浙江专用高考数学复习第二章不等式2.5绝对值不等式讲义含解析

2．绝对值不等式的解法1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为－c ≤ax ＋b ≤c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．|f (x )|≥g (x )和|f (x )|≤g (x )型不等式的解法(1)1<|x －2|≤3； (2)|2x ＋5|>7＋x ； (3)1x 2－2≤1|x |. [思路点拨](1)可利用公式转化为|ax ＋b |>c (c >0)或|ax ＋b |<c (c >0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式；(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式； (3)可分类讨论去掉分母和绝对值． [解](1)法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|>1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >3，－1≤x ≤5，解得－1≤x <1或3<x ≤5，所以原不等式的解集为[－1,1)∪(3,5]． 法二：原不等式可转化为：①⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1<x －2≤3，或②⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，1<－(x －2)≤3，由①得3<x ≤5，由②得－1≤x <1， 所以原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．法三：原不等式的解集就是1<(x －2)2≤9的解集，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2≤9，(x －2)2>1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <1或x >3，∴－1≤x <1或3<x ≤5.∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]． (2)由不等式|2x ＋5|>7＋x ，可得2x ＋5>7＋x 或2x ＋5<－(7＋x )， 整理得x >2或x <－4.∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．(3)①当x 2－2<0且x ≠0，即－2<x <2，且x ≠0时，原不等式显然成立． ②当x 2－2>0时，原不等式可化为x 2－2≥|x |，即|x |2－|x |－2≥0， ∴|x |≥2，∴不等式的解为|x |≥2， 即x ≤－2或x ≥2.∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．含绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f (x )|<a ，|f (x )|>a (a ∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当a >0时，|f (x )|<a ⇒－a <f (x )<a ； |f (x )|>a ⇔f (x )>a 或f (x )<－a . ②当a ＝0时，|f (x )|<a 无解；|f(x)|>a⇔f(x)≠0.③当a<0时，|f(x)|<a无解．|f(x)|>a⇔f(x)有意义．(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]<0.(3)形如|f(x)|<g(x)，|f(x)|>g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)；②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)(其中g(x)可正也可负)．若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或－b<f(x)<－a.(5)形如|f(x)|<f(x)，|f(x)|>f(x)型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|<f(x)⇔x∈∅，|f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.1．解下列不等式：(1)|3－2x|<9；(2)4＜|3x－2|＜8；(3)|x2－3x－4|>x＋1.解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.∴－9<2x－3<9.即－6<2x<12.解得－3<x<6.∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}．(2)由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. (3)不等式可转化为x 2－3x －4>x ＋1或x 2－3x －4<－x －1， ∴x 2－4x －5>0或x 2－2x －3<0. 解得x >5或x <－1或－1<x <3，∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,3)∪(5，＋∞).|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法[例2]解不等式|x ＋7|－|x －2|≤3. [思路点拨]解该不等式，可采用三种方法： (1)利用绝对值的几何意义； (2)利用各绝对值的零点分段讨论； (3)构造函数，利用函数图象分析求解．[解] 法一：|x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．法二：令x ＋7＝0，x －2＝0得x ＝－7，x ＝2. ①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3， ∴－9≤3成立，∴x ＜－7.②当－7≤x ≤2时，不等式变为x ＋7＋x －2≤3， 即2x ≤－2，∴x ≤－1，∴－7≤x ≤－1. ③当x ＞2时，不等式变为x ＋7－x ＋2≤3， 即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(－∞，－1]．法三：将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12，x ＜－7，2x ＋2，－7≤x ≤2，6，x ＞2.作出函数的图象，由图可知，当x ≤－1时，有y ≤0， 即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．2．解不等式|2x ＋1|－|x －4|>2. 解：法一：令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12<x <4，x ＋5，x ≥4.作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|与函数y ＝2的图象，它们的交点为(－7,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2.∴|2x ＋1|－|x －4|>2的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 法二：当x ≥4时，(2x ＋1)－(x －4)>2， 解得x >－3，∴x ≥4.当－12≤x <4时，(2x ＋1)＋(x －4)>2，解得x >53，∴53<x <4.当x <－12时，－(2x ＋1)＋(x －4)>2，解得x <－7，∴x <－7.综上可知，不等式的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 3．解不等式|x －1|＋|2－x |＞3＋x . 解：把原不等式变为|x －1|＋|x －2|＞3＋x ， ①当x ≤1时，∴原不等式变为－(x －1)－(x －2)＞3＋x ，解得x ＜0； ②当1＜x ≤2时，∴原不等式变为x －1－(x －2)＞3＋x ，解得x ∈∅； ③当x ＞2时，∴原不等式变为x －1＋x －2＞3＋x ，解得x ＞6. 综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).含绝对值不等式的恒成立问题[例3] X 围． (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R ； (3)若不等式解集为∅.[思路点拨]解答本题可以先根据绝对值|x －a |的意义或绝对值不等式的性质求出|x ＋2|－|x ＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m 的取值X 围．[解]法一：因为|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)，B (－3)距离的差．即|x ＋2|－|x ＋3|＝|PA |－|PB |.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值X围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值小即可，即m＜－1，m的取值X围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值X围为[1，＋∞)．法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a，f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.4．把本例中的“>”改成“<”，即|x＋2|－|x＋3|<m，其他条件不变时，分别求出m 的取值X围．解：由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈(－1，＋∞)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈(1，＋∞)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈(－∞，－1]．5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m，其他条件不变时，分别求出m 的取值X围．解：|x ＋2|＋|x ＋3|≥|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1， 即|x ＋2|＋|x ＋3|≥1.(1)若不等式有解，m 为任何实数均可，即m ∈R. (2)若不等式解集为R ，即m ∈(－∞，1)． (3)若不等式解集为∅，这样的m 不存在，即m ∈∅.1．若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为() A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：选C 原不等式化为－6<ax ＋2<6， 即－8<ax <4. 又∵－1<x <2，∴验证选项易知a ＝－4适合． 2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－x >x 2－x的解集是()A ．{x |0<x <2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0}D ．{x |x >2}解析：选B 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－x >x 2－x，可知x 2－x <0，∴x <0或x >2.3．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值X 围是() A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[0，＋∞)解析：选C 作出y ＝|x ＋1|与l 1：y ＝kx 的图象如图所示，当k <0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]．4．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值X 围是()A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析：选D 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x ＋2)2≥x 2，∴x 2＋4x ＋4≥x 2.即x ≥－1.∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________． 解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔－x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x <2⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值X 围为________． 解析：法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 答案：(－∞，3]8．解不等式|2x －4|－|3x ＋9|<1. 解：(1)当x >2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >2，(2x －4)－(3x ＋9)<1，解得x >2.(2)当－3≤x ≤2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤2，－(2x －4)－(3x ＋9)<1，解得－65<x ≤2.(3)当x <－3时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－(2x －4)＋(3x ＋9)<1，解得x <－12.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－12或x >－65.9．已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x(a >0)的最小值大于函数f (x )，试某某数a 的取值X 围．解：(1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，解集为∅. 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0； 当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1. 综上，原不等式的解集是{x |x <0}． (2)因为g (x )＝ax ＋1x－1≥2a －1，当且仅当x ＝aa时等号成立，所以g (x )min ＝2a －1， 当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，0<x ≤2，－3，x >2，所以f (x )∈[－3,1)，所以2a －1≥1，即a ≥1， 故实数a 的取值X 围是[1，＋∞)． 10．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；(2)若不存在实数x ，使f (x )＜3成立，求a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥x ，当x ≥2时，原不等式可转化为x －2＋x －1≥x ，解得x ≥3；当1＜x ＜2时，原不等式可转化为2－x ＋x －1≥x ，解得x ≤1，∴x ∈∅； 当x ≤1时，原不等式可转化为2－x ＋1－x ≥x ，解得x ≤1. 综上可得，f (x )≥x 的解集为{x |x ≤1或x ≥3}．word(2)依题意，对∀x∈R，都有f(x)≥3，则f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|≥|(ax－2)－(ax－a)|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1(舍去)，∴a的取值X围是[5，＋∞)．11 / 11。

第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]．(·温州模拟)已知集合＝{－＋＜}，＝{≥}，则∩＝( )．()．(，＋∞)．(，＋∞)．∅解析：选由题意知，＝{＜＜}，故∩＝{＜＜}．．(教材习题改编)不等式－＋－＞的解集为．答案：∅．不等式＋＋＞的解集为{＜＜}，则＝，＝.解析：由题意知是＋＋＝的两根，则(\\(＋＝－()＝－，×＝()，))得(\\(＝－，＝－().))答案：－－．对于不等式＋＋＞，求解时不要忘记讨论＝时的情形．．当Δ＜时，＋＋＞(≠)的解集为还是∅，要注意区别．．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏]．不等式≤的解集为( )．{≤≤}．{＜或≥}．{＜＜}．{＜≤}解析：选由≤，得(\\(－－，－≠，))解得＜≤.．若不等式＋＋＞的解集为，则的取值范围是．解析：①当＝时，＞显然成立．②当≠时，由条件知(\\(＞，,Δ＝－＜.))得＜＜.由①②知≤＜.答案：[)一元二次不等式的解法)[题组练透]．已知函数()＝(\\(＋，≤，,－，＞，))则不等式()－≤的解集是．解析：当≤时，原不等式等价于＋－≤，∴－≤≤；当＞时，原不等式等价于－－≤，∴＞.综上所述，原不等式的解集为错误!.答案：错误!．不等式≥－的解集为．解析：将原不等式移项通分得≥，等价于(\\(－－，－≠，))解得＞或≤.所以原不等式的解集为.答案：．解下列不等式：()(易错题)－－＋≥；()≥.解：()原不等式可化为＋－≤，即(－)(＋)≤.解得－≤≤，所以原不等式的解集为.()不等式等价于(\\(≠，＋－，))即(\\(≠，－－≤，))解得－≤＜或＜≤.所以原不等式的解集为.[谨记通法]解一元二次不等式的个步骤含参数的一元二次不等式的解法)[典例引领]解关于的不等式－(＋)＋＜(＞)．解：原不等式变为(－)(－)＜，因为＞，所以(－)＜，所以当＞时，解为＜＜；当＝时，解集为∅；当＜＜时，解为＜＜.综上，当＜＜时，不等式的解集为.当＝时，不等式的解集为∅.当＞时，不等式的解集为.[由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据()二次项中若含有参数应讨论是等于，小于，还是大于，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．()当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与的关系．()确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于的情况．[即时应用]．已知不等式－－≥的解集是，则不等式－－＜的解集是( )．()．(－∞，)∪(，＋∞)∪解析：选由题意知－，－是方程－－＝的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得＝－，＝，不等式－－＜，即为－＋＜，解集为()．．若不等式＋－＞的解集是.()求实数的值；()求不等式－＋－＞的解集．解：()由题意知＜，且方程＋－＝的两个根为，，代入解得＝－.()由()知不等式为－－＋＞，即＋－＜，解得－＜＜，即不等式－＋－＞的解集为.一元二次不等式恒成立问题)[锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：()形如()≥(()≤)(∈)确定参数的范围；()形如()≥(∈[，])确定参数的范围；()形如()≥(参数∈[，])确定的范围．[题点全练]角度一：形如()≥(()≤)(∈)确定参数的范围．若不等式＋－＜对一切实数都成立，则的取值范围为( )．[－)．(－)．(－]．[－]解析：选当＝时，显然成立；当≠时，即一元二次不等式＋－＜对一切实数都成立，则解得－＜＜.综上，满足不等式＋－＜对一切实数都成立的的取值范围是(－]．角度二：形如()≥(∈[，])确定参数的范围．已知函数()＝－＋＋－＋(∈，∈)，对任意实数都有(－)＝(＋)成立，若当∈[－]时，()＞恒成立，则的取值范围为．解析：由(－)＝(＋)知()的图象关于直线＝对称，即＝，解得＝.又因为()开口向下，所以当∈[－]时，()为增函数，所以()＝(－)＝－－＋－＋＝－－，()＞恒成立，即－－＞恒成立，解得＜－或＞.所以的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)答案：(－∞，－)∪(，＋∞)角度三：形如()≥(参数∈[，])确定的范围．若不等式＋(－)＋－＞在≤时恒成立，则的取值范围是．解析：将原不等式整理成关于的不等式(－)＋－＋＞.令()＝(－)＋－＋.因为()＞在≤时恒成立，所以()若＝，则()＝，不符合题意，应舍去．()若≠，则由一次函数的单调性，可得(\\(－＞，＞，))即(\\(－＋＞，－＋＞，))解得＜或＞.故的取值范围是(－∞，)∪(，＋∞)．答案：(－∞，)∪(，＋∞)[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的大破解方法[演练冲关]．(·台州模拟)不等式＋≥λ(＋)对于任意的，∈恒成立，则实数λ的取值范围为．解析：因为＋≥λ(＋)对于任意的，∈恒成立，所以＋－λ(＋)≥对于任意的，∈恒成立，即－λ＋(－λ)≥恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ＋(λ－)＝(λ＋λ－)≤，所以(λ＋)(λ－)≤，解得－≤λ≤.答案：[－]．设函数()＝－－(≠)，若对于∈[]，()＜－＋恒成立，求的取值范围．解：要使()＜－＋在[]上恒成立，则－＋－＜，即＋－＜在∈[]上恒成立．因为－＋＝＋＞，又因为(－＋)－＜，所以＜.因为函数＝＝在[]上的最小值为，所以只需＜即可．因为≠，所以的取值范围是(－∞，)∪.一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·浙江名校联考)已知集合＝{＝＋}，＝{－－＞}，则∩∁＝( )．[]．[]．[)．[)解析：选由题意知＝[，＋∞)，＝(－∞，－)∪(，＋∞)，故∁＝[－]，∩∁＝[]．．(·台州模拟)不等式－＋≥－对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )．(－∞，－]∪[，＋∞)．[－]．[－]．(－∞，－]∪[，＋∞)解析：选－＋＝(－)＋的最小值为，所以－＋≥－对任意实数恒成立，只需－≤，解得－≤≤.．(·镇海中学月考)不等式＋＋＞的解集为{＜＜}，则不等式－＋＞的解集为．解析：令()＝＋＋，其图象如下图所示，再画出(－)的图象即可，所以不等式－＋＞的解集为{－＜＜－}．答案：{－＜＜－}．(·金华十校联考)若不等式－＞(－)对满足≤的所有都成立，则的取值范围为．解析：原不等式化为(－)－(－)＜.令()＝(－)－(－)(－≤≤)．则(\\(－＝－－－－＜，＝－－－＜.))解得＜＜，故的取值范围为.答案：．(·湖州五校联考)已知实数，满足＋＋≤(＋)，则＝，＝，＋＝.解析：法一：由已知得＋－－＋≤，即(－)＋(－)≤，所以(\\(－＝，－＝，))解得＝，＝，＋＝＋＝－＝.法二：由已知得，关于的不等式－(＋)＋＋≤(*)有解，所以Δ＝[－(＋)]－≥，即Δ＝－(－)≥，所以－＝，即＝，此时不等式(*)可化为－＋≤，即(－)≤，所以＝＋＝＋＝－＝.答案：．已知不等式－－＜的解集为，不等式＋－＜的解集为，不等式＋＋＜的解集为∩，则＋等于( )．．－．．－解析：选由题意得，＝{－＜＜}，＝{－＜＜}，∴∩＝{－＜＜}，由根与系数的关系可知，＝－，＝－，则＋＝－.．若＜，则关于的不等式－－＞的解集是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，)∪(－，＋∞)．(，－)．(，－)解析：选由－－＞，得(－)(＋)＞，∵＜，∴＜或＞－.．(·丽水五校联考)设函数()＝(\\(－，＞，＋＋，≤，))若(－)＝()，(－)＝，则关于的不等式()≤的解集为( )．[－，－]．(－∞，－]∪[－，＋∞)．[－，－]∪(，＋∞)．[－，＋∞)解析：选因为(－)＝()，所以当≤时，()的对称轴为＝－，又(－)＝，则()＝(\\(－，＞，,＋，≤，))不等式()≤的解为[－，－]∪(，＋∞)，故选.．(·宁波四校联考)设二次函数()＝－＋(＞)，若()＜，则(－)的值为( )．正数．负数．非负数．正数、负数和零都有可能解析：选设()＝－＋＝的两个根为α，β，由()＜，则α＜＜β，由于二次函数()＝－＋的对称轴为＝，且()＝＞，则α－β＜，(－)＞，故选.．若不等式－(＋)＋≤的解集是[－]的子集，则的取值范围是( )．[－]．[－]．[]．[－]解析：选原不等式为(－)(－)≤，当＜时，不等式的解集为[]，此时只要≥－即可，即－≤＜；当＝时，不等式的解为＝，此时符合要求；当＞时，不等式的解集为[，]，此时只要≤即可，即＜≤.综上可得－≤≤.．不等式＋＋＜的解集不是空集，则实数的取值范围是．解析：∵不等式＋＋＜的解集不是空集，∴Δ＝－×＞，即＞.∴＞或＜－.答案：(－∞，－)∪(，＋∞)．若关于的不等式＞的解集为，则关于的不等式＋－＞的解集为．解析：由已知＞的解集为，可知＜，且＝，将不等式＋－＞两边同除以，得＋－＜，即＋－＜，即＋－＜，解得－＜＜，故所求解集为.答案：．(·萧山月考)不等式＋＋＞(，∈)的解集为，若关于的不等式＋＋＜的解集为(，＋)，则实数的值为．解析：因为不等式＋＋＞(，∈)的解集为，所以＋＋＝＝，那么不等式＋＋＜，即＜，所以≥，所以－－＜＜－，又＜＜＋，－－＝＋－，即＝，所以＝.答案：．已知()＝－＋(－)＋.()解关于的不等式()＞；()若不等式()＞的解集为(－)，求实数，的值．解：()∵()＝－＋(－)＋，∴()＝－＋(－)＋＝－＋＋，∴原不等式可化为－－＜，解得－＜＜＋.∴原不等式的解集为{－＜＜＋}．()()＞的解集为(－)等价于方程－＋(－)＋－＝的两根为－，等价于(\\(－＋＝(－)，,－×＝－(－)，))解得(\\(＝±()，＝－.))．关于的不等式(\\(－－＞，＋＋＋＜))的整数解的集合为{－}，求实数的取值范围．解：由－－＞可得＜－或＞.∵(\\(－－＞，＋＋＋＜，))的整数解为＝－，又∵方程＋(＋)＋＝的两根为－和－.①若－＜－，则不等式组的整数解集合就不可能为{－}；②若－＜－，则应有－＜－≤.∴－≤＜.综上，所求的取值范围为[－)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．若关于的不等式－－－＞在区间()内有解，则实数的取值范围是( )．(－∞，－)．(－，＋∞)．(－∞，－)．(－，＋∞)解析：选不等式－－－＞在区间()内有解等价于＜(－－)，令()＝－－，∈()，∴()＜()＝－，∴＜－.．设()＝＋＋，若()＝，问是否存在，，∈，使得不等式＋≤()≤＋＋对一切实数都成立，证明你的结论．解：由()＝，得＋＋＝.令＋＝＋＋，解得＝－.由()≤＋＋推得(－)≤，由()≥＋推得(－)≥，∴(－)＝.∴－＋＝.故＋＝且＝.∴()＝＋＋－.依题意＋＋－≥＋对一切∈都成立，即(－)＋＋－≥对一切∈都成立．∴≠且Δ＝－(－)(－)≤.即(－)≤，∴(－)＝，由－＞得＝.∴()＝＋＋.证明如下：＋＋－－－＝－－－＝－(＋)≤.∴＋＋≤＋＋对∈都成立．＋＋－－＝＋＋＝(＋)≥，∴＋≤＋＋对∈都成立．∴存在实数＝，＝，＝，使得不等式＋≤()≤＋＋对一切∈都成立．。

第五节 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[小题体验]1．(教材习题改编)设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 答案：812．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案：2 21．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．[小题纠偏]1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1＞1(x ∈R) 解析：选C 对于A 选项，当x ＝12时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故A 不一定正确；B 选项，需要满足当sin x ＞0时，不等式才成立，故B 也不正确；C 选项等价于(|x |－1)2≥0，显然正确；D 选项不正确，∵x 2＋1≥1，∴0＜1x 2＋1≤1. 2．若f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝n 处取得最小值，则n 等于( ) A.52 B ．3 C.72 D ．4答案：B3．函数f (x )＝x ＋1x的值域为____________________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)考点一 利用基本不等式求最值重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．设直角坐标系xOy 平面内的三点A (1，－2)，B (a ，－1)，C (－b ，0)，其中a ＞0，b ＞0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．9解析：选C 由题意得，AB ―→＝(a －1,1)，AC ―→＝(－b －1,2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以2(a －1)－(－b －1)＝0，即2a ＋b ＝1.又a ＞0，b ＞0，所以1a ＋2b＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a＋4ab ≥4＋2 b a ·4a b ＝8，当且仅当b ＝2a ＝12时等号成立，故选C. 2．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D a 2＋1ab＋1aa －b＝(a 2－ab )＋1a 2－ab＋1ab＋ab ≥2a 2－ab1a 2－ab＋21ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号． 3．(2018·嘉兴高三测试)已知a ＞0，b ＞0，且满足3a ＋b ＝a 2＋ab ，则2a ＋b 的最小值为________．解析：由a ＞0，b ＞0,3a ＋b ＝a 2＋ab ，可得b ＝a 2－3a1－a＞0，解得1＜a ＜3.故2a ＋b ＝2a ＋a 2－3a 1－a ＝a －1＋2a －1＋3≥2a －2a －1＋3＝22＋3， 当且仅当a －1＝2a －1， 即a ＝1＋2，b ＝1时取等号． 故2a ＋b 的最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 2[由题悟法]利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路 (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．[即时应用]1．若a ＞0，b ＞0，ab ＝1＋a ＋b ，则a ＋b 的最小值为_________． 解析：1＋a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0. ∴a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋2 2.∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ≥2＋2 2.∴a ＋b 的最小值为2＋2 2. 答案：2＋2 22．(2018·杭州质检)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得y ＝3－x 22x，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：33．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．解：∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝3＋2y x ＋xy≥3＋22，当且仅当2y x ＝xy，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立． ∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.考点二 基本不等式的实际应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，设矩形ABCD (AB ＞BC )的周长为24，把它沿AC 翻折，翻折后AB ′交DC 于点P ，设AB ＝x .(1)用x 表示DP ；(2)用x 表示△ADP 的面积；(3)求△ADP 面积的最大值及此时x 的值． 解：(1)∵AB ＝x ， ∴AD ＝12－x ， 又DP ＝PB ′，∴AP ＝AB ′－PB ′＝AB －DP ＝x －DP ， ∴由勾股定理有(12－x )2＋DP 2＝(x －DP )2，∴DP ＝12－72x(6＜x ＜12)．(2)S △ADP ＝12AD ·DP ＝12(12－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12－72x ＝108－⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋432x (6＜x ＜12)．(3)∵6＜x ＜12， ∴6x ＋432x≥26x ·432x＝722，∴S △ADP ＝108－⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋432x ≤108－722，当且仅当6x ＝432x，即x ＝62时取等号．∴当x ＝62时，△ADP 的面积取最大值108－72 2.[由题悟法]解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[即时应用]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x ＞1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)．(2)S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ·5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝52时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应分别设计为100 m,40 m. 考点三 利用基本不等式求参数的取值范围重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知函数f (x )＝x ＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32 C ．1D ．2解析：选C 由题意可得a ＞0，①当x ＞0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2， 当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)＞g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ [由题悟法]求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[即时应用]1．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a ＞0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立．所以a ≥4，故选B.2．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12B.43C ．－1D ．0 解析：选D 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x＝1x，即x ＝1时取等号．所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0. 2．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4解析：选B ∵x ＞0， ∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．3．(2018·哈尔滨二模)若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D 由1＝2x＋2y≥22x·2y，变形为2x ＋y≤14，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y 时取等号，故x ＋y 的取值范围是(－∞，－2]．4．(2018·宁波模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：15．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为________． 解析：因为x ＞0，y ＞0，所以30＝4x 2＋9y 2＋3xy ≥236x 2y 2＋3xy ＝15xy ， 所以xy ≤2，当且仅当4x 2＝9y 2，即x ＝3，y ＝233时等号成立．故xy 的最大值为2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b＞2abD.b a ＋a b≥2解析：选D ∵ab ＞0，∴a ，b 是同号，∴b a ＋ab ≥2 b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选D.2．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．3．(2018·义乌六校统测)a ，b ∈R ，且2a ＋3b ＝2，则4a ＋8b的最小值是( ) A ．2 6 B ．4 2 C ．2 2D ．4解析：选D 4a＋8b＝22a＋23b≥222a ＋3b＝4，当且仅当a ＝12，b ＝13时取等号，∴最小值为4.4．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.323 cm 2B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2解析：选 D 设两段长分别为x cm ，(12－x )cm ，则S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 32＝336[]x 2＋－x2≥336×x ＋12－x22＝23，当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时取等号．故两个正三角形面积之和的最小值为2 3 cm 2.5．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 因为1a ＋2b＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b ≥21a ·2b＝22ab，得ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.6．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B 由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a＋ab＋6.又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab，即a ＝3b 时等号成立，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.7．(2018·金华十校联考)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________．解析：由xy ＋2z ＝1，得z ＝1－xy2， 所以5＝x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－xy 22≥2|xy |＋－xy 24，即⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0，x 2y 2＋6xy －19≤0或⎩⎪⎨⎪⎧xy ＜0，x 2y 2－10xy －19≤0，解得0≤xy ≤－3＋27或5－211≤xy ＜0， 所以xyz ＝xy ·1－xy 2＝－12⎝⎛⎭⎪⎫xy －122＋18.综上，知当xy ＝5－211时，xyz 取得最小值911－32. 答案：911－328．已知函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若直线x m ＋yn＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，则3m ＋n 的最小值为________．解析：由题意，函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)， 令x ＋4＝1，可得x ＝－3，代入可得y ＝－1， ∴图象恒过定点A (－3，－1)．∵直线x m ＋y n＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ， ∴3m ＋1n ＝2，即32m ＋12n＝1. ∴3m ＋n ＝(3m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ＋12n ＝92＋12＋3n 2m ＋3m2n≥23n 2m ·3m2n＋5＝8，当且仅当m ＝n ＝2时，取等号，∴3m ＋n 的最小值为8. 答案：89．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)已知a ＞b ＞0，求a 2＋16ba －b的最小值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x ＜32时，有3－2x ＞0，∴3－2x 2＋83－2x≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，∴a 2＋16ba －b ≥a 2＋64a2≥16. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ，a 2＝8，即⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2时取等号．故a 2＋16ba －b的最小值为16. 10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·浙江新高考研究联盟联考)已知非负实数x ，y 满足2x 2＋4xy ＋2y 2＋x 2y 2＝9，则22(x ＋y )＋xy 的最大值为________．解析：由题意，得2(x ＋y )2＋(xy )2＝9， 记x ＋y ＝m ，xy ＝n ，mn ≥0， 则2m 2＋n 2＝9，令⎩⎨⎧2m ＝3sin θ，n ＝3cos θ，∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≥4xy ， ∴m 2≥4n ，即⎝⎛⎭⎪⎫32sin θ2≥12cos θ，∴sin 2θ≥83cos θ，∴1－cos 2θ≥83cos θ，解得0≤cos θ≤13，∴223≤sin θ≤1. 故22(x ＋y )＋xy ＝22m ＋n ＝6sin θ＋3cos θ＝35sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝12， 当sin θ＝223，cos θ＝13时，22(x ＋y )＋xy 取得最大值，最大值为42＋1.答案：42＋12．(2018·台州三区适应性测试)设a ＞b ＞c ＞0，若不等式log ab 2 018＋log b c2 018≥d ·log a c2 018对所有满足题设的a ，b ，c 均成立，则实数d 的最大值是________．解析：不等式log a b 2 018＋log b c 2 018≥d ·log a c 2 018⇔lg 2 018lg a －lg b ＋lg 2 018lg b －lg c≥d ·lg 2 018lg a －lg c，即1lg a －lg b ＋1lg b －lg c ≥dlg a －lg c，又a ＞b ＞c ＞0，故lg a ＞lg b ＞lg c ， 即d ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg a －lg b ＋1lg b －lg c (lg a －lg c ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫1lg a －lg b ＋1lg b －lg c ·(lg a －lg b ＋lg b －lg c ) ＝2＋lg b －lg c lg a －lg b ＋lg a －lg b lg b －lg c .又lg b －lg c lg a －lg b ＋lg a －lg blg b －lg c≥2lg b －lg c lg a －lg b ·lg a －lg blg b －lg c＝2，当且仅当lg b －lg c lg a －lg b ＝lg a －lg b lg b －lg c ，即ac ＝b 2时取等号，故d ≤4，即d max ＝4. 答案：4命题点一 不等关系与一元二次不等式1．(2018·北京高考)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a ＜0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A解析：选D 若点(2,1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＞4，2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞32，a ≥0，解得a ＞32.即点(2,1)∈A ⇒a ＞32，其等价命题为a ≤32⇒点(2,1)∉A 成立．故选D.2．(2014·浙江高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．3．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 解析：选D 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＞100， 即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110， 即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200， 即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立．综上知，A 、B 、C 均不成立，所以选D.命题点二 简单的线性规划问题1．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．2．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45解析：选 C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点P时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即P (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21.3．(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5解析：选B 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 两点且斜率为1的两条直线方程为x －y＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.4．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案：35．(2018·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋y ＝2，解得A (4，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)．将函数y ＝－13x 的图象平移可知，当目标函数的图象经过A (4，－2)时，z min ＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B (2,2)时，z max ＝2＋3×2＝8. 答案：－2 8 命题点三 基本不等式1．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．答案：142．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．解析：如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a ＋1c＝1. ∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝c a＋4ac＋5≥2c a ·4ac＋5＝9， 当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时取等号． 故4a ＋c 的最小值为9. 答案：93．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：44．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：30命题点四 绝对值不等式1．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋a ，即x2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x ＞1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a .又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x ＞1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x ＞1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x 2＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x ＞1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x ＞1，即x ＝2时，“＝”成立， 故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.2．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明：因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不满足题意；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜2a ，所以2a≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．4．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ＜－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.当x ＜－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x ＜－1； 当－1≤x ≤2时，显然满足题意；当x ＞2时，由－2x ＋6≥0，解得2＜x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4，可得a ≤－6或a ≥2，所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第三节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理 1：假如a，b是实数，则 | a＋b| ≤ | a| ＋ | b| ，当且仅当ab≥0时，等号建立．定理 2：假如a，b，c是实数，那么 | a－c| ≤|a－b| ＋ | b－c| ，当且仅当 ( a－b)( b－c) ≥0时，等号建立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式 | x| ＜a与 | x| ＞a的解法：不等式a＞0a＝0a＜0| x| ＜a {}??x|－ a＜ x＜ a|x| ＞a{x| x＞ a或 x＜－a}{}Rx| x∈R且 x≠0(2)|ax＋ b|≤ c( c＞0)和| ax＋ b|≥ c( c＞0)型不等式的解法：①| ax＋b| ≤c? －c≤ax＋b≤c；②| ax＋b| ≥c? ax＋b≥c或ax＋b≤－c.[ 小题体验 ]1．不等式 |2 x－1| ＞ 3 的解集为 ________．答案： { x| x＜－ 1 或x＞ 2}2．不等式 | x＋ 1| － | x－2| ≥1的解集为 ________．答案： { x|x≥1}3．函数y＝ | x－ 4| ＋ | x＋4| 的最小值为 ________．分析：∵ | x－ 4| ＋ | x＋4| ≥|( x－ 4) － ( x＋ 4)| ＝ 8，即函数 y 的最小值为8.答案： 81．对形如 | f ( x)| ＞a或 | f ( x)| ＜a型的不等式求其解集时，易忽略a的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式 || | － ||| ≤|± |≤||＋|| 中易忽略等号建立的条件．如|a －a ba ba bb|≤|a|＋| b|，当且仅当ab≤0时等号建立，其余近似推导．[ 小题纠偏 ]1．设，b 为知足＜ 0 的实数，那么 ()a abA ． | a ＋ b | ＞ | a － b |B ． | a ＋ b | ＜ | a － b |C ．| － | ＜||| － |b ||D ． | a － | ＜ | a | ＋ | |a bab b分析：选 B∵ab ＜ 0，∴ | a －b | ＝ | a | ＋ | b | ＞ | a ＋ b |.2．若存在实数x 使 | x － |＋| x －1| ≤3建立，则实数 a 的取值范围是 ________．a分析：∵ | x － a | ＋ | x －1| ≥|( x － a ) － ( x － 1)| ＝ | a － 1| ，要使 | x － a | ＋ | x －1| ≤3有解，可使 | a －1| ≤3，∴－ 3≤ a －1≤3，∴－ 2≤ a ≤4.答案： [ － 2,4]考点一 绝对值不等式的解法基础送分型考点——自主练透[ 题组练透 ]5 11．若对于 x 的不等式 | ax － 2| ＜ 3 的解集为 － 3， 3 ，则实数 a ＝________.分析：由 | ax － 2| ＜ 3，得－ 1＜ ax ＜ 5，51∵－ 3＜ x ＜ 3，∴ a ＝－ 3.答案：－ 32．解不等式 |2 x － 1| ＋ |2 x ＋1| ≤6.11 3解：法一：当 x ＞ 2时，原不等式转变为4x ≤6? 2＜ x ≤ 2；1 1当－ 2≤ x ≤ 2时，原不等式转变为2≤6，恒建立；13 1当 x ＜－ 2时，原不等式转变为－4x ≤6? － 2≤ x ＜－ 2.x 3 ≤ 3综上知，原不等式的解集为| － ≤ 2.2x11法二：原不等式可化为x － 2 ＋ x ＋2 ≤3，113 的点的会合，数形联合知，当x其几何意义为数轴上到 2，－ 2两点的距离之和不超出 3 3 1 13 3＝ 2或 x ＝－ 2时，到 2，－ 2两点的距离之和恰巧为3，故当－ 2≤ x ≤2时，知足题意，则原不33等式的解集为 x|－2≤ x≤2.3．已知函数 f ( x)＝| x＋1|－|2 x－3|.(1)画出 y＝ f ( x)的图象；(2)求不等式 | f ( x)| ＞ 1 的解集．x－4， x≤－1，3解： (1) 由题意得f ( x) ＝3x－ 2，－ 1＜x≤2，3－ x＋4， x＞2，故 y＝f ( x)的图象如下图．(2)由 f ( x)的函数表达式及图象可知，当 f ( x)＝1时，可得 x＝1或 x＝3；1当 f ( x)＝－1时，可得 x＝3或 x＝5.故 f ( x)＞1的解集为{ x|1＜ x＜3}，f ( x)＜－1的解集为1或 x＞5. x x＜3所以 | f ( x)| ＞ 1 的解集为x1. x＜或1＜ x＜3或 x＞53[ 牢记通法 ]解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，经过分类议论转变为解不含绝对值符号的一般不等式；(2)当不等式两头均为正号时，可经过两边平方的方法，转变为解不含绝对值符号的一般不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形联合求解．考点二 绝对值不等式的证明要点保分型考点——师生共研[ 典例引领 ](2019 ·成都外国语学校模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x － 1|. (1) 解不等式 f (2 x ) ＋ f ( x ＋4) ≥8；(2) 若|a| ＜ 1， | | ＜ 1， ≠0，求证：fab ＞ f b . ba| a | a－ 3x －2， x ＜－ 3，1解： (1) f (2 x ) ＋f ( x ＋ 4) ＝ |2 x － 1| ＋ | x ＋ 3| ＝－ x ＋ 4，－ 3≤ x ＜ 2，3 ＋2， x 1≥ ，x210当 x ＜－ 3 时，由－ 3x －2≥8，解得 x ≤－ 3 ；1当－ 3≤ x ＜ 2时，－ x ＋4≥8无解；1当 x ≥ 2时，由 3x ＋2≥8，解得 x ≥2.所以不等式 f (2 x ) ＋ f ( x ＋4) ≥8 的解集为 xx ≤－10或 x ≥2 .3(2) 证明：f ab＞b等价于f ( ) ＞ | | f b ，| a |f a ab a a即 | ab － 1| ＞ | a － b |.由于 | a | ＜ 1， | b | ＜ 1，所以 | ab － 1| 2－ | a － b | 2＝ ( a 2 b 2 －2ab ＋ 1) －( a 2－ 2ab ＋ b 2) ＝ ( a 2－ 1)( b 2－ 1) ＞ 0，所以 | ab － 1| ＞ | a － b |. 故所证不等式建立．[ 由题悟法 ]证明绝对值不等式主要的3 种方法(1) 利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转变为一般不等式再证明．(2) 利用三角不等式 || | － |b || ≤|± |≤||＋|b | 进行证明．a a ba(3) 转变为函数问题，数形联合进行证明．[ 即时应用 ] 11已知 x ， y ∈ R ，且 | x ＋ y | ≤ ， | x － y | ≤ ，64求证： | x ＋ 5y | ≤1.证明：∵ | x ＋5 |＝|3(x ＋ ) －2( x － )|.y yy∴由绝对值不等式的性质，得| x ＋ 5y | ＝|3( x ＋ y ) － 2( x － y )| ≤|3( x ＋y )| ＋ |2( x － y )|11＝ 3| x ＋ y | ＋ 2| x － y | ≤3× 6＋2× 4＝ 1. 即 | x ＋ 5y | ≤1.考点三 绝对值不等式的综合应用要点保分型考点——师生共研[ 典例引领 ]已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a .(1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x ) ≤6的解集；(2) 设函数 g ( x ) ＝ |2 x － 1|. 当 x ∈R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥3，求 a 的取值范围．解： (1) 当 a ＝ 2 时， f ( x ) ＝ |2 x － 2| ＋ 2.解不等式 |2 x － 2| ＋2≤6得－ 1≤ x ≤3.所以 f ( x ) ≤6的解集为 { x | －1≤ x ≤3} ．(2) 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a ＋|1 － 2x | ≥3，即 xa 1x3－ a.－＋ －≥ 2 2 2a11 a又x － 2 ＋ 2－xmin ＝ 2－2 ，1 a－－3a所以2 ≥ 2 ，解得 a ≥2.2所以 a 的取值范围是 [2 ，＋∞ ) ．[ 由题悟法 ](1) 研究含有绝对值的函数问题时，依据绝对值的定义，分类议论去掉绝对值符号，将原函数转变为分段函数，而后利用数形联合解决问题，这是常用的思想方法．(2) f ( x ) ＜ a 恒建立 ? f ( x ) max ＜ a .f ( x ) ＞a 恒建立 ? f ( x ) min ＞ a .[ 即时应用 ]已知定义域为 R 的奇函数 f ( x ) ＝ x | x ＋ m |.(1) 解不等式 f ( x ) ≥ x ；(2) 若对随意的 x 1，x 2∈[1,1 ＋ a ] ，恒有 | f ( x 1) －f ( x 2)| ≤2建立， 务实数 a 的取值范围． 解：由于 f ( x ) ＝ x | x ＋ m | 是定义域为 R 的奇函数，所以 ＝ 0，即f ( x ) ＝ | |.mx xx ＞0，x ≤0，(1)由x |x |≥x ，得x 2≥x或－x 2≥ x ，即 x ≥1或－ 1≤ x ≤0，所以不等式 f ( x ) ≥ x 的解集为 [ － 1,0] ∪ [1 ，＋∞ ) ．x 2， x ≥0，(2)f (x )＝－ x 2，x ＜ 0，则 f ( x ) 在 R 上单一递加，所以 f ( x ) 在 [1,1 ＋ a ] 上单一递加，所以 f (1＋ a)－f (1)≤2，即(1＋ a)|1＋ a|－1≤2，又 1＋a＞ 1，故可得0＜a≤3－ 1，所以实数 a 的取值范围是(0，3－ 1] ．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a， b∈R，则使不等式| a＋b| ＜ |a|＋|b|必定建立的条件是()A．a＋b＞ 0B．a＋b＜ 0C．ab＞ 0 D ．ab＜ 0分析：选D当 ab＞0时，|a＋ b|＝| a|＋|b|，当ab＜0时，|a＋b|＜ |a|＋| b|，应选D.x≥0，x ∈ RR2．设会合A＝ { x||4 x－ 1| ＜ 9，x∈ R}，B＝x x＋3，则(? A) ∩B＝() 5A． ( －∞，－ 3) ∪2，＋∞B． ( －3，－ 2] ∪5 0，2 5C． ( －∞，－ 3] ∪2，＋∞D． ( －3，－ 2]5分析：选A由题意得A＝－2，2， B＝(－∞，－3)∪[0，＋∞)，∴( ?R A)∩B＝(－5∞，－ 3) ∪2，＋∞ .3．不等式 |x＋2|＞3x＋ 14) 5的解集是 (A． ( －3，－ 2) B ．(－ 2,0)C． (0,2) D ． ( －∞，－ 3) ∪ (2 ，＋∞)分析：选 D不等式即为 5( x＋2) ＞ 3x＋ 14 或 5( x＋ 2) ＜－ (3 x＋ 14) ，解得x＞ 2 或x＜－3，应选 D.4．不等式 | x－ 1| － | x－ 5| ＜ 2的解集为 ____________．分析：不等式 | x－ 1| － | x－ 5|＜2 等价于x＜1，1≤x≤5，－x －＋x－＜ 2或－5＜2－ 1＋x x或x＞5，x－1－x－＜ 2，x＜1，1≤x≤5，x＞5，即或或－4＜22x＜ 84＜ 2，故原不等式的解集为{ x| x＜ 1} ∪ { x|1 ≤x＜ 4} ∪ ?＝ { x| x＜ 4} ．答案： { x| x＜ 4}5．不等式| x( x－ 2)|＞ x( x－2)的解集为________．分析：不等式| x( x－ 2)|＞ x( x－2)的解集即x( x－2)＜0的解集，解得0＜x＜ 2.答案： { x|0 ＜x＜ 2}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018 ·台州联考 ) 不等式 (1 ＋x)(1－ | x|) ＞ 0的解集是 ()A． { x|0 ≤x＜ 1} B ． { x| x＜ 0 且x≠－ 1}C． { x| － 1＜x＜1} D ． { x| x＜ 1 且x≠－ 1}分析：选 D不等式等价于x≥0，或x＜0，解得 0≤x＜ 1 或x＜ 0 且1－x2＞ 0＋ x2＞0，x≠－1.应选D.2．已知，∈R，则“| | ＋ | | ＞1”是“b ＜－ 1”的 ()a b a bA．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件分析：选 B令＝0，b ＝2，则 |a| ＋ |b| ＞ 1 建立，但推不出＜－ 1；反之，若＜－a b b1，则 | b| ＞ 1，又 | a| ≥0，所以 | a| ＋ | b| ＞ 1.所以“|a|＋| b|＞1”是“ b＜－1”的必需不充分条件．3．不等式 | x－ 5| ＋ | x＋3| ≥10 的解集是 ()A． [ －5,7] B ．[ － 4,6]C. ( －∞，－ 5] ∪[7 ，＋∞ )D. ( －∞，－ 4] ∪[6 ，＋∞)分析：选D当 x≤－3时， | x－ 5| ＋ | x＋ 3| ＝ 5－x－x－ 3＝ 2－ 2x≥10，即x≤－ 4，∴x≤－4.当－3＜ x＜5时，| x－5|＋| x＋3|＝5－ x＋x＋3＝8≥10，不建立，∴无解．当 x≥5时， |x －5| ＋|x＋3| ＝－ 5＋x＋3＝2－2≥10，即x≥6，∴x≥6. 综上可知，不等式的解x x集为 ( －∞，－ 4] ∪[6 ，＋∞ ) ．4．不等式x2－ | x－1| －1≤0的解集为 ()A． { x| －2≤x≤1} B ． { x| －1≤x≤2}C． { x|1 ≤x≤2} D ． { x| －1≤x≤1}分析：选 A当 x－1≥0时，原不等式化为x2－x≤0，解得0≤x≤1. ∴x＝1；当 x－1＜0时，原不等式化为 x2＋ x－2≤0，解得－ 2≤x≤1. ∴－ 2≤x＜ 1.综上，－ 2≤x≤1.所以原不等式的解集为{ x|－2≤x≤1} ，应选 A.5．(2018 ·长沙六校联考) 设1 2f ( x)＝ ax － bx＋ c，不等式 f ( x)＜0的解集是( － 1,3)，若f (7＋|t |)2＞ f (1＋ t )，则实数t的取值范围为()A． ( －3,1) B ．(－ 3,3)C． ( －1,3) D ．(－ 1,1)分析：选 B∵f(x)＜0的解集是(－1,3)，∴a＞0， f ( x)的对称轴是 x＝1，且 ab＝2.∴f ( x)在[1，＋∞)上单一递加．又∵ 7＋ | t | ≥7,1 ＋t2≥1，∴由 f (7＋|t |)＞ f (1＋ t 2)，得7＋ | t |＞ 1＋t2.∴ | t | 2－| t |－ 6＜0，解得－3＜t＜ 3.应选 B.6．已知函数 f ( x)＝| x＋6|－|m－x|(m∈R)，若不等式 f ( x)≤7对随意实数x 恒建立，则 m的取值范围为________．分析：由绝对值三角不等式得 f ( x)＝| x＋6|－| m－ x|≤|x＋6＋ m－ x|＝| m＋6|，由题意得 | m＋6| ≤7，则－ 7≤m＋6≤7，解得－ 13≤m≤1，故m的取值范围为 [ － 13,1] ．答案： [ － 13,1]7．设 | x－ 2| ＜a时，不等式| x2－ 4| ＜ 1 建立，则正数 a 的取值范围为____________．分析：由|x－2|＜ a 得2－a＜x＜a＋ 2，由 | x2－ 4| ＜ 1，得3＜x2＜ 5，所以－5＜x＜－3或3＜x＜ 5.3≤2－a，由于a＞0，所以由题意得解得0 ＜a≤5－ 2，a＋2≤ 5.故正数 a 的取值范围为答案： (0 ，5－ 2] 8．(2018 ·杭州五校联考(0，5－2] ．) 已知不等式| x2－ 4x＋a|＋| x－3| ≤5的x 的最大值为3，则实数 a 的值是____________．分析：∵x≤3，∴| x－3|＝3－ x.若 x2－4x＋ a＜0，则原不等式化为x2－3x＋ a＋2≥0.此不等式的解集不行能是会合{ x| x≤3} 的子集，∴x2－4x＋ a＜0不建立．于是， x2－4x＋ a≥0，则原不等式化为x2－5x＋ a－2≤0.∵ x≤3，令 x2－5x＋ a－2＝( x－3)( x－ m)＝ x2－( m＋3) x＋3m，比较系数，得m＝2，∴ a＝8.答案： 89．已知 |2 x－3| ≤1的解集为 [ m，n] ．(1)求 m＋ n 的值；(2)若 | x－a| ＜m，求证： | x| ＜ | a| ＋ 1.解： (1) 不等式 |2 x－3| ≤1可化为－ 1≤2x－3≤1，解得 1≤x≤2，所以m＝1， n＝2， m＋ n＝3.(2)证明：若 | x－a| ＜ 1，则 | x| ＝ | x－a＋a| ≤|x－a| ＋ | a| ＜ | a| ＋ 1. 即 | x| ＜ | a| ＋1. 10．(2018 ·杭州质检 ) 已知函数f ( x) ＝ | x－ 4| ＋ | x－a|( a∈ R)的最小值为a.(1)务实数 a 的值；(2)解不等式 f ( x)≤5.解： (1) f ( x) ＝ | x－ 4| ＋ | x－a| ≥|a－ 4| ＝a，进而解得 a＝2.－ 2x＋ 6，x≤2，(2) 由 (1) 知，f ( x) ＝ | x－4| ＋ | x－2| ＝2，2＜x≤4，2x－6，x＞ 4.1故当 x≤2时，令－2x＋6≤5，得2≤ x≤2，当 2＜x≤4时，明显不等式建立，11当 x＞4时，令2x－6≤5，得4＜ x≤，2111故不等式 f ( x)≤5的解集为 x2≤ x≤2.三登台阶，自主选做志在冲刺名校．·金丽衢十二校联考)设，为实数，则“| －2|＋| b－2≤ ”是“ a－11 (2018 a b a b a |122123)＋ b－≤ ”的(22A．充足不用要条件C．充要条件12123分析：选 A a－2＋ b－2≤2?B．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件21213222a－a＋＋ b － b＋≤? a－ a＋ b － b≤1? b － a 442＋a2－ b≤1，令 b2－ a＝ x， a2－ b＝ y，则| x|＋| y|≥|x＋y|≥ x＋ y，所以| x|＋| y|≤1? x＋y≤1，故充足性建立，必需性不建立，应选 A.2．已知函数 f ( x)＝| x－1|＋| x－a|( a＞1)．(浙江专版)2020版高考数学复习第二章不等式第三节绝对值不等式学案(含解析)(1) 1 5 ，求 a 的值； 若不等式 f ( x ) ≥2的解集为 x x ≤ 或x ≥22 (2) 若对随意的 x ∈ R ，都有 f ( x ) ＋ | x －1| ≥1，务实数 a 的取值范围．2x － a － 1， x ≥ a ，解： (1) f ( x ) ＝ | x － 1| ＋ | x － a | ＝ a － 1，1≤ x ＜ a ， － 2x ＋ a ＋ 1， x ＜ 1，a ＋ 3 5当 x ≥a 时，由 2x － a －1≥2，解得 x ≥ 2 ＝ 2；当 x ＜1 时，由－ 2x ＋ a ＋1≥2，解得 x ≤ a －1＝ 1.2 2综上得 a ＝ 2.(2) 由 x ∈R ，f ( x ) ＋| x －1| ≥1，可得 2| x －1| ＋ | x － a | ≥1. 当 x ≥ a 时，只要 3x － 2－ a ≥13恒建立刻可，此时只要3a － 2－a ≥1? a ≥ 2；当 1≤ x ＜ a 时，只要 x － 2＋ a ≥1恒建立刻可，此时只要 1－2＋ a ≥1? a ≥2；当 x ＜ 1 时，只要－ 3x ＋2＋ a ≥1 恒建立刻可，此时只要－3 ＋2＋ a ≥1? a ≥2. 综上可得， a 的取值范围为 [2 ，＋∞ ) ．。

高考专题突破一 高考中的不等式问题题型一 含参数不等式的解法例1解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a∈R )． 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，知此时原不等式的解集为R .思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________． 答案 3解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析 依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．题型二 线性规划问题例2(2018·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，x －y ≥－1，2x －y ≤4，且z ＝ax ＋y 的最大值为16，则实数a ＝________，z 的最小值为________． 答案 2 1解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC 及其内部区域)．目标函数z ＝ax ＋y 对应直线ax ＋y －z ＝0的斜率k ＝－a .(1)当k ∈(－∞，1]，即－a ≤1，a ≥－1时，目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝4，x －y ＝－1，解得A (5,6)，故z 的最大值为5a ＋6，即5a ＋6＝16，解得a ＝2.(2)当k ∈(1，＋∞)，即－a >1，a <－1时，目标函数在点C 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －y ＝－1，解得C (0,1)，故z 的最大值为0×a ＋1＝1，不符合题意． 综上，a ＝2.数形结合知，当直线z ＝2x ＋y 经过点C 时，z 取得最小值，z min ＝2×0＋1＝1. 思维升华1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有(1)截距型：如z ＝－2x ＋y ，z ＝2y4x ，z ＝OP →·OM →(其中M (x ，y )为区域内动点，P (－2,1))，等等．(2)距离型：如z ＝(x －2)2＋y 2，z ＝|2x －y |，等等．(3)斜率型：如z ＝y ＋1x ，z ＝x ＋y ＋1x ，z ＝x y ＋1，z ＝y ＋1x ＋x y ＋1＝x 2＋(y ＋1)2xy ＋x ，等等．(4)二次曲线型：如z ＝xy ，z ＝y 2x ，z ＝x 22＋y 2，等等．3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，y >0，则z ＝2x－y 的取值范围为( ) A ．(－6，－1) B ．(－8，－2) C ．(－1,8) D ．(－2,6)答案 D解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移直线，直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处的取最小值为－2，在点C (3,0)处的取最大值为6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)． (2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________． 答案 30 95解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表示的平面区域的面积为12×5×2＋12×10×5＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1,1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离的平方，即z min ＝|2×(－1)－1|2[22＋(－1)2]2＝95. 题型三 基本不等式的应用例3 (1)已知x 2＋4xy －3＝0，其中x >0，y ∈R ，则x ＋y 的最小值是( ) A.32B ．3C ．1D ．2 答案 A解析 由x 2＋4xy －3＝0，得y ＝3－x24x，即有x ＋y ＝x ＋3－x 24x ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵x >0，∴x ＋1x ≥2，即x ＋y ≥32，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，y ＝12时，x ＋y 取得最小值32.(2)已知a >0，b >0，c >1，且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值为______．答案 4＋2 2解析 ∵a 2＋1ab ＝a 2＋(a ＋b )2ab ＝2a 2＋2ab ＋b 2ab＝2a b ＋ba＋2≥22a b ·ba＋2＝22＋2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a b ＝b a，a ＋b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1≥22c ＋2c －1＝22(c －1)＋2c －1＋2 2≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22， 当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时，等号成立． 综上，所求最小值为4＋2 2. 思维升华利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．跟踪训练3 (1)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y2x －2y 的最小值为( )A ．4B.92C ．22D ．4 2答案 A解析 由xy ＝1且0<y <22，可知x >2， 所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xy x －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4， 当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立． (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案233解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取得最大值)，∴x ＋y 的最大值为233.题型四 绝对值不等式的应用例4 (1)(2018·浙江五校联考)已知a ∈R ，则“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 2|x －2|＋|5＋2x |＝|2x －4|＋|5＋2x | ≥|2x －4－5－2x |＝9，若2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解，则a ≤9，同样若a ≤9，则2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解， 所以“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的充要条件．(2)(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 恒成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________． 答案 2解析 |a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1， 即|a sin 2x －b sin x －(a ＋c )|≤1，分别取sin x ＝1，－1,0，可知⎩⎪⎨⎪⎧|b ＋c |≤1，|b －c |≤1，|a ＋c |≤1，所以|a ＋b |＝|(a ＋c )＋(b －c )|≤|a ＋c |＋|b －c |≤2， 且|a －b |＝|(a ＋c )－(b ＋c )|≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2.所以max{|a sin x ＋b |}＝max{|a ＋b |，|a －b |}≤2，当a ＝2，b ＝0，c ＝－1时，取等号． 思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值．跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )<f (m )的解集是________．答案 (－m ，m )解析 由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m )．(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，3]解析 当x ∈(－∞，－1]时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x －x －1＝1－2x ≥3；当x ∈(－1,2)时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3； 当x ∈[2，＋∞)时，|x －2|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≥3，综上可得|x －2|＋|x ＋1|≥3，∴a ≤3.1．(2018·宁波期末)若a ，b ∈R ，且a <b <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a －b>1B.1a －1>1b －1C ．a 3>b 3D ．a ＋|b |>0答案 B解析 由a <b <0得a －1<b －1<0，则(a －1)(b －1)>0，所以(a －1)·1(a －1)(b －1)<(b －1)·1(a －1)(b －1)，即1a －1>1b －1，故选B.2．(2018·浙江绍兴一中期末)若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7,7) B ．(－3,3) C ．(－7,3) D ．∅答案 C解析 不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，等价于(|x ＋2|＋|x －a |)min <5，又因为|x ＋2|＋|x －a |≥|(x ＋2)－(x －a )|＝|2＋a |，所以|2＋a |<5，－5<2＋a <5，解得－7<a <3，即实数a 的取值范围为(－7,3)，故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，3x －y ＋1≥0，3x ＋y －1≤0，x ，y ∈R，则M 表示的平面区域的面积是( )A.2B.32C.322D ．2答案 B解析 由题意，M 表示的平面区域是以A (0,1)，B (－1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为顶点的三角形及其内部，如图中阴影部分所示(含边界)，所以其面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＝32.4．(2018·杭州质检)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则2x ＋1y的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 由2x ＋y －3＝0，得2x ＋y ＝3， 所以2x ＋1y ＝13(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 2x y·2y x ＝3，当且仅当2x y ＝2y x，即x ＝y ＝1时等号成立，故选B.5．(2018·金华十校调研)设x ，y ∈R ，下列不等式成立的是( ) A ．1＋|x ＋y |＋|xy |≥|x |＋|y | B ．1＋2|x ＋y |≥|x |＋|y | C ．1＋2|xy |≥|x |＋|y | D ．|x ＋y |＋2|xy |≥|x |＋|y |答案 A解析 对于选项B ，令x ＝100，y ＝－100，不成立；对于选项C ，令x ＝100，y ＝1100，不成立；对于选项D ，令x ＝13，y ＝－12，不成立，故选A.6．(2018·杭州学军中学模拟)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y －m ≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0>3，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数z ＝x －2y 经过直线x ＋m ＝0与y －m ＝0的交点时取得最大值，即z max ＝－m －2m ＝－3m ，则根据题意有－3m >3，即m <－1，故选D.7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5B ．4C.5D ．2 答案 B解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点A (2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.因为a 2＋b 2表示原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，所以a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离，即(a 2＋b 2)min ＝|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4，故选B.8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，则2a ＋3b 的取值范围是( ) A ．(－7,1) B ．(－3,5) C ．(－7,3) D ．R答案 C解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域是以A (1,1)，B (－1,1)，C (0，－1)为顶点的三角形区域(包含边界)；因为直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，所以a ，b满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>0，－a ＋b －1>0，－b －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<0，－a ＋b －1<0，－b －1<0，故点(a ，b )在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b 的取值范围为(－7,3)，故选C.9．(2019·诸暨期末)不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集为________；不等式|3－2x |<1的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)解析 依题意，不等式－x 2＋2x ＋3<0，即x 2－2x －3>0，解得x <－1或x >3，因此不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x |<1得－1<3－2x <1,1<x <2，所以不等式|3－2x |<1的解集是(1,2)．10．(2018·宁波期末)关于实数x 的不等式x 2－4x >1a＋3在[0,5]上有解，则实数a 的取值范围为______________．答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由x 2－4x >1a ＋3得x 2－4x －3>1a ，则问题等价于1a小于x 2－4x －3在[0,5]上的最大值，又因为x 2－4x －3＝(x －2)2－7，所以当x ＝5时，x 2－4x －3取得最大值2，所以1a<2，解得a <0或a >12，所以a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.11．(2018·嘉兴测试)已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2的解集为______________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 3 解析 由题意得|f (x )|＋|g (x )|＝|x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <2，－x ＋3，2≤x ≤52，3x －7，x >52，所以|f (x )|＋|g (x )|≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ≤2，x <2或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3≤2，2≤x ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧3x －7≤2，x >52，解得53≤x ≤3，|f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4x ，x <1，3，1≤x ≤52，4x －7，x >52，|f (2x )|＋|g (x )|的图象如图，则由图象易得|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为3.12．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y ＋1的最大值是________． 答案 34解析 设u ＝1x ，v ＝1y ，则问题转化为“已知正数u ，v 满足u ＋2v ＝1，求u u ＋1＋2vv ＋1的最大值”．uu ＋1＋2v v ＋1＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1＝3－⎝⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1·14[(u ＋1)＋2(v ＋1)]＝3－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2(v ＋1)u ＋1＋2(u ＋1)v ＋1≤3－14(5＋4)＝34. 当且仅当2(v ＋1)u ＋1＝2(u ＋1)v ＋1，即u ＝v ＝13时，取等号．13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________． 答案 911－32 解析 将⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5变形为⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1－2z ，x 2＋y 2＝5－z 2，由|xy |≤x 2＋y 22知，|1－2z |≤5－z22，即－5－z 22≤1－2z ≤5－z 22，解得2－7≤z ≤11－2.所以xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2＋z 在[2－7，11－2]上的最小值为911－32.14．(2018·宁波模拟)若6x 2＋4y 2＋6xy ＝1，x ，y ∈R ，则x 2－y 2的最大值为________． 答案 15解析 方法一 设m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则问题转化为“已知4m 2＋mn ＋n 2＝1，求mn 的最大值”．由基本不等式，知1＝mn ＋4m 2＋n 2≥mn ＋4|mn |，所以－13≤mn ≤15，当且仅当n ＝2m ，即x ＝－3y 时，取得最大值15.方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x ≠0.令z ＝x 2－y 2＝x 2－y 26x 2＋4y 2＋6xy＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 26＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋6·y x ，设t ＝y x ，则z ＝1－t 26＋4t 2＋6t，则(4z ＋1)t 2＋6zt ＋6z －1＝0对t ∈R 有解．当z ＝－14时，t ＝－53.当z ≠－14时，Δ＝36z 2－4(4z ＋1)(6z －1)≥0，解得－13≤z ≤15.当t ＝－3z 4z ＋1＝－13时取最大值．方法三 1＝6x 2＋4y 2＋6×x3×3y ≥6x 2＋4y 2－6×x 23＋3y 22＝5x 2－5y 2，所以x 2－y 2≤15，当且仅当x ＝－3y 时取等号．15．(2019·浙江嘉兴一中模拟)已知点P 是平面区域M ：⎩⎨⎧x≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0内的任意一点，则P 到平面区域M 的边界的距离之和的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析 设平面区域M ：⎩⎨⎧x ≥0，y≥0，3x ＋y －3≤0为△ABO 区域(包含边界)，由题意，|AO |＝1，|BO |＝3，|AB |＝2，P 到平面区域M 的边界的距离之和d 就是P 到△ABO 三边的距离之和，设P 到边界AO ，BO ，AB 的距离分别为a ，b ，c ，则P (b ，a )，由题意0≤a ≤3，0≤b ≤1,0≤c ＝12(3－a －3b )≤32，所以d ＝a ＋b ＋c ＝12[a ＋(2－3)b ＋3]，从而d ≥32，当a ＝b ＝0时取等号．如图，P 为可行域内任意一点，过P 作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，PP ′⊥AB ，过P ′作P ′E ′⊥x 轴，P ′F ′⊥y 轴，则有PE ＋PF ＋PP ′≤P ′F ′＋P ′E ′，由P (b ，a )， 可得P ′⎝⎛⎭⎪⎫3＋b －3a4，3＋3a －3b 4，所以d ＝a ＋b ＋c ≤3＋b －3a 4＋3＋3a －3b 4＝3＋3＋(3－1)(3a －b )4，又0≤a ≤3，0≤b ≤1，则d ≤3，当a ＝3，b ＝0时取等号，因此d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 16．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a ，b ，c 满足b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋bc＋1，则a ＋bc的最小值是________． 答案1＋172解析 由a ，b ，c 为正数，且b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1得b c ＋1a c ＋a c ＋1b c ＝a c ＋b c ＋1，设m ＝a c ，n ＝bc，则有m >0，n >0，上式转化为n ＋1m ＋m ＋1n ＝m ＋n ＋1，即m 2＋n 2＋m ＋nmn＝m ＋n ＋1，又由基本不等式得m 2＋n 2≥(m ＋n )22，mn ≤(m ＋n )24，所以m ＋n ＋1＝m 2＋n 2＋m ＋n mn ≥(m ＋n )22＋m ＋n (m ＋n )24，令t ＝m ＋n ，则t >0，上式转化为t ＋1≥t 22＋tt 24，即t 2－t －4≥0，解得t ≥1＋172，所以t ＝m ＋n ＝a c ＋bc ＝a ＋b c 的最小值为1＋172.。

【最新整理，下载后即可编辑】解绝对值不等式1、解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等。

变形一右边的常数变代数式2、解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3、解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1变形二 含两个绝对值的不等式 4、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

5、 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)6．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。

7．求不等式1331log log 13x x+≥-的解集.变形三 解含参绝对值不等式8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。

若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。

2）形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。