当前位置：文档之家 › 运筹学-约束最优化方法

运筹学-约束最优化方法

  • 格式：pdf
  • 大小：35.43 MB
  • 文档页数：152

下载文档原格式

  / 152

合集下载

【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第3章(07-4)

【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第3章(07-4)

的最优解S(k)和最优值
(k +1) (k ) (k )
q(S(k) )
(k + 1) (k )
) f (X = X + S 若 f (X (3)令 X 取 X * = X (k+1) ,停止,否则转(4) (4)计算 f = f (X (k) ) f (X (k+1) ), q = f (X (k) ) q(S(k) ) 1/ 2k ..若 f < 0.1q 令
第三章
无约束非线性规划
3.4 信赖域法, Matlab解无约束非线性规划
一.信赖域法: 1.思想: 1) 前两节方法的结构原理为用二次模型产生下降方 向,在下降方向上确定可接受的步长,得到新迭代点. 若二次模型不近似原目标函数,则在搜索方向上无 法找到满意的下降迭代点. 能否先指定步长的界,再用二次模型确定方向和步 长? *注:保证在下近似,可使f(x)与 二次模
y(1) = x +α(x xmax )
2 扩展:给定扩展系数 >1,计算.(加速) 扩展:给定扩展系数γ 计算.(加速) 计算.(加速
y(2) = x +γ ( y(1) x)
3.5 直接算法
一, 2,改进单纯形法: (续) ,改进单纯形法: (1)若f(y(1))<f(x min), 则 若 那么y 取代x 否则, 取代x 若f(y(1))> f(y(2)), 那么 (2)取代 max; 否则, y(1)取代 max (2)若max{f(x(i))| x(i) ≠x max } ≥ f(y(1)) ≥ f(x min), y(1)取代 max . 取代x 若 3° 收缩:若f(x max )> f(y(1)) > f(x(i)), x(i) ≠x max ,计算 ° 收缩: 计算

运筹学与最优化方法习题集

运筹学与最优化方法习题集

一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。

（运筹学与控制论专业优秀论文）一类最优化问题的算法设计

（运筹学与控制论专业优秀论文）一类最优化问题的算法设计
ii
知识水坝为您提供优质论文
承诺书
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。
本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允 许论文被查阅和借阅,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
1.3 本文的主要内容
本文主要研究一类具有特殊形式的最优化问题，求解这一类最优化问题的全 局最优解，并应用到求解互补问题上。虽然目前已经有很多算法，但是我们考虑 到本最优化问题的约束条件是特殊的，因此可以利用约束条件的特殊性构造更为 简单有效的算法。
本文提出了一类新的函数，将它定义为半正定函数。利用这类函数将原问题； 分别转化为无约束最优化和含等式约束的最优化问，并分别设计了算法，进行了 数值实验，验证了算法的有效性。为了给出问题的全局最优解，我们又研究了算 法子问题的全局最优化算法，利用填充函数法来求解子问题。这样就保证了前面 设计的算法可以求得问题的全局最优解。最后，针对约束最优化问题（P），提出 了拟填充函数的概念，构造了一类拟填充函数并设计了算法。具体内容如下：
In this article we propose a new type of function, which is called a semi-positive function. We use this function to make another function, then we can turn the original problem into another one. We give algorithms and numerical results. Then we investigate the sub-problem. Also we propose the definition of quasi-filled function. We propose a quasi-filled function and design algorithm. It mainly contains the following six chapters:

多变量约束优化方法

多变量约束优化方法

多变量约束优化方法多变量约束优化问题是指在给定一组目标函数和一组约束条件下，通过调整多个自变量的取值，找到使目标函数最优化且满足约束条件的解。

这类问题在实际应用中非常常见，如工程设计、金融管理、运筹学、物流和供应链管理等领域。

传统的优化方法对于多变量约束优化问题求解存在一些问题，如计算复杂度高、易陷入局部最优解等。

因此，为了有效解决这类问题，研究者们提出了多种多变量约束优化方法，下面将介绍其中几种主流的方法。

一、线性规划方法（Linear Programming, LP）线性规划是最简单且常用的多变量约束优化方法之一、它的目标函数和约束条件都是线性的。

线性规划问题可以通过单纯形法（Simplex Method）或内点法（Interior Point Method）求解。

虽然线性规划方法的计算复杂度比较低，但它只适用于线性目标函数和线性约束条件的情况。

二、非线性规划方法（Nonlinear Programming, NLP）非线性规划方法可以处理目标函数和约束条件是非线性的情况。

常用的非线性规划方法有梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。

这些方法通过迭代的方式，在每一步计算目标函数在当前点的梯度，并根据梯度的信息调整自变量的取值，以逐步逼近最优解。

非线性规划方法的计算复杂度较高，但是可以处理复杂的实际问题。

三、遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种通过模拟生物进化过程的优化方法。

它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，逐步解空间中的最优解。

遗传算法具有全局收敛性和并行计算的特点，对于复杂的多变量约束优化问题有较好的适应性。

四、粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种通过模拟鸟群或鱼群的行为进行优化的方法。

在粒子群优化算法中，每个个体（粒子）的位置代表潜在解，速度代表解的方向。

粒子的位置和速度通过迭代的方式进行更新，直到找到最优解。

运筹学与最优化方法 第3版 第1章 运筹学思想与运筹学建模

运筹学与最优化方法 第3版 第1章 运筹学思想与运筹学建模

1.5基本概念和符号
2.多元函数及其导数
(1) n元函数：f (x): Rn R
线性函数：f (x) = cTx + b = ci xi + b 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b
= (1/2) aij xi xj + ci xi + b 向量值线性函数：F(x) = Ax + d Rm
其中， A为 mn矩阵，d为m维向量
F(x)=( f1(x), f2(x), … , fm(x) )T 记 aiT为A的第i行向量，f(x) = aiTx
1.5基本概念和符号
(2) 梯度（一阶偏导数向量）： f (x)＝( f / x1 , f / x2 , … , f / xn )TRn 线性函数：f (x) = cTx + b , f (x) = c
x , y 的距离： ‖x－y ‖= [(x － y)T(x － y)](1/2)
x 的长度： ‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝ Rn , x Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
lim
k
x(k)
=
x
lim‖x(k)
1.5基本概念和符号
规定：x , y Rn，x ≤ y xi ≤ yi ，i ； 类似地规定 x ≥ y，x = y，x < y , x > y 。
一个有用的定理
设 xRn，R，L为Rn 的线性子空间。 若 xTy ≤ , yRn 且 y ≥ 0， 则
x ≤ 0， ≥ 0 若 xTy ≤ , y L Rn ， 则

运筹学-最优化准备知识

运筹学-最优化准备知识

其中xi,yi(i=1,2,…,m)及jj(x)(j=0,1,…,n)为已知.
4
最优化问题

最优化问题的一般形式为:
P:
(1.1)(目标函数) (1.2)(等式约束) (1.3)(不等式约束)
其中x是n维向量. 在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取 相反数后统一成公式中求最小值的形式. 我们总是讨论

22
凸函数的几何性质

对一元函数f (x),在几何上a f (x1)+(1-a)f (x2) (0≤a≤1)表示连接(x1,f(x1)),(x2,f (x2))的线段, f(ax1+(1-a)x2)表示在点ax1+(1-a)x2处的函 数值,所以一元凸函数表示连接函数图形 上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方.
21
凸函数的例
例. 设f (x)=(x–1)2,试证明f(x)在(–∞,+∞)上是 严格凸函数. 证明:设x,y∈ R,且x≠y, a ∈ (0,1)都有 f (ax+(1-a)y)-(a f (x) +(1-a)f (y)) =(ax+(1-a)y-1)2-a (x-1)2-(1-a) (y-1)2 = –a (1-a)(x-y)2<0 因此f(x)在(–∞,+∞)上是严格凸函数. 例. 线性函数f (x)=cTx=c1x1+c2x2+· · · +cnxn 既是Rn上凸函数也是Rn上凹函数.
(ii) 若在D内G(x)正定,则f(x)在D内是严格凸函数.
32
凸规划

定义1.1.11 设D Rn为凸集,则f(x) 为D上的凸函数, 则称规划问题 min f(x) s.t. x ∈ D 为凸规划问题.

第4章最优化方法运筹学

回收的本利金相等)
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）

x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：

1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
Байду номын сангаасD
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资

第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义

第四章 非线性规划教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。

教学难点：约束最优化问题的最优性条件。

教学课时：24学时主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。

第一节 基本概念教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。

教学难点：无。

教学课时：2学时主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。

1、非线性规划问题举例例1 曲线最优拟合问题已知某物体的温度ϕ 与时间t 之间有如下形式的经验函数关系：312c t c c t e φ=++ （*）其中1c ，2c ，3c 是待定参数。

现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ，i=1，2，…,n 。

试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。

∑=++-n 1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i :,...,1),(;,...,1),();(==,如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=，其中，q n p n R R h R R g :,:，那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X x ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。

运筹学与最优化技术_吴沧浦

运筹学与最优化技术_吴沧浦专家文选运筹学与最优化技术吴沦浦一、运筹学与最优化技术的发展之间的联系作为具有相对独立性质的学科与技术，运筹学与最优化技术，其发展过程具有密切联系，并且彼此之间在其发展中起着相辅相成的作用。

在运筹学发展的初期，经典运筹学强调定量研究。

这里的定量研究主要包括两个方面:其一是对于作为研究对象的运筹系统作出定量的描述，该描述可以用数学模型或仿真模型表达;其二是给出能够定量地衡量运筹系统的运作的优劣程度的效力度量，该度量必须能够明确地显示出它自身与系统的决策(控制)变量之间的依赖关系。

经典运筹学之所以强调定量研究，其目的在于使决策与对于其所能选择或控制下的决策变量作出最优的选择。

这里的最优是在下述的意义下理解的，即该选择能够使上述的效力度量达到最大值或最小值。

由于在经典运筹学中，效力度量是以实数表示的，而且它能定量地反映运筹系统的运作的优劣程度，因而上述意义下的最优性是有意义的。

由此不难理解，最优化技术成为经典运筹学中的主要工具，后者成为前者发展的主要推动力;反过来，最优化技术的发展又在运筹学经历了从经典运筹学到现代运筹学的进化中起了重大的作用。

在运筹学的奠基性专著—莫尔斯与金博尔合著的《运筹学方法》中，专门辟出一章论述效力度量的使用。

人们由此可以看到最优化技术在经典运筹学中所占有的重要位置。

另一方面，从国际运筹学会联合会所举办的最近两届(1996年于加拿大温哥华、1999年于中国北京)运筹学国际会议上发表的论文，以及新近出版的有关专著，例如，由美国普渡大学教授拉丁的《运筹学的最优化》及印地安那大学教授温斯顿的((运筹学:应用与算法》中，人们可以明显地看到，尽管时过半个世纪，最优化技术在现代运筹学中仍然起着举足轻重的重要作用。

二、最优化技术的发展在文学界和艺术界，存在一种流传颇广的看法，即在文学和艺术中，存在一些“永恒”的主题，例如，善与恶之间的斗争、真理与谬误之间的斗争、人与人之间的博爱(友情、爱情等)。

运筹学第15讲 约束最优化方法 (1)

2
⎛1 ⎞ (2) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
第六章
6.1 Kuhn-Tucker 条件
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
m ⎧ ⎪ ∇ f ( x ) − ∑ u i∇ g i ( x ) = 0 i ⎪ u i ≥ 0 , i = 1,2 ,L , m → ⎨ ⎪ u ig i( x ) = 0 ⎪ ⎩
< 寻找下降可行方向： 定理 1：设 其中 x 是可行解，在
1 2
6.2 可行方向法
一、解线性约束问题的可行方向法 （续）
d x 处有 A 1 x = b 1,A
2
x > b2,
⎛ A A = ⎜ ⎜A ⎝
⎞ ⎛ b1 ⎟ ⎜ ， b = ⎟ ⎜b ⎠ ⎝ 2
⎞ ⎟ ⎟ 。则非零向量 ⎠
d 为 x 处的下降可行
g3=0 x2 2 1 1
▽g2(x*)
第六章
例
-▽f(x*) (3,2)T
x* 2 3 g1=0
▽g1(x*)
4
g4=0 x1 g2=0
6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
在 x *点 ⎧ g 1 ( x1 , x 2 ) = 0 ⎨ ⎩ g 2 ( x1 , x 2 ) = 0
∗ ∗ ∗பைடு நூலகம்
第六章
6.1 Kuhn-Tucker 条件
三、一般约束问题的Kuhn-Tucker 条件 (续)
如果 x ∗ − l .opt .那么 ∃ u i∗ ≥ 0 , i ∈ I , v ∗j ∈ R , j = 1, 2 , L , l ∇f (x ) −
∗
∑u
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得

解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即

35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.

28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).

借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.
27
Kuhn-Tucker必要条件
当所有的有效约束 的乘子都不为零时, 称互补松弛条件为 严格互补松弛条件.
则x*为上述问题的严格局部最优解.
32
凸规划问题的充分条件

凸规划问题
其中f(x)为凸函数,ci(x)(i∈I)为凹函数.
定理1.3.3. 设上面的凸规划问题中f(x)和 ci(x)(i∈I)为可微函数,若x*为该问题的KT 点,则x*为其整体最优解.
33
例题(KT点)

例 已知约束问题
试验证最优点 x*=(1,1,1)T为KT点. 解 I*={1,2}
17
Fritz-John一阶必要条件

证明概要(续)根据Gordan引理,存在不全为零 的数l0*≥0, li*≥0(i∈I*),使得
对于i∈I \ I*,只要令li*=0,即可得到Fritz-John 条件.
18
例题(Fritz-John条件)
例5.1.1 min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0

22
Kuhn-Tucker一阶必要条件
定理1.2.3 设 (i)x*为上述问题的局部最优解, 有效集 I*={i|ci(x*)=0,i=1,2,· · · ,m}; 满足左边的 (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; 条件的点称 (iii)对于i∈I*的 线性无关, 为KT点. 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得 m+n维向量 称为KT对. 向量l*称为Lagrange 乘子向量.
30
一般约束问题的最优性条件

m+n维函数
称为前述问题的Lagrange函数. KT条件的第一式 可以写为 其中l*称为Lagrange乘子向量. 矩阵 称为Lagrange函数在 处的Hesse矩阵,记为
31
二阶充分条件

定理1.3.2 设f(x)和ci(x)(i∈E∪I)是二阶连续 可微函数,若存在x*∈Rn满足 (i) 为KT对,且严格互补松弛条件成立; (ii)对子空间 中的任意d≠0,有dTw*d>0,
8
等式约束问题的二阶充分条件
定理1.1.2 在上面的等式约束问题中,若 (i)f(x)与ci(x)(1≤i≤l)是二阶连续可微函数 (ii)存在x*∈Rn与l*∈Rl使得Lagrange函数的 梯度为零,即 (iii)对于任意非零向量s∈Rn,且 均有

则x*是上面问题的严格局部极小点.
9
这种方向都不是 下降方向,因此
14
Gordan引理
引理2. 设a1,· · · ,ar是n维向量,则不存在向量 d∈Rn使得 aiTd<0(i=1,· · · , r) 成立的充要条件是,存在不全为零的非负实数 组l1,· · · ,lr,使
15
Fritz-John一阶必要条件
证明概要 设x*处的有效集为 I*=I(x*)={i|ci(x*)=0,i=1,2,· · · ,m}. 对于无效约束,由于ci(x)>0,若定理的结论成 立,显然有li*=0. 定理结论可以描述为存在l0及li(i∈I*),使得

则存在一组不全为零的数
使得
6
等式约束问题的一阶必要条件
对于上述问题,引入n+l元的Lagrange函数

其中c(x)=(c1(x),· · · ,cl(x))T,l=(l1,· · · ,ll)T. 称l为Lagrange乘子向量. Lagrange函数的梯度为
7
等式约束问题的一阶必要条件
因此无约束问题min L(x,l)的最优性条件
令 得l1= -2,l2=2,即 对于无效约束,可取li*=0, 故x*=(1,1,1)T为KT点 . 34
§5.2 罚函数法

对于一般的约束优化问题
一种常用的方法是将其转化为无约束问题. 其中的约束转化为目标函数的一部分. 满足约束时,对应的函数值很小; 不满足约束时,对应的函数值很大——”惩罚”. 在求解过程中,为使得总的目标函数值最小,得 到的解一般会满足约束. 这类方法一般称为罚函数法.
2
5.1.1等式约束问题的最优性条件
问题 考虑n=2,l=1的情况.c1(x)=0表示二维平面的一 条曲线.最优点满足约束,必落在这一曲线上. 在最优点处作曲线的切线. 考虑f(x)在最优点处的负梯度方向

3
等式约束问题的最优性条件
-g* f(x)=f*
x*
c1(x)=0
若–g*与上述切线不垂直,则可以在曲线上移动充 分小的距离,使 f 的函数值下降. 这与”最优点”矛盾.因此梯度方向与切线垂直. 或,f(x)在最优点处的梯度方向就是c1(x)=0在该点 处的法向. 而c1(x)=0在该点处的法线方向为 因此,存在数l1,使得
4
等式约束问题 的最优性条件
如果n=3,l=2,约束曲线在三维 空间中曲面c1(x)=0和曲面 c2(x)=0的交线.
同样可以说明(-)g*与曲线的切线垂直. 因此,曲面在x*处的法向量 梯度向量g*共面. 存在数l1, l2,使得 与
Hale Waihona Puke 5等式约束问题的一阶必要条件
定理1.1.1(一阶必要条件) 若(i)x*是上述问题的局部最优解; (ii)f(x)与ci(x)(i=1,2,· · · ,l)在x*的某邻域内连续可微; (iii) 线性无关
等式约束问题的二阶充分条件

定理1.1.2的几何意义 是,在Lagrange函数 L(x,l)的驻点处,若 L(x,l)函数关于x的 Hesse矩阵在约束超曲 面的切平面上正定(不 要求在整个空间正定), 则x*就是严格局部极 小点.
s
10
5.1.2不等式约束问题的最优性条件
定义1.2.1 若上述问题的一个可行点 使得某个 不等式约束cj(x)≥0中的等号成立,即 则该不等式约束cj(x)≥0称为关于 的有效约束. 否则,若对某个k,使得 则该不等式约 束ck(x)≥0称为关于 的非有效约束. 称所有在 处的有效约束的指标组成的集合. 为 处的有效(约束)集
24
Farkas引理的几何说明
考虑二维空间中两个向量a1,a2. 满足a1Td≥0的方向d的范围(黄色) 满足a2Td≥0的方向d的范围(紫色) 同时满足上面两个条件的d(黑色) a 要与上述黑色区域的方向交 1

a2
角为锐角的方向应在a1与a2 两个方向之间(红色). 从而可以表示为这两个向 量的非负的线性组合.
注:有时我们也将等式约束也视为有效约束.
11
Fritz-John一阶必要条件

定理1.2.2 设x*为上述问题的局部最优解且 f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微,则存在非零向量 l*=(l0*,l1*,· · · ,lm*)使得
满足上面的条件的点称为Fritz-John点. 上面的条件仅仅是必要条件.
本引理表示：在最优解处不存在下降的可行 方向.
13
因为x*是局部最优解,在”指向有效约束的内 部的方向中”不含f(x)的下降方向.
如图显示的是三 个约束的例子 其中c3(x)≥0为无效约 c1(x)≥0, 束, c2(x)≥0为有效约束. 黑色部分为可行域. 由最优点指向可行域内 部的方向d都具有性质
12
引理 1. 在不等式约束问题中,假设
(i)x*为问题的局部最优解,且 I*={i|ci(x*)=0,i=1,2,· · · ,m}; (ii)f(x)和ci(x)(i∈I*)在x*可微; (iii)ci(x)(i∈I \ I*)在x*连续;则G∩S=f. 其中 表示下降方向
表示指向可行域内部的方向
25
Kuhn-Tucker必要条件
显然,由Fritz-John条件立刻可以推出KuhnTucker条件. 另一证明思路: x*处不存在可行下降方向,即若d(≠0)∈Rn,且