极限的运算法则 ppt课件

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高等数学-极限运算法则PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

解
解
商旳法则不能用
由无穷小与无穷大旳关系,得
解
(消去零因子法)
解：原式
又例 : 求
解
(无穷小因子分出法)
解
先变形再求极限.
推论 2 . 有限个无穷小旳乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
利用定理 2 可知
阐明 : y = 0 是
旳水平渐近线 .
二、极限运算法则
定理 3
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
思索：
是否存在 ? 为何 ?
答: 不存在 .
不然由
利用极限四则运算法则可知
存在 ,
矛盾.
问
是否一定不存在 ?
时, 对
型 , 约去公因子
时 , 分子分母同除最高次幂
“ 抓大头”
作业
P30 1 (2), (3),(8), (9),(12), 2 (2), 3 , 5
结论：
2.已知分式函数
若
则
若
求
去公因子再求
1.已知多项式
则
一般有如下成果：
为非负常数 )
求极限措施举例
所以
一般有如下成果：
为非负常数 )
例9. 求
解: 令
∴ 原式 =
例10 . 求
解: 措施 1
则
令
∴ 原式
措施 2
例11.
解:
求
故
内容小结
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限旳措施
分式函数极限求法
时, 用代入法
( 要求分母不为 0 )

《极限的运算》课件

重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、减法、乘法和除法。在运算过程中，无穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础，通过判断函数在某点的极限是否存在，可以进一步研究函数的性质和变化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如唯一性、局部有界性、局部保号性等。
这些性质在研究函数的极限行为时非常重要，可以帮助我们推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入理解极限的概念和应用极限的方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。

极限的四则运算PPT教学课件

• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定义,是否等于在这一点处的函数值无关.故本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分解因式约去 “ 零因子” 或根式有理化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim

极限运算法则课件

减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$，则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$，使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$，则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$，使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$

CH13-极限的运算ppt课件

( )( ) 2 2
.
8
x2
练习计算 lim
.
x0 2 x2 4
解采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用解 x 1 时 ,分子 ,分母的极限都是零 .( 00 型 ) 先约去分子和分母的公因子 ( x 1 ) 后再求计算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx

15极限的运算法则-PPT精选文档

讨论若 P ( x ) a 0 x n a x l x 0 P i ( x ) m ? 提示 x l x 0 P ( x ) P ( i x 0 ) m
例例2 2 求 x l 2 x 2 x 3 5 x i 1 3 m
山东农业大学
求极限举例
高等数学
主讲人：苏本堂
例例1 1 求 l ( 2 x i 1 ) m x 1 解 l( 2 i x 1 ) m l2 x i l m 1 i 2 l m x i 1 2 m 1 1 1 x 1 x 1x 1x 1
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
证明设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|1}内有界即M0 使当0|xx0|1时有|u|M
又设是当xx0时的无穷小即0 存在20 使当 0|xx0|2时有||/M
x l 3 1 1 i m l ( x 3 ) 6 i m
x 3
例例4 4 求 x l 1 x 2 2 x 5 x i 3 4 m
解解 x l 2 x 2 i x 3 5 x 1 m 3 l x l x 2 ( x 2 2 i ( x 3 i 5 x 1 ) m 3 ) m 2 2 2 3 1 1 3 7 3
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例例3 3 求 x l 3 x x 2 3 9 i m
(其中 , 为无穷小)
于是 f ( x ) g ( x ) ( A ) ( B )

高等数学第一章第五节极限运算法则课件.ppt

u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )

高数极限运算法则课件

极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在该点的极限也存在，且等于被减数函数极限与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时，泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公式将其展开为多项式形式，从而简化求极限的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N，使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果函数$f(x)$是无穷大量，且函数$g(x)$是有界量但不为零，那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性、同阶无穷大等性质，可以通过取对数等方法转化为无穷小量进行计算。

极限运算法则【高等数学PPT课件】

3
( x 2)( x 1)

lim
x1
(
x

1)(
x2

x

1)
x2

lim
x 1
x2

x

1
1
定理7 （复合函数的极限运算法则）
设 lim uu0
f (u)
A,函数u ( x)当x

x0时的极限存在
0
且等于u0，即
lim
x x0
(
x)

u0
,
但在U
(
x0
)内(
x)
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
(3)
lim
f
(x)

A ,
其中B 0.
g(x) B
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
例1
求
lim
例6 求 lim sin x . x x
解当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x

极限四则运算PPT教学课件

p n
n
n
3）利用1),2)的结果，说明圆面积公式S R2
例6：1）已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图，在直角坐标平面内，动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位，到达P点，接着沿y轴 1
lim l k l k n
a0nl a1nl1 al b0nk b1nk1 bk
a0 b0
不存在
练习：P88 1，2
P90 1，2
例3:求下列极限
1 23 n
lim n
n2
1/2
lim [ 4 7 3n 1 ]
n n(n 1) n(n 1)
n(n 1)
3/2
lim [ 1 1
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1：求下列函数的极限。
பைடு நூலகம்
1、lim x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
２、lim x1
x 11 x2
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan
2x
•
tan(
4
x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x
数列极限的四则运算：
如果
lim
a n

高等数学课件1-6极限的运算法则

n
1 2

1 4
2
...
2
1 2
n
)
2、 lim
( x h) x h
h 0
3、 lim (
x1
1 1 x

3 1 x
3
)
$1-6极限运算法则
21
4、 lim
1 x 3 2
3
x 8
x
x x x)
5、 lim (
x
x
x x
6、 lim
2 4
x1
lim
x 2x 3
2
x1
4x 1

0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系,得
lim 4x 1 x 2x 3
2 x1
.
$1-6极限运算法则
7
例3 求 lim
x 1
2
x1
x 2x 3
2
.
（与P60例2同类）
.
解 x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
例5 求 lim 解x
2x 3x 5
3 2
x
7x 4x 1
3 2
.
（与P61例6同类）
.
时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大
3
(

型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限 .
lim
2x 3x 5
3 2
2 lim
x
3 x 4 x

lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
类似有数列极限的四则运算法则（P59Th 6)

高等数学的教学课件1-5极限的运算法则

x2 lim
x1 x 2 x 1
(消去零因子法)
1
例10 求 lim x[ x2 2x 3 ( x 1)] ( 0 型 ) x
解 x 时, 两个因子的极限分别是 0、.
通过分子有理化，先将极限式变成分式，然后再求极限。
原式 lim x[( x2 2x 3)2 ( x 1)2 ] x [ x2 2x 3 ( x 1)]
lim
lim
x 1 x1
x1
( x 1)
lim( xn1 xn2 1) x1
(消去零因子法)
n (典型极限，当n是任何实数时均成立)
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型未定式)
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
则有： lim x x0
f (x)
f ( x0 )
2.极限求法;
b.消去零因子法; c.无穷小因子分出法; d.利用无穷小运算性质; e.利用左右极限求分段函数极限.
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
二、求极限方法举例
一个结论：
如果f (x)是基本初等函数, x0为定义区间内点，
则：lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f (x) x x0
综合上述定理，就可以求一些简单的极限.
例1
求
lim
x2
x
2

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xx0
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
思考题
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
2.设 f(x)Q P ((x x)),且 Q (x0)0, 则有
(A B ) 0.
(2)成立 .
f (x) A A A B A B A 0 . g(x) B B B B(B )
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
例2 求 lx i1m x24x2x13.
解 li(m x22x3) 0, x 1
注意：商的法则不能用
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
推论1 如l果 im f(x)存,在而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im f(x)存,在而 n是正,整则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
二、求极限方法举例
例1 求lx i2m x2x33x15.
解 n时,是无穷小之先和变．形再求极限.
12 n 1 2 n l n i ( n 2 m n 2 n 2 ) l n im n 2
1
n(n 1)
lim2 n
n2
lim1(11) n2 n
1 2
.
例6 求limsinx. x x
解当x时,1为无穷 , 小
x
而sinx是有界函 . 数
x 0
x 0
左右极限存在且相等,
故 lim f(x)1. x 0
y
y1x
1
o
yx2 1 x
复合函数极限运算法则(P27)
定理
设函数y=f(u)及u=(x)构成复合函数y= f [(x)], 在x0某个去心邻域, 若
li m (x)a, lifm (u )A
x x0
u a
且(x) a, 则复合函数y= f [(x)]在 xx0时的极限为
第二节极限的运算法则
一、极限的运算法则二、求极限的方法举例三、小结思考题
主讲：唐辉成
一、极限运算法则
定理设limf (x) A,limg(x) B,则 (1) lim[f (x) g(x)] A B; (2) lim[f (x) g(x)] A B; (3) limf (x) A, 其中B 0. g(x) B
2 7
.
(无穷小因子分出法)
小结:当 a00,b00,m和 n为非负整数
lx im ab00xxmnab11xxm n11banm
0ab,00当 ,当 nnmm , , ,当nm,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例5 求 ln i (m n 1 2n 2 2n n 2).
limx1 1 . x1 x3 2
(消去零因子法)
例4 求 lx i m 2 7x x3 3 3 4x x2 2 1 5. 解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3去用除分 ,分子出,分再无母求穷 . 极小限
35
lx i m 27xx33 34xx22 15lx i m 72 4xx xx133
解 li(m x23x5)lix m 2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23 lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2 232530,
lx im 2x2x33x15lilxmi(m2xx233lxxim 215)
23 1 3
7 3
.
x2
小结: 1 . 设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n , 则有
由无穷小与无穷大的关系,得
lx i1m x24x2 x13.
例3 求lx i1m x2x22x13. 解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0 是型 )零
0
先约去不为因零x子的 1后无再穷求 .小极
lx i1x m 2x 2 2 x 1 3lx i1((m x x 1 3 ))x x (( 1 1 ))
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f(x)g(x)有极限， f(x)有极限，
由极限运算法则可知：
证 lf ( i x ) A m , lg ( i x ) B m . f ( x ) A ,g ( x ) B .其 0 , 中 0 . 由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B ) 0.(1)成立.
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B ) (A )B ( ) AB
lifm [(x) ]lifm (u )A .
x x0
u a
计算复合函数的极限的方法：
如果要计算复合函数 limf[(x)]当xx。 xx0
时的极限，应先求当xx。中间变量(x)
的极限，若 lim(x)a ,再求u→a时
f(u)的极限 limxxf0(u)，综上而得极限
limf[(x)u ]a
limsinx0. x x
y sin x x
例7 设 f(x ) x 1 2 x 1 ,, x x 0 0 ,求 lx i0fm (x ).
解 x0是函数的 ,两分个段单点侧极
lif m (x ) li(1 m x ) 1,
x 0
x 0
lim f(x )li(m x 2 1 ) 1,