高考数学一轮总复习：基本不等式

2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)一、单选题(共13题；共65分)1．（5分）若a >0，b >0，则“a +b =1”是“1a +1b≥4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）已知直线ax +by −1=0(ab >0)过圆(x −1)2+(y −2)2=2022的圆心，则1a +1b的最小值为（ ） A ．3+2√2B ．3−2√2C ．6D ．93．（5分）已知正实数a 、b 满足a +b =2，则4b +1a的最小值是（ ）A ．72B ．92C ．5D ．94．（5分）已知m >0，n >0，命题p ：2m +n =mn ，命题q ：m +n ≥3+2√2，则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为 a ，从乙地到甲地的平均速度为 b(a >b >0) ，他往返甲乙两地的平均速度为 v ，则（ ） A ．v =a+b 2B ．v =√abC ．√ab <v <a+b 2D ．b <v <√ab6．（5分）设 a >0 ， b >0 ，则“ a +b ≤4 ”是“ 1a +1b≥1 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（5分）已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +1y的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．（5分）已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞)，则1c +4a的最小值为（ ） A ．-4B ．4C ．8D ．-89．（5分）已知直线ax+by+c−1=0(b，c>0)经过圆x2+(y−1)2=6的圆心，则4b+1c的最小值是（）A．2B．8C．4D．910．（5分）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sin2C=2sin2A−3sin2B，则tanB的最大值为（）A．√53B．√52C．11√520D．3√5511．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanA=−√3，△ABC的面积为√3a，则bc的最小值为（）A．16B．16√3C．48D．24√312．（5分）若a>0，b>0，且ln(2a)+lnb≥a2+b2−1，则a+b=（）A．√2B．√3C．3√22D．5√3213．（5分）已知正实数a，b满足a2+2ab+4b2=6，则a+2b的最大值为（）A．2√5B．2√2C．√5D．2二、多选题(共5题；共25分)14．（5分）已知a，b∈R，a>0，b>0，且a+b=2，则下列说法正确的为（）A．ab的最小值为1B．log2a+log2b≤0C．2a+2b≥4D．1a+2b≥2+√215．（5分）已知a，b∈R，则使“ a+b>1”成立的一个必要不充分条件是（）A．a2+b2>1B．|a|+|b|>1C．2a+2b>1D．4a+b+1b>1016．（5分）若−1<a<b<0，则（）A．1a>1bB．a2+b2>2ab C．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b17．（5分）已知2a=3b=6，则a，b满足（）A．a<b B．1a+1b<1C．ab>4D．a+b>418．（5分）已知正数a，b满足a2+b2=1，则（）A．a+b的最大值是√2B．ab的最大值是12C．a-b的最小值是−1D．ab−2的最小值为−√3 3三、填空题(共5题；共30分)19．（10分）如图，在 △ABC 中， ∠BAC =π3 ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在线段CD 上（P 不与C ，D 点重合），若 △ABC 的面积为 4√3 ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m ＝ ， |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 ．20．（5分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a +c =4 ，且 sinA ，sinB ， sinC 成等差数列，则 △ABC 的面积的最大值为 ．21．（5分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，若 AD =√2 ， CD =2 ， ∠D =34π ， cosB =34，则 △ABC 的面积的最大值为 ．22．（5分）已知a ，b 为正实数，且 a +b =6+1a +9b，则 a +b 的最小值为 ． 23．（5分）△ABC 中，∠BAC =120°，AO 为BC 边上的中线，AO =√3，则AB −2AC 的取值范围是 ．四、解答题(共3题；共30分)24．（10分）ΔABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若已知 asinA+C2=bsinA ． （1）（5分）求角B 的大小；（2）（5分）若 b =2√3 ，求 ΔABC 的面积的最大值．25．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(tanA −sinC)(tanB −sinC)=sin 2C ．（1）（5分）求证：c 2=ab ；（2）（5分）若a +b =3，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．26．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC的中点，若2bcosC=2a+ c．（1）（5分）求∠B；（2）（5分）若a+c=6，求BD的最小值．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：当a+b=1时，1 a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+b a+a b≥2+2√b a⋅a b=4，当且仅当ba=ab，即a=b=12时，取等号，所以1a+1b≥4，当a=b=13时，1a+1b=6≥4，此时a+b=23≠1，所以“a+b=1”是“1a+1b≥4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由a>0，b>0，a+b=1可得1a+1b=2+b a+a b，根据基本不等式得1a+1b≥4，反之代入特殊值即可得到答案.2．【答案】A【解析】【解答】由圆的方程知：圆心(1，2)；∵直线ax+by−1=0(ab>0)过圆的圆心，∴a+2b=1(ab>0)；∴1a+1b=(a+2b)(1a+1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab⋅2ba=3+2√2（当且仅当ab=2b a，即a=√2b时取等号），∴1a+1b的最小值为3+2√2.故答案为：A.【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得∴a+2b=1(ab>0)，由∴1a +1b=(a+2b)(1a+1b)，利用基本不等式可求得结果.3．【答案】B【解析】【解答】4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)≥12(4+5)=92，当且仅当4a b=b a时等号成立.故答案为：B.【分析】根据题意可得4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)，再利用基本不等式求出4b+1a的最小值。

第3讲 基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式:ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b ,ab a ,b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”．忽略某个条件,就会出错．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p ．(简记:积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s 24．(简记:和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化1．设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析:选C ．xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81,当且仅当x ＝y ＝9时等号成立,故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________．解析:设矩形的长为x m ,宽为y m ,则x ＋y ＝10,所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案:25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0,则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0; (2)忽视定值存在; (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0,则x ＋1x ( )A ．有最小值,且最小值为2B ．有最大值,且最大值为2C ．有最小值,且最小值为－2D ．有最大值,且最大值为－2解析:选D ．因为x <0,所以－x >0,－x ＋1－x ≥21＝2,当且仅当x ＝－1时,等号成立,所以x ＋1x≤－2.2．若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________．解析:x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立．答案:53．设0<x <1,则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________． 解析:y ＝2x (1－x )≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ,即x ＝12时,等号成立．答案:12考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养:逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值(1)已知0<x <1,则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54,则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋（4－3x ）22＝43, 当且仅当3x ＝4－3x , 即x ＝23时,取等号．(2)因为x <54,所以5－4x >0,则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ,即x ＝1时,等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．角度二 通过常数代换法求最值已知a >0,b >0,a ＋b ＝1,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时,取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变,则1a ＋1b 的最小值为________．解析:因为a >0,b >0,a ＋b ＝1,所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 答案:4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为:已知a >0,b >0,4a ＋b ＝4,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析:由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1,⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号． 答案:114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,则x ＋2y 的最小值是( )A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】 因为正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,所以y ＝1－x26x .由⎩⎨⎧x >0y >0即⎩⎨⎧x >01－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223,当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22,y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝(ab )32,则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析:选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12,所以ab ≥2,当且仅当a ＝b ＝2时取等号,故ab 的最小值为2,故选C ．2．已知x ,y 为正实数,则4x x ＋3y ＋3y x 的最小值为( )A ．53B ．103C ．32D ．3解析:选D ．由题意得x >0,y >0,4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy ,则x ＋y 的最小值为________． 解析:已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1,则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y≥17＋2 16y x ·xy＝25,当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立,所以x ＋y 的最小值为25. 答案:25考点二 利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题,关键是把实际问题抽象出数学模型,列出函数关系,然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200, 当且仅当12x ＝80 000x ,即x ＝400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元,则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000,因为x ∈[400,600],所以S ∈[－80 000,－40 000]．故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; (2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值; (3)还原为实际问题,写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计),则泳池的长设计为多少米时,可使总造价最低．解:设泳池的长为x 米,则宽为200x 米,总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元),当且仅当x ＝225x(x >0),即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时,可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ,y 满足x ＋y ＝2,则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选A ．因为正实数x ,y 满足x ＋y ＝2, 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1,所以1xy ≥1.2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2] 解析:选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ,(当且仅当2x ＝2y ＝12,即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12,所以2x ＋y ≤14,得x ＋y ≤－2.3．若实数a ,b 满足1a ＋2b ＝ab ,则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析:选C ．因为1a ＋2b ＝ab ,所以a ＞0,b ＞0,由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab, 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号), 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析:选CD ．因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2,当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确,又a ,b ∈R ,所以(a －b )2≥0,即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析:选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,所以lg(2x ·8y )＝lg 2,所以2x ＋3y＝2,所以x ＋3y ＝1.因为x >0,y >0,所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4,当且仅当x ＝3y ＝12时取等号,所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ,y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点,则x ＋y 的最小值为________．解析:因为x >0,所以y >0,且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22,当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案:2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析:因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1),所以y ≥21－2＝0,当且仅当x ＝0时,等号成立． 答案:08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,则ab 的最大值为________,1a ＋2b的最小值为________． 解析:因为a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,所以a ＋2b ＝4,所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝⎛⎭⎫a ＋2b 22＝2,当且仅当a ＝2b ,即a ＝2,b ＝1时等号成立,所以ab 的最大值为2,因为1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94,当且仅当a ＝b 时等号成立,所以1a ＋2b 的最小值为94. 答案:2 949．(1)当x <32时,求函数y ＝x ＋82x －3的最大值;(2)设0<x <2,求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解:(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时,有3－2x >0,所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4, 当且仅当3－2x 2＝83－2x ,即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52,故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2,所以2－x >0,所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2,当且仅当x ＝2－x ,即x ＝1时取等号,所以当x ＝1时,函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. 10．已知x >0,y >0,且2x ＋8y －xy ＝0,求 (1)xy 的最小值; (2)x ＋y 的最小值． 解:(1)由2x ＋8y －xy ＝0, 得8x ＋2y ＝1, 又x >0,y >0, 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64,当且仅当x ＝16,y ＝4时,等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y ＝1,则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12,y ＝6时等号成立,所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0,若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1,＋∞)上恒成立,则a 的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．4D ．2解析:选C ．在(1,＋∞)上,x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5,所以a ≥4. 2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0,y >0,且1x ＋1＋1y ＝12,则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9解析:选C ．因为x >0,y >0.且1x ＋1＋1y ＝12,所以x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8,当且仅当yx ＋1＝x ＋1y ,即x ＝3,y ＝4时取等号,所以x ＋y ≥7,故x ＋y 的最小值为7,故选C ．3．已知正实数x ,y 满足x ＋y ＝1,①则x 2＋y 2的最小值为________;②若1x ＋4y ≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________．解析:因为x ＋y ＝1,所以xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14,所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12,所以x 2＋y 2的最小值为12.若a ≤1x ＋4y 恒成立,则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值,因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ×4x y ＝9,所以1x ＋4y的最小值为9,所以a ≤9,故实数a 的取值范围是(－∞,9]． 答案:12(－∞,9]4．(2020·洛阳市统考)已知x >0,y >0,且1x ＋2y ＝1,则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析:因为1x ＋2y ＝1,所以2x ＋y ＝xy ,所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ,因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x ＋2y )＝7＋6x y ＋2yx,且x >0,y >0,所以3x ＋2y ≥7＋43,所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案:7＋4 3教案、讲义、课件、试卷、PPT 模板、实用文案，请关注【春暖文案】，进店下载。

高考数学一轮考点扫描专题35 基本不等式一、【知识精讲】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[微点提醒]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).二、【典例精练】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值 【例1－1】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D 【解析】 a 2＋1ab ＋1aa －b ＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab＋ab ≥2a 2－ab ·1a 2－ab＋21ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ， 即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 角度2 通过常数代换法求最值【例1－2】已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】3＋2 2【解析】由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当x ＝2y 时取等号．【解法小结】 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三 基本不等式的综合应用【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9【解析】（1） ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.(2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【解法小结】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题. 三、【名校新题】1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R，故必要性不成立.2.(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.3.(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14【答案B【解析】】因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 4.(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】B【解析】 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 5.(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．16【答案】 C【解析】 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac4a 2＋4ac ＋c2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·c a＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. 6.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2C.4D.4 2【答案】B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.7.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.8.(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】 B【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.9. (2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.10.(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16【答案】 D 【解析】32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.11.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2【答案】D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1， 所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立， 所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋2 2. 12.(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( ) A ．[6，＋∞) B ．[10，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．[16，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.13. (2019·合肥调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________. 【答案】8【解析】 可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝z (a >0，b >0)过点B (2，3)时，z 取最大值2ab ＋3.于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以(a ＋b )min ＝8.14. (2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.【答案】92【解析】 y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 15.(2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.16.(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. 【答案】3【解析】∵a 3＝7，a 9＝19， ∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， ∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3， 当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. 17．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋4 900，x ∈[50，80，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 【解析】(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4 900x－130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．18. (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？ 【解析】 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元， ∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n ＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。

第3讲 基本不等式,)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)假如积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)假如和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不行； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件全都． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号且都不为0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1.教材习题改编 将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( )A ．(0，m 22]B ．(0，m 24]C ．[m 22，＋∞)D ．[m 24，＋∞)B a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 24，故选B.2.教材习题改编 函数f (x )＝x ＋1x的值域为( )A ．B ．∪ 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2.当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.由于x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216. 当且仅当x ＝y ＝a 4时，(S 矩形)max ＝a 216.故选D.4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1， 即x ＝3时等号成立． 55．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．由于xy ＝1，所以y ＝1x，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝2 2.即x 2＋2y 2的最小值为2 2. 2 2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)(2021·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2021·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16【解析】 (1)由于a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故选C.(2)由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B.【答案】 (1)C (2)B角度一 知和求积的最值1．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2. 角度二 知积求和的最值 2．已知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m＋n 的最小值为________．易知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又由于点A 在直线x m ＋yn＝－1上，所以3m ＋1n＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n＝10＋3m n ＋3n m≥10＋23m n ·3nm＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立， 所以3m ＋n 的最小值为16. 16角度三 求参数的值或范围 3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号， 所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 4利用基本不等式解决实际问题小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流淌成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)由于每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．由于9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 由于售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.,)——忽视最值取得的条件致误(1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．【解析】 (1)由于x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)由于x <0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6(1)利用基本不等式求最值，肯定要留意应用条件，如本例(2)易忽视条件x <0而误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.(2)尽量避开多次使用基本不等式，若必需多次使用，肯定要保证等号成立的条件全都．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x， 即x ＝6时，y max ＝3. 3,)1．(2021·海口调研)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．12D ．22B 由于a ，b ∈(0，＋∞)， 所以1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C 由于x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3．(2021·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A 由于正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.4．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8C y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 由于x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式， 得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.5．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又由于x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号，(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6.6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产预备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产预备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．7．(2021·郑州检测)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．838．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.369．正实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是______． 利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y.由于x ＋2y ＝2， 所以3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y，即x ＝1，y ＝12时取等号．610．不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．依据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，由于a b ＋ba ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．(－2，1)11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.12．(2021·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9D 由于AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，若A ，B ，C 三点共线， 则有AB →∥AC →，所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．13．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值．(1)由于x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 由于2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)由于x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.14．(2021·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地争辩植物生长，方案利用学校空地建筑一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值． (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)．(2)由于8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240.当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。

专题：基本不等式的应用 （ab ≤a ＋b 2）1.设x 、y 均为正实数，且2＋x ＋2＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) 2．(2009·天津高考) 设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( ) 3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y)≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( ) 4．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5．设a 、b ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的 序号为 ( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.7. 某商场中秋前30f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出的月饼最少为 ( )8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．9．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。

二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。

第2讲 不等式的证明一、知识梳理 1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥ na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 常用结论基本不等式及其推广1．a 2≥0(a ∈R )．2．(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥12(a ＋b )2.3．若a ，b 为正实数，则a ＋b 2≥ab .特别地，b a ＋ab ≥2.4．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 二、教材衍化 求证：3＋7<2＋ 6. 证明：3＋7<2＋6 ⇐(3＋7)2<(2＋6)2 ⇐10＋221<10＋46⇐21<26⇐21<24.故原不等式成立．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．()(3)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区不等式放缩不当致错.已知三个互不相等的正数a ，b ，c 满足abc ＝1.试证明： a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.证明：因为a ，b ，c >0，且互不相等，abc ＝1，所以a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab<1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c ，即a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.用综合法、分析法证明不等式(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明：(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3 ＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．若a ，b ∈R ，ab >0，a 2＋b 2＝1.求证：a 3b ＋b 3a≥1. 证明：a 3b ＋b 3a ＝a 4＋b 4ab ＝（a 2＋b 2）2－2a 2b 2ab ＝1ab －2ab .因为a 2＋b 2＝1≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以0<ab ≤12.令h (t )＝1t －2t ，0<t ≤12，则h (t )在(0，12]上递减，所以h (t )≥h (12)＝1.所以当0<ab ≤12时，1ab －2ab ≥1.所以a 3b ＋b 3a≥1.2．(一题多解)(2020·宿州市质量检测)已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|<4的解集为M . (1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解：(1)当x <－12时，不等式化为－2x －1＋1－2x <4，即x >－1，所以－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，不等式化为2x ＋1－2x ＋1<4，即2<4， 所以－12≤x ≤12；当x >12时，不等式化为2x ＋1＋2x －1<4，即x <1，所以12<x <1.综上可知，M ＝{x |－1<x <1}．(2)法一：因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1. 而|ab |＋1－(|a |＋|b |) ＝|ab |＋1－|a |－|b | ＝(|a |－1)(|b |－1)≤0， 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |. 法二：要证|ab |＋1≤|a |＋|b |， 只需证|a ||b |＋1－|a |－|b |≤0， 只需证(|a |－1)(|b |－1)≤0，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1， 所以(|a |－1)(|b |－1)≤0成立． 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．放缩法证明不等式(师生共研)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m ”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1.证明： 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．反证法证明不等式(师生共研)设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】 设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤（1－a ）＋a 22＝14. 同理：(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾． (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0.证明：①设a <0，因为abc >0， 所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． ②若a ＝0，则与abc >0矛盾， 所以必有a >0. 同理可证：b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.[基础题组练]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋a b ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0， 所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2， (当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2. 3．(2020·蚌埠一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|. (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小．解：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8.所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )． 且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0， 即(m －2)(2－n )<0， 所以2(m ＋n )<mn ＋4.4．(2020·开封市定位考试)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －m |(m >1)，若f (x )>4的解集是{x |x <0或x >4}．(1)求m 的值；(2)若正实数a ，b ，c 满足1a ＋12b ＋13c ＝m3，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为m >1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m ＋1，x <1m －1，1≤x ≤m 2x －m －1，x >m ，作出函数f (x )的图象如图所示，由f (x )>4的解集及函数f (x )的图象得⎩⎪⎨⎪⎧－2×0＋m ＋1＝42×4－m －1＝4，得m ＝3.(2)由(1)知m ＝3，从而1a ＋12b ＋13c＝1，a ＋2b ＋3c ＝(1a ＋12b ＋13c )(a ＋2b ＋3c )＝3＋(a 2b ＋2b a )＋(a 3c ＋3c a )＋(2b 3c ＋3c2b )≥9，当且仅当a ＝3，b ＝32，c ＝1时“＝”成立．5．(2020·原创冲刺卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋(x －1)2的最小值为s .(1)试求s 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝s ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋(x －1)2≥|x ＋1|＋|2－x |≥|(x ＋1)＋(2－x )|＝3，即f (x )≥3. 当且仅当x ＝1，且(x ＋1)(2－x )≥0，即x ＝1时，等号成立，所以f (x )的最小值为3，所以s ＝3.(2)证明：由(1)知a ＋b ＋c ＝3.故a 2＋b 2＋c 2＝(a 2＋12)＋(b 2＋12)＋(c 2＋12)－3 ≥2a ＋2b ＋2c －3＝2(a ＋b ＋c )－3＝3(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立)． 6．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.[综合题组练]1．(2020·江西八所重点中学联考)已知不等式|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}． (1)求实数a 的值；(2)求12－at ＋4＋t 的最大值．解：(1)|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}，即(1－a 2)x 2＋(2a ＋6)x ＋8≥0的解集为{x |x ≥－1}．当1－a 2≠0时，不符合题意， 舍去．当1－a 2＝0，即a ＝±1时，x ＝－1为方程(2a ＋6)x ＋8＝0的一解，经检验a ＝－1不符合题意，舍去， a ＝1符合题意． 综上，a ＝1.(2)(12－t ＋4＋t )2＝16＋2（12－t ）（4＋t ）＝16＋2－t 2＋8t ＋48，当t ＝82＝4时，(12－t ＋4＋t )2有最大值，为32.又12－t ＋4＋t ≥0，所以12－t ＋4＋t 的最大值为4 2. 2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]， 故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。

基础梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a ＋b 2；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12B ．1C ．2D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12. 答案 A4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2考向一 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． [审题视点] 第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式． 解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0， ∴f (x )＝2xx 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ， ∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )()8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2xy＝10＋2()4y x ＋xy ≥10＋2×2×4y x ·xy＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6， ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15(3)18考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋cab ≥2 bc a ·cab ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc ＝2b ； ca b ＋ab c≥2 ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2()bc a ＋ca b ＋abc≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋()b a ＋a b ＋()c a ＋a c ＋()c b ＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．[审题视点] 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要xx 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a即可．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x ＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[)15，＋∞ 答案[)15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？[审题视点] 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900()x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900()x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元． 所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)．当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等. 【示例】►已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b 的最小值．错因 两次基本不等式成立的条件不一致． 实录 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14.又1a ＋2b≥2 2ab ，而ab ≤14，∴1ab≥4， ∴1a ＋2b ≥28＝42，故1a ＋2b 的最小值为4 2. 正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝()1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2ab≥3＋2 b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b a ＝2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 [尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1aba (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立． 答案 D16.已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,)(x f '为f (x)的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，求33++a b 的取值范围．18.已知二次函数2(),(,,)f x ax bx c a b c R=++∈满足：对任意实数x,都有()f x x≥，且当x∈（1，3）时，有21()(2)8f x x≤+成立. （1）求(2)f; （2）若(2)0,()f f x-=的表达式;（3）设()()2mg x f x x=-[0,)x∈+∞，若()g x图上的点都位于直线14y=的上方，求实数m的取值范围.解：（1）由条件知224)2(≥++=cbaf恒成立又∵取x=2时，2)22(8124)2(2=+≤++=cbaf与恒成立∴2)2(=f…………3分（2）∵⎩⎨⎧=+-=++24224cbacba∴,124==+bca∴acb41,21-==……5分又xxf≥)(恒成立，即)1(2≥+-+cxbax恒成立∴)41(4)121(,02≤---=∆>aaa，…………7分解出：21,21,81===cba∴212181)(2++=xxxf…………10分（3）),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=xxmxxg在必须恒成立即),0[2)1(42+∞∈>+-+xxmx在恒成立x －2 0 4f (x) 1 －1 1①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：221221+<<-m ……13分②⎪⎩⎪⎨⎧>=≤--≥∆02)0(0)1(20f m 解出：221-≤m 总之，)221,(+-∞∈m ………16分19.已知函数32()在1f x x ax bx c x =+++=处的切线方程为31y x =+，（1）若函数()在2y f x x ==-时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）条件下,若函数()在[2,]y f x m =-上的值域为95[,13]27，求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围. 解：由cbx ax x x f +++=23)(求异得bax x x f ++='23)(2，在x = 1处的切线方程为)1)(23()1()1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即由已知切线方程为13+=x y 所以：⎩⎨⎧=-+-=++12323c a b a2)(-==x x f y 在 时有极值，故1240)2(-=+-∴=-'b a f (3)由（1）（2）（3）相联立解得542)(5,4,223+-+==-==x x x x f c b a ………5分（2）)2)(23(44323)(22+-=-+=++='x x x x b ax x x f27)3(,135)2(4)2(2)2()2(23==+---+-=-f f当),32(+∞∈x ，令213)(==x x f 得，由题意得m 的取值范围为]2,32[ …………9分 （3）)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增又b ax x x f ++='23)(2，由（1）知b bx x x f b a +-='∴=+23)(,02依题意)(x f '在[－2，1]上恒有03,0)(2≥+-≥'b bx x x f 即在[－2，1]上恒成立，…11分①在16≥=b x 时，603)1()(≥∴≥+-='='b b b f x f 小…12分②在φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx 0212)2()(,26小时…13分③在.6001212)(,1622≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时小…14分综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：0≥b…16分[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf(x)≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f(－x)＝e －x ＋e －(－x)＝e －x ＋ex ＝f(x)， 所以f(x)是R 上的偶函数．(2)由条件知 m(ex ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－t －1t2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t>1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是(]－∞，－13.。