高数 微积分(B) 无穷级数练习题

第七章 无穷级数一、填空题1、级数11n n aq ∞-=∑当q 时级数收敛，当q 时级数发散．2、级数211p n n ∞-=∑当p 时级数收敛，当p 时级数发散． 3、正项级数()10n n n u u ∞=>∑满足条件10lim n n n u l u +→=，则当l 时级数收敛，当l 时级数发散．4、级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞= ．5、数项级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和为_____________________ ． 6、幂级数11n n nx∞-=∑的和函数是____________．级数()1114n nn -∞=-∑的和S =____________． 7、幂级数设()0213nn n n x ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的收敛半径是__________________． 8、幂级数211nn x n ∞=+∑的收敛半径为________________． 9、幂级数025nn n x ∞=+∑的收敛半径为__________．10、幂级数()033nn n n x n ∞=--∑的收敛半径为___________． 11、幂级数()11(1)13n n n x n∞-=--∑的收敛域为 ． 12、若已知级数5,2)1(11211==-∑∑∞=-∞=-n n n n n u u ，则级数∑∞=1n n u 的和____________． 13、1x展开为3x -的幂级数为______________________． 14、若幂级数n n n x a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数的收敛半径为___________，级数∑∞=0n n a__________收敛（填条件或绝对）.二、选择题1、下列级数中，收敛的是（ ）A n ∞=B 232nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ C 113n n ∞=∑ D 12n n n ∞=∑ E 111n n ∞=+∑ F 212n n ∞=∑ G 132n n n ∞=∑ H 1!n n n n ∞=∑ I 213n n n ∞=∑ J 12n n ∞=∑2、关于级数()111n p n n -∞=-∑收敛性的答案正确的是（ ）A 01p <≤时发散B 1p >时条件收敛C 01p <≤时绝对收敛D 01p <≤时条件收敛3、级数111113579-+-+-（ ）A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 通项是()11(21)n n -- 4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A 213sin 2n n n ∞=∑ B121n n -∞=-∑ C ()11n n n ∞=-∑ D 2211n n n ∞=+∑ E 11sin n n ∞=∑ F 3121n n n ∞=+∑ G 212n n ∞=∑ 5、设级数21n n a∞=∑与21n n b ∞=∑都收敛，则1n n n a b ∞=∑为（ ）A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 敛散性不确定6、设a 为常数，则级数()111cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑是（ ）的 A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 敛散性与a 有关7、设()0111n n n a aa ∞-=+-=∑，那么极限lim n n a →∞=（ ） A 可能存在，也可能不存在 B 不存在 C 存在，但极限值无法确定 D 存在值为1 8、设0λ>为常数，则级数11cos 2n n n πλ∞=∑（ ）A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 敛散性与λ有关9、若级数()1n n n uv ∞=+∑收敛，则（ ） A 1n n u∞=∑与1n n v ∞=∑均收敛 B 1122n n u v u v u v +++++++收敛C 数列{}n S 有界，()1n n k k k S u v ==+∑ D 11n n n u v n ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑收敛 10、设幂级数1n nn a x ∞=∑的收敛半径为2，则幂级数11n n n na x ∞+=∑的收敛半径为（ ）A 2B 1/2C 1D 4三、解答题1、判断级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+11ln 1n n n n 的敛散性． 2、求下列幂级数的收敛半径及收敛域．（1）∑∞=-12)1(n n n n x n (2) ()001n p n x p n∞=<≤∑ (3)n n ∞= 3、求11n n n x n ∞=+∑的和函数． 4、将函数21()56f x x x =-+展成2x -的幂级数． 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（ ）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（ ）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（ ）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确； 故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』 比较审敛法只限于正项级数使用.2.解 由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解 由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解 由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』 本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』 解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解 考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』 在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解 考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』 本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解 由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解 由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』 本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解 判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』 本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』 莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解 由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』 由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解 考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』 本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』 在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』 本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解 所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解 当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。

无穷级数练习题无穷级数题一、填空题1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x-1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。

2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。

3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( -3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。

4、幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。

2) \cup (2.\infty)$。

5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。

6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。

7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。

8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi<x<\pi)$ 的___级数展开式为$a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其系数 $b_3$ 的值为 $0$。

9、设函数 $f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi<x\leq 0 \\ 1+x。

& 0<x\leq \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的___级数在点$x=\pi$ 处的收敛于 $1$。

第六部分 无穷级数[填空题 ]1．数项级数1的和为 1 .n 1 (2n 1)( 2n 1)22．数项级数( 1) n 的和为cos1 .n 0 (2n)!注：求数项级数的和常用的有两种方法， 一种是用和的定义， 求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值.13 ．设 a n0, p 1, 且 lim (n p (e n 1)a n ) 1 ，若级数a n 收敛，则p 的取值范围是nn 1(2, ).11分析：因为在 n时， (en1) 与 1是等价无穷小量， 所以由 lim (n p (e n1)a n ) 1nn可知，当 n时，a n 与1是等价无穷小量 . 由因为级数a n 收敛，故 1 收敛，n p 1n 1n 1 n p1因此 p 2 .4．幂级数a n (x 1) 2n 在处 x 2 条件收敛，则其收敛域为[0,2] .n 0分析： 根据收敛半径的定义，x 2 是收敛区间的端点，所以收敛半径为 1. 由因为在x 0时，级数a n ( x 1)2 na n 条件收敛，因此应填[ 0,2] .n 0n 05．幂级数n 12 nn 3) n x 2 n 的收敛半径为 3 .(分析： 因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式. 因为lim n1n 1x2(n 1) 2 n( 3) n1 2n 12nx ，n2( 3)nx3所以，根据比值判敛法，当x3 时，原级数绝对收敛，当 x3 时，原级数发散 . 由收敛半径的定义，应填 3 .6．幂级数11n的收敛域为[ 1,1).n 2 n ln n 2nx分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数1x n收敛半径为 1，收敛域为 [1,1) ；n 2 n ln n幂级数 1 x n收敛域为 (2,2).因此原级数在[1,1) 收敛，在 (2,1） [1，2）一定发散.n 22n有根据阿贝尔定理，原级数在(,2][2,) 也一定发散.故应填 [1,1) .7．已知f ( x)a n x n , x(,) ，且对任意x， F( x) f ( x) ，则 F ( x) 在原点的幂n 0级数展开式为 F (0)a n1 x n , x(,) .n 1n分析：根据幂级数的逐项积分性质，及f()an x n ,x(,) ，得xn0F ( x) F (0)x f (t )dt x a n t n dt a n x n 1，00n 0n0 n1故应填 F (0)an 1x n , x(,) . n 1 n8．函数f ( x)xe x在x 1处的幂级数展开式为 e 111(x 1) n.n 1(n 1)!n!分析：已知 e x 1 x n(x(,)) ，所以n0n!xe x e[( x1)e x1e x1 ] e ( x1)1(x1) n1( x1) nn 0 n!n0 n!e 1( n 11(x1)n.n 11)!n!根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求.9 ．已知f ( x)x 1, x[ 0,1] ， S(x) 是 f ( x) 的周期为 1 的三角级数的和函数，则S( 0), S( 1) 的值分别为 3，3.2 2 2x,0 x 1,10．设 f ( x)1 22(1 x),x 1,2S(x)a 0 a n cosnx, x( , ) ，2n 1其中 a n 21)，则 S( 5) 3 .f (x) cosn xdx (n0,1,2,24[选择题 ]11．设常数0 ，正项级数a n 收敛，则级数( 1)na2 n 1[ ]n2n 1n 1(A) 发散 . (B)条件收敛 . (C)绝对收敛 . (D)敛散性与的值有关 .答 Cn2n 1分析： 因为 a 2k 1a k ，且正项级数 a n 收敛，所以 a 2n 1 收敛 . 又因为k 1k 1n 1n 1( 1)na2 n 11 a2n 11 ， n 222n所以原级数绝对收敛 .12．设 a n cos nln( 1 1 ) (n 1,2,3, ) ，则级数 [ ]n(A)a n 与a n 2 都收敛 . (B)a n 与a n 2 都发散 .n 1n 1n 1n 1(C)a n 收敛，a n 2 发散 . (D)a n 发散，a n 2 收敛 .n 1n 1n 1n 1答 C分析： 因为 a n cosnln(11) ( 1) n ln(1 1 ) ，所以级数a n 是满足莱布nnn 1尼兹条件的交错级数，因此a n 收敛 . 因为 a n 2ln 2 (11 ) 在 n 时与1是等价无n 1nn穷小量，且调和级数1发散，所以a n2发散. n 1 n n 113．设0 a n 1(n1,2,3,) ，则下列级数中肯定收敛的是[] n(A)a n. (B)(1)n a n.(C)a n. (D)a n2 ln n .n 1n 1n 2 ln n n 2答 D分析：因为 0a n 12ln n ln nn n0 ，且1，所以 0a n ln n2 . 又因为lim2n n n n n 1 n n收敛，所以a n2 ln n 收敛.另外，取 a n1，可以说明不能选(A) 及(C) ；取n 22na2 n 11， a2 n1，因为a2na2n11(14n) 发散，所以( 2n 1)24n n1n1 4n(2n 1) 2( 1) n a n发散.n 114．下列命题中正确的是[](A) 若u n v n(n1,2,3,) ，则u n v n.n1n 1(B) 若u n v n(n1,2,3, )，且v n收敛，则u n收敛.n1n 1(C) 若lim un 1 ，且vn收敛，则u n收敛.n v nn 1n 1(D) 若w n u n v n (n 1,2,3, ) ，且w n与v n收敛，则u n收敛.n 1n 1n 1答 D分析：因为 w n u n v n，所以 0 u n w n v n w n.又因为w n与v n收敛，n 1n 1所以(v n w n ) 收敛，因而(u n w n ) 收敛.故u n收敛.n 1n 1n 1因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选 (A) ；选项 (B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对. 例如取级数1 与 1 可以说明 (B) 不对，取n 1nn 1 n 2级数( 1) n 与( 1) n1就可以说明 (C) 不对 .n 1n n 1nn15．下列命题中正确的是[](A) 若u n 2 与 v n 2 都收敛，则(u n v n ) 2 收敛 .n1n 1n 1(B) 若u n v n 收敛，则u n 2 与v n 2 都收敛 .n1n 1n 1(C) 若正项级数u n 发散，则 u n1 .n 1n(D) 若 unv (n 1,2,3, ) ，且u n 发散，则v n 发散 .nn 1n 1答 A分析：因为 (u nv n ) 2 u n 22u n v nv n 2 2(u n 2 v n 2 ) ，所以当u n 2 与v n 2 都收敛n 1n1时，(u nv n ) 2 收敛 . 取 u n1, v n1 可以排除选项 (B) ；取 u n 1 排除选项 (C) ；n 1nn2n取级数 u n1 1 可以说明 (D) 不对 .与 v n2nn16．若级数u n ，v n 都发散，则 []n 1n 1(A)(u nv n ) 发散 .(B)u n v n 发散 .n 1n 1(C)( u nv n ) 发散 .(D)(u n 2v n 2 ) 发散 .n 1n 1答 C分析： 取 u n1, v n 1 可以排除选项 (A),(B) 及 (D). 因为级数u n ，v n 都发n nn 1n 1散，所以级数u n，v n都发散，因而( u n v n ) 发散.故选(C).n 1n1n 117．设正项级数u n收敛，则[ ]n 1(A)极限 lim un 1小于 1.(B)极限 limun 1小于等于1.n u n n u n(C)若极限limun 1存在，其值小于 1.(D)若极限limun 1存在，其值小于等于 1. n u n n u n答 D分析：根据比值判敛法，若极限 lim un 1存在，则当其值大于1时，级数u n发散.n u nn 1因此选项(D) 正确 . 取u n1排除选项 (C).因为正项级数u n收敛并不能保证极限n2n 1lim un 1存在，所以选项 (A) ， (B) 不对 .n u n18．下列命题中正确的是[](A)若幂级数a n x n的收敛半径为R0，则 lim a n11.n 0n a n R(B)若极限liman 1不存在，则幂级数a n x n没有收敛半径 .n a nn 0(C)若幂级数a n x n的收敛域为 [1,1]，则幂级数na n x n的收敛域为 [1,1] .n 0n 1(D)若幂级数a n x n的收敛域为 [1,1] ，则幂级数a n x n的收敛域为 [1,1] .n 0n 0 n1答 D分析：极限 lim an 1只是收敛半径为R1的一个充分条件，因此选项(A)不对.n a n幂级数a n x n没有收敛半径存在而且惟一，所以选项 (B) 不对 . 取级数x n可以排除选n 0n 1n n项(C).选项 (D) 可以由幂级数的逐项积分性质得到.19．若幂级数a n ( x 1) n在 x1处条件收敛，则级数a n[ ]n 0n 0(A) 条件收敛 .(B) 绝对收敛 .(C)发散. (D)敛散性不能确定 .答 B分析：根据收敛半径的定义，x1是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为 2 .因此幂级数a n (x 1)n在 x 2 处绝对收敛，即级数a n绝对收敛.n 0n 020．设函数f ( x)x 2 , x[ 0,1] ，而a0a n cosn x, x ( , ) ，S(x)2n 1其中21() cos,0,1,2, ，a n f x n xdx n则S( 1)的值为[ ](A) 1. (B)1.(C)1. (D)1.22答 D分析：aa n cosn x 是对函数f (x)x2 , x[ 0,1]作偶延拓得到的三角级数展开2n 1式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理，S(1) f (1) 1 . [解答题 ]21．求级数ln n 31的和 .2 n n(nn 11)解：因为n ln k 3 ln 3 1ln n 3n11 2n1k 1 2k 2 1 ln 3,，k 1 k k 1)n 12所以ln n 31n 12n n(n1)n ln k31lim2kk k1)nk1ln 3 1lnn 31lim2n1n21ln 3n12ln 312.2ln 32ln 322．已知级数(1)n 1 u n2,u2n1 5 ，求级数u n的和.n 1n 1n 1解：因为u2n1 5 ，所以2u2 n 110 .又因为(1)n 1 u n 2 ，n1n1n 1故u n(2u2 n1( 1) n 1 u n )2u2 n 1(1) n 1 u n10 2 8 .n 1n1n1n 123．判断级数1ln n1的敛散性 .n 1n n解：因为1ln n10 ，且n nln n1lim n1，1nn所以1ln n 1与1在 n时是等价无穷小 . 又因为级数1收敛，所以，根n n n n n 1 n n据比阶判敛法知级数1ln n1收敛 .n 1n n另解：因为ln n1ln11 1 ，n n n所以1lnn 11 n n n. n已知1n 收敛，所以由比较判敛法知级数1ln n1收敛 .n1 n n 1 n n24．判断级数 a n n!(a0)的敛散性.n 1n n解：记u n a n n!u n0 ，且n n，则un 1lima n 1 (n 1)! n nlima alimn 1n1，nu n(n1)n n ena n!(1)n所以根据比值判敛法，当a e 时级数收敛，当a e时级数发散.当 a e 时，因为 lim u n 11，所以此时比值判敛法失效，但由于n unun 1e1，(因为数列 (11nu n1)单调递增趋于 e )(1n n)n所以 lim u n0 ，因而当a e 时，级数发散.n25．讨论级数 a n，p0 的敛散性.n 1 n p解：因为a n 1n plim a ，p nn( n1)a所以根据比值判敛法，当a 1 时，级数a n绝对收敛 .n 1 n p时，由于 lim a nan当 a1p，所以级数p发散 .n n n 1 n当 a1时，级数为1，由 p 级数的敛散性，当0p 1时级数发散，当 p 1时n 1 np级数收敛 .当a1时，级数为( 1) n ，由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当时级n pp 1n 1数条件收敛，当 p 1时级数绝对收敛 .26．已知函数 yy( x) 满足等式 yx y ，且 y(0)1，试讨论级数n 1的收敛性 .11y( ) 1 n n解：因为 y x y ，所以y 1 y . 由 y(0)1，得 y (0) 1, y ( 0)2 . 根据泰勒公式，得y( 1)y(0) y (0)11y (0)( 1)2o(1)nn 2 nn 211 11n 2o(2 )，nn所以 y( 1 ) 1 1 在 n时与 1 等价，且级数1 收敛，因此级数nnn 2n1 n 2y( 1) 1 1n 1nn绝对收敛 .注：本题也可先解定解问题y y x，得到 y( x) 2e x x 1后再用泰勒公式讨论 .y(0) 127．求下列幂级数的收敛域n1(1)( 1) n 2 x n ， (2)( nx) n ， (3)x n .1 n!n 1n n 1 n解：(1) 记 a n( 1)n2n，因为nlima n1lim2 n 2 ,n a nn n 1所以收敛半径为R1，收敛区间为(1,1).222又因为当 x1时，级数() n 1条件收；当 x1时，级数21n2n1(1)n1(1)n1发散 .n 1n n1n故级数(1) n 2n x n的收敛域为(1,1].n1n22n(2)记 a n(1) n n n,由 lim a n 1lim( n1) 11,得收敛半径为n a n n nR0,所以幂级数(nx) n仅在x0处收敛 .n1(3)记 a n1, 由lim an 1lim10 ,得收敛半径为 R,故级数n!a n n1n n1x n的收敛域为 (,) .n 1 n!28．求幂级数1n x2 n 1的收敛域. n 1 3解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径.因为lim1x2 k 11x 2 k 1limx2x2 k 1k3,k33k3x 2, 即|x|31n x 2 n 1绝对收敛；当x 2即 | x| 3 时，所以，当31时，级数1,n 1 33级数1n x2n1发散 .n 1 3根据收敛半径的定义知级数1n x2 n1的收敛半径为 R 3 .n 1 3又，当 x3时 ,13)2n11,级数发散；当x 3 时,一般项为1 n(,级数也发散 .故级数1x 2n 1的收敛域为 ( 3 ,3) .nn 1 3注：还可以将级数变形为11x 2n，再令 u x 2 1 n的收敛半径x n 1 3 n，研究幂级数 1 3 n un和收敛域，最后得到1x 2n 1的收敛域 .n 1 3n29．求幂级数102n ( 2x 3)2 n 1 的收敛域 .n 1解： 因为102n (2x3)2 n 11 202 n ( x 3) 2n 1 ，且 n 12 n 12lim u n 1 ( x)lim 102 n 2 (2x3) 2 n 123 22n2n 120 ( x) ，nu n ( x)n 10 (2x 3)2所以，当 202 (x3 ) 2 1，即 x 31 0.05 时，级数绝对收敛；当x3 0.05 时，2 2202级数发散 . 故幂级数10 2n (2x 3) 2n 1 的收敛区间为 (1.45,1.55) .n 1又当 x3 0.05 时，原级数的一般项分别是 u10 和 un 10 ， 所以发散 . 因此2 n级数102n (2x 3) 2n 1 的收敛域为 (1.45,1.55) .n 130．设 a 0 , a 1 , a 2, 为一等差数列，且 a 00 ，求级数a n x n 的收敛域 .n 0解：记 a , a , a , 的公差为 d ，则1 2ana nd ，所以a n 1lim1.na n因此收敛半径为R 1，又当 x1 时，级数成为(1) n a n ， lim a n0 ，所以n 0n( 1) n a n 发散，于是级数a n x n 的收敛域为 ( 1,1) .n 0n31．将函数 ln1x 5 展开为 x 0处的幂级数 .1 x解： 因为 ln(1 x)( 1) n 1 x n , x ( 1,1] .n1n 所以1 x 5ln(1 x 5) ln(1 x)lnx1( 1)n 1 ( x 5 ) n( 1)n 1 ( x)nn 1nn 1nx 5nx n( 1 x 1) .n 1nn 1 n32．将函数 f ( x)arctan2x 在 x 0 点展开为幂级数 .1 x 2解： 因为f ( x)1 2 2 ( 1) n x 2n , ( x 1) ， f (0) 0 ，x 2 n 0所以f ( x)x f (t)dt2( 1)n x 2 n dt2( 1)n2n 1 ( x 1) .txn 0n 02n 133．将函数 f ( x)x 1 在 x 0 1 点展成幂级数 , 并求 f ( n) (1) .4 x解： 将 f (x) 视为 ( x1)11b n ( xn4 x,因此只需将 4 x展成n1) 即可 .因为111 1,4x3 (x1)3 1 x13且1 1 xx 2x nx1 ，1 x所以1111x 1 ( x 1) 2( x 1) nx112n，4 x3333313于是f ( x)x 1 1( x 1)2( x 1) 3(x 1) n 1| x 1| 3.4 x( x 1)332,33n由于 f ( x) 的幂级数a n ( x1) n的系数a n f( n)(1),所以n0n!f ( n )(1)(n! )a nn!3n 1.34．求幂级数( )n1(n)n 1 ,1) 内的和函数 S( x) ,并求数项级数1n 1 x在收敛区间 (n 1( 1)n 1n(n1)2n的和 .n 1解：利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分,得xS(x)dx x1) n 1 n(n1) x n dx(| x | 1)(n1( 1)n 1 nx n 1( 1)n 1 (x n ) x 2 n 1n 1x2( 1)n 1 x nn 1x 2x(1x2。

12.1 无穷级数的概念与基本性质一、填空题1．级数111(1)2n n n -∞-=-∑的部分和n S = ，其和S = .2．若级数1n n u∞=∑收敛，则级数1(0.01)n n u ∞=+∑ （填收敛或发散）.3．级数11(32)(31)n n n ∞=-+∑的部分和n S = ，其和S = . 4．已知无穷级数的部分和212n n n S -=，则级数的一般项n u = . 5．若级数1n n u∞=∑收敛于S ，则级数11()n n n u u ∞+=+∑= .6.已知12111(1)2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑，则1n n a ∞==∑ . 二、判别级数12(3)5n nn n ∞=+-∑的收敛性，若收敛求和.三、判别级数1111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛性一、单项选择题1.下列级数收敛的是 . A.21ln n n ∞=∑ B.1121n n ∞=+∑C.1n ∞=D.211n n n ∞=+∑2.正项级数1n n u∞=∑收敛是级数21n n u ∞=∑收敛的 条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要二、判别以下级数的敛散性1．n ∞= 2.21sin 33n n n n π∞=∑3.221(!)23n n n n ∞=∑ 4.(1)112n n n ∞+-=∑三、求极限2lim (!)nn n n →∞一、单项选择题1．下列级数为绝对收敛的是 .A ．11(1)n n n ∞=-∑ B ．31arctan n n n ∞=∑ C ．11sin n n n ∞=∑ D．1(1)n n ∞=-∑ 2．下列级数为条件收敛的是 .A ．1(1)1nn n n ∞=-+∑ B．1(1)n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．211(1)nn n ∞=-∑ 3．设10(1,2)n a n n ≤<=，则下列级数中肯定收敛的是 . A ．1n n a∞=∑ B ．1(1)n n n a ∞=-∑ C．n ∞= D ．21(1)n n n a ∞=-∑ 二、判断以下级数的敛散性，若收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛 1．1sin 3n n n ∞=∑2．11(1)ln n n n∞=-∑三、已知级数21nn a ∞=∑收敛，试证明1n n a n ∞=∑均绝对收敛.12.3 幂级数一、填空题1．幂级数12nn n x n ∞=∑的收敛半径为 ，收敛区间为 .2．幂级数1(1)2nn n x ∞=-∑的收敛域为 ，其和函数()S x = . 3．幂级数11n n nx∞-=∑的收敛域为 ，其和函数()S x = ， 级数112n n n ∞-=∑的和为 . 二、求下列幂级数的收敛域1．1(2)5nn n x n ∞=-∑2．211(1)21n nn x n +∞=-+∑三、求幂级数1(1)2nn n x n ∞=-∑的收敛区间，并求和函数.12.4 函数展开成幂级数一、填空题1．利用ln(1)x +的展开式，可以把()ln f x x =展开为2x -的幂级数，展开式为 .2．将函数2()ex f x -=展开为x 的幂级数，结果为 . 3．幂级数30(1)!nn n x n ∞+=-∑的和函数()S x = . 4．将1()3f x x=-展开为1x -的幂级数，结果= . 二、将下列函数展开为x 的幂级数，并求展开式成立的区间 1．()f x =2．2()cos f x x =三、将24()253x f x x x +=--展开为1x -的幂级数，并求展开式成立的区间.12.7 傅里叶级数一、填空题1．设()f x 是以2π为周期的周期函数，则在闭区间[,]ππ-上有10()10x x f x x x ππ--≤<⎧=⎨+≤<⎩则()f x 的傅里叶级数在x π=处收敛于 . 2．设1)(+=x x f 在[,]ππ-上的傅里叶级数的和函数为)(x s ，则)0(s = ， )1(s = ，)5(πs = 。

高等数学第12章无穷级数测试卷(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十二章无穷级数测试卷 一、填空题： 1．若数项级数∑∞=1n n u 收敛，则n n u ∞→lim = .2．若数项级数∑∞=1n n u 的通项满足1.11||n u n ≤,则∑∞=1n n u 是 级数.3．若数项级数∑∞=1n n q ,当 |q | 时收敛，当 |q | 时发散.4. 若幂级数nn n y a ∑∞=0的收敛区间为(-9,9)，则幂级数n n n x a 20)3(-∑∞=的收敛区间为 . 5．级数∑∞=---11121)1(n n n 的部分和n S = ，此级数的和为 .6．已知级数61212π=∑∞=n n，则级数∑∞=-12)12(1n n 的和等于 . 7．幂级数∑∞=--+112)3(2n nn n nx 的收敛半径R= . 8．函数)3ln()(x x f +=在0=x 点展开的幂级数为 .9．函数)()(2πππ x x x x f -+=的傅里叶级数为()∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a，则系数=3b .10．周期为2的函数)(x f ，设它在一个周期[)1,1-上的表达式为||)(x x f =，且它的傅里叶级数的和函数为)(x S ，则=-)5(S . 二、单项选择题：1．当条件（ ）成立时，级数∑∞=+1)(n n n v u 一定发散.A ．∑∞=1n n u 发散且∑∞=1n n v 收敛； B. ∑∞=1n n u 发散；C. ∑∞=1n n v 发散； D. ∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都发散.2.若两个正项级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 满足),2,1( =≤n v u n n 则结论（ ）是正确的.A.∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散； B 。

无穷级数习题一、填空题1、设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为 。

2、幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域为 。

3、幂级数211(3)2n n nn nx ∞-=-+∑的收敛半径R = 。

4、幂级数0nn ∞=的收敛域是 。

5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。

6、级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 。

7、111()2n n n ∞-==∑ 。

8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数3b 的值为 .9、设函数21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。

10、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和 。

11、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。

参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3、R =、[1,1)- 5、(0,4) 6、22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1411、(0,4)二、选择题1、设常数0λ>,而级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑是( ）.（A ）发散 (B ）条件收敛 （C)绝对收敛 （D)收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是( ）。

（A ）若1n n a ∞=∑条件收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。

（B ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。

（C ）若1n n a ∞=∑条件收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不一定.（D ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不定。