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（包括曲面本身）
v hk (x) 0(k 1, 2,L ,l)
v g j (x) 0( j 1, 2,L , m)
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
目标函数（评价函数）：在优化设计中，把设计目
标（设计指标）用设计变量的函数形式表示出来，这个 函数就叫做目标函数，用它可以评价设计方案的好坏， 所以它又被称作评价函数。
v h(x) 0
所表示的面或线上，为起作用约束。
v
不等式约束优化问题：可行点 g (x) 0
v
非可行点
g(x)>0
v
边界点
g(x) 0
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
作图法：
等值线（面）：函数f(x)的值依次为一系列常数ci时，变 量x取得的一系列值的集合。
•二维设计问题，等值线为平面曲线。 •对于三维设计问题，其等值函数是 一个面，叫做等值面； •对于n 维设计问题则为等值超越曲 面。
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
作图法：
压杆失稳的临界压力Fe
2 EI L2
其中，I是钢管截面惯性矩
I (R4 r4 ) A (T 2 D2 )
4
8
A是钢管截面面积A (R2 r2 ) TD
r和R分别是钢管的内半径和外半径
D=r+R而T=R-r
θ
θ L
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
建立数学模型要求：
1）希望建立一个尽可能完善的数学模型，精 确的表达实际问题；
2）力求所建立的数学模型尽可能的简单，方 便计算求解。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
例：现用薄板制造一体积5m3，长度不小于4m的无上盖的立 方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的 长、宽和高的尺寸。（写出该优化问题的数学模型）
得到设计参数的最优值
指在一定条件(各种设计因素) 影响下 所能得到的最佳设计值。 （相对概 念）
绪论
一、定义：
机械优化设计方法包括： 1)解析法:
主要是利用微分学和变分学的理论，适 应于解决小型和简单的问题； 2)数值计算方法:
使利用已知的信息，通过迭代计算来逼 近最优化问题的解，因此它的运算量很大， 直到计算机出现后才得以实现。
1
钢管所受的压应力是 F1 F (B2 h2 )2 A TDh
钢管的临界应力是 e
Fe A
2E(T 2 D2 )
8(B2 h2 )
1
根据强度约束条件有 F (B2 h2 )2
TDh
y
1
根据稳定约束条件有 F (B2 h2 )2 2E(T 2 D2 )
单目标函数优化问题：在最优化设计问题中，可以只有一 个目标函数。
多目标函数优化问题：当在同一设计中要提出多个目标函
数时，这种问题称为多目标函数的优化问题。
v
f1
(
x) v
f1(x1, x2 ,L
, xn )
Lf2
f
q
(x) L v (x)
f2 (x1, x2 ,L fq (x1, x2 ,L
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
如图所示的人字架由两个钢管构成， 其顶点受外力2F=3×105N。 人字架的跨度2B=152cm， 钢管壁厚T=0.25cm， 钢管材料的弹性模量E=2.1×105Mpa， 材料密度ρ=7.8×103kg/m3， 许用压应力σy= 420MPa。 求在钢管压应力σ不超过许用压应力σy 和失稳临界应力σe的条件下， 人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
TDh
8(B2 h2 )
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
解析法：
人字架总质量
1
m(D, h) 2 AL 2TD(B2 h2 )2 刚好满足强度条件 (D, h) y
1
导出D F (B2 h2 )2 代入式m(D, h)中
T yh 得到m(h) 2 F B2 h2
机械优化设计
Mechanical optimization design
教材：机械优化设计（第四版），孙靖民主编 机械工业出版社
绪论
优化设计是20世纪60年代初，在电子计 算机技术广泛应用的基础上发展起来的一门 新的设计方法。它是以电子计算机为计算工 具，利用最优化原理和方法寻求最优设计参 数的一门先进设计技术。
v f (x) f (x1, x2,L , xn)
v f (x) f (x1, x2,L , xn) min
v f (x) f (x1, x2,L , xn) max
v f (x) f (x1, x2,L , xn) min
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
一个“设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看 成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点式 设计点。
设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设计 的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。 • 含有2—10个设计变量的为小型设计问题； • 10—50个为中型设计问题； • 50个以上的为大型设计问题。
人字架总质量
1
m(D, h) 2TD(B2 h2 )2 min
满足强度约束条件 (x) y
1
即 F(B2 h2)2
TDh
y
满足稳定约束条件 (x) e
1
即 F (B2 h2 )2 2E(T 2 D2 )
TDh
8(B2 h2 )
由图中数据得：D*=6.43cm，h*=76cm，在极值点处m*=8.47kg
绪论
二、从传统设计到优化设计：
传统设计：在调查分析的基础上，参考同类产品通过估 算、经验类比或试验等方法来确定初始方案，然后通过 计算各个参数是否能满足设计指标的要求，如果不符合 要求就凭借经验对参数进行修改，反复进行分析计算— —性能检验——参数修改，直到符合设计指标为止。
优化设计：借助计算机技术，应用一些精度较高的力 学的数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并 从大量的可行设计方案中寻找到一种最优的设计方案。
y h
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
解析法：
求导 dm dh
2F y
d dh
B2 (
h
h2
)
2F y
(1
B2 h2 )
0
解得h* B 152 cm 76cm 2
代入D表达式D* 2F 6.43cm
T y
得m* 4 FB 8.47kg y
约束优化问题 无约束优化问题：k=j=0
vv min f (x), x Rn
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
建立优化的数学模型，在计算机上求得的解，就称为优 化问题的最优解，它包括：
1）最优方案（最优点）： x* [x1*, x2*,L , xn* ]T
2）最优目标函数值： f (x*) min f (x)
, xn ) , xn )
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
Wq：加权因子，是个非负系数。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
v
求设计变量x
[ v
x1x2Lxn ]T使目标函数f(x)
f
( v
x1,
x2
,L
, xn ) min
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计变量：
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数，
称为设计变量。
设计变量向量：
v x [x1x2 L xn ]T
设计常量：参数中凡是可以根据设计要求事先给定的，称为设计常量 。 设计变量：需要在设计过程中优选的参数，称为设计变量。
连续设计变量：有界连续变化的量。 离散设计变量：表示为离散量。
绪论
二、从传统设计到优化设计：
优化设计与传统设计相比有以下三点特点：
• 设计的思想是最优设计，需要建立一个能够正确 反映实际设计问题的优化数学模型；
• 设计的方法是优化方法，一个方案参数的调整是 计算机沿着使方案更好的方向自动进行的，从而选 出最优方案；
• 设计的手段是计算机，由于计算机的运算速度快， 分析和计算一个方案只需要几秒甚至千分之一秒， 因而可以从大量的方案中选出“最优方案”。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
约束条件：在优化设计中，对设计变量取值时的限制
条件，称为约束条件或设计约束，简称约束。
v
等式约束： h(x) 0 等式约束对设计变量的约束严格（降低设计自由度）
v
v
不等式约束：g(x) 0 要求设计点在设计空间中约束曲面 g(x) 0 的一侧
绪论
三、本课程的主要内容：
机械优化设计包括： 1）建立优化设计问题的数学模型 2）选择恰当的优化方法 3）编程求解最优的设计参数
绪论
三、本课程的主要内容：
本课程的研究内容：
优化的原理与算法
本课程分为八章进行讨论：
第一章，介绍优化设计的基本概念； 第二章，介绍优化设计算法中用到的数学基础知识，为后面几章的学
例：有一块薄板，宽度为24cm，长度为100cm，制成如图所 示的梯形槽，问斜边长l和倾角θ为多大时，梯形槽的容积最 大。（写出该优化问题的数学模型）
