2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 基本不等式及其应用

专题38 基本不等式 专题知识梳理1．基本不等式如果a 、b 是正数，那么ab ≤ a ＋b 2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)， 即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．2．常用的几个重要不等式(1) a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )； (2) a ＋b 2≥ab ； (3) b a ＋a b ≥2(a 与b 同号)； (4) ab ≤_(a ＋b 2)2(a 、b ∈R )； (5) 21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a 、b ∈(0，＋∞)(两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的大小关系)．3．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1) 如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P (简记：积定，和有最小值)．(2) 如果和x ＋y 的定值为S ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值14S 2(简记：和定，积有最大值)．考点探究考向1 利用基本不等式求最值【例】（2018·江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a+c 的最小值为________．【解析】由角平分线和三角形面积公式得，ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，∴111sin1201sin601sin60222ac a c =⨯⨯+⨯⨯,化简得ac=a+c. (方法1) 1=-a c a ，4a+c=4a+1-a a =4a+111-+-a a =4a+11-a +1=4（a —1）+11-a +5≥5=4+5=9．(方法2) 由ac=a+c 得，111+=a c ，∴4a+c=(4a+c )11()a c +=5+4c a a c+当且仅当c =2a=3时取等号，则4a+c 的最小值为9.题组训练1.设x>0，y>0，若111x y +=，则2211x y+的最小值是 【解析】∵111x y+=，∴x y xy +=， ∴2211x y+=2222222()2x y x y xy x y x y ++-=222()221xy xy x y xy -==-， ∵x>0，y>0，∴xy x y =+≥2,4xy ≥，当且仅当x y =时，取等号， ∴2211142xy -≥-=，故2211x y +的最小值是122.设x,y 为正实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．【解析】∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1， 解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105. 等号当且仅当2x ＝y >0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 3.若不等式220ax x b ++>的解集为1{|}x x a≠-，则式子222()++>-a b a b a b 最小值为 ． 【解析】由题意知，判别式△=0,即440ab -=，∴ab=1，且a b >，∴2222()444a b a b a b a b a b a b ++-+==-+≥---． 当且仅当4-=-a b a b 即2-=a b时取“=”号，解得2(112a b ⎧=+⎪⎨-+=⎪⎩∴ 所求式子的最小值为4.4. 已知a >0，b >0，a+b =2，求14a b+的最小值．【解析】∵14a b +=（14a b +）2a b +⋅=14(14)2a b b a+++≥=519222+⨯． 故14a b +的最小值是92． 5.若,a b ∈R ，0ab >，则4441++a b ab的最小值为___________.【解析】4422414114 4 +++≥=+≥=a b a b ab ab ab ab ，前一个等号成立的条件是222,a b =后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==的最小值为4. 6.若实数,x y 满足133(0)2+=<<xy x x ，则313+-x y 的最小值为 ． 【解析】由33+=xy x 得，33=+x y ，故313+-x y =3+y +13-y =3-+y 13-y +66≥=2+6=8，当且仅当31y -±=，4y =或2y =． 当4y =时，31(0,)72x =∈，适合题意；当2y =时，3152x =>（舍去）． 故313+-x y 的最小值为8． 7.已知正数y x ,满足x +y =1，则4121+++x y 的最小值为 ． 【解析】∵x +y =1，∴ (x +2)+(y +1)=4， ∴4141141()1()212121421x y x y x y x y +=+⨯++++++++++=（）1412119[41][5(54)421444y x x y ++≥+=+=++=+++（）． 当且仅当41221++++（）y x x y =，22(1)+=+x y （负值舍去）,解得2133=，=x y ，上式取等号，故所求的最小值为94． 8.设a>b >0，则的最小值是 . 【解析】＝＝ ≥2＋2＝4，当且仅当ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立．如取a,b ＝满足条件.考向2 利用基本不等式求参数的值或取值范围【例】（1）若函数y ＝1x －1＋ax (a ＞0，x ＞1)的最小值为3，则a ＝ ． （2）已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为 ． 【解析】（1）∵y ＝1x －1＋ax ＋a －a ＝1x －1＋a (x －1)＋a ≥21x －1×a （x －1）＋a ＝2a ＋a ＝3，当且仅当1x －1＝a (x －1)时等号成立．∵a >0，∴a ＝1.（2）由3a ＋1b ≥m a ＋3b 得，m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋a b ＋6，又9b a ＋a b＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.题组训练1.若存在正实数x ，使得22131≥-++x a x x 成立，则a 的取值范围是 . 【解析】22131x a x x ≥-++即22131x a x x -≤++，存在x>0，使得22131x a x x ≥-++成立，它等价于max 221()31x a x x -≤++,由x>0，得12+≥x x （当且仅当1x =时取等号）， ∴211313x x x x x=++++11=2+35≤，即231x x x ++的最大值为15，∴2115a -≤，解得35a ≤，∴a 的取值范围是3(,]5-∞.2. 已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 【解析】 ∵2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22(x －a )·2x －a ＋2a ＝4＋2a ， ()211a ab a a b ++-()211a ab a a b ++-211()a ab ab ab a a b -+++-11()()ab a a b ab a a b ++-+-2由题意知4＋2a ≥7，得a ≥32，∴实数a 的最小值为32. 3.已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为 ．【解析】∵x 2＋y 2>0，∴3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)等价于λ≥3x 2＋4xy x 2＋y 2，则λ≥（3x 2＋4xy x 2＋y 2）max , 令T=3x 2＋4xy x 2＋y 2，则T=223)4())1x x y y x y++（（，令0x t y =>，2(3)40T t t T --+=，164(3)0T T ∆=--≥当解得14T -≤≤，当T =4时，t =2，此时x ＝2y 时取等号，∴3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，∴λ≥4，即λ的最小值是4.。

§7.4 基本不等式及其应用 考情考向分析 主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0)(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？ 提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( × )(3)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) (4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × )(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 教材改编2．[P88T4]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ， 即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 3．[P89例1]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)． 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件． 5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________．答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5， 所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y，即y ＝2x ＝1时，“＝”成立， 故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． (3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________． 答案 15解析 y ＝x －1x －1＋4＋x －1，当x －1＝0时，y ＝0，当x －1>0时，y ＝1x －1＋4x －1＋1≤14＋1＝15， ∴当且仅当x －1＝4x －1等号成立， 即x ＝5时，y max ＝15. 命题点2 常数代换法例2(1)(2018·江苏省盐城市东台中学质检)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值为________．答案 3＋2 2解析 由x >0，y >0，得(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22， 当且仅当y ＝2x 时等号成立，又1x ＋2y＝1，则x ＋y ≥3＋22， 所以x ＋y 的最小值为3＋2 2.(2)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 答案 94解析 正数x ，y 满足(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，∴4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4(y ＋1)x ＋2 ≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4(y ＋1)x ＋2＝94， 当且仅当x ＝2y ＝23时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1min ＝94. 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b的最小值为________． 答案 145解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4，∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4.又∵a ，b >0，∴a a ＋b ≤a a 2＋a ＋4， ∴－aa ＋b ≥－a a 2＋a ＋4， ∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4 ＝3－1a ＋4a ＋1≥3－12 a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时，两等号同时成立，即取得最小值．思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．跟踪训练1(1)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是________． 答案 3解析 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋c ＋1＝3，且a ＋1>0，b ＋c >0.∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立．(2)(2018·苏北四市考试)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2的最小值是________．答案 35解析 由已知可得(2x ＋y )2＋(x －2y )215＝1， ∴1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2 ＝(2x ＋y )2＋(x －2y )215×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2 ＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋(x －2y )2(2x ＋y )2＋4(2x ＋y )2(x －2y )2≥115(5＋4)＝35， 当且仅当|x －2y |＝2|2x ＋y |时取等号．(3)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 答案 8解析 由已知得，x ＝3y ＋3， 又0<x <12，可得y >3， ∴3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6 ≥2(y －3)·1y －3＋6＝8， 当且仅当y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝37时，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y －3min ＝8.题型二 基本不等式的实际应用例4某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1000x ×0.05－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250； 当x ≥80时， L (x )＝1000x ×0.05－⎝ ⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x －1450－250 ＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x . ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ≤1200－210000＝1000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练2(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是_______． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元． 因为3600x ＋4x ≥23600x·4x ＝240， 当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例5在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM→＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为________．答案 3解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23nAN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1， ∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立．命题点2 求参数值或取值范围例6已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________． 答案 4解析 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9， ∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练3(1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C的最小值为____． 答案 32解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋b c＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是________．答案 9解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ，因为函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋8b (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立， 所以8a ＋b ab的最小值为9.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，即k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每万件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(万元)， ∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x －8－16x －m ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3(万元)时，y max＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为________．答案 4解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立．2．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为________．答案 9解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9.3．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.4．(2018·扬州模拟)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 5＋2 6解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，即1x ＋1y＝1，∴1－1x ＋1－1y＝1，又3x x －1＋2y y －1＝31－1x ＋21－1y，∴3x x －1＋2yy －1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫31－1x＋21－1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1－1y ＝5＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1y 1－1x＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1－1y≥5＋26，等号成立的条件为3⎝⎛⎭⎪⎫1－1y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2.5．(2018·江苏省无锡市第一中学期末)在等差数列{a n }中，a n >0，a 4＝5，则1a 2＋9a 6的最小值为____． 答案 85解析 由题意得a 2＋a 6＝2a 4＝10， 所以1a 2＋9a 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋9a 6(a 2＋a 6)×110＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋a 6a 2＋9a 2a 6≥110(10＋29)＝85.当且仅当a 6＝3a 2＝152时等号成立．故1a 2＋9a 6的最小值为85. 6．已知函数f (x )＝e x 在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b的最小值是________． 答案2解析 由题意得f ′(x )＝e x，f (0)＝e 0＝1，k ＝f ′(0)＝e 0＝1.所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，∴a －b ＋1＝0，∴a －b ＝－1，∴2a＋2－b≥22a ·2－b ＝22a －b＝22－1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝－12，b ＝12时取等号. 7．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________． 答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1， ∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6， 当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立．8．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________． 答案3解析 由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴2bc cos A ＝bc ，∴cos A ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵△ABC 的面积为334，∴12bc sin A ＝343，∴bc ＝3. ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴a 2≥2bc －bc ＝bc ＝3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)， ∴a ≥ 3.9．(2018·扬州模拟)已知正实数x ，y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为_______． 答案 73解析 方法一 因为5x 2＋4xy －y 2＝1，所以y 2－5x 2＋1＝4xy ≤x 2＋4y 2(当且仅当x ＝2y 时，取“＝”)， 即6x 2＋3y 2≥1， 所以2x 2＋y 2≥13，所以12x 2＋8xy －y 2＝12x 2＋2(y 2－5x 2＋1)－y 2＝2x 2＋y 2＋2≥13＋2＝73.方法二 因为5x 2＋4xy －y 2＝1， 则12x 2＋8xy －y 2＝12x 2＋8xy －y25x 2＋4xy －y2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2＋8·xy －15⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2＋4·x y－1.令t ＝x y，则t ∈(0，＋∞)，设f (t )＝12t 2＋8t －15t 2＋4t －1＝2＋2t 2＋15t 2＋4t －1，则f ′(t )＝8t 2－14t －4(5t 2＋4t －1)2＝2(4t ＋1)(t －2)(5t 2＋4t －1)2，令f ′(t )＝0，得t ＝2，则f (t )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以f (t )min ＝f (2)＝73.10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ， 代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab＝8，当且仅当ab ＝1时取等号． 所以1a ＋1b≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？ 解 (1)由题意可得xy ＝1800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1808－3x －83y (x >3，y >3)． (2)方法一 S ＝1808－3x －83×1800x＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x ≤1808－23x ×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x ＝4800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1800x＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值． 方法二 设S ＝f (x )＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x (x >3)，则f ′(x )＝4800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x2， 令f ′(x )＝0，则x ＝40， 当0<x <40时，f ′(x )>0； 当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos C cos B ，b ＝4，则△ABC 面积的最大值为________． 答案 4 3解析 ∵2a －c b ＝cos Ccos B ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴S △ABC ＝12ac sin π3≤12×16×32＝4 3.故△ABC 面积的最大值为4 3.14．已知P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一个动点，过点P 作圆(x ＋1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA →·PB →的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－3，569解析 如图，由题意设∠APB ＝2θ，则PA ＝PB ＝1tan θ，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos2θ ＝1tan 2θ·cos2θ ＝1＋cos2θ1－cos2θ·cos2θ，设cos2θ＝t ，则t <1,1－t >0， ∴PA →·PB →＝t (1＋t )1－t ＝(1－t )＋21－t －3≥2(1－t )·21－t－3＝22－3，当且仅当1－t ＝21－t ，即t ＝1－2时等号成立，此时cos2θ＝1－ 2.又当点P 在椭圆的右顶点时，sin θ＝13，∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝79，此时PA →·PB →最大，且最大值为1＋791－79×79＝569.∴PA →·PB →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－3，569.15．已知曲线C ：y 2＝2x ＋a 在点P n (n ，2n ＋a )(a >0，n ∈N )处的切线l n 的斜率为k n ，直线l n 交x 轴、y 轴分别于点A n (x n,0)，B n (0，y n )，且|x 0|＝|y 0|.给出以下结论： ①a ＝1；②当n ∈N *时，y n 的最小值为233；③当n ∈N *时，k n >2sin12n ＋1； ④当n ∈N *时，记数列{}k n 的前n 项和为S n ，则S n <2(n ＋1－1)． 其中，正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号) 答案 ①②④ 解析 令y ＝12(2)x a +，所以y ′＝1212(2)x a -+×2＝12(2)x a -+，k n ＝12(2)x a -+，所以l n ：y －2n ＋a ＝12(2)x a -+(x －n )，所以x 0＝－a ，y 0＝a ，∴a ＝a ∴a ＝1，①对； 令t ＝2n ＋1≥3，所以y n ＝2n ＋1－n 2n ＋1＝t －t 2－12t ＝12t ＋12t ，所以y n ≥123＋123＝233，②对；令f (x )＝x －2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，13，所以f ′(x )＝1－2cos x <0， 所以f (x )<f (0)＝0，即12n ＋1<2sin12n ＋1，③错；因为k n ＝12n ＋1<2n ＋1＋n＝2(n ＋1－n )，所以S n ＝k 1＋k 2＋…＋k n <2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)，④对．16．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为46，求该正三棱柱外接球表面积的最小值．解 设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝46， 底面三角形外接圆的半径为r ， 则asin60°＝2r ，∴r ＝33a .所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝b 24＋a 23≥2b24·a23＝29612＝42，当且仅当a＝32b时，等号成立．所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×42＝162π.。

第3讲 基本不等式1．基本不等式设a >0，b >0，则a 、b 的算术平均数为□05a ＋b 2，几何平均数为□06ab ，基本不等式可叙述为□07两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有□01最小值是2p (简记：□02积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有□03最大值是p 24(简记：□04和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )， 2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b24≥ab (a ，b ∈R )． (6)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．1．概念辨析(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．小题热身(1)已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4答案 C解析 因为x <0，所以－x >0， 所以－x ＋1－x≥2－x1－x ＝2，当且仅当－x ＝1－x即x ＝－1时等号成立．所以x ＋1x ≤－2.所以f (x )＝x ＋1x－2≤－4.即f (x )有最大值－4.(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2xy ⇔9≥xy ⇔xy ≤81，当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.(3)已知lg a ＋lg b ＝2，则lg (a ＋b )的最小值为( ) A ．1＋lg 2 B ．2 2 C ．1－lg 2 D ．2 答案 A解析 由lg a ＋lg b ＝2，可知a >0，b >0， 则lg (ab )＝2，即ab ＝100. 所以a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 所以lg (a ＋b )≥lg 20＝1＋lg 2. 故lg (a ＋b )的最小值为1＋lg 2.(4)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．题型 一 利用基本不等式求最值角度1 直接应用1．(2019·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋1ba －b的最小值． 解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0. ∴a 2＋1ba －b ≥a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 2＋4a 2 ≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b ，a 2＝2，a ＞b ＞0，即a ＝2，b ＝22时取等号．∴a 2＋1ba －b的最小值是4. 角度2 拼凑法求最值2．求f (x )＝4x －2＋14x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x <54的最大值．解 因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.角度3 构造不等式求最值(多维探究)3．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112答案 B解析 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＋2xy ＝8， 所以x ＋2y ＝8－2xy ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22.整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8.又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4.故x ＋2y 的最小值为4. 条件探究 把举例说明3的条件“x ＋2y ＋2xy ＝8”改为“4xy －x －2y ＝4”，其他条件不变，求xy 的最小值．解 因为x >0，y >0且4xy －x －2y ＝4，所以4xy －4＝x ＋2y ≥22xy . 整理可得2xy －2xy －2≥0.解得2xy ≥2即xy ≥2，所以xy 的最小值为2. 角度4 常数代换法求最值(多维探究)4．若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 解法一：因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，所以a ＋b 的最小值为4.解法二：因为直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，a －1>0，所以a ＋b ＝a ＋aa －1＝a ＋a －1＋1a －1＝a －1＋1a －1＋2 ≥2a －1a －1＋2＝4. 当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4. 条件探究 将举例说明4条件变为“x ＞0，y ＞0且1x ＋9y＝1”，求x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9且x ＝yy －9.∴x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y ＞9，∴y －9＞0. ∴y －9＋9y －9＋10≥2y －9y －9＋10＝16. 当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号． 又1x ＋9y＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.1．拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 2．通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．如举例说明4解法二．3．常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．如举例说明4解法一．(4)利用基本不等式求解最值．1．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B. 2．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 因为a －3b ＋6＝0，所以a －3b ＝－6,2a ＋18b ＝2a ＋123b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b＝22a －3b＝22－6＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a ＝18b ＝18，即a ＝－3，b ＝1时取等号，所以2a ＋18b的最小值为14. 题型 二 基本不等式的综合应用角度1 基本不等式中的恒成立问题1．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，2sin 2x －a sin2x ＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin2x >0，原不等式可化为a sin2x ≤2sin 2x ＋1， a ≤2sin 2x ＋1sin2x.设f (x )＝2sin 2x ＋1sin2x，则f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x ＝32tan x ＋12tan x.因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0. 所以f (x )＝32tan x ＋12tan x≥232tan x ·12tan x＝3， 当且仅当32tan x ＝12tan x ，即tan x ＝33时等号成立，所以f (x )min ＝3，所以a ≤ 3.角度2 基本不等式与其他知识的综合问题2．(2018·西安模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是( )A.6－24B.6＋24 C.6－22D.6＋22答案 A解析 由正弦定理，得a ＋2b ＝2c .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24.当且仅当3a 2＝2b 2，即3a ＝2b 时，等号成立． 所以cos C 的最小值为6－24.基本不等式的综合运用常见题型及求解策略(1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较．(2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明1. (3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如举例说明2.1．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)答案 B解析 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n n ＋2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92.故选A. 题型 三 基本不等式在实际问题中的应用某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1. 由题意可知每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2017年的利润y ＝1.5x ·8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元．利用基本不等式求解实际问题的求解策略(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立．(2018·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．。