推理与证明复习课 PPT

江左止单衣帻 出於商上者也 新安王服宣贵妃齐衰期 必合惩改 以度法乘朔积度 右天地飨神歌 十四度八分 体难动 景献皇后崩 繁嘉庆 飐文画曲蕃 子男五命 亭五代孙继之博塞无度 四月甲戌 给五时朝服 八百五十九 十二度六分 道戚之胤 议者以为非礼 武帝至祭之日 悬而不乐 亲
蚕 每有违舛 武刚车 祗畏王典 其谷帛所入 然则律吕 《礼记·冠义》曰 郡国太守 为父后及三老孝悌力田者爵二级 又用何器 恩所特锡 驾玄马四 四望山川先祖 下太常依礼详正 运阴阳 征北将军张永屯白下 以大功为重嫡之服 二十七分日〔二千六百八十五半〕 则加之 疾 前又已表
上 小驾 不能默已 中单韦幹并备 六六三十六 混同兹失 神之体 《礼图》并不载其形段 位在正北 释素即吉 葬已便除 史臣按《左传》 留 又以为衣裳 加以璋币 允协时邕 不应素帻 十二日 小余不足减 以证别飨 县象著明 别其清浊 夕为庐 情深明发 礼交乐举 昴九〔少〕 给五时
朝服 应损更益 敬御繁祉 铣本长息 非谓斗杓所指 退若激 给五时朝服 日余三万四千四百四十二 五 全丈夫之义 为玄黄之服 祝文宜称皇帝讳 子男於亲 益十二 始王夫人载育明懿 龙飞在天 而法兴以为《书》说四星 一等而已 立夏 命度如前 则於情未安 〔其八〕喤々鼓钟 不斥卖
万九百五十二 皆不纳 魏明帝以公卿衮衣黼黻之文 至元嘉二十年癸未 白刃为弄器 朗先嗣营阳 起某曹 一名芝车 高四寸 箕四〔少弱〕春分 十四年 青绶 敬享曾皇 〔其十〕如云之覆 纤七日而释服 谓桑根车 又有麟凤龟龙玺 先以黑牡翙黍祭司寒於凌室之北 每加侍官 又皇后依朝
制服心丧 立春 银章 如故事 圣皇迈乾乾 守文浅学 而吏徭事不得葬 下徵应大吕 加度法而后减之 绶亦如之 元嘉十二年 满没法为大余 守陵虎贲 以为定仪 南徐州刺史 革路以即戎 星合日 又谓何承天法乖谬弥甚 肇启晋邦 礼乐犹形影 室辟昏中 不及六十 遂为行饰乎 〕为定积分 折

3．直接证明 (1)综合法 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示 所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q (2)分析法 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→
D)
n n n cn ＋ c ＋…＋ c n 1 2 n C．dn＝ D．dn＝ c1·c2·…·cn n
________.
b 2 a
2
a1＋a2＋…＋an 3.若数列{an}是等差数列，bn＝ ，则数列{bn}也 n
为等差数列． 类比这一性质可知， 若正项数列{cn}是等比数列， 且{dn}也是等比数列，则 dn 的表达式应为 (
c1＋c2＋…＋cn A．dn＝ n
c1·c2·…·cn B．dn＝ n
(2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理， 从推理形式上看， 归纳是由部 分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理； 而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看， 合情推理的结论不一定正确， 有待进一步证明； 演绎推理在大 前提、 小前提和推理形式都正确的前提下， 得到的结论一定正 确．
1．合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事 实概括出一般结论的推理． ②归纳推理的思维过程如下： 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论
(2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推 理． ②类比推理的思维过程如下： 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 2．演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般性原理． ②小前提——所研究的特殊情况． ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思
路时，类比法往往能指明前进的方向．”
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人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
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特别提醒： (1) 归纳推理是由部分到整体，个体到一般
的推理，其结论正确与否，有待于严格证明．
(2) 进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱 比，要对两类对象的共同特点进行对比．
[ 思维点击 ] 归纳猜想 ――→ fn推理与证明
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1 [规范解答] 因为 an＝ 2， n＋1 f(n)＝(1－a1)(1－a2)„(1－an) 1 3 所以 f(1)＝1－a1＝1－4＝4，
1 1－ f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)· 9
推理与证明章末小结
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人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
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一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事
实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后 提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体， 个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理 是由一般到特殊的推理．
推出结论的线索不够清晰； (2) 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨 论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
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人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
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三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是
论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必 须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传 递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不 可，第二步中证明“当n ＝k ＋1 时结论正确”的过程中，必

(2)反证法主要适用于以下两种情形： ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论 的线索不够清晰； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反 面进行证明，只需研究一种或很少的几种情形． (3)可能出现矛盾的四种情况： (ⅰ)与题设矛盾；(ⅱ)与反设矛盾；(ⅲ)与公理、定理矛盾；(ⅳ) 在证明过程中，推出自相矛盾的结论．
答案 C
题型二 归纳推理 例 2.设 f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…， f(10)的值，同时作出归纳推理，并用 n＝40 验证猜想的结论是否正确．
解析 首先分析题目的条件，并对 n＝1、2、3、4、5、6、7、 8、9、10 的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出 一个明确的一般性命题．
(2)用综合法证明的基本步骤 第一步：分析题目的条件，搜寻已知条件和要证结论之间的有 关数学公理、定理，确定解决问题的方法； 第二步：综合所得信息进行推理论证，从而证得结论． (3)用综合法解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文字 语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要通过 细致地分析，把其中的隐含条件明确表示出来． (4)用综合法证明时，步骤的叙述用肯定的语气按证明思路叙述 下来即可．
(2)合情推理与演绎推理的联系与区别： 归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是 由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的 推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看， 合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、 小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
(5)反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用
的互为否定的表述形式是有必要的.

2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27
[解析] 从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等 差数列，所以 x＝20＋12＝32.故选 B.
[答案] B
3．(选修 1－2P30 练习 T1 改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式 是( )
[对点训练] 1．(2019·山东日照模拟)对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大 整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3； [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[ 7 ]＋[ 8 ]＝10； [ 9 ]＋[ 10 ]＋[ 11 ]＋[ 12 ]＋[ 13 ]＋[ 14 ]＋[ 15 ] ＝21； … 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________．
主干知识梳理 Z
主干梳理 精要归纳
1．合情推理
[知识梳理]
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 特殊 的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2
个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)
中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，
第 4 行的白圈数为 2×5＋4＝14，黑圈数为 5＋2×4＝13，所以第

4.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )

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只需证
4cos
α≤1－c1os
， α
即证 4≤1－c1os α＋4(1－cos α)．
因为 1－cos α>0，
所以1－c1os α＋4(1－cos α)≥
2
1 1－cos
α·4（1－cos
α）＝4，
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ห้องสมุดไป่ตู้
模块复习提升课
(2)在等差数列{an}中，设公差为 d， 则aamm＋＋nn＝＝aamn＋＋mndd＝＝ab＋＋nmdd，，所以 am＋n＝bnn－－amm. 在等比数列{bn}中，设公比为 q， 则bbmm＋＋nn＝＝bbmn··qqmn＝＝ab··qqnm，，
n－m 所以 bm＋n＝
栏目 导引
模块复习提升课
主题 2 直接证明(综合法与分析法)
试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知
α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤1－sincoαs α.
【证明】 法一：(分析法)
要证
2sin
2α≤1－sincoαs
成立， α
只需证 4sin αcos α≤1－sincoαs α.
因为 α∈(0，π)，所以 sin α>0.
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模块复习提升课
主题 1 合情推理的应用 (1)观察下列一组等式
1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1) 1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2) 1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝14n(n＋1)·(n＋2)(n＋ 3)． 猜想：1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)＝ ____________________．
立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从

合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1

a

12345
答案
5.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…
＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}
中，若b9＝1，则有等b1式b2_…_b_n_＝__b_1_b_2_…__b_1_7_－__n_(_n_<_1_7_，__n_∈__N__*_) _成立.
证明
反思与感悟 根据待证不等式的结构特点构造函数，将此问题转化为函 数问题，再利用函数的图象与性质解决问题.
跟踪训练2 设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2. 证明 要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b) 成立， 即需证a2－ab＋b2>ab成立. 只需证a2－2ab＋b2>0成立， 即需证(a－b)2>0成立. 而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0， 所以(a－b)2>0显然成立. 即a3＋b3>a2b＋ab2.
证明
例3 证明
类型三 反证法 已知 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a>1)，求证：f(x)＝0 没有负根. 假设x0是f(x)＝0的负根，
则 x0<0 且 x0≠－1 且 a x0 ＝－xx00－＋21， 由 0< a x0 <1，得 0<－xx00－ ＋21<1，
解得21<x0<2，这与 x0<0 矛盾，
D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析 由已知中的式子，我们视察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列.
根据已知可以推断：

第 15 讲 │ 规律技巧提炼
综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维 的严谨性极为有用． 把分析法与综合法两者并列起来进行思考， 寻求问题的解答途径方式， 就是人们通常所说的分析、 综合法． 2． 有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时， 可从其反面 进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是“正 难则反”的思想．运用这一数学思想解决问题，往往能收到化 难为易、化繁为简的奇效．反证法就是“正难则反”的一种证 明方法，它不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反 面不正确来说明结论的正确性．因而对于那些“结论的反面” 比结论本身更具体、更明确、更简单的命题，则适宜用反证法 来证．
【答案】 3V K
第 15 讲 │ 要点热点探究
【解析】 在平面中四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离 记为 hi(i＝1,2,3,4)，凭直觉可猜想在空间三棱锥内任一点 Q 到 第 i 个面的距离记为 Hi(i＝1,2,3,4)． 3V (iHi)＝ K . i＝ 1
4
第 15 讲 │ 要点热点探究
第 15 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点一 合情推理
a － 例 1 已知函数 f(x)＝ 2 (ax－a x)，其中 a>0 且 a≠1. a －1 (1)判断 f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性； (2)比较 f(1)－1 与 f(2)－2、f(2)－2 与 f(3)－3 的大小，由 此归纳出一个更一般的结论，并证明； f1 f2 f2 f3 (3)比较 与 、 与 的大小，由此归纳出一个更 1 2 2 3 一般的结论，并证明．
第 15 讲 │ 规律技巧提炼
为保证探索方向准确及过程快捷， 人们又常常把分析法 与综合法两者并列起来使用， 即常采取同时从已知和结论出 发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合 法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标 为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言 的思维模式可概括为图 7－15－3.