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1.1.2弧度制（一）教学目标 知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程 一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？ （2）引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=.r l4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒．②将弧度化为角度：︒=3602π；︒=180π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；︒=) 180 (πnn ．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135°150°180°270°360°弧度0 6π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π23ππ2 7．弧长公式αα⋅=⇒=r l rl弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度．例2．把rad 53π化成度．例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(．例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-．解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,319π∴是第三象限角. (2)631,656631ππππ-∴+-=-是第二象限角..,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lRR R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180Rn l π=，∴Rl R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业： ①阅读教材P6 –P8；②教材P9练习第1、2、3、6题；OR l③教材P10面7、8题及B2、3题．。
1.1.2 弧度制一、教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，能熟练地进行弧度与角度的换算，进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念.理解弧度的意义，掌握弧长公式，掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式二、三维目标：1.通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制；2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
三、重难点：教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算教学难点：弧度的概念及其与角度的关系。
学法指导：学生在已经学习了角的概念的基础上，进一步去研究角的其它方面，今天首先介绍角的度量单位，本节课在初中角度制的基础上，进行学习，采用对照方式，让学生掌握弧度制下角的应用以及掌握弧长和面积公式。
四、教学过程：导入新课：以到黄山游玩时拍摄的照片为例，导入新课，同样的事物，站在不同的位置，不同的心情观赏的结果是不一样的，前面我们研究了角，知道角推广到任意角，今天我们进一步去研究角的知识，初中我们学习了用角度制来测量角，今天来回顾一下，角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？1.弧度制我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角思考1:若半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为2r,那么,角α的弧度数是多少?根据弧度制的定义：=2α思考2：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?结论1：角α的弧度数的绝对值是=l rα.r为半径, l为角α所对弧的长，α的正负由角α的终边旋转方向决定结论2：正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是0.思考1,2设置意图：由一般到特殊，应用弧度制的定义，得到弧度的推导公式，让学生思维得到发散，由弧度制的定义，得到度量角的另外一种运算方式，新旧知识对照，对比角度制与弧度制的比较。
1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要•现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单1位进行度量，并且一度的角等于周角的，记作1 °.360°通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法•在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性•这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的- 对应，为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的•通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性•通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的•进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点三维目标1•通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制.2•通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣• 重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算•教学难点：弧度的概念及其与角度的关系• 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.（情境导入）利用古代度量时间的一种仪器一一日晷，或者利用普遍使用的钟表•实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法一一弧度制.要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角,相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数. 圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线（有向线段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①：在初中几何里我们学习过角的度量,1。
1.1.2 弧度制一、教材分析1、本节内容在教材中的地位和作用：教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教A版必修4第一章第一单元第二节。
本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
2、教学目标3、教学中的重点和难点教学重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算。
教学难点：弧度制的概念与角度的换算。
二、教学设计思想教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角。
通过类比引出弧度制，关键弄清1弧度的定义，然后通过探索得到弧度数绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法。
在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性。
这样可以尽量自然的引入弧度制，并让学生在探索的过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础。
三、教法分析本节课我采用引导发现式的教学方法。
通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和接受。
四、教学过程五、教学流程六、教学反思本节课，学生能够在老师的引导下主动学习，基本掌握了弧度制与角度制之间的转换，完成了课堂教学。
课堂气氛比较活跃。
高中数学人教B版必修四第一章《1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教
案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.
2学情分析
在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的 ,记作1°.
通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.
通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.
3重点难点
教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.。
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1．角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2．角的弧度数的计算在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为α rad ，则α＝lr . 3．角度与弧度的互化4．一些特殊角与弧度数的对应关系思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S ＝{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }，这种表示正确吗？为什么？[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z或{α|α＝k ·360°＋30°，k ∈Z }． 5．扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则思考2：在弧度制下的扇形面积公式S ＝12lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．1．1 080°等于( ) A ．1 080 B ．π10 C ．3π10D ．6πD [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.] 2．与角23π终边相同的角是( ) A ．113πB ．2k π－23π(k ∈Z ) C ．2k π－103π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )C[选项A中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A项错；2kπ－23π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B项错；2kπ－103π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋23π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D项错．]3．圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________．6π[扇形的面积为12×62×π3＝6π.]A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D[根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C 项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系1．下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π； (2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k ∈Z )的形式．[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2k π＋α0(k ∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π， α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k ·360°(k ∈Z )， 由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k ·360°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法.(4)判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2k π＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6 rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z.1.用公式|α|＝lr 求圆心角时，应注意什么问题？[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1 radB ．2 radC ．3 radD ．4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究] (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B [设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr ＝2 rad.](2)解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)． ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.(变条件)弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr ；(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式； (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(教师用书独具)1．释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l ，r ，S ，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l ＝α·r ，α＝l r ，r ＝l α；②S ＝12αr 2，α＝2Sr 2. 2．角度制与弧度制的比较1．把56°15′化为弧度是( ) A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16D[56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A.403π B.203πC.2003π D.4003πA[240°＝240×π180rad＝43π rad，∴弧长l＝α·r＝43π×10＝403π，选A.]3．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．－10π＋74π[由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4. ①由扇形的面积公式S＝12lr，得12lr＝1. ②由①②得r＝1，l＝2，∴α＝lr＝2 rad.∴扇形的圆心角为2 rad.。
