函数2z x y =+变形为2y x z =-+， 此直线经过图中A 时在y 轴截距最大， 由02y x y =⎧⎨+=⎩得到(2,0)A ，所以z 的最大值为2204⨯+=； 故答案为：4．【点睛】本题考查简单的线性规划，其中数形结合的应用是解决本题的关键，属于基础题.15.函数()()cos 10cos 70y x x =+︒++︒的最小值是________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用两角和差余弦公式可将原函数化为()()33cos 70sin 7022x x +++o o ，利用辅助角公式可化为()3130x +o ；根据余弦函数的最小值可求得所求函数的最小值.【详解】()()()()()cos 7060cos 70cos 70cos60sin 70sin 60cos 70y x x x x x =+-++=+++++o o o o o o o o()()()33cos 70sin 703sin 1302x x x =+++=+o o o ∴当()sin 1301x +=-o 时，min 3y =-本题正确结果：3-【点睛】本题考查三角函数最值的求解问题，关键是能够熟练应用两角和差余弦公式、辅助角公式将所求函数化为余弦型函数的形式，根据余弦函数值域求得结果.16.已知函数()2log ,03,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()1,+∞ 【解析】 【分析】关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根()y f x ⇔=与y x a =-+的图象只有一个交点，结合图象即可求得．【详解】关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根()y f x ⇔=与y x a =-+的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当1a >时，()y f x =与y x a =-+的图象只有一个交点，即有1a >，故答案为()1,∞+.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象性质；但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 试题解析：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+， 化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=-=， 从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知，2a b c +=，所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12.考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键. 【此处有视频，请去附件查看】18.如图1，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==，BC=4，将△ADE沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2： （1）求证：EF ∥平面1A BD ; （2）求点F 到平面1A OB 的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2 【解析】分析：（Ⅰ）折叠前有1//,2DE BC DE BC =，折叠后AB 的中点为H ，则1//,2FH BC FH BC =，从而//,DE FH DE FH =，四边形FEDH 为平行四边形，从而//EF DH ，可证//EF 平面1A BD ．（Ⅱ）由平面1A DE ⊥平面BCED 可以得到1A 到平面BCED 的距离，从而可得1A COB V -，也就得到了1F A OB V -，故可求得F 到平面1A OB 的距离．详解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在ABC ∆中， ,D E 分别为,AB AC 的中点，所以//DE BC ，12DE BC =． 因为,H F ，分别为11,A B AC 的中点，所以//HF BC ，12HF BC =， 所以//HF DE ，HF DE =，四边形DEFH 为平行四边形，故//EF HD ． 因为EF ⊄平面1A BD ,HD ⊂平面1A BD ，所以//EF 平面1A BD ． （Ⅱ）因为O 为DE 的中点，11A D A E =,所以1O DE ⊥．又因为平面1A DE ⊥平面BCED ，平面1A DE I 平面BCED DE =，故1A O ⊥平面BCED .由图有，1111122F A OB C A OB A COB V V V ---==，则()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，故2h =点睛：线面平行的证明通常需要在面中找到与已知直线平行的直线，常见的找线的方法是平行投影和中心投影．立体几何中点到平面的距离可以利用面面垂直作出点到平面的距离，也可以利用等积法求点到平面的距离．19.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示（x （吨）为该商品进货量，y （天）为销售天数）：（Ⅰ）根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅱ）在该商品进货量x （吨）不超过6（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量x （吨）恰有一个值不超过3（吨）的概率.参考公式和数据：^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，^^a yb x =-.821356ii x==∑，81241i i i x y ==∑.【答案】（Ⅰ）4911ˆ6834yx =-；（Ⅱ）35【解析】 【分析】（Ⅰ）根据数据表可计算出x 和y ，代入公式可求得ˆb 和ˆa ，从而可得回归直线方程；（Ⅱ）根据数据表可知商品进货量x 不超过6吨的共有5个，可列举出任取两个所有情况总数10种；从中挑选出符合题意的有6种，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）由数据表可得：()123456891168x =+++++++= ()11233+456848y =++++++=881188222211()()824186449ˆ3568668()8iii ii i i ii i x x y y x y xybx x xx ====----⨯⨯∴====-⨯--∑∑∑∑ 4911ˆ466834a∴=-⨯=- ∴回归直线方程为：4911ˆ6834y x =- （Ⅱ）由题意知，该商品进货量x 不超过6吨的共有5个，设为编码1,2,3,4,5号任取两个有：()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，共10种该商品进货量不超过3吨的有编号1,2号，超过3吨的是编号3,4,5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨有：()()()()()()1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5，共6种 故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率：63105P == 【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线方程、列举法解决古典概型的概率问题；对于学生计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，4FA = （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E ，试问直线AE （A 为抛物线C 上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）(1,0)F . 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据抛物线定义可利用4FA =构造关于p 的方程，从而求得抛物线方程；（Ⅱ）设()()000,0A x y x >，()(),00D D D x x >，根据FA FD =可求得()02,0D x +，从而得到AB k ，假设1l 方程，与抛物线方程联立，利用0∆=可求得b ，从而利用0y 表示出E 点坐标；分别在204y ≠和204y =两种情况下得到直线AE方程，从而得到所过定点.【详解】（Ⅰ）由题意知：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭由抛物线的定义知：342p+=，解得：2p = ∴抛物线C 的方程为：24y x =（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()1,0F设()()000,0A x y x >，()(),00D D D x x >FA FD =Q 011D x x ∴-=+由0D x >得：02D x x =+，故()02,0D x + ∴直线AB 的斜率为02AB y k =-Q 直线1l 和直线AB 平行∴可设直线1l 的方程为02y y x b =-+，代入抛物线方程得：200880b y y y y +-= 由题意知：20064320b y y ∆=+=得：02b y =- 设(),E E E x y ，则04E y y =-，204E x y = 当204y ≠时，0020044E AE E y y yk x x y -==--可得直线AE 的方程为：()0002044y y y x x y -=--，由2004y x =，整理可得：()020414y y x y =-- ∴直线AE 恒过点()1,0F 当204y =时，直线AE 的方程为：1x =，过点()1,0F∴直线AE 恒过定点()1,0F【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、直线与抛物线中的定点问题的求解；求解定点问题的关键是能够利用一个变量表示出直线方程，从而得到所过定点；易错点是忽略直线斜率不存在的情况的讨论.21.设函数()2()(1)1xh x x e a x =--+（Ⅰ）若函数()h x 在点(0,(0))h 处的切线方程为2y kx =+，求实数k 与a 的值； （Ⅱ）若函数()h x 有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）0，1-；（Ⅱ）(0,1). 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义可知()0k h ='；利用()01h a =-构造方程求得a ；（Ⅱ）令()()211x x e f x x -=+，求导可确定函数的单调性，从而得到函数的大致图象；将有两个零点转化为()f x 与y a =有两个交点，通过数形结合得到所求范围.【详解】（Ⅰ）()2xh x xe ax '=--Q ()00k h ∴='=又()01h a =- 12a ∴-=，解得：1a =- （Ⅱ）()21xx e axa --=Q ()211x x e a x -∴=+令()()211xx ef x x -=+，则()()()()()222222122311x x x x x x x f x e e xx ⎡⎤-+--+⎣⎦==++'令()0f x '>，解得：0x <；令()0f x '<，解得：0x >则函数()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减 ()()max 01f x f ∴==， 当x →-∞时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →-∞ 由此可得()f x 大致图象如下图所示：要使函数()f x 的图象与y a =有两个不同的交点，则：01a << 即实数a 的取值范围为()0,1【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数零点个数求解参数范围问题；关键是能够将零点个数转化为函数与平行于x 轴直线的交点个数问题，通过数形结合的方式来求解.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，已知曲线M 的参数方程为12cos 12sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为2πθα=+．（Ⅰ）写出曲线M 的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设1l 与曲线M 交于A ，C 两点，2l 与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）22(sin cos )20ρρθθ-+-=,圆；（Ⅱ）42,6⎡⎤⎣⎦.【解析】 【分析】（Ⅰ）将参数方程化为普通方程，可知曲线M 是以()1,1为圆心，2为半径的圆；根据直角坐标与极坐标互化原则可得到曲线M 的极坐标方程；（Ⅱ）设1OA ρ=，2OC ρ=，联立1l 与圆M 方程可得韦达定理的形式；则()21212124AC ρρρρρρ=-=+-⋅，整理可得AC ，代入+2πα替换α可求得BD ；根据垂直关系可知所求面积为12AC BD ⋅，根据三角函数知识可求得结果. 【详解】（Ⅰ）由12cos 12sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数）消去参数β得：()()22114x y -+-=将曲线M 的方程化成极坐标方程得：()22sin cos 20ρρθθ-+-=∴曲线M 是以()1,1为圆心，2为半径的圆（Ⅱ）设1OA ρ=，2OC ρ=由1l 与圆M 联立方程得：()22sin cos 20ρραα-+-=，12=2ρρ⋅-,,O A C Q 三点共线则()21212124124sin 2AC ρρρρρρα=-=+-⋅=+∴用+2πα代替α可得：124sin 2BD α=-12l l ⊥Q ()21114416sin222ABCD S AC BD α∴=⋅=-四边形[]2sin 20,1α∈Q 42,6ABCD S ⎡⎤∴∈⎣⎦四边形【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、求解四边形面积的取值范围类的问题；求解面积取值范围的关键是灵活应用极坐标中ρ的几何意义，结合韦达定理表示出四边形的两条对角线，利用三角函数的知识求得结果.选修4—5：不等式选讲23.设函数()()1f x x x a a R =-+-∈. （1）当4a =时，求不等式()5f x ³的解集； （2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或5}x ≥；（2）3a ≤-或5a ≥. 【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得()f x 最小值，再解含绝对值不等式可得a 的取值范围.试题解析：（1）145x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥. （2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．21。