未定式极限计算25页PPT

f(x)
f (ξ )
lim lim
A.
x x0 g(x) ξ x0 g'(ξ )
注： 如果 f (x) 仍属 0 型，且 f (x),g'(x)满足
g'(x) 0 定 理 的 条 件 ， 可 以 继 续使 用 洛 必 达 法 则 ， 即
lim f(x) lim f (x) lim f (x) A(或).
lim
x0
cos bx cos ax
1.
例 求 lim tan x .( ) x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3 sec 2
x 3
x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos3x sin 3x
3 x 2cos x sin x
2
lim sin 6x x sin 2 x
(1)lim f ( x) x x0
lim g( x)
x x0
(2) f (x) 和 g( x) 在x0的某一去心邻域内存在,且
g(x) 0
(3) lim f (x) A(或) xx0 g(x)
型
则有 lim f (x) lim f (x) A(或） xx0 g ( x) xx0 g( x)
微积分讲课提纲
微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@
第三章 微分中值定理及导数的应用
第二节 未定式的极限
一、0 型 未 定 式 的 极 限 0
二 、 型 未 定 式 的 极 限
三、其他类型未定式的极限
我们知道：两个无穷小量或两个无穷 大量的商的极限，随着无穷小量或无穷大 量的形式不同，极限值可能存在、也可能 不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷 大量，为此，我们称这类极限为“不定型”, 记为:0 或 .

注：
f ′( x) 0 如果 仍属 型，且 f ′( x), F ′( x) 满足 F ′( x) 0
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim = L. x →a F ( x ) x → a F ′( x ) x → a F ′′( x )
定理的条件，可以继续使用L'Hospital法则，即
0 . ( ) 0
解
例4 解
1 − 2 x2 = 1. 原式 = lim 1 + x = lim x → +∞ 1 + x 2 x → +∞ 1 − 2 x ln sin ax ∞ . ( ) 求 lim x→0 ln sin bx → ∞ a cos ax ⋅ sin bx 原式 = lim x → 0 b cos bx ⋅ sin ax cos bx = lim = 1. x → 0 cos ax
ln(1 + x ) 2 、 lim =___________. x →0 x
ln tan 7 x 3 、lim =____________. x → 0 ln tan 2 x
二、用洛必达法则求下列极限： 用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； π ( π − 2 x )2 x→
∞
原式 = lim e
x →1
=e
ln x x → 11− x lim
=e
1 lim x x →1 −1
=e .
例11 解
−1
求 lim+ (cot x )
x →0
1 ln x
.
( ∞0 )
=e
1 ⋅ln(cot x ) ln x
1 − ⋅ 2 1 Q lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim cot x sin x x → 0 ln x 1 x → 0+ −x x = lim+ = −1, x → 0 cos x ⋅ sin x ∴ 原式 = e −1 .

1, x 0
求f(x)在0处的左极限，右极限。极限是否存在？
二 函数的极限
• 练习/作业：
• 1.如果有极限，写出极限
xn

1

(
2n )
3
xn

2n 1 4n 2
xn (1)nn
xn

n 1
n2
二 函数的极限
• 2.观察下列函数的变化趋势，如果有极限，写 出极限值
(1)lim(x28) x2
• 1.x→时 f(x)→A
如果当x的绝对值无限增大时，函数f(x)无限趋于一个常
数A，则称当x→ 时函数f(x)以A为极限，记作
limf(x)A x
2.x→ -时 f(x)→A
如果当x的绝对值无限增大时，函数f(x)无限趋于一个常
数A，则称当x→- 时函数f(x)以A为极限，记作
limf(x)A
x
lim e x 0
x
lim e x (不存在 ） x
二 函数的极限
x • 2. x 时函数的极限
• 引例
0
考察函数
x 2(
f (x)
2 4，) 当x分别从左边和右边
x2
趋于2时的变化情况，看下表
二 函数的极限
x • 定义 设函数y=f(x)在 的某个邻域内有定义，如果当x 0
(3)limln x
0 x
(2)limex x
(4)
lim x
1
x2
二 函数的极限
3.
f (x) 2xe2x,02, xx01

2, x 1
求f(x)在x=0,x=1处的左右极限，极限
x 4.设 f (x) 21,x0 x,x0

x 0
1 x
.
如果先令 x t，x 0 时，t 0 ,因此
ln t 1 t
1 2 lim
x 0



2
x 0
lim

x ln x lim
x 0

2 lim
x 0
ln t

1 t
t 1 t
2
0.
例8 求 lim (
x 1
x x 1

1 ln x
).
. 解 为 型，先将所给函数变形
f ( x ), x a, F ( x) x a, 0, g ( x), x a, G ( x) x a. 0,
仿上述推证可得
xa
lim
f ( x) g ( x)
Байду номын сангаасim
F ( x)
x a G ( x)
lim
F ( x)
x a G ( x )
x 0
x sin x cos x
x


lim
x 0
lim
x 0
1

sin x
cos x
1 .
例6 求 lim
解 为

e
x
x
.
x
型，由洛必达法则有
e
x
x
lim
lim
e
x
x
x
.
1
三、可化为
xa ( x )
0 0
型或

型极限
xa
那么
x
lim
f ( x) g ( x)
lim

g( x) x 未定式极限的计算
x
x
关键:将其它类型未定式化为L’Hospital法则可解决的类型
.
练习题
一 、填 空题：
1 、 洛 必 达 法 则 除 了 可 用 于 求 “ 0 ”， 及 “ ” 两 种
0
类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____________， _____________， ____________，
思考题解答 关键:将其它类型未定式化为L’Hospital法则可解决的类型
解设
取对数得
.
解设
取对数得
第二节
不一定． 未定式极限的计算
关键:将其它类型未定式化为L’Hospital法则可解决的类型
.
注意：L’Hospital法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例 f(x)xsix ,n g(x)x 解 设
x
ln x xn
(n>0)。
1 解 ： x l l x i n x n m x l n i x n 1 m x l x n i 1 n m 0 。 x
例14．
lim
x
xn e x
(n
为正整数，>0)。
解 ： l x n i l m n n i 1 l m n x ( n i 1 ) x n 2 m
lim
1,
x
x0coxssinx
原式 e1.
注意：L’Hospital法则的使用条件．
例12 解
求limxcoxs. x x
原式 lim 1sin x x 1
lim (1six n ). x
L’Hospital法则失效. 极限不存在 原 式 lim (11cox)s1.

注意：不能对数列直接用罗必达法则！
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可见：罗必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
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注意事项：
0 注1 用罗必达法则时首先检验是否为 或 型, 0 其他条件可在计算过程中检验。
例5
x
lim
ln x , ( 0). x
( )
e 1 .
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例14 求极限 lim 解
x
x
x.
1
( 0 )
1 x ln x
x
lim
x
x lim x x lim e x x

ln x lim e x x
e x
n
lim
1/ x 1
1
1 求 lim (ln ) x ( 0 ) x0 x x 1 1 设y ln , 则 ln y x ln ln 解 x x 1 ln ln 又 1 lim ln y lim x ln ln lim x t 1 x 0 x0 1 x x 0 x 1 1 x ln ln t lim lim ln t t 0 t t t 1
xn x (n为正整数). x e lim 原式 lim
例6 解
( )
nx n1 n! lim x 0 x x e x e
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下页
2
例7 解
x x , ( 0). x e n n1 lim
二、0 , ,00 ,1 , 0型未定式解法
注2 当分子，分母求导后，如有公因子，应及 早约去；如出现乘积因子的极限非零则要 用乘积的极限定理将其分离出来；用等价 无穷小代换及极限的其他性质可简化计算。 注3 一旦遇到不再是 或 型的时候，应及时终止

x x
x 1
lim
x sin x
lim
(1
sin
x )
1.
x x
x
x
ห้องสมุดไป่ตู้容小结
洛必达法则
型
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
本节课完结
x
1 x2 1
x2
x2
lim
x
1
x2
lim
x
1
1 x2
1
1.
二、
型未定式
定理3. 设 (1) lim f ( x) , lim F( x) ;
xa
xa
(2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
f ( x)
(3)
lim
xa
F
(
x)存在
(或为∞),
则 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
x
x0 x
2
lim (secx 1 ).
x
1 sin x
2
问题: 这些极限是否存在?是什么数值?
一、0 型未定式
0 定理1. 设函数 f (x), F (x) 满足:
(1) lim f ( x) 0, lim F( x) 0;
xa
xa
(2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
F(x)
(2)
f (x) F(x)
F( x) .
1
0
f (x)
例9. 求
lim xn ln x
x0
(n 0).
(0 )

2
x→0
lim+ (cot x )
1 ln x
09-10-2作业讲评 作业讲评6 作业讲评
表扬： 表扬： A +
有进步 周祁 02-3
苏洁 张海 02-4
顾敏 曹旻灿 孙小刚 鲁求辉 杨奕峰 02-5
林元载
施杨梅 王丹 李少芳 李婷婷 杨德石 陈飞翔 王海锋 王明绍 胡长国 02-6
魏轶凡 04； 唐思磊 12； 黄燕燕 14 ； ； 杨勇 19； ； 吴双堂 21； 王丰 26 ；
1− ln(1+ x )−1 = e⋅ lim 2x x→0
0 0
e ln(1+ x ) e = − ⋅ lim =− . 2 x→0 x 2
(1 + x ) − e e ∴ lim =− . x→0 x 2
1 x
思考： 二阶可导， 思考： f ( x ) 二阶可导，证
f ( x + ∆x ) + f ( x − ∆x ) − 2 f ( x ) f ′′( x ) = lim ． 2 ∆ x→ 0 ( ∆x )
∆ x→ 0
lim f ′′( x − ∆x ) ？
ln cos x lim EXE ∞ ． 2） “ x → π”型 5 x ） ln cos
∞
2
ln x 例 10 求 (1) lim = 0 （ α>0 ） α x →+∞ x xα ln (2) x lim x = 0 （ a > 0, a ≠ 1 ） ． (1) lim （ α> 0 ） ； α x →+ ∞ a x →+∞ x
f ′( x ) 0 f ′′( x ) EXE 存在， 若极限 lim 仍为 型 ，而极限 lim 存在，则 π 0 g arctan x x → x x g ′( x ) x→ x − ′′( x ) x

x x x x
∴ f ( x ) 和 g ( x ) 在 点 x 连 续 。
x N ( x , ) ， 则 f ( x ) 和 g ( x )在 [ x ,x ] 或 [ x ,x ] 上
满 足 柯 西 定 理 的 条 件 。
∴ g f ( ( x x ) ) f g ( ( x x ) ) g f ( ( x x ) ) g f ( ( ) ) （ 介 x 与 x 于 之 间 ） ∵ 当 x x 时 ， x ， ∴ lf ( i x ) l m f i ( ) l m f i ( x ) A m ( 或 ) 。
4x2x 4x 2 8
2
2
1
例 3 ． 求 l ( 1 x ) i x e . m x 0 x
解 ： x l 0 ( l1 n 1x (x ) x1 x ) i e xxli lmn01(e1xm xln)(1xx) e 00 xlim0[e ln(1x x) ]
lime
x0
x
1x
1
x2
2
0
解 ： x l t i t 3 x x m a a x l c i c n n 3 x x m 0 o x o l i 3 c c t t m 2 2 3 x x s sc c
2
2
2
3 x l s s 2 2 3 x x i 3 。 i i m n n
2
5 .
（ 1 ） x l l x x （ i 0 ） n 1 m 解 ： x l l x i x ＝ n m x l i x x 1 m x l i x 1 0 m 。
逐 次 应 用 洛 必 达 法 则 ， 直 到 第 n 次 ， 有
x lim ax xx lim axx l na1