【数学10份汇总】江苏省淮安市2020年高一数学(上)期末模拟试卷
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2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1.已知a r 与b r 的夹角为120o,3a =r ,13a b +=r r ,则b =r ( )A.4B.3C.2D.1 2.已知函数的零点是和(均为锐角),则( )A.B. C.D.3.已知函数()f x =sinx 与()cos(2)()22g x x ππϕϕ=+-≤≤的图象的一个交点的横坐标为4π,则ϕ=( ) A .-2π B .-4π C .4π D .2π 4.已知函数()y f x =在区间(-∞,0)内单调递增,且()()f x f x -=,若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .b c a >>B .a c b >>C .b a c >>D .a b c >>5.空间直角坐标系O xyz -中,点(1,1,2)M -在,,xOy xOz yOz 平面上的射影分别为,,A B C ,则三棱锥M ABC -的外接球的表面积为( )A.4πB.5πC.6πD.7π6.若函数2|1|1()2ln 1x f x x x e+=+-+,则不等式(31)(2)f x f ->的解集为( ) A .(1,1)-B .(4,2)-C .(,1)(1,)-∞-+∞UD .(,4)(2,)-∞-+∞U7.在ABC ∆中,5cos 2C =,BC=1,AC=5,则AB= A .42B .30C .29D .258.已知点()2,1A -,点(,)P x y 满足线性约束条件20,10,24,x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点,那么OA OP ⋅u u u r u u u r 的最小值是 A .11B .0C .1-D .5-9.函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示,则A .2sin(2)6y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .2sin(+)6y x π=D .2sin(+)3y x π=10.设函数()f x x =-,()()2lg 41g x ax x =-+,对任意1x R ∈,都存在2x R ∈,使()()12f x g x =,则实数a 的取值范围为()A .(],4-∞B .(]0,4C .(]4,0-D .[)4,+∞ 11.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是( ) A .B .C .D .12.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A .3(0,] B .3(0,]4C .3[,1) D .3[,1)4二、填空题 13.如图,矩形中,,⊥平面,若在上只有一个点满足,则的值等于________.14.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点F 是线段1BC 上的动点,则直线1A F 与平面1BDC 所成的最大角的余弦值为________.15.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有弧长为43π米,半径等于2米的弧田,则弧所对的弦AB 的长是_____米,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.16.已知等差数列{}n a,{}n b的前n项和分别为n S,n T,若13nnSnT n+=+,则241524a ab b b b+=++______.三、解答题17.如图,在四棱锥P ABCD-中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形.(Ⅰ)证明:AC⊥平面PBD;(Ⅱ)E为楼PB上一点,若//PD平面ACE,60BAD PAD∠=∠=︒,2AB=,6PD=,求三棱锥P ADE-的体积.18.已知函数()()2221xxmf x m R--=∈+.(1)当3m=时,判断并证明函数()f x的奇偶性;(2)当1m>时,判断并证明函数()f x在R上的单调性.19.如图,在四棱锥P ABCD-中,四边形ABCD为平行四边形,090BAP CDP∠=∠=,E为PC中点,(1)求证:()2()22f x b x x≥-+平面EBD;(2)若PAD∆是正三角形,且PA AB=.(Ⅰ)当点M在线段PA上什么位置时,有DM⊥平面PAB?(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,点N在线段PB上什么位置时,有平面DMN⊥平面PBC?20.如图一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.()1试用x 表示圆柱的高h ;()2当x 为何值时,圆柱的全面积最大,最大全面积为多少⋅21.已知四边形ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直,AD DC ⊥,//AB DC ,12AB AD DC ==.(1)证明:BC ⊥平面BDE ; (2)M 为线段AD 上的点,且12AM MD =,N 是线段DE 上一点,且12DN NE =,求证://MN 平面BCE .22.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26a =,,求n a 和n S .【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B A C C A D A D AA13. 14.1315.2313216.34三、解答题17.(Ⅰ)证明略;(Ⅱ)2418.(1)略;(2)略.19.(1)详略;(2)(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时;(Ⅱ) 当14PN PB =时.20.(1)3(1),01h x x =-<<(2)max 39,44x S π== 21.(1)略;(2)略 22.或.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1.下列命题中错误..的是( ) A .若,a b b c >>,则a c > B .若0a b >>,则ln ln b a < C .若a b >,则22a b >D .若a b >, 则22ac bc >2.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AA =,2AB AD ==,E ,F 分别是BC ,DC 的中点则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值为( )A.10B.15 C.35D.453.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为( ) A .1:3B .3:1C .2:3D .3:24.己知等差数列{}n a 的公差为-1,前n 项和为n S ,若357,,a a a 为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120︒,则n S 的最大值为( ) A .25 B .40C .50D .455.若()452log xxf x =+,则()25(f = )A .2B .92C .48log 3+D .176.如图所示,平面内有三个向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r 、、,其中OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为120o,OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为30o,且1,3OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ,若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则(λμ+= )A .1B .2C .3D .47.已知将函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭向右平移12π个单位长度后,所得图象关于y 轴对称,且2(0)2f =,则当ω取最小值时,函数()f x 的解析式为( ) A .()cos 54f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .()sin 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .()cos 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .1()cos 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8.圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是( )A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm9.已知函数22()log f x x x =+,则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为( )A.(,1)(3,)-∞-+∞UB.-∞-+∞U (,3)(1,)C.(),111)3(,---UD.(1,1)(1,3)-U10.把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ) A .sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈RB .sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈RC .sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭,x ∈R D .2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,x ∈R 11.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是梯形,//AB CD ,若平面PAD I 平面PBC l =,则( )A.//l CDB.//l BCC.l 与直线AB 相交D.l 与直线DA 相交12.设,则a ,b ,c 之间的关系是( ) A .B .C .D .二、填空题13.若三棱锥P ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,23AB =6PA PB PC ===则该三棱锥的外接球的表面积为________. 14.已知数列{}n a :12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,16,L ,11k +,21k +,L ,1kk +,L ,则99a =__________. 15.已知点A(-1,1),B(2,-2),若直线l :x +my +m =0与线段AB 相交(包含端点的情况),则实数m 的取值范围是________________.16.已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A)∪B 为____ 三、解答题17.在ABC ∆ 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=(1) 求sin sin CA的值(2)若1cos,24B b==,求ABC∆的面积.18.某服装店为庆祝开业“三周年”,举行为期六天的促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,第五天该服装店经理对前五天中参加抽奖活动的人数进行统计,y表示第x天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:x 1 2 3 4 5y 4 6 10 23 22 y x y x ˆˆˆy bx a=+;(2)预测第六天的参加抽奖活动的人数(按四舍五入取到整数).参考公式与参考数据:51521()()ˆˆˆ,()i iiiix x y yb a y bxx x==--==--∑∑.19.已知()()1,n nA A n n n N*+=∈u u u u u u r.(1)求122334A A A A A A++u u u u r u u u u r u u u u r的坐标;(2)设()11n nb A A n N*+=∈uuuuu r,求数列{}n b的通项公式;(3)设111,22n na aB B+--⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u u u r,()22111,n na aC C n N*+⎛⎫--=∈⎪⎝⎭u u u u u u r,其中a为常数,1a≥,求()112111lim1n n n nnn n n nA AB B aA A C C n++→∞++⋅++⋅++uuuuur uuuuuruuuuur uuuuu u r的值.20.已知函数()f x,对于任意的,x y∈R,都有()()()f x y f x f y+=+, 当0x>时,()0f x<,且1(1)2f=-.( I ) 求(0),(3)f f的值;(II) 当810x-≤≤时,求函数()f x的最大值和最小值;(III) 设函数2()()2()g x f x m f x=--,判断函数g(x)最多有几个零点,并求出此时实数m的取值范围.21.如图,OAB是一块半径为1,圆心角为π3的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF,其中动点C在扇形的弧¶AB上,记COAθ∠= .(1)写出矩形CDEF的面积S与角θ之间的函数关系式;(2)当角θ取何值时,矩形CDEF的面积最大?并求出这个最大面积.22.设f (x )=3ax 2+2bx+c ,若a+b+c=0,f (0)>0,f (1)>0,求证:a >0且﹣2<<﹣1. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D D B C C C C C DA13.12π 14.815 15.[)1,2,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦16.{0,2,4} 三、解答题17.(1)sin 2sin C A = (21518.(1)ˆ 5.3 2.9yx =-(2)预测第六天的参加抽奖活动的人数为29. 19.(1)()1223346,6A A A A A A ++=u u u u r u u u u r u u u u r ;(2)22,22nn n n n b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭; (3)当1a =-时,()112111lim 21n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++=-⋅++uuuuur uuuuuruuuuur uuuuu ur ; 当1a =或1a >时,()112111lim 01n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++=⋅++uuuuur uuuuuruuuuur uuuuu ur . 20.(I )()()300,32f f ==-;(II )max min ()4,()5f x f x ==-;(III )当()1,0m ∈- 时,函数()g x 最多有4个零点.21.(1)23sin cos S θθθ=- (2)π6θ=时,S 322.略2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1.一条光线从点(2,3)-射出,经x 轴反射后与圆22(3)(2)1x y -+-=相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.65或56B.54或45C.43或34D.32或232.设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则z x y =+的最小值为( )A .3B .4C .5D .103.下列四个函数中,在整个定义域内单调递减的是( ) A .()101()100xf x = B .()121log f x x x = C .()12log f x x =D .()23f x x =4.已知动点(),P x y 满足:2402323x y y x x y x --+≤⎧⎪≥⎨⎪+≥+⎩,则22+4x y y +的最小值为( )A.2B.24-C.-1D.-25.如图,矩形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 分别在函数2logy x=,12y x =,22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,的图像上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为( ).A.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭6.登山族为了了解某山高()y km 与气温()x C o之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表: 气温()x C o18 13 10 1-山高()y km24 34 38 64由表中数据,得到线性回归方程2y x a a R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭$$$,由此请估计出山高为()72km 处气温的度数为()A .10-B .8-C .4-D .6-7.已知函数()()2log x(x 0)x f x 3x 0>⎧=≤⎨⎩,那么1f f 4⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为( )A.9B.19C.9-D.19-8.AQI 是表示空气质量的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据,图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201,则下列叙述不正确的是( )A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的AQI 指数值的中位数是90D.从4日到9日,空气质量越来越好 9.若,则( ) A . B .C .D .10.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图,则相应的侧视图可以为( )A .B .C .D .11.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,16 12.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表: 广告费用(万元)4235销售额(万元)49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元C .67.7万元D .72.0万元二、填空题13.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 是CD 边上靠近D 的三等分点.若3,2AB BC ==, 2AE BF ⋅=-u u u r u u u r,则AC u u u r __________.14.在边长为a 的等边三角形ABC 中,AD BC ⊥于D ,沿AD 折成二面角B AD C ﹣﹣后,2aBC =,这时二面角B AD C --的大小为_______.15.若锐角ABC ∆的面积为103,且5,8AB AC ==,则BC 等于 . 16.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ,若4a =,6b =,9c =,则角C =________.三、解答题17.如图,已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切.过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ,N 两点,Q 是MN 的中点,直线l 与1l 相交于点P .(1)求圆A 的方程;(2)当||219MN =l 的方程.18.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足:126a a +=,且212log log 1n n a a +-=,2log n n b a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19.某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下,充分利用自身资源,大力发展养殖业,以增加收入,政府计划共投入72万元,全部用于甲、乙两个合作社,每个合作社至少要投入15万元,其中甲合作社养鱼,乙合作社养鸡,在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入(单位:万元)满足.设甲合作社的投入为(单位:万元).两个合作社的总收益为(单位:万元).(1)当甲合作社的投入为25万元时,求两个合作社的总收益; (2)试问如何安排甲、乙两个合作的投入,才能使总收益最大?20.已知α为第三象限角,()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----. (1)化简()f α (2)若31cos()25πα-=,求()f α的值 21.在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,∥,平面.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.已知集合0{()|,()(1)(1)}M f x x f x f f x ==+g 存在使得成立. (1)判断1()f x x=是否属于M ; (2)判断2()2xf x x =+是否属于M ;(3)若22()x af x eM +=∈,求实数a的取值范围.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D C D B C D D DB131914.60° 15.7 16.29arccos 48π-. 三、解答题17.(1) 22(1)(2)20x y ++-=.(2) 2x =-或3460x y -+=18.(Ⅰ) 2nn a = (Ⅱ) 222n n n S +=-19.(1)88.5万元 (2)答案略. 20.(1)略;(2)45. 21.:(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)22.(1)f(x)∉M ; (2)f(x)∈M ;(3)2(,12-∞--.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1.函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调增区间是( ) A .[],0π-B .0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC .,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.如图,某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15o 方向,后来船沿南偏东45o 的方向航行30km 后,到达B 处,看见灯塔P 在船的西偏北15o 方向,则这时船与灯塔的距离是:A.10kmB.20kmC.103kmD.53km3.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===,则()U A B ⋃ð= A.{2,6}B.{3,6}C.{}1,3,4,5D.{}1,2,4,64.下列四个函数中,在整个定义域内单调递减的是( )A .()101()100xf x = B .()121log f x x x = C .()12log f x x = D .()23f x x=5.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=,当[]1,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭若在区间[1,5]-内函数()()log a g x f x x =-有三个零点,则实数a 的取值范围是( )A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.(1,5)C.(2,3)D.(3,5)6.在四棱锥P ABCD -中,四条侧棱长均为2,底面ABCD 为正方形,E 为PC 的中点,且90BED ∠=︒,若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( )A .163πB .169π C .43π D .π7.某校高一年级有男生400人,女生300人,为了调查高一学生对于高二时文理分科的意向,拟随机抽取35人的样本,则应抽取的男生人数为( ) A.25B.20C.15D.108.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是A .17πB .18πC .20πD .28π9.设,αβ为两个不重合的平面,,,l m n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若//αβ,l α⊂,则l β//;②若m α⊂,n ⊂α,//m β,//n β,则//αβ;③若//l α,l β⊥,则αβ⊥;④若m α⊂,n ⊂α,且l m ⊥,l n ⊥,则l α⊥.其中正确命题的序号是( ) A.①③B.①②③C.①③④D.②④10.小王计划租用A ,B 两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证,会开车)出去游玩,A 与B 两种型号的车辆每辆的载客量都是5人,租金分别为1000元/辆和600元/辆,要求租车总数不超过12辆且不少于6辆,且A 型车至少要有1辆,则租车所需的最少租金为( ) A.1000元B.2000元C.3000元D.4000元11.利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈L 的过程中,由n k =变成1n k =+时,左边增加了( )A .1项B .k 项C .12k -项D .2k 项12.一电子广告,背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成,这列正三解形的底边在同一直线上,正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动(如图),设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分(如图中的阴影)的面积S 关于时间t 的函数为()S f t =,则下列图中与函数()S f t =图象最近似的是( )A .B .C .D .二、填空题13.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,34,55 P⎛⎫-⎪⎝⎭为角α终边上一点,角πα-的终边与单位圆的交点为()',P x y,则x y-=______.14.已知函数,(0)(),(01)4,(1)xxe xf x e xx x-⎧<⎪=≤≤⎨⎪->⎩,若互不相等的实数a,b,()c a b c<<满足()()()f a f b f c==,则()()()af a bf b cf c++的取值范围是__________.15.已知数列{}n a的前n项和为n S,11a=,()*121Nn na a n n++=+∈,则21S的值为_______.16.直线y x=被圆22(2)4x y+-=截得的弦长为________.三、解答题17.已知不等式x2﹣5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}(1)求实数a,b的值;(2)若0<x<1,f(x)=1a bx x+-,求f(x)的最小值.18.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入i x(单位:千元)与月储蓄i y,(单位:千元)的数据资料,算出101010102111180,20184,720i i i i ii i i ix y x y x========∑∑∑∑,,附:线性回归方程1221ˆˆˆˆˆˆ,,ni iiniix y nxyy bx a b a y bxx nx==-=+==--∑∑,其中,x y为样本平均值.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ˆˆˆy bx a=+;(2)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.19.设集合A{x|a11}x a=-<<+,B{x|x1=<-或x2}>.(1)若A B∅⋂=,求实数a的取值范围;(2)若A B B⋃=,求实数a的取值范围.20.如图,在ABC∆中,点P在BC边上,AC AP>,60PAC∠=︒,27PC=,10AP AC+=.(1)求sin ACP∠的值;(2)若APB∆的面积是93,求AB的长.21.数列{}n a中,11a=,,.(1)证明:数列{}n b 是等比数列. (2)若,,且,求m n +的值.22.已知函数()f x ,对任意a ,b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-,且当x 0>时,有()f x 1>.(Ⅰ)求()f 0;(Ⅱ)求证:()f x 在R 上为增函数;(Ⅲ)若关于x 的不等式(()222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,求实数t 的取值范围. 【参考答案】*** 一、选择题13.15- 14.(3,4]15.23116. 三、解答题17.(1)1,4a b ==;(2)9. 18.(1)0.30.4y x =-;(2)1.7 19.(1)[]0,1;(2)][(),23,-∞-⋃+∞.20.(1)7;21.(1)见解析(2)9或35或13322.(Ⅰ)()f 01=; (Ⅱ)略; (Ⅲ)t 5<-.。
江苏省淮安中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分。
请把答案填在答题卡相应位置上。
) 1.已知集合{}02A x x =<≤,则集合A 的元素中有 个整数。
2.已知向量(2,1),(3,4),a b ==-r r则a b +=r r 。
3.已知向量(cos ,sin )a x x =r ,则||a =r。
4.sin3π的值是 。
5.已知函数()sin cos f x x x =,则(1)(1)f f -+= 。
6.在平面直角坐标系中,若角α的终边落在射线(0)y x x =≥上,则tan α= 。
7.函数()tan f x x =的定义域为 。
8.函数2()(1)mf x m m x =--是幂函数,则实数m 的值为 。
9.函数()2cos (0)2f x x x π=≤≤的值域是 。
10.若1sin()23πθ-=,则sin()2πθ+= 。
11.已知函数()21xf x =+,且2()(1)f a f <,则实数a 的取值范围为 。
12.函数2()ln f x x =的单调递增区间为 。
13.如图,在ABC ∆中,2AB =,3AC =,D 是边BC的中点,则AD BC ⋅=u u u r u u u r____________。
14.给出下列命题:(1)函数()tan f x x =有无数个零点;(2)若关于x 的方程||1()02x m -=有解,则实数m 的取值范围是(0,1]; (3)把函数()2sin 2f x x =的图象沿x 轴方向向左平移6π个单位后,得到的函数解析式可以表示成()2sin 2()6f x x π=+;(4)函数11()sin sin 22f x x x =+的值域是[1,1]-; (5)已知函数()2cos f x x =,若存在实数12,x x ,使得对任意的实数x 都有()()()12f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小值为2π。
2020-2021学年江苏省淮安市高一(上)期末数学试卷一、单项选择题(共8小题).1.已知集合M={1,2,3},N={2,3},则()A.M=N B.M∩N=∅C.M⊆N D.N⊆M2.设全集为R,函数的定义域为M,则∁R M为()A.[﹣1,1] B.(﹣1,1)C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)3.已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.函数y=tan(2x+)的最小正周期为()A.B.C.πD.2π5.设a=log0.50.6,b=log0.61.2,c=1.20.6,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a6.要得到函数y=sin(2x+)的图象,需要把函数y=sin2x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位7.函数f(x)=x+x3,g(x)=x+3x,h(x)=x+log3x的零点分别是a,b,c,则它们的大小关系为()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a8.新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,其中指数增长率r≈0.38,据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为()(ln10≈2.30)A.4天B.6天C.8天D.10天二、多项选择题(共4小题).9.下列各组函数中,f(x)与g(x)是同一函数的有()A.f(x)=x,g(x)=e lnxB.f(x)=|x﹣1|,g(x)=C.f(x)=x2,D.f(x)=x,10.下列命题为真命题的是()A.若a>b>0,则ac2>bc2B.若a<b<0,则C.若a<b<0,则a2<ab<b2D.若c>a>b>0,则11.下列函数中满足:对定义域中任意x1,x2,都有的有()A.f(x)=2x B.f(x)=lgx C.f(x)=x2D.f(x)=x 12.一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r.我们规定:比值,,分别叫做角α的余切、余割、正割,分别记作cotα,cscα,secα,把y=cot x,y=csc x,y=sec x分别叫做余切函数、余割函数、正割函数,下列叙述正确的有()A.B.sinα•secα=1C.y=sec x的定义域为D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5三、填空题(共4小题).13.命题“∃x∈R,x+1≥0”的否定为.14.求值:2lg5+lg4+=.15.已知α是第三象限角,且时,则tanα=;=.16.若函数f(x)为定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,则不等式sin x•f(x)>0,x∈[﹣π,π]的解集为.四、解答题:本大题共6小题,共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从①,②,③三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.问题:已知集合_____,集合B={x|﹣a﹣1≤x≤2a+1}.(1)当a=1时,求A∩B;(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.18.已知函数(其中a为常数).(1)求f(x)的单调减区间;(2)若时,f(x)的最小值为2,求a的值.19.已知关于x的不等式x2+mx﹣12<0的解集为(﹣6,n).(1)求实数m,n的值;(2)正实数a,b满足na+2mb=2.①求的最小值;②若2a+16b﹣t≥0恒成立,求实数t的取值范围.20.已知函数.(1)利用函数的单调性定义证明:f(x)在R上为单调增函数;(2)设,判断g(x)的奇偶性,并加以证明.21.如图,一个水轮的半径为4米,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟逆时针转动1圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的距离z(单位:米,在水面以下,则z为负数)表示为时间t(单位:秒)的函数;(2)在水轮转动1圈内,有多长时间点P位于水面上方?22.已知函数f(x)=2x,g(x)=f(x)+f(|x|).(1)解不等式:f(2x)﹣f(x+1)>3;(2)当x∈[﹣1,]时,求函数g(x)的值域;(3)若∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[﹣1,0],使得g(2x1)+ag(x1)+2g(x2)>0成立,求实数a的取值范围.参考答案一、单项选择题(共8小题).1.已知集合M={1,2,3},N={2,3},则()A.M=N B.M∩N=∅C.M⊆N D.N⊆M 解:因为集合M={1,2,3},N={2,3},根据子集的定义可知,N⊆M.故选:D.2.设全集为R,函数的定义域为M,则∁R M为()A.[﹣1,1] B.(﹣1,1)C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)解:由1﹣x2≥0,得﹣1≤x≤1,即M=[﹣1,1],又全集为R,所以∁R M=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).故选:C.3.已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要解:因为,即,解得a<0或a>1,故“a>1”是“<1”的充分不必要条件.故选:A.4.函数y=tan(2x+)的最小正周期为()A.B.C.πD.2π解:由正切函数的周期公式得:.故选:B.5.设a=log0.50.6,b=log0.61.2,c=1.20.6,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a解:0<a=log0.50.6<log0.50.5=1,b=log0.61.2<0,c=1.20.6>1,则a,b,c的大小关系为b<a<c.故选:B.6.要得到函数y=sin(2x+)的图象,需要把函数y=sin2x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位解:要得到函数y=sin(2x+)=sin2(x+)的图象,需要把函数y=sin2x的图象向左平移个单位,故选:C.7.函数f(x)=x+x3,g(x)=x+3x,h(x)=x+log3x的零点分别是a,b,c,则它们的大小关系为()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a解:因为函数f(x)=x+x3,g(x)=x+3x,h(x)=x+log3x的零点分别是a,b,c,所以y=﹣x与y=x3,y=3x,y=log3x的交点横坐标分别是a,b,c,作出四个函数图象如下图:由图可知b<a=0<c,故选:C.8.新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,其中指数增长率r≈0.38,据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为()(ln10≈2.30)A.4天B.6天C.8天D.10天解:设所需时间为t1,则e,即e,所以0.38t1=ln10≈2.30,解得t,故选:B.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.下列各组函数中,f(x)与g(x)是同一函数的有()A.f(x)=x,g(x)=e lnxB.f(x)=|x﹣1|,g(x)=C.f(x)=x2,D.f(x)=x,解:A.f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是(0,+∞),两个函数的定义域不相同,不是同一函数,B.f(x)=,两个函数的定义域都是R,是同一函数,C.g(x)=x2,两个函数的定义域都是R,是同一函数,D.g(x)=x,(x≠0),f(x)的定义域是R,两个函数的定义域不相同,不是同一函数.故选:BC.10.下列命题为真命题的是()A.若a>b>0,则ac2>bc2B.若a<b<0,则C.若a<b<0,则a2<ab<b2D.若c>a>b>0,则解:对于A,当c=0时,命题不真,所以A错;对于B,a<b<0⇒ab>0⇒⇒⇒,所以B对;对于C,a<b<0⇒aa<ab,ab<bb,⇔aa<ab<bb⇒a2<ab<b2,所以C对;对于D,当c>a>b>0时,⇔a(c﹣b)>b(c﹣a)⇔ac﹣ab>bc﹣ab⇔ac>bc⇔a>b,所以D对.故选:BCD.11.下列函数中满足:对定义域中任意x1,x2,都有的有()A.f(x)=2x B.f(x)=lgx C.f(x)=x2D.f(x)=x解:∵对定义域中任意x1,x2,都有,∴f(x)是凹函数,且f(x)=2x和f(x)=x2都是凹函数.故选:AC.12.一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r.我们规定:比值,,分别叫做角α的余切、余割、正割,分别记作cotα,cscα,secα,把y=cot x,y=csc x,y=sec x分别叫做余切函数、余割函数、正割函数,下列叙述正确的有()A.B.sinα•secα=1C.y=sec x的定义域为D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5解:对于A:,故A正确;对于B:,故B错误;对于C:y=sec x=,故函数的定义域为,故C正确;对于D:利用三角函数和对勾函数的性质,sec2α+sin2α+csc2α+cos2α==1+=(当且仅当sin2α=1),等号成立;故D正确;故选:ACD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.13.命题“∃x∈R,x+1≥0”的否定为∀x∈R,x+1<0.解:∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”,∴命题“∃x∈R,x+l≥0”的否定是:∀x∈R,x+1<0.故答案为∀x∈R,x+1<0.14.求值:2lg5+lg4+=6.解:2lg5+lg4+=lg(52×4)+4=6.故答案为:6.15.已知α是第三象限角,且时,则tanα=;=﹣.解:因为α是第三象限角,且=﹣sinα,所以sinα=﹣,cosα=﹣=﹣,则tanα==,==cosα=﹣.故答案为:,﹣.16.若函数f(x)为定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,则不等式sin x•f(x)>0,x∈[﹣π,π]的解集为(2,π)∪(﹣2,0).解:函数f(x)为定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,∴f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,且f(﹣2)=0,则f(x)对应的图象如图:f(0)不确定,当x=0时,不等式sin x•f(x)>0不成立,则当x≠0时,不等式sin x•f(x)>0等价为当x∈[﹣π,π]时,或,即或,即2<x<π或﹣2<x<0,即不等式的解集为(2,π)∪(﹣2,0),故答案为:(2,π)∪(﹣2,0).四、解答题:本大题共6小题,共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从①,②,③三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.问题:已知集合_____,集合B={x|﹣a﹣1≤x≤2a+1}.(1)当a=1时,求A∩B;(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.解:若选①:因为,所以,所以,故0<x+1≤4,解得﹣1<x≤3,故A={x|﹣1<x≤3};若选②:因为,所以,所以﹣1<x≤3,故A={x|﹣1<x≤3};若选③:因为,所以,解得﹣1<x≤3,故A={x|﹣1<x≤3};(1)当a=1时,B={x|﹣2≤x≤3},由A={x|﹣1<x≤3},所以A∩B={x|﹣1<x≤3};(2)因为A∪B=B,所以A⊆B,故B≠∅,所以,解得a≥1,故实数a的取值范围为[1,+∞).18.已知函数(其中a为常数).(1)求f(x)的单调减区间;(2)若时,f(x)的最小值为2,求a的值.解:(1)由题意,令,解得,即f(x)的单调减区间为,k∈Z.(2),则∈,y=sin x在上增,在上减,又sin=,sin=,sin =1,∴sin()∈,∴∈[+a,],又若时,f(x)的最小值为2,可得+a=2,解得a=.19.已知关于x的不等式x2+mx﹣12<0的解集为(﹣6,n).(1)求实数m,n的值;(2)正实数a,b满足na+2mb=2.①求的最小值;②若2a+16b﹣t≥0恒成立,求实数t的取值范围.解:(1)由题意可得﹣6和n是方程x2+mx﹣12=0的两个根,由根与系数的关系可得,解得m=4,n=2.(2)由(1)可得2a+8b=2,即a+4b=1,①=()(a+4b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=2b=时等号成立,所以的最小值为9.②若2a+16b﹣t≥0恒成立,即t≤2a+16b恒成立,因为2a+16b≥2=2=2,当且仅当2a=16b,即a=4b=时等号成立,所以t≤2,即实数t的取值范围是(﹣∞,2].20.已知函数.(1)利用函数的单调性定义证明:f(x)在R上为单调增函数;(2)设,判断g(x)的奇偶性,并加以证明.解:(1)证明:设任意x1<x2∈R,则f(x1)﹣f(x2)=log﹣log=log,因为x1<x2,所以4,则,所以log,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在R上是单调递增函数;(2)因为g(x)=log=log=log=log=log,显然定义域为R,关于原点对称,函数在R上为偶函数,证明如下:因为g(﹣x)=log=g(x),所以函数是R上的偶函数.21.如图,一个水轮的半径为4米,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟逆时针转动1圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的距离z(单位:米,在水面以下,则z为负数)表示为时间t(单位:秒)的函数;(2)在水轮转动1圈内,有多长时间点P位于水面上方?解:(1)设z=A sin(ωx+φ)+B,依题意可知z的最大值为6,最小为﹣2,∵,可得,∵OP每秒钟内所转过的角为()=,得z=4sin(t+φ)+2,∴当t=0时,z=0,sinφ==﹣,∴φ=﹣,∴函数的表达式为z=4sin(t﹣)+2;(2)令z>0,得sin(t﹣)>﹣,所以﹣+2kπ<t﹣<+2kπ,k∈Z,解得:60k<t<60k+40,k∈Z,又0≤t≤60,所以0<t<40,即在水轮旋转一圈内,有40秒时间点P位于水面上方.22.已知函数f(x)=2x,g(x)=f(x)+f(|x|).(1)解不等式:f(2x)﹣f(x+1)>3;(2)当x∈[﹣1,]时,求函数g(x)的值域;(3)若∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[﹣1,0],使得g(2x1)+ag(x1)+2g(x2)>0成立,求实数a的取值范围.解:(1)∵f(x)=2x,f(2x)﹣f(x+1)>3,∴22x﹣2x+1>3,∴(2x﹣3)(2x+1)>0,∴2x>3,∴x>log23,∴不等式的解集为{x|x>log23}.(2),当x∈[﹣1,0]时,∴g(x)在[﹣1,0]上单调递减,又,∴;当时,,综上,当时,g(x)的值域为.(3)当x1>0,x2∈[﹣1,0]时,∀x1>0,∃x2∈[﹣1,0],使得g(2x1)+ag(x1)+2g(x2)>0成立,即g(2x1)+ag(x1)+2g(x2)max>0,由(2)知,,则g(2x1)+ag(x1)+5>0,,令,则∀x>1,不等式恒成立,∵,当且仅当,即时取等号,∴,∴,∴a的取值范围为.。
2019-2020学年江苏省淮安市高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题 1.已知集合{}220A x x x =+=,{}2,1B =--,则AB =( )A .{}2B .{}2,1--C .{}2,0D .{}2,1,0--【答案】D【解析】由已知得{}0,2A =-,利用集合并集的运算方法,得答案. 【详解】 由已知{}220A x x x =+=,得{}0,2A =-且{}2,1B =-- 所以AB ={}2,1,0--故选:D 【点睛】本题考查集合的表示和并集运算,属于基础题. 2.已知角α的终边经过点()3,4P -,则tan α=( )A .35B .45-C .43-D .43【答案】C【解析】由正切的三角函数定义,得答案. 【详解】由正切的三角函数定义可知4tan 3y x α==- 故选:C【点睛】本题考查正切的三角函数定义,属于基础题.3.已知点()A 1,0=,()B 3,2=,向量()AC 2,1=,则向量BC (=)A .()0,1-B .()1,1-C .()1,0D .()1,0-【答案】A【解析】先求得AB 的坐标,然后利用减法求得BC 的坐标. 【详解】依题意()2,2AB =,所以()()()2,12,20,1BC AC AB =-=-=-,故选A. 【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题. 4.设42ππx ≤≤=( )A .2sin xB .2cos xC .2sin x -D .2cos x -【答案】A【解析】由x 的范围,和三角函数线得sin cos x x >,将.【详解】因为42ππx ≤≤,由三角函数线的图像可知sin cos x x >,则22221sin 21sin 2sin cos 2sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x x x +-=+++-()()22sin cos sin cos x x x x =+-sin cos sin cos 2sin x x x x x =++-=故选:A 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简,还考查了判断三角函数值的大小,属于简单题. 5.已知m 是函数()22x f x x =+的零点,则实数m ∈( )A .()0,1B .()1,2C .()2,3D .()3,4【答案】B【解析】将条件转化为y x =22x y =-的交点的横坐标,作图观察,得答案. 【详解】 函数()22x f x x +的零点,等价于y x =22x y =-的交点的横坐标,作图可知两函数的交点横坐标的范围在()1,2故选:B【点睛】本题考查函数零点问题,常见于转化为两基本函数的交点的横坐标处理,属于中档题.6.设,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】先分析得到,再比较b,c的大小关系得解.【详解】由题得.,所以.故选:D【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.7.已知函数()22cos sin cos sin f x x x x x =+-(a 为常数)的图象关于直线6x π=对称,则函数()f x 的最大值是( ) A .4 B .3 C .2 D .1【答案】C【解析】化简()f x ,可知()()sin 2,tan f x x ϕϕ⎛=+= ⎝⎭,表示对称轴,由已知对称轴求得参数a ,带入()f x ,可得答案. 【详解】 由题可知()()2222cos sin cos sin cos sin sin cos f x x x x x x x x x =+-=-+()cos 2sin 2sin 2,tan x x x ϕϕ⎛==+= ⎝⎭所以对称轴22x k πϕπ+=+,即2x k ππϕ=+-又因为图象关于直线6x π=对称,所以6k πϕπ=+,故tan tan 6k πϕπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又因为tan ϕ=,可知1a =,所以()()()sin 22sin 2f x x x ϕϕ=+=+故()f x 的最大值是2 故选:C 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式化简三角函数,表示()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的对称轴和最值,属于中档题.8.函数2()log (1)f x x =-的图象为( )A .B .C .D .【答案】C【解析】由题中函数知,当x =0时,y =0,图象过原点,又依据对数函数的性质知,此函数是减函数,根据此两点可得答案. 【详解】观察四个图的不同发现,A 、C 、D 图中的图象过原点, 而当x =0时,y =0,故排除B ;又由定义域可知x<1,排除D .又由函数的单调性知,原函数是减函数,排除A . 故选:C . 【点睛】本题考查对数函数的图象的识别,经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除,属于基础题.二、多选题9.下列函数中定义域是R 的有( ) A .2x y = B .lg y x = C .3y x = D .tan y x =【答案】AC【解析】确定A 为指数函数;B 为对数函数;C 为幂函数;D 为正切函数,由对应基本初等函数定义域限制,得答案. 【详解】A 选项是指数函数,定义域为R ;B 选项是对数函数,定义域为()0,∞+;C 选项是正整数次幂函数,定义域为R ;D 选项是正切函数,定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 故选:AC 【点睛】本题考查基本初等函数的判定和定义域,属于基础题. 10.设a ,b ,c 是任意的非零向量,则下列叙述正确的有( )A .若//a b ,//b c ,那么//a cB .若a c b c ⋅=⋅,则a b =.C .如果a 与b 是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使λa b .D .有且只有一对实数1λ,2λ,使12a b c λλ=+. 【答案】AC【解析】A 选项中由平行的传递性判定;B 选项中考虑特殊向量判定;C 选项中由向量的共线定理判定 ;D 选项中由基底需满足不共线判定. 【详解】A 选项由平面向量平行的传递性可知成立;B 选项中若0c,则错误;C 选项是向量的共线定理成立;D 选项中若要使用,b c 作为基底,必须满足,b c 不共线,错误. 故选:AC 【点睛】本题考查了平面向量平行的判定,数量积运算法则,向量的共线定理,还考查了向量中基底成立的条件,属于简单题.11.已知函数()()131R xmf x m =+∈+为奇函数,则下列叙述正确的有( ) A .2m =- B .函数()f x 在定义域上是单调增函数 C .()()1,1f x ∈- D .函数()()sin F x f x x =-所有零点之和大于零 【答案】ABC【解析】A :由()f x 为奇函数且在0处有定义,代()00f =,解得m ,成立;B :由基本初等函数确定单调性,再由单调性性质变换得()f x 单调性,成立;C :利用换元法,求得()f x 的值域,成立;D :利用函数奇偶性的性质,图像关于原点对称,交点也对称,其横坐标之和为零,错误. 【详解】 因为函数()()131R x mf x m =+∈+为奇函数所以()00110312m mf =+=+=+,解得2m =-,故A 选项正确; 因此()2131x f x =-+ 又因为31x y =+在定义域上是单调增函数,所以231x y =+为单调减函数 即()2131x f x =-+在定义域上是单调增函数, 故B 选项正确;令()31,0,xt t =+∈+∞,所以()21f t t=-在()0,t ∈+∞上的值域为()1,1-,故选项C 正确;函数()()sin F x f x x =-所有零点可以转化为()sin f x x =的两个函数的交点的横坐标因为()f x 和sin y x =都为奇函数,所以若有交点必然关于原点对称,那么其和应等于零故选项D 错误. 故选:ABC 【点睛】本题考查了非基本初等函数的单调性的判定并求值域,还考查了利用奇偶性求解析式中的参数并以奇偶性的性质解决零点问题,属于难题. 12.设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω>>的周期是π,则下列叙述正确的有( ) A .()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭B .()f x 的最大值为MC .()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D .5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD【解析】已知只有周期的条件,只能求出ω,其中M 未知;A 选项代值判定;B 选项由解析式可知;C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得;D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T ππω==,解得2ω=,即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时,()0sin 20sin 662Mf M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭,故选项A 错误;因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以最大值为M ,故选项B 正确;由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减,当0k =时,选项C 正确;由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=,即212k x ππ=-当1k =时,512x π=,对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭,故选项D 正确.故选:BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质,其中涉及最值、对称轴、对称中心,属于较难题.三、填空题13.已知tan 2θ=,则()sin 2cos sin sin 2πθθπθθ+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】43-【解析】由诱导公式对所求式子化简,得一个简单齐次式,再对其分子分母同时除以cos θ,构建tan θ,最后代值,得出答案. 【详解】化简()sin 2cos sin 2cos sin cos sin sin 2πθθθθπθθθθ+---=+⎛⎫++ ⎪⎝⎭对上式分子分母同时除以cos θ,再带入tan 2θ= 即原式tan 2224tan 1213θθ----===-++ 故答案为:43- 【点睛】本题考查利用诱导公式化简三角函数式,还考查了三角函数中的齐次式的求值问题,属于简单题.14.已知扇形的周长为2,扇形的圆心角为2,则扇形的面积是______.【答案】14【解析】由周长C 和圆心角α构建方程,解得r,l ,再代入扇形的面积公式,得答案. 【详解】在扇形中周长22C r l =+=,2l rα,解得121r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以面积111112224S rl ==⋅⋅= 故答案为:14【点睛】本题考查弧度制的定义,扇形中圆心角、半径、所对弧长、周长和面积的相关公式,属于基础题.15.在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形,则最大面积是________. 【答案】4【解析】做出图像,由三角函数定义设其中一个顶点坐标,从而表示矩形的长与宽,进而表示面积,求出最大值. 【详解】 由题可构建图像根据三角函数的定义,可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅= 当4πα=时,max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为:4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用,注意建模,再借助三角函数求最值,属于中档题.16.已知平面向量a ,b ,c 满足a 与b 的夹角为锐角,4a=,2b =,1c =,且b ta +的最小值为3,则实数t 的值是_____,向量()12c a c b ⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭的取值范围是_____.【答案】14-323,323⎡-+⎣【解析】①由题可知2b ta +的最小值为3,用含t 的式子表示2b ta +,利用二次函数最小值的表示方式,表示其最小值让其等于3构建方程,解得4a b ⋅=±,由a 与b 的夹角为锐角,舍掉负值,代入原二次函数对称轴的表达式中,解得t ; ②表示12a b +,展开()12c a c b ⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭(设1,2a b c θ=+),将已知模长代入展开式,可化简为323θ-,利用三角函数的值域,得答案. 【详解】 ①由题22222b ta b ta b t a+=+⋅+因为4a =,2b =,所以222222241624b ta a bt t t a bt +=+⋅+⋅=+⋅+因b ta +最小值为221616a b a bt ⋅⋅=-=-⋅时,2b ta +最小所以()2222min16244161616a ba b a b b taa b ⋅⎛⎫⎛⎫⋅⋅+=-+⋅-+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得4a b ⋅=±又因为a 与b 的夹角为锐角,所以4a b ⋅=,故1164a b t ⋅=-=-; ②因为()221111122222c a c b c b c a c a b ca b a b c ⎛⎫⎛⎫-⋅-=-⋅-⋅+⋅=+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又有222111142a b a b a a b b ⎛⎫+=+=+⋅+=⋅= ⎪将模长代入()2111222ca cbc ab a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅-=+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设1,2a b c θ=+即原式22111cos 141cos 3222c a b ab c θθθ=+⋅-+=+⋅-=-因为[]cos 1,1θ∈-,所以()12c a c b ⎛⎫-⋅-∈ ⎪⎝⎭33⎡-+⎣ 故答案为:①14-;②33⎡-+⎣ 【点睛】本题考查了由平面向量的模的最值求参数,还考查了以平面向量的运算法则、数量积运算为载体转化为三角函数求最值问题,属于难题.四、解答题17.已知()(){}110A x x x a =--+<,{}2log 0B x x =>, (1)当3a =时,求()RB A ⋂;(2)若[]2,3A ⊆,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[)2,+∞(2)4a >【解析】(1)当3a =时,解得A 集合,由集合补集运算求得RA ;解含对数式的不等式,得B 集合;最后由集合交集运算求得答案;(2)由子集关系构建图像,发现13a ->,解之得答案. 【详解】(1)因为()(){}110A x x x a =--+<, 所以当3a =时,()1,2A =,所以(][),12,RA =-∞⋃+∞,又因为{}2log 0B x x =>,所以()1,B =+∞,所以()[)2,R B A ⋂=+∞; (2)法一:因为()(){}110A x x x a =--+<,[]2,3A ⊆,所以A φ≠,故2a ≠所以()1,1A a =-或()1,1A a =-因为[]2,3A ⊆,作图观察可知()1,1A a =-成立不满足条件所以13a ->,即4a >. 法二:设()21f x x ax a =-+-,则()()2030f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩,解之得4a >.【点睛】本题考查集合交集、补集的运算,集合中由子集求参数问题,属于中档题.18.已知向量()1,2a =,()3,b k =-. (1)若//a b ,求b 的值;(2)若()2a a b ⊥+,求实数k 的值;(3)若a 与b 的夹角是钝角,求实数k 的取值范围. 【答案】(1)(2)14k =(3)3k <2且6k ≠-. 【解析】(1)由向量平行的坐标运算,求出b 中的参数k ,再利用求模长的坐标运算,得答案;(2)由向量加减、数乘运算,表示2a b +,由向量垂直则其数量积为零,构建方程,解得答案;(3)由两向量夹角为钝角,其数量积小于0,且两向量不共线,构建不等式,解得答案. 【详解】(1)因为向量()1,2a =,()3,b k =-,且//a b , 所以()1230k ⨯-⨯-=,解得6k =-,所以()23b=-=(2)因为()25,22a b k +=-+,且()2a a b ⊥+, 所以()()152220k ⨯-+⨯+=,解得14k =; (3)因为a 与b 的夹角是钝角,则20a b ⋅<且a 与b 不共线. 即()1320k ⨯-+⨯<且6k ≠-,所以3k <2且6k ≠-. 【点睛】本题考查平面向量坐标运算的加减、数乘,平行、垂直的坐标表示,还考查了两向量夹角为钝角,转化为数量积小于零且不共线的问题,属于中档题.19.已知()5cos 13αβ+=.(1)若()4cos 5αβ-=,求tan tan αβ的值; (2)若3sin 5β=,且α,β为锐角,求sin α的值.【答案】(1)27tan tan 77αβ=(2)3365【解析】(1)由两角和与差的余弦公式展开已知式子,整理后,再两式相除,得答案;(2)由α,β为锐角和象限角正负判定,优先考虑()sin αβ+、cos β的正负,再由同角三角函数关系求得()sin αβ+、cos β,最后观察sin β可以转化为()sin αββ⎡⎤+-⎣⎦,利用两角差的正弦公式展开,再代值运算,得答案. 【详解】(1)因为()5cos 13αβ+=,()4cos 5αβ-=, 所以5cos cos sin sin 134cos cos sin sin 5αβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解之得772cos cos 65272sin sin 65αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以27tan tan 77αβ=;(2)因为α,β为锐角,所以0αβπ+<<,()sin 0αβ+>,cos 0β>, 由()5cos 13αβ+=,得()12sin 13αβ+==; 由3sin 5β=,得4cos 5β==, 所以()()()33sin sin cos cos sin 65αββαββαββ+-=+-+=⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查三角函数中的给值求值问题,注意观察已知角和未知角的和差倍关系,以方便转化到已知,还应注意所求角的范围,考虑正负,属于中档题. 20.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. (1)判断()f x 的奇偶性,并证明;(2)用定义证明函数()f x 在()0,2上单调递减; (3)若()2f x f -<,求x 的取值范围.【答案】(1)偶函数;见解析(2)见解析(3)()0,1 【解析】(1)因为()f x 中含有对数,定义域需满足真数大于0,求得定义域为()2,2-,关于原点对称,再表示()f x -,判断其等于()f x ,为偶函数;(2)设任意1202x x <<<,对()()12,f x f x 作差,化简后由真数大于1的对数大于0,得()()12f x f x >,即得证明; (3)由(1)(2)可知()f x 是偶函数且在区间()0,2的单调递减,由偶函数的性质以及函数成立需满足定义域从而构建不等式组,解之得答案. 【详解】(1)因为()()()()2lg 2lg 2lg 4f x x x x =++-=-,所以函数()f x 的定义域为()2,2-, 因为()()()()2lg 4f x x f x -=-=,所以()f x 是偶函数;(2)任取()12,0,2x x ∈且12x x <, 则()()()()22211212224lg 4lg 4lg 4x f x f x x x x ⎛⎫--=---= ⎪-⎝⎭,因为()12,0,2x x ∈且12x x <,所以2212440x x -->>,所以2122414x x -->,21224lg 04x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>即()()12f x f x >,所以()f x 在区间()0,2上单调递减. (3)因为()f x 是偶函数,所以()()f x f x =,又因为()f x 定义域为()2,2-,且在区间()0,2的单调递减, 因为()2f x f -<,所以222222x x ⎧-⎪⎪--⎨⎪-⎪⎩><<,解之得01x <<所以x 的取值范围是()0,1. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定、单调性的证明,还考查了抽象函数性质的综合运用,属于较难题. 21.已知函数()2x f x =,R x ∈.(1)若函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值和最小值之和为6,求实数a 的值;(2)设函数()()()()()1g x f x f a f b λλ=---,若函数()g x 在区间(),a b 上恒有零点,求实数λ的取值范围; (3)在问题(2)中,令12λ=,比较2a b g +⎛⎫ ⎪⎝⎭与0的大小关系,并说明理由.【答案】(1)1a =(2)01λ<<;(3)02a b g +⎛⎫⎪⎝⎭<.见解析 【解析】(1)由指数函数中底数大于1,函数单调递增,表示()f x 在[],2a a 上最大最小值,由已知构建方程,借助换元法求得答案;(2)由()f x 的单调性,可知()()g x f x =-常数的单调性也是单调增函数,由函数零点的存在性定理可知()()00g a g b ⎧⎪⎨⎪⎩<>,整理得()()()()()100f a f b f a f b λλ⎧⎡⎤--⎪⎣⎦⎨⎡⎤--⎪⎣⎦⎩<>,由()()f a f b <,解不等式组得答案;(3)当1=2λ时,表示2a b g +⎛⎫⎪⎝⎭,对其通分、化简、配成完全平方式,可得答案. 【详解】(1)因为()2x f x =在[],2a a 上单调递增,所以()2x f x =在[],2a a 上最大最小值分别为22a ,2a,又因为最大最小值之和为6,所以2226a a +=, 设2,0,a tt,则26t t +=,解之得:12t =,23t =-(舍去)当12t =时得22a =,所以1a =;(2)因为()2xf x =在(),a b 上单调增函数,所以()()()()()1g x f x f a f b λλ=---在(),a b 上也是单调增函数,若函数()g x 在区间(),a b 上恒有零点,则必有()()00g a g b ⎧⎪⎨⎪⎩<>,即()()()()()()()()1010f a f a f b f b f a f b λλλλ⎧---⎪⎨---⎪⎩<>,整理得()()()()()100f a f b f a f b λλ⎧⎡⎤--⎪⎣⎦⎨⎡⎤--⎪⎣⎦⎩<> 因为()()f a f b <,所以10λλ->⎧⎨-<⎩,解得01λ<<; (3)当1=2λ时,222222222222222202222a b ab a b a b a b a b g +⎡⎤-⎢⎥+++-⨯⨯⎛⎫⎣⎦=-=-=-≤ ⎪⎝⎭因为a b <,所以2222a b≠,所以02a b g +⎛⎫⎪⎝⎭<.【点睛】本题考查了利用函数单调性讨论最值,还考查了借助函数零点的存在性定理求参数的取值范围问题,属于难题. 22.将函数()sin 2g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),再向左平移4π个单位长度,得到函数()y f x =的图象,设函数()()()h x f x g x =+. (1)对函数()h x 的解析式;(2)若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立,求b a -的最小值;(3)若26x h t π⎛⎫-=⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ,2x ,求()12cos x x -的值(用含t 的式子表示).【答案】(1)()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)4;(3)()212cos 12t x x -=- 【解析】(1)将()g x ⇒2y x =;再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,最后代入()h x ,得答案;(2)对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由内到外求出值域,因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立,所以max b m ≥,min a m ≤,整理得答案;(3)表示26x h π⎛⎫-⎪⎝⎭并化简,由1x ,2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解,所以12x x π+=或123x x π+=,因需求()12cos x x -,所以分别表示12x x -并代入,利用诱导公式和二倍角公式化简,将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】(1)将函数()sin 2g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原,得到函数2y x =的图象,再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =,所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,又()()()h x f x g x =+,所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭; (2)当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭, 令()()m h h αβ=-,因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立,所以max 2b m ≥=,min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4;(3)法一:因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以1x ,2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解, 所以12x x π+=或123x x π+=, 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-;法二:①当t >0时,不妨设12x x <,则有1202x x ππ<<<<,所以1cos x =2cos x =②当0t <时,不妨设12x x <,则有1232x x πππ<<<<2,所以1cos x =,2cos x =;③当0t =时,显然有10x =,2x π=,所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式,给定定义域求三角函数值域,不等式恒成立问题,还考查了函数零点问题,充分体现了数学中转化与划归思想,属于难题.。
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一(上)期末数学试卷一、单项选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1. 已知A(0, −1),B(0, 3),则|AB →|=( ) A.2 B.√10 C.4 D.2√102. sin 750∘的值为( ) A.−√32B.√32C.−12D.123. 已知幂函数f(x)的图象过点(2, 16),则f(3)=( ) A.27 B.81 C.12 D.44. 已知角α的终边经过点p(−2, 4),则sin α−cos α的值等于( ) A.3√55 B.−3√35C.15D.−2√335. 下列函数中,即不是奇函数也不是偶函数的是( ) A.f(x)=|x| B.f(x)=√x −1+√1−x C.f(x)=2x −2−xD.f(x)=tan x6. 将函数y =sin 2x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位,得到函数y =f(x)的图象,则y =f(x)是( )A.y =sin (2x +π6) B.y =sin (2x +π3) C.y =sin (2x −π6) D.y =sin (2x −π3)7. 函数f(x)=2x +log 2x −3的零点所在区间( ) A.(0, 1) B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)8. 函数f(x)=x ⋅ln |x|的图象可能是( )A. B.C. D.9. 已知函数f(x)=lg(1+|x|)−11+x2,不等式f(x+2)≤f(−1)的解集是()A.(−∞, −3]B.(−∞, −3]∪[−1, +∞)C.[−3, −1]D.[−3, +∞)10. 若2x+5y≤2−y+5−x,则有()A.x+y≥0B.x+y≤0C.x−y≤0D.x−y≥0二、多项选择题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)若关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论中正确的说法是()A.当m=0时,x1=2,x2=3B.m>−14C.当m>0时,2<x1<x2<3D.当m>0时,x1<2<3<x2已知函数f(x)是偶函数,且f(5−x)=f(5+x),若g(x)=f(x)sinπx,ℎ(x)=f(x)cosπx,则下列说法正确的是()A.函数y=g(x)是偶函数B.10是函数f(x)的一个周期C.对任意的x∈R,都有g(x+5)=g(x−5)D.函数y=ℎ(x)的图象关于直线x=5对称三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.)已知向量a→=(12,√32),b→=(12,−√32),则a→⋅b→=________;a→b→的夹角为________.已知cos(α+π4)=35,且α∈(0,π4),则sinα=________.已知函数f(x)=cos(x2+π3),则f(x)的最小正周期是________;f(x)的对称中心是________.函数f(x)={12x,x ≤02sin (2x +5π6),0<x <π,若方程f(x)=a 恰有三个不同的解,记为x 1,x 2,x 3,则x 1+x 2+x 3的取值范围是________(5π3−1,5π3) .四.解答题:本大题共6题,第17题10分,第18~22题每题12分,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知集合A ={x|x 2−7x +6<0},B ={x|4−t <x <t},R 为实数集. (Ⅰ)当t =4时,求A ∪B 及A ∩∁R B ; (Ⅱ)若A ∪B =A ,求实数t 的取值范围.已知向量a →,b →满足|a →|=2,|b →|=1,|a →+2b →|=|a →−b →| (1)求a →⋅b →的值(2)求向量a →与a →−2b →夹角的余弦值已知α∈(0,π2),β∈(π2,π),cos 2β=−79,sin (α+β)=79. (1)求cos β的值;(2)求sin α的值.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心,其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所,其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB 的半径为200米,圆心角∠AOB =60∘,点Q 在OA 上,点M ,N 在OB 上,点P 在弧AB 上,设∠POB =θ.(1)若矩形MNPQ 是正方形,求tan θ的值;(2)为方便市民观赏绿地景观,从P 点处向OA ,OB 修建两条观赏通道PS 和PT (宽度不计),使PS ⊥OA ,PT ⊥OB ,其中PT 依PN 而建,为让市民有更多时间观赏,希望PS +PT 最长,试问:此时点P 应在何处?说明你的理由.已知向量a →=(2sin (ωx +π4),−√3),b →=(sin (ωx +π4),cos (2ωx))(ω>0),函数(x)=a →⋅b →−1,f(x)的最小正周期为π. (1)求f(x)的单调增区间;(2)方程f(x)−2n +1=0;在[0, 7π12]上有且只有一个解,求实数n 的取值范围;(3)是否存在实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1],都存在x 2∈R ,使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立.若存在,求m 的取值范围;若不存在,说明理由.已知f(e x )=ax 2−x ,a ∈R . (1)求f(x)的解析式;(2)求x ∈(0, 1]时,f(x)的值域;(3)设a >0,若ℎ(x)=[f(x)+1−a]•log x e 对任意的x 1,x 2∈[e −3, e −1],总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +13恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一(上)期末数学试卷一、单项选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】B二、多项选择题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)【答案】A,B,D【答案】B,C,D三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.)【答案】−12,2π3【答案】 √210【答案】4π,(2kπ+π3, 0),k ∈Z 【答案】 (5π3−1, 5π3).四.解答题:本大题共6题,第17题10分,第18~22题每题12分,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】A ∪B ={x|0<x <6},A ∩∁R B ={x|4≤x <6}, (2)由A ∪B =A ,得:B ⊆A ,①当4−t ≥t 即t ≤2时,B =⌀,满足题意, ②B ≠⌀时,由B ⊆A 得:{4−t <t4−t ≥1t ≤6 ,解得:2<t ≤3, 综合①②得:实数t 的取值范围为:t ≤3, 故答案为:t ≤3 【答案】∵ 向量a →,b →满足|a →|=2,|b →|=1,|a →+2b →|=|a →−b →| ∴ |a →+2b →|2=|a →−b →|2,即(a →+2b →)2=(a →−b →)2,即|a →|2+4a →⋅b →+4|b →|2=|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2, 故6a →⋅b →+3=0, 解得:a →⋅b →=−12;|a →−2b →|2=|a →|2−4a →⋅b →+4|b →|2=7, ∴ |a →−2b →|=√7a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=2 设向量a →与a →−2b →夹角为θ,则cos θ=a →⋅(a →−2b →)|a →|⋅|a →−2b →|=2√77. 【答案】∵ cos 2β=1+cos 2β2=1+(−79)2=19⋯又∵ β∈(π2,π),∴ cos β=−13⋯由(1)知:sin β=√1−cos 2β=√1−(−13)2=2√23⋯由α∈(0,π2)、β∈(π2,π)得(α+β)∈(π2,3π2)cos (α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−√1−(79)2=−4√29⋯sin α=sin (α+β−β)=sin (α+β)cos β−cos (α+β)sin β =79×(−13)−(−4√29)×2√23=13⋯ 【答案】解:(1)在Rt △PON 中,PN =200sin θ,ON =200cos θ, 在Rt △OQM 中,QM =PN =200sin θ, OM =QMtan 60=√3=200√3sin θ3, 所以MN =ON −OM =200cos θ−200√3sin θ3,因为矩形MNPQ 是正方形,∴ MN =PN , 所以200cos θ−200√3sin θ3=200sin θ,所以(200+200√33)sin θ=200cos θ, 所以tan θ=1+√33=3+√3=3−√32.(2)因为∠POM =θ,所以∠POQ =60∘−θ,∴ PS +PT =200sin θ+200sin (60∘−θ) =200(sin θ+√32cos θ−12sin θ)=200(12sin θ+√32cos θ)=200sin (θ+60∘),0∘<θ<60∘. 所以θ+60∘=90∘,即θ=30∘时,PS +PT 最大,此时P 是AB ̂的中点. 【答案】函数f(x)=a →⋅b →−1=2sin 2(ωx +π4)−√3cos (2ωx)−1 =sin (2ωx)−√3cos (2ωx)=2sin (2ωx −π3)∵ f(x)的最小正周期为π,ω>0,∴ 2π2ω=π,∴ ω=1. 那么f(x)的解析式f(x)=2sin (2x −π3)令2kπ−π2≤2x −π3≤π2+2kπ,k ∈Z ,得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12∴ f(x)的单调增区间为[kπ−π12, kπ+5π12],k ∈Z . 方程f(x)−2n +1=0在[0, 7π12]上有且只有一个解, 转化为函数y =f(x)+1与函数y =2n 只有一个交点. ∵ x 在[0, 7π12]上,∴ −π3≤(2x −π3)≤5π6那么函数y =f(x)+1=2sin (2x −π3)+1的值域为[1−√3, 3], 结合图象可知,函数y =f(x)+1与函数y =2n 只有一个交点. 那么1−√3≤2n <1或2n =3, 可得1−√32≤n <12或n =32.由(1)可知f(x)=2sin (2x −π3)∴ f(x 2)min =−2.实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1],都存在x 2∈R , 使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立. 即4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>−2成立 令y =4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1设2x 1−2−x 1=t ,那么4x 1+4−x 1=(2x 1−2−x 1)2+2=t 2+2 ∵ x 1∈[−1, 1], ∴ t ∈[−32, 32],可得t 2+mt +5>0在t ∈[−32, 32]上成立.令g(t)=t 2+mt +5>0, 其对称轴t =−m2 ∵ t ∈[−32, 32]上,∴ ①当−m2≤−32时,即m ≥3时,g(t)min =g(−32)=294−3m 2>0,解得3≤m <296;②当−32<−m 2<32,即−3<m <3时,g(t)min =g(−m2)=5−m 24>0,解得−3<m <3;③当32≤−m2,即m ≤−3时,g(t)min =g(32)=294+3m 2>0>0,解得−296<m ≤−3;综上可得,存在m ,可知m 的取值范围是(−296, 296).【答案】设e x =t ,则x =ln t >0,所以f(t)=a(ln t)2−ln t 所以f(x)=a(ln x)2−ln x(x >0);设ln x =m(m ≤0),则f(x)=g(m)=am 2−m当a =0时,f(x)=g(m)=−m ,g(m)的值域为[0, +∞) 当a ≠0时,f(x)=g(m)=am 2−m =a(m −12a)2−14a(m ≤0)若a >0,12a >0,g(m)的值域为[0, +∞)若a <0,12a <0,g(m)在(−∞,12a ]上单调递增,在[12a ,0]上单调递减,g(m)的值域为(−∞,−14a]⋯综上,当a ≥0时f(x)的值域为[0, +∞) 当a <0时f(x)的值域为(−∞,−14a];因为ℎ(x)=a ln x −1+(1−a)ln x对任意x 1,x 2∈[e −3,e −1]总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +13所以ℎ(x)在[e −3, e −1]满足ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤a +13⋯ 设ln x =s(s ∈[−3, −1]),则ℎ(x)=r(s)=as +1−a s−1,s ∈[−3, −1]当1−a <0即a >1时r(s)在区间[−3, −1]单调递增所以r(−1)−r(−3)≤a +13,即−2−(−83a −43)≤a +13,所以a ≤35(舍)当a =1时,r(s)=s −1,不符合题意 当0<a <1时,则ℎ(x)=r(s)=as +1−a s−1=a(s +1−a as)−1,s ∈[−3, −1]若√1−a a≤1即12≤a <1时,r(s)在区间[−3, −1]单调递增所以r(−1)−r(−3)≤a +13,则12≤a ≤35 若1<√1−a a<3即110<a <12时r(s)在[−3,−√1−a a]递增,在[−√1−a a,−1]递减所以{r(−√1−aa )−r(−3)≤a +13r(−√1−a a )−r(−1)≤a +13 ,得110<a <12若√1−a a≥3即0<a ≤110时r(s)在区间[−3, −1]单调递减所以r(−3)−r(−1)≤a +13,即−83a −43+2≤a +13,得111≤a <110⋯综上所述:111≤a ≤35.。
2019-2020学年江苏省淮安市高一(上)期末数学试卷一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|x 2+2x =0},B ={−2, −1},则A ∪B =( ) A.{2} B.{−2, −1} C.{2, 0} D.{−2, −1, 0}2. 已知角α的终边经过点P(3, −4),则tan α=( ) A.35B.−45C.−43D.433. 已知点A =(1, 0),B =(3, 2),向量AC →=(2,1),则向量BC →=( ) A.(0, −1) B.(1, −1) C.(1, 0) D.(−1, 0)4. 设π4≤x ≤π2,则√1+sin 2x +√1−sin 2x =( )A.2sin xB.2cos xC.−2sin xD.−2cos x5. 已知m 是函数f(x)=√x −2x +2的零点,则实数m ∈( ) A.(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4)6. 已知a =log 123,b =(13)0.2,c =213,则它们的大小关系是( )A.c <b <aB.a <b <cC.c <a <bD.b <a <c7. 已知函数f(x)=cos 2x +2√3a sin x cos x −sin 2x (a 为常数)的图象关于直线x =π6对称,则函数f(x)的最大值是( ) A.4 B.3C.2D.18. 函数函数f(x)=log 2(1−x)的大致图象为( )A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.下列函数中定义域是R 的有( ) A.y =2x B.y =lg xC.y =x 3D.y =tan x设a →,b →,c →是任意的非零向量,则下列叙述正确的有( ) A.若a →∥b →,b →∥c →,那么a →∥c →B.若a →⋅c →=b →⋅c →,则a →=b →C.如果a →与b →是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使a →=λb →D.有且只有一对实数λ1,λ2,使a →=λ1b →+λ2c →已知函数f(x)=1+m3x +1(m ∈R)为奇函数,则下列叙述正确的有( ) A.m =−2B.函数f(x)在定义域上是单调增函数C.f(x)∈(−1, 1)D.函数F(x)=f(x)−sin x 所有零点之和大于零设函数f(x)=M sin (ωx +π6)(M >0, ω>0)的周期是π,则下列叙述正确的有( ) A.f(x)的图象过点(0,12)B.f(x)的最大值为MC.f(x)在区间[π6,2π3]上单调递减 D.(5π12,0)是f(x)的一个对称中心三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.已知tan θ=2,则sin (π+θ)−2cos θsin θ+sin (π2+θ)的值是________.已知扇形的周长为2,扇形的圆心角为2,则扇形的面积是________.在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形,则最大面积是________.已知平面向量a →,b →,c →满足a →与b →的夹角为锐角,|a →|=4,|b →|=2,|c →|=1,且|b →+ta →|的最小值为√3,则实数t 的值是________,向量(c →−12a →)⋅(c →−b →)的取值范围是________.四、解答题:本大题共6小题,共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知A ={x|(x −1)(x −a +1)<0},B ={x|log 2x >0}, (1)当a =3时,求B ∩(∁R A);(2)若[2, 3]⊆A ,求实数a 的取值范围.已知向量a →=(1,2),b →=(−3,k). (1)若a →∥b →,求|b →|的值;(2)若a ¯⊥(a →+2b →),求实数k 的值;(3)若a →与b →的夹角是钝角,求实数k 的取值范围.已知cos (α+β)=513.(1)若cos (α−β)=45,求tan αtan β的值;(2)若sin β=35,且α,β为锐角,求sin α的值.已知函数f(x)=lg (2+x)+lg (2−x). (1)判断f(x)的奇偶性,并证明;(2)用定义证明函数f(x)在(0, 2)上单调递减;(3)若f(x−2)<f(√x),求x的取值范围.已知函数f(x)=2x,x∈R.(1)若函数f(x)在区间[a, 2a]上的最大值和最小值之和为6,求实数a的值;(2)设函数g(x)=f(x)−λf(a)−(1−λ)f(b),若函数g(x)在区间(a, b)上恒有零点,求实数λ的取值范围;(3)在问题(2)中,令λ=12,比较g(a+b2)与0的大小关系,并说明理由.将函数g(x)=sin2x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的√3倍(横坐标不变),再向左平移π4个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,设函数ℎ(x)=f(x)+g(x).(1)求函数ℎ(x)的解析式;(2)若对任意α,β∈[π2,π],不等式a≤ℎ(α)−ℎ(β)≤b恒成立,求b−a的最小值;(3)若ℎ(x2−π6)=t在[0, 2π)内有两个不同的解x1,x2,求cos(x1−x2)的值(用含t的式子表示).参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省淮安市高一(上)期末数学试卷一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】C二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 【答案】A,C【答案】A,C【答案】A,B,C【答案】B,C,D三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.【答案】−4 3【答案】14【答案】 4【答案】−14,[3−2√3, 3+2√3]四、解答题:本大题共6小题,共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】因为A ={x|(x −1)(x −a +1)<0},所以当a =3时,A =(1, 2),所以∁R A =(−∞, 1]∪[2, +∞);又B ={x|log 2x >0},所以B =(1, +∞),所以B ∩(∁R A)=[2, +∞); 因为A ={x|(x −1)(x −a +1)<0},所以A =(1, a −1)或A =(a −1, 1), 又因为[2, 3]⊆A ,所以A =(1, a −1),所以a −1>3,即a >4 故实数a 的取值范围为(4, +∞). 【答案】因为向量a →=(1,2),b →=(−3,k),且a →∥b →, 所以1×k −2×(−3)=0,解得k =−6, 所以|b →|=√(−3)2+(−6)2=3√5.因为a →+2b →=(−5,2+2k),且a ¯⊥(a →+2b →), 所以1×(−5)+2×(2+2k)=0,解得k =14, 因为a →与b →的夹角是钝角, 则a →⋅2b →<0且a →与b →不共线. 即1×(−3)+2×k <0且k ≠−6, 所以k <32且k ≠−6.【答案】 因为cos (α+β)=513,cos (α−β)=45,所以{cos αcos β−sin αsin β=513cos αcos β+sin αsin β=45,解之得{2cos αcos β=77652sin αsin β=2765 , 所以tan αtan β=2777;因为α,β为锐角,所以0<α+β<π,sin (α+β)>0,cos β>0, 由cos (α+β)=513,得sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=1213; 由sin β=35,得cos β=√1−sin 2=45,所以sin [(α+β)−β]=sin (α+β)cos β−cos (α+β)sin β=3365.【答案】根据题意,函数f(x)=lg (2+x)+lg (2−x),则有{2+x >02−x >0 ,解可得−2<x <2,即函数f(x)的定义域为(−2, 2),又由f(x)=lg (2+x)+lg (2−x)=lg (4−x 2),f(−x)=lg (4−(x)2)=f(x), 故f(x)是偶函数;任取x 1,x 2∈(0, 2)且x 1<x 2, 则f(x 1)−f(x 2)=lg (4−x 12)−lg (4−x 22)=lg (4−x 124−x 22),因为x 1,x 2∈(0, 2)且x 1<x 2,所以4−x 12>4−x 22>0,所以4−x 124−x 22>1,lg (4−x 124−x 22)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在区间(0, 2)上单调递减; 因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|),又因为f(x)定义域为(−2, 2),且在区间(0, 2)的单调递减, 因为f(x −2)<f(√x),所以{|x −2|>|√x|−2<x −2<2−2<√x <2 ,解之得0<x <1,所以x 的取值范围是(0, 1).【答案】由题意,可知f(x)=2x 在[a, 2a]上单调递增,故f(x)=2x 在[a, 2a]上最大最小值分别为22a ,2a , ∴ 2a +22a =6,令t =2a >0,则t 2+t =6, 解得t 1=2,或t 2=−3(舍去). ∴ 2a =2, ∴ a =1.由题意,f(x)=2x 在(a, b)上单调增函数,故g(x)=f(x)−λf(a)−(1−λ)f(b)在(a, b)上也是单调增函数, 若函数g(x)在区间(a, b)上恒有零点,则必有{g(a)<0g(b)>0 ,即{f(a)−λf(a)−(1−λ)f(b)<0f(b)−λf(a)−(1−λ)f(b)>0 , 整理,得{(1−λ)[f(a)−f(b)]<0λ[f(b)−f(a)]>0 ,∵ f(a)<f(b), ∴ 0<λ<1.∴ 实数λ的取值范围为(0, 1). 当λ=12时, g(a+b 2)=f(a+b 2)−12[f(a)+f(b)]=2a+b 2−2a +2b 2=−12(2a+2b−2⋅2a2⋅2b2)=−12(2a2−2b2)≤0.又∵a<b,∴2a2≠2b2,∴g(a+b2)<0.【答案】将函数g(x)=sin2x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的√3倍(横坐标不变),得到函数y=√3sin2x的图象,再将y=√3sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到函数y=f(x),所以f(x)=√3sin2(x+π4)=√3cos2x,又ℎ(x)=f(x)+g(x),所以ℎ(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3);当x∈[π2,π]时,(2x+π3)∈(43π,73π),所以sin(2x+π3)∈[−1,√32],所以2sin(2x+π3)∈[−2,√3],由题意知b≥√3+2,a≤−2−√3,所以b−a≥2√3+4即b−a的最小值为2√3+4;法一:因为ℎ(x2−π6)=2sin[2(x2−π6)+π3]=2sin x,所以x1,x2是2sin x=t在[0, 2π)内有两个不同的解,所以x1+x2=π或x1+x2=3π,所以x1−x2=π−2x2或x1−x2=3π−2x2所以cos(x1−x2)=2sin2x2−1=t22−1;法二:①当t>0时,不妨设x1<x2,则有0<x1<π2<x2<π,所以cos x1=√1−t24,cos x2=√1−t24;②当t<0时,不妨设x1<x2,则有π<x1<3π2<x2<2π,所以cos x1=√1−t24,cos x2=√1−t24;③当t=0时,显然有x1=0,x2=π,所以cos(x1−x2)=cos x1cos x2+sin x1sin x2=t22−1.。
江苏省淮安中学高一上学期期末考试数学试题一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分。
请把答案填在答题卡相应位置上。
) 1.已知集合{}02A x x =<≤,则集合A 的元素中有 个整数。
2.已知向量(2,1),(3,4),a b ==-则a b += 。
3.已知向量(cos ,sin )a x x =,则||a = 。
4.sin3π的值是 。
5.已知函数()sin cos f x x x =,则(1)(1)f f -+= 。
6.在平面直角坐标系中,若角α的终边落在射线(0)y x x =≥上,则tan α= 。
7.函数()tan f x x =的定义域为 。
8.函数2()(1)mf x m m x =--是幂函数,则实数m 的值为 。
9.函数()2cos (0)2f x x x π=≤≤的值域是 。
10.若1sin()23πθ-=,则sin()2πθ+= 。
11.已知函数()21xf x =+,且2()(1)f a f <,则实数a 的取值范围为 。
12.函数2()ln f x x =的单调递增区间为 。
13.如图,在ABC ∆中,2AB =,3AC =,D 是边BC 的中点,则AD BC ⋅=____________。
14.给出下列命题:(1)函数()tan f x x =有无数个零点;(2)若关于x 的方程||1()02x m -=有解,则实数m 的取值范围是(0,1]; (3)把函数()2sin 2f x x =的图象沿x 轴方向向左平移6π个单位后,得到的函数解析式可以表示成()2sin 2()6f x x π=+;(4)函数11()sin sin 22f x x x =+的值域是[1,1]-; (5)已知函数()2cos f x x =,若存在实数12,x x ,使得对任意的实数x 都有()()()12f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小值为2π。
高一数学期末模拟试卷注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数,对任意实数,x y R ∈,都有()()()f x f y f x y =+,若112a =,()()n a f n n N +=∈,则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( ) A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2D.1[,1]22.已知平面向量,,,,且,则向量与向量的夹角为( )A .B .C .D .3.已知函数f (x )=Asin (ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的图象经过点P (8π,0)和相邻的最低点为Q (98π,-2),则f (x )的解析式( ) A .()12sin 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B .()1152sin 216f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C .()32sin 8f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .()1152sin 216f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4.实数a ,b 定义运算“⊗”;,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩,设2()(1)(5)f x x x =-⊗+,若函数()y f x k =+至少有两个零点,则k 的取值范围是 A .[]-3,1B .(]-3,1C .[)-3,1D .-3,1()5.定义在上的偶函数满足:对任意的,,,有,且,则不等式的解集为 A . B .C .D .6.下列命题:①若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行; ②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行; ③若两条直线都与同一平面平行,则这两条直线互相平行;④若两条直线都与同一平面垂直,则这两条直线互相平行.其中正确的是( ) A .①② B .②③ C .①④ D .③④7.如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α以Ox 为始边,终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ,点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的( )A .()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z B .()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z C .()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z D .()f α对定义域内的α均满足(π)()f f αα-=8.设0.22a =,20.2b =,0.2log 2c =,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a b c <<B .b c a <<C .c a b <<D .c b a <<9.已知0>ω,函数()sin()4f x x πω=+在(2π,π)上单调递减,则ω的取值范围是( ) A.(0,12] B.(0,2]C.[12,54]D.[12,34]10.设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( ) A.()f x 的图象关于直线3x π=对称B.()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.把()f x 的图象向左平移12π个单位,得到一个偶函数的图象D.()f x 的最小正周期为π,且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数11.等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5=1,则( ) A .a 1=1B .a 3=1C .a 4=1D .a 5=112.已知2()sin ()4f x x π=+,若1(lg5),(lg )5a f b f ==,则( )A .0a b +=B .0a b -=C .1a b +=D .1a b -=13.如果ac <0且bc <0,那么直线ax +by +c =0不通过A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限14.若圆的圆心到直线的距离为,则的值为( ).A .或 B .或 C .或 D .或15.如图,在空间四边形ABCD 中,两条对角线,AC BD 互相垂直,且长度分别为4和6,平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ,记四边形EFGH 的面积为y ,设BEx AB=,则( )(A )函数()y f x =的值域为(0,4] (B )函数()y f x =的最大值为8(C )函数()y f x =在2(0,)3上单调递减(D )函数()y f x =满足()(1)f x f x =- 二、填空题16.在ABC V 中,已知AC 6=,A 60=o,点D 满足BD 2DC =u u u r u u u r,且AD 27=,则AB 边的长为______.17.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全一样的正四棱柱体分成三组,经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的体积的最小值为(容器壁的厚度忽略不计)__________.18.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的周长为7,面积为37,1cos 8C =-,则c =__________.19.已知0a >,b R ∈,当0x >时,关于x 的不等式2(1)(4)0ax x bx -+-≥恒成立,则2b a+的最小值是_________. 三、解答题20.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . (1)若()()3a b c a b c ab +++-=,求角C 的大小; (2)若BM 是AC 边上的中线,求证:22212()2BM a c b =+-. 21.已知:函数.(1)求函数最小正周期; (2)求函数的单调递增区间; (3)当时,求函数的最大值和最小值. 22.已知函数()mf x x x=+图象过点()1,5P . (1)求实数m 的值,并证明函数()f x 是奇函数;(2)利用单调性定义证明()f x 在区间[)2+∞,上是增函数. 23.已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1,设()()g x f x x=. (1)求,a b 的值; (2)若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立,求实数k 的取值范围.24.f(x)是定义在R 上的奇函数,对x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(-1)=2.(1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)是R 上的减函数; (3)求f(x)在[-2,4]上的最值. 25.已知函数,设其最小值为(1)求;(2)若,求a 以及此时()f x 的最大值.【参考答案】一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.B 8.D 9.C 10.C 11.B 12.C 13.C 14.C 15.D 二、填空题 16.617. 18.3 19.4 三、解答题20.(1)3C π=;(2)略21.(1);(2);(3),22.(1)4m =,证明略 (2)见证明 23.(1)a=1,b=0;(2) (],0-∞.24.(1)略;(2)略;(3)最大值为4,最小值为-8.25.(1)(2),高一数学期末模拟试卷注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1.如图,某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15o 方向,后来船沿南偏东45o 的方向航行30km 后,到达B 处,看见灯塔P 在船的西偏北15o 方向,则这时船与灯塔的距离是:A.10kmB.20kmC.103kmD.53km2.“ABC ∆三个内角的度数可以构成等差数列”是“ABC ∆中有一个内角为60o ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.若,x y 满足30230x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩,,,且2z x y =+的最小值为1,则实数m 的值为( )A .5-B .1-C .1D .54.椭圆以x 轴和y 轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的方程为( )A.2214x y +=B.221164y x += C.2214x y +=或221164y x +=D.2214x y +=或2214y x +=5.已知2()1xf x a x =+-(0a >且0a ≠),(1)2f -=,若实数m 满足(1)2f m -≥,则实数m 的取值范围是( ) A.(,0]-∞B.[2,)+∞C.[0,)+∞D.(,0][2,)-∞+∞U6.设奇函数()f x 在()0+∞,上为单调递减函数,且()20f =,则不等式()()3205f x f x x--≤的解集为 ( )A .[)(]2002-⋃,, B .][)202⎡-⋃+∞⎣,, C .][()22-∞-⋃+∞,, D .(](]202-∞-⋃,, 7.若从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ,从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ,则直线0ax y b -+=一定..经过第四象限的概率为( ) A .29B .13C .49D .598.若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式2yx m 3m 4+<-有解,则实数m 的取值范围( ) A .()1,4- B .()(),14,∞∞--⋃+ C .()4,1-D .()(),03,∞∞-⋃+9.已知()()()()()()()()()2,522{,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ≥=-=≥若=-,,若,则F (x )的最值是( ) A .最大值为3,最小值B .最大值为,无最小值C .最大值为3,无最小值D .既无最大值,又无最小值10.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像,若对满足12()()2f x g x -=的,,有,则ϕ=( )A .512πB .3π C .4π D .6π 11.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减,则a 的取值范围为( ) A .[1,2)B .[]12,C .[1+)∞,D .[2+)∞,12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.180B.200C.220D.240二、填空题13.已知,αβ是两个不同平面,直线αl ⊄,给出下面三个论断: ①//l α ②l β⊥ ③αβ⊥以其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题_______.14.设(1,0)a =r ,(cos ,sin )b θθ=v ,其中0θπ≤≤,则||a b +r r的最大值是__________.15.已知样本数据1x ,2x ,…n x 的方差为4,则数据123x +,223x +,…23n x +的标准差是16.已知π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,5sin α,则tan2α=__________.三、解答题 17.已知02πβα<<<,tan 43α=13cos()14αβ-=(1)求sin α和 cos α; (2)求角β的值18.平面内给定三个向量a r =(3,2),b r =(-1,2),c r=(4,1).(1)求满足a mb nc =+r r r的实数m ,n ;(2)若()//(2)a kc b a +-r r r r,求实数k ;19.在中,角的对边分别为,满足.(1)求角的大小;(2)若,求的周长最大值.20.如图,在平面直角坐标系xoy 中,以轴为始边做两个锐角,αβ,它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,已知A ,B 的横坐标分别为(1)求的值; (2)求的值。
江苏省淮安市2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)一、选择题(本大题共10小题,共40.0分)1.的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据负角化正角、大角化小角的原则,利用诱导公式进行计算.【详解】故选:A【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,诱导公式的应用.在利用诱导公式进行计算时,转化口诀:负化正、大化小,化成锐角解决了.2.已知集合,集合2,3,,则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集和并集运算,即可求出正确结果.【详解】集合,集合2,3,,.故选:A.【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.已知幂函数的图象过点,则的值为A. B. 2 C. 4 D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义和待定系数法,求出幂函数的表达式,即可求值.【详解】设幂函数为,的图象过点,.,,故选:B.【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式,同时考查了幂函数的概念,属于基础题.4.已知向量满足,且,则A. 8B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直的性质,得到两个向量的数量积为,问题得以解决.【详解】;;又;;.故选:B.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算和性质,以及向量垂直的性质,本题解题的关键是求出两个向量的数量积.5.三个数,,的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】容易看出,从而可得出这三个数的大小关系.【详解】,,;.故选:D.【点睛】考查指数函数和对数函数的单调性,增函数和减函数的定义,以及指数函数的值域.6.将函数的图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变,再将得到的图象向右平移个单位长度,所得图象的函数解析式为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果.【详解】函数的图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变,得到:,再将得到的图象向右平移个单位长度,得到:,故选:C.【点睛】本题考查的知识要点:三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.7.已知扇形的周长为6cm,圆心角为1rad,则该扇形的面积为______A. 2B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】结合扇形的周长公式以及弧长公式求出半径和弧长,利用扇形的面积公式进行计算即可.【详解】设扇形的半径为R,则弧长,则扇形的周长为,即,则,则扇形的面积,故选:A.【点睛】本题主要考查扇形的面积的计算,结合扇形的弧长公式以及面积公式是解决本题的关键.8.已知函数,则满足的t的取值范围是A. B. C. D.【解析】【分析】由分段函数,结合对数函数和一次函数的单调性,可判断在上递增,即可得到,求得的范围.【详解】函数,可得时,递增;时,递增,且处,可得在R上为增函数,由,即,解得,即t的范围是.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的单调性和运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,属于基础题.9.如图所示,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据条件,可对的两边平方得出,,对两边同时点乘即可得出,联立①②即可解出的值.【详解】与的夹角为,与的夹角为,且;对两边平方得:;对两边同乘得:,两边平方得:;得:;根据图象知,,,代入得,;.【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式,以及向量夹角的概念,向量加法的平行四边形法则.10.下列说法中正确的有个的图象关于对称;的图象关于对称;在内的单调递增区间为;若是R上的奇函数,且最小正周期为T,则.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由余弦函数的对称性可判断①;由正切函数的对称中心可判断②;由正弦函数的单调性解不等式可判断③;由奇函数和周期函数的定义,计算可判断④.【详解】,可得,不为最值,故图象不关于对称,故错误;,由,,可得,,时,可得,图象关于对称,故正确;,由,可得,,可得在内的单调递增区间为,,故错误;若是R上的奇函数,且最小正周期为T,则,可得,即有,故正确.故选:B.【点睛】本题考查命题的真假判断,主要三角函数的图象和性质,考查化简运算能力,属于中档题.二、填空题(本大题共6小题,共36.0分)11.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】求函数的定义域,只需要令对数的真数大于0,及偶次方根被开方数非负,列出不等式组求解即可。
高一数学期末模拟试卷注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1.设函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移m(m>0)个单位,向右平移n(n>0>个单位,所得到的两个图象都与函数sin(2)6y x π=+的图象重合m n +的最小值为( ) A .23π B .56π C .πD .43π 2.若函数2()2f x x x m =+-在[0,2)上有零点,则m 的取值范围为( ) A.(0,8)B.[0,8]C.(0,8]D.[0,8)3.已知向量()cos ,sin a θθ=r ,(b =r ,若a r 与b r 的夹角为6π,则a b +=r r ( )A.2D.14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足(1)(3)f x f x +=-,当(2,0)x ∈-时,()2xf x =-,则(1)(4)f f +等于( )A .-1B .12-C .12D .15.已知函数()(),00xe xf xg x x ≥⎧⎪=<⎨⎪⎩为偶函数,则1ln (2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭) A .2B .12C .2-D .12-6.设奇函数()f x 在()0+∞,上为单调递减函数,且()20f =,则不等式()()3205f x f x x--≤的解集为 ( )A .[)(]2002-⋃,, B .][)202⎡-⋃+∞⎣,, C .][()22-∞-⋃+∞,, D .(](]202-∞-⋃,, 7.已知()()214,1log ,1a x a x a f x x x -+≤⎧=>⎨⎩是(),-∞+∞上的减函数,则a 的取值范围是( )A .()0,1B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .11,62⎛⎫⎪⎝⎭D .11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.下列各函数在其定义域内为增函数的是( ) A.4y x=-B.()12log4y x =-C.212y x =-D.3y x =-9.已知函数()ln(1)f x x =+()(22)f x f x >-的x 的范围是( )A.2(,2)3B.()1,1,3∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭nC.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2(,)(2,)3-∞⋃+∞10.若不等式2162a bx x b a+<+对任意a , ()0b ∈+∞,恒成立,则实数x 的取值范围是( ) A .()20-,B .()42-,C .()()20-∞-⋃+∞,,D .()()42,,-∞-⋃+∞ 11.函数0.51log (43)y x =-的定义域为( )A.(34,1) B.(34,∞)C.(1,+∞)D.(34,1)∪(1,+∞) 12.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式1()3V S S S S h =++下下上上•).A . 2寸B .3寸 C. 4寸 D .5寸13.如图,在ABC ∆中,PA ⊥面ABC ,AB AC =,D 是BC 的中点,则图中直角三角形的个数是( )A .5B .6C .7D .814.袋中装有5个小球,颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色。
现从袋中随机抽取3个小球,设每个小球被抽到的机会均相等,则抽到白球或黑球的概率为( ) A .25B .35C .23D .91015.函数f (x )=+lg (1+x )的定义域是( )A .(-∞,-1)B .(1,+∞)C .(-1,1)∪(1,+∞)D .(-∞,+∞) 二、填空题16.已知向量(1,)a λ=r ,(2,3)b =-r ,若a b -r r 与b r 共线,则λ=__________.17.已知集合A={x|2x >1},B={x|log 2x <0},则∁A B=___.18.若()442xx f x =+,则121000100110011001f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L =_________ 19.在等差数列{}n a 中,12a =,3510a a +=,则7a = .三、解答题 20.已知函数.求函数的递增区间; 当时,求函数的值域.21.数列{}n a 的前n 项和为n S ,1*1221n n n S a n ∈N ++=-+,,且12519a a ,+,成等差数列. (1)求1a 的值; (2)证明12an n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (3)设3(2)nn n b log a =+,若对任意的*n ∈N ,不等式()()1260n n b n n b λ<+-+-恒成立,试求实数λ的取值范围.22.已知数列{}n a 的n 前项和为n S ,且22n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求n T .23.ABC ∆中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍. (1)求sin sin BC; (2)若AD =1,DC =22,求BD 和AC 的长. 24.已知定义在())(,00,-∞⋃+∞上的奇函数()f x 满足(2)0f =,且在(),0-∞上是增函数; 定义行列式12142334a a a a a a a a =-; 函数sin 3cos ()sin g mθθθθ-=(其中02πθ≤≤).(1) 证明: 函数()f x 在)(0,+∞上也是增函数; (2) 若函数()g θ的最大值为4,求m 的值;(3) 若记集合M={m|恒有g(θ)<0},[]{}|()0N m f g θ=<恒有,求M N ⋂. 25.已知函数为上的偶函数,为上的奇函数,且.求,的解析式;若函数在上只有一个零点,求实数的取值范围.【参考答案】一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.C5.A 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.A 12.B 13.C 14.D 15.C 二、填空题 16.32-17.[1,+∞) 18.500 19.8 三、解答题20.(1)(2)21.(1)11a =;(2)略;(3)[1,)+∞.22.(1)2n n a =;(2)()133()2nn -+⋅.23.(1)12;(2)1 24.(1)略(2)1m =-(3)M N ⋂=(626-,+∞) 25.(1).(2)或.高一数学期末模拟试卷注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1.已知平面向量a r ,b r 满足1a =r ,2b =r ,且()a b a +⊥r r r ,则a r 与b r 的夹角为( )A .56πB .6π C .23π D .3π 2.已知函数()f x cosx =,下列结论不正确的是( ) A.函数()y f x =的最小正周期为2π B.函数()y f x =在区间()0π,内单调递减 C.函数()y f x =的图象关于y 轴对称 D.把函数()y f x =的图象向左平移2π个单位长度可得到sin y x =的图象 3.已知圆1C :22x y a +=关于直线l 对称的圆为圆2C :222230x y x ay ++-+=,则直线l 的方程为A .2450x y -+=B .2450x y ++=C .2450x y --=D .2450x y +-=4.已知点(5,0),(1,3)A B ---,点P 是圆22:(1)1C x y -+=上任意一点,则PAB ∆面积的最大值是( ) A.11B.232C.13D.2725.已知数列}{n a 满足11a =,n a Z ∈,且11132nn n a a +--<+,12132n n n a a ++->-,则2019a =( )A.2021318-B.2020318-C.2019318-D.2018318-6.如图,边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻,假定这些芝麻全部落入该正方形中,发现有795粒芝麻落入圆内,则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( )A .3.1B .3.2C .3.3D .3.47.在直角三角形ABC 中,2C π=,3AC =,对于平面ABC 内的任一点M ,平面ABC 内总有一点D 使得32MD MB MA =+u u u u r u u u r u u u r,则(CD CA ⋅=u u u r u u u r )A .1B .2C .4D .68.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,31,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为其终边上一点,则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A .3-B .12-C .12D .3 9.已知函数2()(1cos 2)cos f x x x =-,x ∈R ,则()f x 是( )A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数10.在ABC ∆中,23a =,22b =,45B ∠=︒,则A ∠为( ).A.30°或150︒B.60︒或120︒C.60︒D.30°11.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若函数()g x 为奇函数,则ϕ的最小值为( ) A .12πB .6π C .3π D .2π 12.已知集合{}()(){}2,1,0,1,2,|120M N x x x =--=+-≤,则M N ⋂=( ) A .{}1,0- B .{}0,1C .{}1,0,1-D .{}1,0,1,2-13.如果函数在区间上是增函数,而函数在区间上是减函数,那么称函数是区间上的“缓增函数”,区间叫做“缓增区间”,若函是区间上的“缓增函数”,则其“缓增区间”为 A .B .C .D .14.在ABC ∆中,“A B >”是“cos cos A B <”( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件15.关于的不等式的解集为,则函数的图象为图中的( )A .B .C .D .二、填空题16.在四面体A-BCD 中,AB =AC =DB =DC =22BC ,且四面体A-BCD 的最大体积为13,则四面体A-BCD外接球的表面积为________.17.在正方形ABCD 中,E 是线段CD 的中点,若,则________.18.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是3y x =,它的一个焦点与抛物线216y x=的焦点相同。