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语文人教版一年级上册弧度制

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5.1.2 弧度制-(新教材人教版必修第一册)(41张PPT)

5.1.2 弧度制-(新教材人教版必修第一册)(41张PPT)

心角
任意角的弧度 正角的弧度数是一个_正__数__，负角的弧度数是一
数与实数的对 个_负__数__，零角的弧度数是__0_
应关系
计算公式
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l， l
那么，角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝__r_
2．角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度制的对应关系
集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部
分)是( C )
类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用
典例示范
探究题 1 若扇形的中心角为 120°，半径为 3，则此扇形的面 积是多少？
解：因为 120°＝23π，所以由扇形的面积公式可得此扇形的面积 是 S＝12αR2＝12×23π×3＝π.
数学（人教版）
必修第一册
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
第一 阶段
பைடு நூலகம்课前自学质疑
必备知识 深化预习
1．弧度制的定义
角度制
①定义：用_度__作为单位来度量角的单位制． 1
②1 度的角：周角的__3_6_0___作为一个单位
①定义：以_弧__度__作为单位来度量角的单位制．
弧度制 ②1 弧度的角：长度等于_半__径__长__的圆弧所对的圆
课堂检测 基础达标
1．已知扇形的周长为 4，面积为 1，则该扇形的圆心角是( )
A．1
B．2
C．π2
D．π
B 解析：设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l＋2r＝4，①
S＝21lr＝1，即 lr＝2，②
得 r＝1，l＝2，则扇形圆心角的弧度数为rl＝21＝2.故选 B.

人教版弧度制_课件

人教版弧度制_课件
2、当弧长为L,半径为r时该弧所对的圆心角为多 少弧度？
探究二
弧AB的长
OB的旋转方 向
r 逆时针
2r 逆时针
r
逆时针
2r
顺时针
0
r r
2r
未做旋转
顺时针 逆时针 逆时针
角AOB的弧度数 角AOB的度数
2
1
-2
0
2
1 8 00
3600
18
00
8 00
3 6 00
2
例1 把45化成弧度
解 45= ×45rad= rad
180
4
3
例2 把 rad化成度
5
解 3 rad = 3×180 =108
5
5
练习
1）用弧度制写出与300同终边的角的集合；
S { | 2k k z}
6 2）指出下列用弧度制表示的角是第几象限角？
1 2 4 8
课堂小结
180
l
3、扇形的面积公式：
S扇形
n
360
R2
n° l
r
l OS
R
讲授新课
弧度制定义
我们规定，长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角；用符号rad表
示，读作弧度。 用弧度来度量角的 单位制叫做弧度制． 1弧度记做1rad.
L α
r
B
r
1rad
O
rA
l 2r
CC
2rad
A
A
r
O
o
AOB=1rad AOC=2rad
180
把弧度换成角度
1rad
180
57.30
5718'

1.1.2弧度制课件人教新课标

1.1.2弧度制课件人教新课标
1.1.2 弧度制
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
4 • PART 04达标检测
学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关 系 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大
为100 cm2.
反思及感悟
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关 键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形 面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
60° 90°
弧度 0
度 120° 135° 150°
弧度
π
270° 360° 2π
3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝
扇形的面积
S＝
S＝ ＝
题型探究
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大 小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半 径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
D.－1π2 rad
解析 时针经过一小时，转过－30°，
又－30°＝－π6 rad，故选 B.
2.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角
的弧度数是( C )

人教A版必修 第一册 2 5.1.2 弧度制 课件

人教A版必修 第一册 2 5.1.2 弧度制 课件
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 rad 的角比 1°的角要大．( √ ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( × ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ ) (4)1°的角是周角的3610，1 rad 的角是周角的21π.(√ )
问题导学 预习教材 P172－P175，并思考以下问题： 1．1 弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？ 3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
栏目 导引
第五章 三角函数
1．度量角的两种制度
定义
用度作为单位来度量角的单位制
角度
1度 制
1
的角 1 度的角等于周角的__3_6_0____，记作 1°
栏目 导引
第五章 三角函数
1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20 cm，则 该扇形的周长为________cm. 解析：因为 1°＝1π80rad，所以 54°＝1π80×54＝31π0，则扇形的弧 长 l＝31π0×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：(40＋6π)
第五章 三角函数
栏目 导引
第五章 三角函数
用弧度制表示终边相同的角 把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判 断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π，其中 0≤169π<2π，因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
A.430π cm
B.230π cm
C.2030π cm
D.4300π cm
解析：选 A.根据弧长公式，得 l＝53π×8＝403π (cm)．

语文人教版一年级上册弧度制

语文人教版一年级上册弧度制
练习2、将下列角度转化为弧度：
（1）36°=rad；（2）－105°=r角的概念推广后,在弧度制下,与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即)与它对应.
（3）37°30′=rad；
对应关系
角的概念推广后,在弧度制下,与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即)与它对应
2、正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是。这里，α的正负由决定。
知识点2、角度制与弧度制的关系
180°＝rad 1°＝rad≈rad 1 rad＝°≈°
练习1、将下列弧度转化为角度：
（1） =°；（2）－ =°′；（3） =°；
5.若α是第四象限的角，则π－α是第______象限的角.
6.在直径为20 cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长：
(1) (2)165°
教师精选编制内容
合
作
探
究
问题1：什么叫角度制？
问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？
问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？
问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？
问题5：角的集合与实数集R之间建立了________
对应关系。
问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.
问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导
过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公
（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
※典型例题
例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）

新教材人教A版5.1.2弧度制课件(36张)

新教材人教A版5.1.2弧度制课件(36张)

(3)∵25π＝25×180°＝72°， ∴与25π终边相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)． 当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°. ∴在 0°～720°中与25π终边相同的角为 72°，432°.
1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式 π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数
[解析] (1)α1＝－171π＝－171×180°≈－282.86 °； α2＝5611π＝5611×180°＝15 330°； α3＝9＝9×1π80°≈515.66°； α4＝－855°＝－855×1π80＝－149π. (2)163π＝4π＋43π； －315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －117π＝－2π＋37π.
l 的绝对值是|α|＝_____r___.这里，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
(3)弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度
360°＝____2_π___ rad 180°＝____π____ rad
π 1°＝_1_8_0_ rad≈0.017 45 rad
弧度化角度 2π rad＝__3_6_0_°___ π rad＝__1_8_0_°___
课时·跟踪训练
α2kπ＋π6＜α≤2kπ＋π2，k∈Z ∪
α2kπ＋π＋π6＜α≤2kπ＋π＋π2，k∈Z
＝αkπ＋π6＜α≤kπ＋π2，k∈Z
.
首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位 要统一，注意虚实边．
用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判 断 2 014°是不是这个集合的元素．
探究二 用弧度制表示角 [例 2] 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件


144 6
l
,

120 5
r
96
6 180
(
) ( )

5

课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
知识点:(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
易错点：弧度与角度混用.
（2）1弧度的角：____________________________；
（3）记法：弧度的单位符号是rad，读作弧度
注：弧度单位可省略，角度单位不能省略.
半径为1的圆
（4）单位圆：____________；
∠AOB 即为1弧度的角
概念生成
（5）弧度的计算：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，
第五章
三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
学习目标
学习
目标
一
理解弧度制
二
理解1弧度的角及弧度的定义
三
掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度
与弧度的换算，熟记特殊角的度数对应的
弧度数.
复习回顾
请说说角的概念是怎样扩大的？
角的概念
(0°～360°)
放在坐标系中
看终边的位置
0°～360°
的角不够用
心角对对弧的长度。
n R 60


( mm )
简析： 角度制下： 60 n 60, l
180
180
3
弧度制下： 60

3
, l R

新教材人教A版5.1.2弧度制课件(49张)

对值是|α|＝______r. 思考2：(1)建立弧度制的意义是什么？ (2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书
写才是规范的？
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第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
提示：(1)在弧度制下，角的集合与实数 R 之间建立起一一对应的关 系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来， 每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
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5.1.2 弧度制
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
必备知识·探新知
返回导航
第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
基础知识
知识点1
度量角的两种制度
(1)角度制．
①定义：用___度___作为单位来度量角的单位制．
(2)与(1)类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 {α|2kπ＋π6<α<2kπ＋π2，k∈Z}∪{α|2kπ＋π＋π6<α<2kπ＋π＋π2，k∈Z}＝{α|kπ ＋π6<α<kπ＋π2，k∈Z}．
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第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 解答本题时常犯以下三种错误． (1)弧度与角度混用． (2)终边在同一条直线上的角未合并． (3)将图①中所求的角的集合错误地写成{α|43π＋2kπ<α<π3＋2kπ，k∈ Z}，这是一个空集．对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越 x 轴 的正半轴，若区间跨越 x 轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示， “后面”的角用正角表示；若区间不跨越 x 轴的正半轴，则无须这样写．

人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件


特殊角的度数与弧度数的对应表：
度数 0 30 45 60 90 120
弧度 0
6
4
3
2 23
135 150 180 270 360
3 5 46
3 2
2
正角的弧度数是正数，
角的概念推广后，
弧度数的概念也随之推广： 负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是零．
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
2、 终边与X轴负半轴重合；
| 2 ( )
3、 终边与X轴重合； | ( )
4、
终边与Y轴正半轴重合；
|
2
2
( )
5、 终边与Y轴负半轴重合；
|
2
3
2
( )
6、 终边与Y轴重合；
|
2
( )
7、第一象限内的角；
|
2
2
2
( )
8、第二象限内的角；
|
2
2
2
( )
y
450
0
x
(1)
y
450
0
x
(2)
提炼总结：
1.180= 弧度；
2.“角化弧”时，将n乘以
180
；
“弧化角”时，将乘以180 ；
3.弧长公式: l = r
4.扇形面积公式：S
1 2
lR
思考题：试证：扇形周长一定时，当圆心角 =2时，扇形面积最大.
l
r
解 : 设扇形半径为R,弧长为L,则由
2R L 8
1 LR 4 2
解得 R 2 L 4
故该扇形的圆心角的弧度数为
L 4
No Image
R2

新教材人教A版5.1.2弧度制课件(43张)


AB为长度的线段构成一个直角三角形，AF为2，其所对的圆心角∠ABF=1，故半
径|AB|= 2 .这个圆心角所对的弧长为2× 2 = 4 .
sin 1
sin 1 sin 1
3.已知扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，则这个圆心角所对的弓形面积是
A.
3
－
3
C.
3
B. 2
3
D. 2 － 3
3
()
2
A. 2 rad
B. 3 rad
C. 2 rad
D. 3 rad
3
2
【解析】选B.由α= l
r
3
，得α= 2
r
r
3
=3
2
2
，因此圆弧所对的圆心角是
3 2
rad.
2.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为 ( )
A.2
B. 2
C.2sin 1
D. 4
sin 1
sin 1
【解析】选D.连接圆心B与弦AC的中点F，则以弦心距BF、弦AC的一半AF、半径
(3) 1弧度的角是周角的 1 .
()
360
提示：(1)×.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角.
(2)×.“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，当半径变大时，
弧也变大，弧长与半径比值是一个定值，所以与所在圆的半径大小无关.
(3)×.1弧度的角是周角的 1 .
2
2.(教材二次开发：例题改编)将角1 080°化为弧度制等于
(1)5 1 1 =_______；(2)- 7 =_______；
6
12
(3)10°=_______；(4)-855°= _______.
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问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导
过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公
（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
※典型例题
例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）
（1） （2）3.5
（3）252º（4）11º15¹
变式训练：①填表
角度制
0º
45º
60º
90º
150º
6.用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知两角的和为1弧度，且两角的差为1°,试求这两个角各是多少弧度.
8.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6，求弓形ACB的面积.
【挑战能力】
（10分）我国发射的某卫星90分钟绕地球一周,若近似地把此卫星的轨道看成一个圆形轨道,问1秒钟转过多少弧度?若地球半径取R=6 370千米,轨道距地面356千米,卫星的速度是多少?
（3）37°30′=rad；
对应关系
角的概念推广后,在弧度制下,与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即)与它对应
预习达标练习
1. 对应的角度为( )
（A）75°（B）125°
（C）135°（D）155°
2.时钟经过1小时，时针转过了( )
（A） rad(B) rad
变式训练(2)：A= ,B= 则A、B之间的关系为.
师生共同完成内容
巩固练习
学习评价
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的( )
(A)弦长相等(B)弧长相等
(C)弦长等于所在圆的半径(D)弧长等于所在圆的半径
2.已知α=-3，则α是( )
(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角
学习难点：掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式
教师编制内容
生成问题预习提纲
1、弧度制的概念
1、角可以用为单位进行度量，1度的角等于。叫做角度制。角还可以用为单位进行度量，叫做1弧度的角，用符号表示，读作。
2、正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是。这里，α的正负由决定。
(C) rad (D) rad
3.已知扇形的面积是 ,半径是1，则扇形的圆心角是
（A） (B) (C) (D)
4.把90°化为弧度是______.
5.若α是第四象限的角，则π－α是第______象限的角.
6.在直径为20 cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长：
(1) (2)165°
教师精选编制内容
合
§1.1.2弧度制
学生明确内容
学习目标
1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.
2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系.
3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.
重难点
学习重点：正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.
5、若
角
学生自主完成
听课所得
作
探
究
问题1：什么叫角度制？
问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？
问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？
问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？
问题5：角的集合与实数集R之间建立了________
对应关系。
问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.
180º
315º
弧度制
②若 ，则 为第几象限角？
③用弧度制表示终边在y轴上的角的集合___ ____.
用弧度制表示终边在第四象限的角的集合__ _____.
例2:①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积
②已知扇形的周长为8cm ,圆心角为2rad,求扇形的面积
变式训练（1）：一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.
3.(2011·宿州高一检测)-120°化为弧度为( )
4.(2011·会昌高一检测)若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
（A）4 cm2(B)2 cm2（C）4πcm2（D）2πcm2
二、填空题（每题4分，共8分）
5.(2011·淮安高一检测)把角 化成α+2kπ(0≤α＜2π)的形式为______.
知识点2、角度制与弧度制的关系
180°＝rad 1°＝rad≈rad 1 rad＝°≈°
练习1、将下Βιβλιοθήκη 弧度转化为角度：（1） =°；（2）－ =°′；（3） =°；
练习2、将下列角度转化为弧度：
（1）36°=rad；（2）－105°=rad；
知识点3、弧度制下角与角的弧度数之间的
角的概念推广后,在弧度制下,与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即)与它对应.