高数第七章无穷级数知识点
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高数第七章无穷级数知识
点
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第七章 无穷级数
一、敛散性判断(单调有界,必有极限;从上往下,具有优先顺序性):
1、形如∑∞
=-11
n n aq
的几何级数(等比级数):当1 ≥q 时发散。 2、形如∑∞ =1 1 n p n 的P 级数:当1>p 时收敛,当1≤p 时发散。 3、⇒ ≠∞ →0lim n n U 级数发散; 级数收敛 lim =⇒∞ →n n U 4、比值判别法(适用于多个因式相乘除):若正项级数 ∑∞ =1 n n U ,满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim : 当1 当1>l 时,级数发散(或+∞=l ); 当1=l 时,无法判断。 5、根值判别法(适用于含有因式的n 次幂):若正项级数∑∞ =1n n U ,满 足条件λ =∞→n n n U lim : 当1<λ时,级数收敛; 当1>λ时,级数发散(或+∞=λ); 当1=λ时,无法判断。 注:当1,1==λl 时,方法失灵。 6、比较判别法:大的收敛,小的收敛;小的发散,大的发散。(通过不等式的放缩) 推论:若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数,且 l V U n n n =∞→lim (n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< =1n n U 与 ∑∞ =1 n n V 有相同的敛散性; 若0=l 且级数∑∞ =1 n n V 收敛,则级数 ∑∞ =1 n n U 收敛; 若+∞=l 且级数∑∞ =1 n n V 发散,则级数∑∞ =1 n n U 发散。 7、定义判断:若 ⇒ =∞ →C S n n lim 收敛,若n n S ∞→lim 无极限⇒发散。 8、判断交错级数的敛散性(莱布尼茨定理): 满足1+≥n n U U ,⇒ =∞ →0lim n n U 收敛,其和1u S ≤。 9、绝对收敛:级数加上绝对值后才收敛。 条件收敛:级数本身收敛,加上绝对值后发散。 二、无穷级数的基本性质: 1、两个都收敛的无穷级数,其和可加减。 2、收敛的无穷级数 ∑∞ =1 n n U ,其和为S ,则∑∞ =1 n n aU ,其和为aS (0≠a ) (级数的每一项乘以不为0的常数后,敛散性不变) 3、级数收敛,加括号后同样收敛,和不变。 (逆否命题:加括号后发散,则原级数发散) 加括号后级数收敛,原级数未必收敛。