第七章 无穷级数
一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：
1、形如∑∞
=-11
n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 发散。 2、形如∑∞ =1 1 n p n 的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足 条件l U U n n n =+∞→1 lim ： ?当1 ?当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）； ?当1=l 时，无法判断。 5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞ =1n n U ，满足 条件λ =∞ →n n n U lim ： ?当1<λ时，级数收敛； ?当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）； ?当1=λ时，无法判断。 注：当1,1==λl 时，方法失灵。 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ?若+∞< =1n n U 与 ∑∞ =1 n n V 有相同的敛散性； ?若0=l 且级数∑∞ =1 n n V 收敛，则级数 ∑∞ =1 n n U 收敛； ?若+∞=l 且级数∑∞ =1n n V 发散，则级数 ∑∞ =1 n n U 发散。 7、定义判断：若? =∞ →C S n n lim 收敛，若n n S ∞→lim 无极限?发散。 8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）： 满足1+≥n n U U ，?=∞→0lim n n U 收敛，其和1u S ≤。 9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。 条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。 二、无穷级数的基本性质： 1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。 2、收敛的无穷级数 ∑∞ =1 n n U ，其和为S ，则∑∞ =1 n n aU ，其和为aS （0≠a ） （级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变） 3、?级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。 （逆否命题：加括号后发散，则原级数发散） ?加括号后级数收敛，原级数未必收敛。 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 第10章 无穷级数 一、常数项级数的概念 常数项级数 设给定一个数列12,,,, n u u u ，表达式 1 n n u ∞ =∑称为常数项无穷级 数．121n n s u u u u =+++ +称为该级数的（前n 项）部分和． 级数收敛 如果部分和数列{}n s 有极限，即若lim n n s s →∞ =，则称该级数收敛，s 为其和，并记为 1 n n u s ∞ ==∑，否则，称级数发散． 二、常数项级数性质 （1）如果级数 1n n u ∞ =∑收敛于s ，则级数 1 n n ku ∞ =∑（k 为常数）也收敛，且收敛于ks ； （2）如果级数 1 1 , n n n n u v ∞ ∞ ==∑∑分别收敛于s 和σ，a 和b 为任意实数，则 1 ()n n n au bv ∞ =+∑也 收敛，且收敛于as b σ+； （3） 在级数中去掉（加上或改变有限项），级数敛散性不变； （4） 收敛级数加括号后仍然收敛，且收敛于原来的和； （5） 级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件是：0lim =∞ →n n u ． 三、常数项级数的审敛法 1.正项级数 收敛充要条件 数列{}n s 有上界 1 n n u ∞ =∑收敛。 比较审敛法 n n v u ≤（1,2, n =），当 1 n n v ∞ =∑收敛时? 1 n n u ∞ =∑收敛； 当 ∑∞ =1 n n u 发散时? ∑∞ =1n n v 也发散。 （极限形式） lim n n n u l v →∞=，当0l <<+∞时， 1n n u ∞ =∑与 ∑∞=1 n n v 同时收敛或发散； 当0l =时，若 1 n n v ∞ =∑收敛? 1 n n u ∞=∑必收敛； 当l =+∞时，若 1 n n u ∞ =∑发散? 1 n n v ∞ =∑必发散。 高等数学期末复习 第十二章 无穷级数 一、容要求 1、能用比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛必要条件，运算性质判别级数的审敛性运算性质判别级数的审敛性 2、能判别级数的绝对收敛，条件收敛 3、能用级数运算性质判别级数的审敛性 4、能用级数的相关概念与性质推出一些简单结论 5、会求幂级数的收敛半径 6、会确定幂级数的收敛域 7、会求收敛幂级数的和函数 8、会利用已知幂级数形式将简单函数作幂级数展开 9、能确定函数傅里叶展开式边界点的收敛值 10、会求傅里叶展开式的系数和作函数的傅里叶展开 二、例题习题 1、下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+1 1n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ?? +1 211n n 发散，因此选C 。（容要求1） 2、下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时， 100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1 132n n n 收敛，所以选D 。（容要求1） 第四篇 无穷级数 第七章 无穷级数 无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数. 第1节 常数项级数的概念与性质 1.1常数项级数的概念 一般的，给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 叫做（常数项）无穷级数, 简称（常数项）级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 3211 ???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 作级数∑∞ =1n n u 的前n 项和 n n i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211 称为级数∑∞ =1 n n u 的部分和. 当n 依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列 11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，…， 12...n n s u u u =+++，… 根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。 定义 如果级数∑∞ =1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞ →lim , 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成 ΛΛ 3211 +++++==∑∞ =n n n u u u u u s ; 如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 发散. 当级数∑∞ =1 n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞ =1 n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值 12n n n n r s s u u ++=-=++L 叫做级数∑∞ =1n n u 的余项. 例1 讨论等比级数（几何级数）n n aq ∑∞ =0 (a ≠0)的敛散性. 解 如果1≠q , 则部分和 q aq q a q aq a aq aq aq a s n n n n ---=--=+???+++=-111 1 2. 当1 2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题 第四章 无穷级数 一、选择题 1. 若0lim =∞ →n n u ，则级数 ∑∞ =1 n n u ………………………………………………………（ ） A. 收敛且和为0 B. 收敛但和不一定为0 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散 2. 下列级数发散的是……………………………………………………………………（ ） A. ∑∞ =12 1 n n B. ∑∞ =1 2)1(n n C. ∑ ∞ =-2 1 1n n D. ∑∞ =+1 2 )1 ( n n n 3. 设无穷级数 ∑∞ =1 n p n 收敛，则在下列数值中p 的取值为……………………………（ ） A. 2- B. 1- C. 1 D. 2 4. 若31 lim 1 =+∞→n n n a a ，则级数n n n x a )21( 0∑∞ =+的收敛半径等于…………………………（ ） A. 31 B. 3 C. 32 D. 2 3 5. 幂级数 ∑∞ =---1 1 )1() 1(n n n n x 的收敛区域是……………………………………………（ ） A. ]2,0( B. )2,0[ C. )2,0( D. ]2,0[ 6. 设幂级数 ∑∞ =0n n n x a 在3=x 处收敛，则该级数在1-=x 点处………………………（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散 7. 无穷级数 ∑∞ =1 !1 n n 的和为…………………………………………………………………（ ） A. e B. 1-e C. 1+e D. 2+e 8. 2 4 1x x -展成x 的幂级数是………………………………………………………………（ ） A. ∑∞ =1 2n n x B. ∑∞ =-1 2) 1(n n n x C. ∑∞ =2 2n n x D. ∑∞ =-2 2) 1(n n n x 二、填空题 第十章无穷级数 【考试要求】 1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性． 4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间． 6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐 项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法． 【考试内容】 一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义 一般地，如果给定一个数列 1u ，2u ，，n u ，，则由这数列构 成 的 表 达式123n u u u u +++ ++ 叫做常数 项无穷级数，简称常数项级数或级 数 ， 记 为 1 n n u ∞ =∑，即 123 1 n n n u u u u u ∞ ==+++++ ∑， 其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念 作常数项级数1 n n u ∞ =∑的前n 项和121 n n n i i s u u u u ==++ +=∑，n s 称为级数1 n n u ∞ =∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的 数列 11 s u =， 212s u u =+，3123s u u u =++，， 1 n s u =， ． 如果级数 1n n u ∞ =∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞ =，则称无 穷级数 1 n n u ∞ =∑收敛，这时极限s 叫做 这级数的和，并写成 123n s u u u u =+++++或者 1 n n u s ∞ ==∑；如果{}n s 没有极限，则 称无穷级数 1 n n u ∞ =∑发散． 3．收敛级数的基本性质同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数
高数第七章无穷级数知识点
p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
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p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足 条件l U U n n n =+∞→1 lim ： ①当1
张卓奎《高等数学(第3版)》第十章无穷级数-本章提要
高等数学期末复习_无穷级数
同济大学(高等数学)第四篇无穷级数
q 时, 因为∞=∞ →n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 发散.
高数 微积分(B) 无穷级数练习题
(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数
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