2020-2021年高一数学弧度制一 人教试验修订本

5．1.2 弧度制考点学习目标核心素养弧度制、角度制与弧度制的换算了解弧度制的概念能进行角度与弧度之间的互化数学抽象、数学运算用弧度制表示终边相同的角能用弧度制表示终边相同的角数学运算扇形的弧长与面积公式理解弧度制下扇形的弧长与面积公式数学运算问题导学预习教材P172－P175,并思考以下问题：1．1弧度的角是如何定义的？2．如何进行弧度与角度的换算？3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么?1．度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的错误!，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

1弧度记作1 rad(rad可省略不写)（1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3。

5 rad可写成α＝－3.5。

而用角度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不可以省略。

（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．2．弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2）弧度与角度的互化3．弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径,n为扇形的圆心角）公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝错误!S＝nπr2360弧度制l＝｜α｜·r(0＜｜α｜＜2π)S＝错误!lr＝错误!｜α|r2(0＜|α｜＜2π）（1）在应用扇形面积公式S＝错误!|α｜r2时，要注意α的单位是“弧度”．(2）由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．判断正误(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）1 rad的角比1°的角要大．（)(2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．（)(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )（4）1°的角是周角的错误!，1 rad的角是周角的错误!。

课时跟踪检测(三十二) 弧度制A级——学考水平达标练1．下列命题中,正确的是( )A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径长的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角解析：选D 根据１弧度的定义可知D正确．2.半径为１,圆心角为错误!的扇形的面积为（ )A.错误!Ｂ．错误!未定义书签。

C．πﻩD。

错误!未定义书签。

解析:选Ａ由扇形面积公式得:S=错误!×ｒ2×|α｜＝错误!未定义书签。

×12×错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

,故选A．3.（2０18·湖南师大附中高一期中)在区间(0,2π)内与－＼ｆ(34π，5）终边相同的角是( ）A。

错误!ﻩＢ。

错误!未定义书签。

C．错误!ﻩ D.错误!解析：选D因为-错误!＝-8π+错误!，所以－错误!未定义书签。

与错误!终边相同，选D。

4.自行车的大链轮有8８齿，小链轮有2０齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是(）Ａ。

5π1１B。

＼ｆ（44π,5)C。

错误! D.错误!未定义书签。

解析：选Ｂ由题意,当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过错误!周,小链轮转过的弧度是错误!未定义书签。

×2π=错误!。

5．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度为（）A.错误!未定义书签。

πＢ.-错误!πC．＼f（7,18)πﻩＤ.-＼f(7,18)π解析:选B显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了错误!周,转过的弧度为错误!×２π=－错误!未定义书签。

π。

6.若角α的终边与错误!未定义书签。

角的终边关于直线ｙ=x对称，且α∈错误!未定义书签。

，则α=___＿＿___.解析：由题意知,角α与＼ｆ（π,３)角的终边相同，则错误!未定义书签。

＋2π=错误!未定义书签。

π，错误!未定义书签。

-2π＝-＼f(５,３）π，π3－4π＝-错误!未定义书签。

§5.1.2 弧度制导学目标:（1）掌握弧度制的定义;学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念、（2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式、（预习教材P 130~ P 135,回答下列问题）复习1:平角 ;周角 ;1度= 分 复习2:规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制、 思考:还有没有其他度量角的单位制呢? 【知识点一】弧度制我们规定,长度等于 所对的圆心角称为1弧度的角、用弧度来度量角的单位制叫做弧度制、在弧度制下, 1弧度记做 ; 在实际运算中,常常将rad 单位省略,即1rad α=可简记为1α=、 自我检测1-1:如图:1AOB ∠=radAOC ∠=周角=思考:如图,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?则圆心角α= rad角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分:（1）正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） o rC2rad1rad r 2r o AAB第五章 三角函数- 2 -（3）用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;角度制与弧度制可以自由互换,但同一代数式中角度制与弧度制不可混用、 自我检测1-2:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合、交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格、AOB ∠的度数 弧AB 的长 OB 旋转的方向 AOB ∠的弧度数360 2r π逆时针方向 180 r π逆时针方向9090- 180- 360-1rad【知识点二】角度制与弧度制的换算从上表可知:3602π=rad , 所以180π= rad ,类比可以得到:yxAαOB自我检测2:常见角的角度和弧度的互化 120 150 180角度制下的扇形弧长公式为:180n rl π=;面积公式为:3602R n S π=扇 ;（n 是角度数）借助公式⇒=rlαl =扇 ;=S 扇 ;（α是弧度数）自我检测3:利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径、【知识点四】角和实数的对应关系今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如:3表示3rad ; 应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系、 oR Sl第五章 三角函数- 4 -题型一 角度与弧度的换算【例1-1】将下列各角进行角度与弧度的互化: （1）67.5︒; （2）11230︒'; （3）94π; （4）－115π.【例1-2】已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+( k Z ∈,02βπ≤<)的形式,并指出角α是第几象限的角; （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角.题型二 用弧度制表示角的集合 【例2-1】用弧度制表示下列角的集合（1）终边落在x 正半轴上的角: （2）终边落在y 正半轴上的角: （3）终边落在x 负半轴上的角: （4）终边落在y 负半轴上的角: （5）终边落在y 轴上的角: （6）终边落在坐标轴上的角:（7）终边落在射线(),0y x x =≥上的角: （8）终边落在第一象限内的角:【例2-2】用弧度表示终边落在如图( 1)( 2)所示的阴影部分内的角的集合、题型三 与扇形弧长、面积相关的问题 【例3】( 1)已知扇形的圆心角为120°,半径为 3 cm,则此扇形的面积为________ cm 2;( 2)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm 2,求扇形圆心角的弧度数、1、下列说法中错误的是（ ）A 、弧度制下,角与实数之间建立了一一对应关系B 、1度的角是周角的1360,1弧度的角是周角的12πC 、根据弧度的定义,180︒一定等于π弧度D 、不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 2、下列角中,与角3π终边相同的角是（ ） A 、56π-B 、53π-C 、43π D 、23π第五章 三角函数- 6 -3、把20165π-表示成2()k k Z θπ+∈的形式,使||θ最小的θ的值是（ ） A 、65π- B 、5π-C 、45πD 、45π-4、当角α与β的终边互为反向延长线,则角α与β的关系一定是()k ∈Z （ ）A 、αβπ=+B 、αβ=-C 、(21)k αβπ=++D 、2k αβπ=-+5、若角α的终边在直线y x =-上,则角α的取值集合为（ ） A 、2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZB 、32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C 、3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D 、,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z§5.1.2 弧度制 参考答案导学目标:（1）掌握弧度制的定义;学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念、（2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式、（预习教材P 130~ P 135,回答下列问题）复习1:平角 ;周角 ;1度= 分 复习2:规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制、 思考:还有没有其他度量角的单位制呢? 【知识点一】弧度制我们规定,长度等于 所对的圆心角称为1弧度的角、用弧度来度量角的单位制叫做弧度制、在弧度制下, 1弧度记做 ; 在实际运算中,常常将rad 单位省略,即1rad α=可简记为1α=、 自我检测1-1:如图:1AOB ∠=radAOC ∠=周角=思考:如图,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?则圆心角α= rado rC2rad1rad r 2r o AAB第五章 三角函数- 8 -角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分:（1）正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;角度制与弧度制可以自由互换,但同一代数式中角度制与弧度制不可混用、 自我检测1-2:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合、交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格、AOB ∠的度数 弧AB 的长 OB 旋转的方向 AOB ∠的弧度数3602r π逆时针方向 180 r π逆时针方向90 090- 180- 360-1rad【知识点二】角度制与弧度制的换算从上表可知:3602π=rad , 所以180π= rad ,类比可以得到:yxAαOB自我检测2:常见角的角度和弧度的互化 角度 0°45°60°120 150 180°360°弧度6π2π23π【知识点三】弧度制下的扇形弧长和面积公式角度制下的扇形弧长公式为:180n rl π=;面积公式为:3602R n S π=扇 ;（n 是角度数）借助公式⇒=rlαl =扇 ;=S 扇 ;（α是弧度数）自我检测3:利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径、【知识点四】角和实数的对应关系今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如:3表示3rad ; 应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系、题型一 角度与弧度的换算【例1-1】将下列各角进行角度与弧度的互化: （1）67.5︒; （2）11230︒'; （3）94π; （4）－115π.oR Sl正角 零角 负角正实数 零 负实数- 10 -（1）67.567.51808︒=⨯=（2）511230112.51808ππ︒'=︒⨯= （3）9918040544πππ︒=⨯=︒ （4）－115π＝－115×180°＝－396°.【例1-2】已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+( k Z ∈,02βπ≤<)的形式,并指出角α是第几象限的角; （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角. 【答案】（1）2025α=︒=45520251018044ππππ⨯==+,54π是第三象限角, ∴α是第三象限角、 （2）由55204k πππ-≤+<得25588k -<<-,因为k Z ∈,∴3,2,1k =---,对应角依次为19113,,444πππ---、题型二 用弧度制表示角的集合 【例2-1】用弧度制表示下列角的集合（1）终边落在x 正半轴上的角: （2）终边落在y 正半轴上的角: （3）终边落在x 负半轴上的角: （4）终边落在y 负半轴上的角: （5）终边落在y 轴上的角: （6）终边落在坐标轴上的角:（7）终边落在射线(),0y x x =≥上的角:【例2-2】用弧度表示终边落在如图( 1)( 2)所示的阴影部分内的角的集合、【答案】对于题图( 1),225°角的终边可以看作是－135°角的终边,化为弧度,即－3π4,60°角的终边即π3的终边,∴所求集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫2k π－3π4<α<2k π＋π3，k ∈Z . 对于题图( 2),同理可得,所求集合为22,62k k k Z ππαπαπ⎧⎫+<≤+∈⎨⎬⎩⎭∪22,62k k k Z ππαππαππ⎧⎫++<≤++∈=⎨⎬⎩⎭,62k k k Z ππαπαπ⎧⎫+<≤+∈⎨⎬⎩⎭题型三 与扇形弧长、面积相关的问题【例3】( 1)已知扇形的圆心角为120°,半径为 3 cm,则此扇形的面积为________ cm 2;( 2)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm 2,求扇形圆心角的弧度数、【答案】( 1)设扇形弧长为l ,因为120°＝120×π180 rad ＝2π3( rad),所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3( cm)、所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π( cm 2)、故填π.( 2)设扇形圆心角的弧度数为θ( 0<θ<2π),弧长为l ,半径为R ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10.①12lR ＝4.②①代入②得R 2－5R ＋4＝0,解之得R 1＝1,R 2＝4. 当R ＝1时,l ＝8( cm),此时,θ＝8 rad>2π rad 舍去、当R ＝4时,l ＝2( cm),此时,θ＝24＝12( rad)、综上可知,扇形圆心角的弧度数为12rad 、第五章 三角函数- 12 -1、下列说法中错误的是（ ）A 、弧度制下,角与实数之间建立了一一对应关系B 、1度的角是周角的1360,1弧度的角是周角的12πC 、根据弧度的定义,180︒一定等于π弧度D 、不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 【答案】D 2、下列角中,与角3π终边相同的角是（ ） A 、56π-B 、53π-C 、43π D 、23π 【答案】B 3、把20165π-表示成2()k k Z θπ+∈的形式,使||θ最小的θ的值是（ ） A 、65π- B 、5π-C 、45πD 、45π-【答案】C4、当角α与β的终边互为反向延长线,则角α与β的关系一定是()k ∈Z （ ）A 、αβπ=+B 、αβ=-C 、(21)k αβπ=++D 、2k αβπ=-+【答案】C5、若角α的终边在直线y x =-上,则角α的取值集合为（ ） A 、2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZB 、32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C 、3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D 、,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z【答案】D。