弧度制教案人教版

《弧度制》教学设计一、教学内容解析.1、内容解析.本节课是人教 A 版《普通高中教科书·数学》必修一第五章“三角函数”第一节“任意角与弧度制”第2课时的内容.弧度制的本质是用线段（实数）度量角的大小，而角度制下三角函数的研究会因单位制不统一引发研究困难，同时函数概念中要求，函数必须是两个实数集之间的对应关系，只有实数表达的三角函数才能在同一坐标系下进行函数间的相关运算.另外，生活中的很多周期现象的变量并非都是角度，比如历法、潮汐现象等的自变量是时间，角度制在研究这类问题中出现了比较大的局限性，将角度与实数建立关系是解决这一问题的重要途径.本节课的核心学习任务是体会弧度制引入的必要性以及经历弧度概念的生成过程.2、蕴含的思想方法.在思考角度与实数间对应关系时,通过具体的实践操作，让学生感受用长度度量角度的整个过程，感受特殊到一般的推理思想方法，通过1rad角的定义探究以及通过实物模型直观感受1rad角的大小，体会以直代曲的思想方法.3、知识上下位的关系.义务教育阶段学习的角度制，是生活中比较广泛的角度的度量制，弧度制作为角的另外一种度量制度，在任意角的基础上将角和实数建立了一一对应的关系，当前学习的主要目的是为解决三角函数中单位进制不同产生的困难，学习弧度制将为后续学习三角函数打好基础.4、育人价值.从已有认知出发，从研究问题的便利与合理性出发创造新知识，让学生体会一个新的单位制的研究路径及其价值，落实“用数学的眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界”的素养理念.二、教学目标设置1、理解1rad角的定义，建立弧度制的概念，知道弧度制的本质是线段度量角度大小.掌握弧度与角度的互化，知道一些特殊角的弧度数，能通过弧度定义推导扇形弧长及面积公式.2、经历“发现问题--现实情境--动手实践--产生不便--创造新知--感受创造发明的美好”的过程启发思考，提高数学思维.3、经历“度量需要--寻找关系--制定单位--定量表示--单位换算”丰富学生的数学活动经验.重点：1rad角的定义，角度与弧度的互化.难点：弧度制的产生过程和蕴含的思想方法.三、学生学情分析.1、学习条件.有了任意角的基础，利于弧度制概念生成过程中与实数的对应。

弧度制教案人教版一、教学目标1、知识与技能目标理解弧度制的概念，能熟练地进行角度与弧度的换算。

掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并能运用这些公式解决相关问题。

2、过程与方法目标通过类比角度制，引导学生自主探究弧度制的定义和相关公式，培养学生的观察、分析和归纳能力。

通过弧度制与角度制的换算练习，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学知识的内在联系，体会数学的简洁美和统一美。

激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、创新的精神。

二、教学重难点1、教学重点弧度制的概念及与角度制的换算。

弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用。

2、教学难点理解弧度制的定义，体会弧度制引入的必要性。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾角度制：我们在初中已经学习了角度制，知道一个周角等于360°，平角等于 180°，直角等于 90°。

提出问题：在实际应用中，角度制是否存在一些不便之处？比如在计算圆的弧长和扇形面积时。

2、讲授新课弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。

引导学生思考：为什么要用这样的定义来引入弧度制？以半径为 r 的圆为例，若圆心角α所对的弧长为 l，则α的弧度数为α ＝ l ／ r 。

特别地，当弧长等于半径时，圆心角的弧度数为 1 rad 。

角度与弧度的换算：因为一个周角所对的弧长为2πr，而圆的半径为 r，所以一个周角的弧度数为2π rad 。

又因为一个周角等于 360°，所以 360°＝2π rad ，180°＝π ra d 。

由此可得，1°＝π ／ 180 rad ，1 rad ＝（180 ／π)° 。

进行角度与弧度的换算练习，如 60°＝ 60 ×（π ／ 180) rad ＝π ／3 rad ；π ／ 6 rad ＝（π ／ 6) ×（180 ／π)° ＝ 30°。

高一数学弧度制课题：§4.2弧度制 （一）课题教材分析： （二）素质教育目标： 1.知识目标： （1）弧度制的定义；（2）用弧度制表示的弧长公式、扇形面积； （3）角度制和弧度制的换算；（4）角的集合和实数集合R 之间的一一对应关系； 2.能力目标：（1）理解并掌握弧度制定义，领会弧度制定义的合理性； （2）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式解题；3.德育目标：使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系； （三）课型课时计划： 1.课题类型：新授课； 2.教具使用：常规教学；3.课时计划：本课题共安排2课时； （四）教学三点解析：1.教学重点：熟练地进行角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用；2.教学难点：1弧度的角的含义、弧度与角度的换算；3.教学疑点：理解并掌握弧度制定义； （五）教学过程设计 一.温故知新，引入课题1.背景：半径r=45，圆心角α=45°，所对的弧长l=？2.弧长的计算公式是：180rn l π=3.n 表示角度，1度的角是如何规定？4.用度做单位来度量角的制度叫做角度制。

二.新课教学（板书课题：4.2弧度制）1. 1弧度的角：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

2. 为什么可以用等于半径的弧所对的圆心角来作为度量角的单位？ 一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关；3.这个角是否与所取的圆的半径大小无关呢？4.弧长与半径的比值是否与圆的半径无关？5.半径、弧长、弧度的关系：6.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，从而rl =||α。

7.弧长记扇形面积的计算公式：2||2|;|2r r l S r l ⋅=⋅=⋅=αα扇形。

8.周角的弧度数是π2，rad rad ππ=︒=︒180,2360。

课堂教学设计学科：数学姓名：课题：5.1.2弧度制课型：新授课课程标准分析本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着承上启下的作用。

通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式，也为今后学习三角函数带来了很大方便。

教学背景分析（一）课题及教学内容分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法--弧度制，从而将角与实数建立一一对应的关系，为学习本章的核心内容三角函数扫平障碍，打下基础。

（二）学生情况分析学生在上一节已经学习了任意角的概念，对角的概念在初中也有学习，并且具备一定计算能力，所以学生学习本节内容还是比较也有兴趣的，但学生的逻辑思维较弱，还需要老师的引导。

学习目标1.理解角的弧度制表示，掌握角的角度制与弧度数的互化2.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式并灵活运用教学重点和难点重点：弧度制的定义、弧度制和角度值的换算、弧度制下扇形的弧长、面积公式难点：弧度制的概念与角度的换算教学资源和教学方法教学资源：ppt教学方法：指导学生独立思考，以同学之间互相讨论进行学习。

运用“问题探究”的教学模式，层层深入地设置问题，采用发现式教学。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一课题导入：姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中却是7.5英尺弧度制数学史：瑞士数学家欧拉，1748在他的一部划时代的著作《无穷小分析概论》中，正式定义弧度制。

学生课前预习，对教师提出问题进行回答。

学生可以发现长度可以用不同的单位制进行度量及弧度制什么时候被定义的。

环节二弧度制的定义问1如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？l与r的比值是多少？合作交流：借助初中已有知识，完成ppt上的表格并探究弧长与半径的比值与半径和圆心角的关系。

5.1.2 弧度制1、教学目标（1）.理解弧度制的意义，能正确的进行角度制与弧度制的换算；了解角的集合和实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．（2）.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式2、教学重点与难点1.教学重点：弧度制的定义、弧度与角度的换算2.教学难点：弧度制与角度制的联系及弧度制下扇形的弧长公式和面积公式的推导和证明。

3、教学过程设计(一) 概念的引入【问题1】 在初中几何里，我们学习过角的度量，1︒的角是怎样定义的呢？师生活动：1︒的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1︒．它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．【问题2】度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？师生活动：学生思考并回答问题。

教师提问，引导学生思考第二种单位制的存在。

指明本节课所学知识点：弧度制的定义以及1弧度的含义。

【设计意图】：引发学生学习兴趣，激发学生的好奇心和求知欲，让学生意识到可以用不同的单位制来度量同一个量，从而理解角度制和弧度制都是对角度量的方法。

下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制． 如图5.19，射线OA 绕端点O 旋转到OB 形成角α．在旋转过程中，射线OA 上的一点P （不同于点O ）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α =n ︒，OP=r ，点P 所形成的圆弧1PP 的长为l ．由初中所学知识可知l=180n r π， 于是180l n rπ=．【问题3】：如图5.110，在射线OA 上任取一点Q （不同于点O ），OQ ＝1r ．在旋转过程中，点Q 所形成的圆弧1QQ 的长为1l ．1l 与1r 的比值是多少？你能得出什么结论？可以发现，圆心角α 所对的弧长与半径的比值，只与α 的大小有关．也就是说，这个比值随α 的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．而这种像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小的单位制称为弧度制．师生活动：学生思考并回答问题，可以独立思考，也可以进行小组讨论。

《5.1.2弧度制》教学设计一、教学目标（1）通过解决现实生活中抽象数学模型问题，经历弧度制的生成过程，尝试用弧长度量角的大小，了解弧度制下角的集合与实数集R之间的一一对应关系，体会引人弧度制的必要性；（2）能熟练进行角度制与弧度制的互化，总结角度制与弧度制的内在联系，掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题，感受公式应用的简洁性；（3）通过构建弧度制的知识体系，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的研究过程，感受特殊与一般、数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法的丰富内涵；（4）通过自主探究、合作交流等活动，感受数学发现与再创造的乐趣，培养学生的直观想象、数学计算、逻辑推理、数学抽象和数学建模核心素养.二、1.教学重点：（1）角度制与弧度制间的互相转化；（2）弧长公式及扇形的面积公式的推导与应用.2.教学难点：弧度制概念的生成与理解.三、教学方法：问题引导教学法，启发式教学，小组合作探究学习．四、教学支持：希沃白板5五、教学过程：（一）创设情境，提出问题问题1：摩天轮，它可以看成是质点做圆周运动的模型，现在将这个圆抽象出来，点P的位置与哪些几何量有关呢？追问：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？设计意图在三角函数“大单元”中，周期现象是我们研究问题的大背景，它贯穿于三角函数“大单元”始末，为体现教学的连贯性，以摩天轮上一点P的运动为例，师生一起抽象建模，思考研究刻画点P的位置的几何量，制造学生的认知冲突，让学生体会到学习弧度制的必要性.问题2：现实生活中有没有同一个几何量可以用不同的单位制进行表示呢?追问：角的度量是否也可以用不同的单位制呢?设计意图引导学生通过类比生活中的量，发现探究角的度量存在其它单位制的可行性.（二）合作探究，凸显生成动手实验实验教学用具:一张半圆纸板、一把刻度直尺、若干细线实验教学过程:通过小组合作,运用现有的实验用具,在这张半圆纸上标出36°的角.设计意图36°不能通过尺规作图直接得到，而实验用具又未提供量角器，该动手实验旨在引导学生探索新的度量角的方式，将角的度量问题转化为长度的度量问题，从而体会到弧度制的本质即“用线段长度度量角的大小”，为理解弧度制概念积累数学体验．问题3：那我们可以直接用弧长来衡量角的大小吗?追问1：我们先来看看这两个扇形,同学们发现什么?追问2：我们再来观察一下这两个扇形,除了弧长变化之外,还有什么也发生了变化?问题4：角度、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢？能否用我们以前学习过的数学公式来表示它们之间的关系？观察动态演示：计算扇形的弧长与对应半径的比值；改变弧长和半径的长度，观察比值的变化.设计意图以问题串的形式，引导学生探究角的大小与弧长、半径的关系，并结合角度制下的弧长公式180r n l π=进行公式推导，让学生清楚在研究多变量关系时，采用控制某个变量以达到减少变量的目的，清楚在“变化中寻找不变量”是数学研究的重要方式.从特殊到一般的研究方法，得到可以用弧长与半径的比值来度量角的大小．动态演示可以帮助学生加深对弧度制概念的直观理解．（三）类比迁移，形成概念问题5：我们用弧长和半径之比定义圆心角的度量方式，相对于角度制，大家觉得这个新的度量可以给个什么名称？追问：角度制中，1度角的大小是怎么规定的？教师介绍1度角数学史问题6：在我们的定义rl =α下，1rad 的几何意义是什么？学生活动：能否在圆中将大小为1rad 的角表示出来？课件展示：弧度制产生的历史.设计意图先通过信息技术手段让学生进一步感知角α确定后比值rl 的不变性，以及比值rl 与角α的一一对应关系，再从数学史的角度介绍弧度制，近代与现代遥相呼应.让学生体会数学发展的历史，这一点符合新课标所提出的注重数学文化渗透的基本理念.（四）新旧融合，完善概念问题7：经过上节课任意角的研究后，我们知道，角可以分为正角、负角和零角，那么对于我们目前的定义rl =α，你觉得是否需要修改完善一下？追问：你能说说角度制和弧度制的区别吗？设计意图区分正角与负角，在任意角的背景中对rl =α加以修正，体现弧度概念的科学性，帮助学生进一步理解弧度制不仅可以用于度量角的大小，而且使角的集合与实数集之间建立一一对应的关系.（五）相互转化，揭示联系问题8：你能找到角度制和弧度制的换算规则吗？设计意图以角度制和弧度制的内在逻辑为线索，启发学生通过解决具体问题寻找两者之间的内在逻辑，得到换算关系，让学生亲历角度制与弧度制换算关系的探究过程，深化弧度制概念的学习．（六）典例选讲，深化概念例1：把下列角度化成弧度：（1）22°30’（2）-210°例2：把下列角度化成弧度：（1）12πrad （2）0.5练习：填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表（1）（2）例3利用弧度制证明下列有关扇形的公式:(1)；R l α=(2)；221R S α=(3).21lR S =其中R 是圆的半径，()παα20<<为圆心角，l 是扇形的弧长，S 是扇形的面积.例4已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积.【设计意图】巩固角度与弧度的互化，对学习重点内容进行当堂检测，体会弧度制下弧长、扇形面积公式的简洁性，建立弧度制的优越性，体验知识的形成过程，从而进一步提升学生的数学运算核心素养.02π56π角度弧度0 60 120 135 270 4π2ππ2π30(七)归纳小结，提炼升华（1）回顾一下研究过程，说说你是如何研究弧度制的？（2）你认为利用弧度制我们可以解决怎样的问题？（3）你能画出弧度制这一课时的思维导图吗？【设计意图】学生的总结有利于培养学生的概括能力和语言表达能力，老师的总结，从度量过程和引入弧度制的必要性两个层面引领学生回顾这节课的主要内容及概念研究的方法，学生课后自主完成弧度制的思维导图，达到构建知识网络，领悟思想方法的目的.（八）作业分层，巩固实践(1)基础过关①课本P175练习题第3、6题②课本P175-176习题5.1第5、6、8题(2)能力提升课本P176第12题(3)实践创新自由组建兴趣小组，根据不同材质的价格、产生的风量大小等，设计一把优秀的扇子，开展一次数学建模和数学探究的活动，每个人把研究成果和心得撰写成一篇数学建模小论文.【设计意图】设计分层、分类作业，落实基础的同时，为学生发展提供更为广阔的空间；紧贴新时代、新教材、新课堂的要求，设计实践创新作业，以课题形式突破数学建模与数学探究活动，培养全面发展的优秀人才．（九）板书设计草稿区弧度制一．定义二．转化关系三．扇形公式四．例题讲解。

弧度制高一数学科组袁假设琳教学目标：知识目标⑴理解1弧度的角的意义.⑵理解弧度制的定义，建立弧度制的概念.能力目标⑴掌握角度制与弧度制的换算公式进行换算.⑵牢记特殊角的弧度数与角度数的互化.情感目标通过弧度制一弧度角及弧度制定义的探索过程，培养学生主动探索、勇于发现弧度制与角度制之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法.重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念，弧度制与角度制之间的关系.教学过程：一、知识回忆角可以怎样分类与角α终边相同的角的集合如何表示请大家回忆什么是角度制.角可以用度为单位进行度量，将圆周等分成360份，1度的角度等于周角的1，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.360二、新课引入度量长度可以用米、厘米、尺、寸表示，度量重量可以用千克、磅，度量角可以用角度制，还可以用什么度量角环节一：弧度制的含义，理解1弧度，引入弧度制的目的.把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图1—14(见教材)，弧AB的长等于半径r，那么弧AB所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad.记作1rad，读作1弧度.引入弧度制的目的：弧度用实数表示.思考：弧度数与半径大小有关吗环节二：探究课本P6，半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的终边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成下表：弧AB的长OB 旋转的方向AOB的弧度数AOB的度数lαnr逆时针方向2r逆时针方向r12r2180°360°讨论：根据上表，你能发现什么规律1. 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值αl.〔α的正负由角α的终边的旋转方向决定.〕rAOB的弧度数与AOB的度数的换算. 2πrad180πrad由此可得，1πrad180radrad，1180π特别地，以后的角度和弧度换算只要抓住180πrad即可.三、练习稳固例题评讲例1：把角度67°30′化成弧度.例2：把弧度π化成角度.3完成课本P9ex1—2学生课堂练习填写以下特殊角的度数与弧度数的对应表：度0345120135150360弧3度322注：熟记特殊角的弧度数，方便以后的计算.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角〔即弧度数等于这个实数的角〕与它对应.正角正实数零角零负角负实数任意角的集合实数集R四、课堂小结通过本节课的学习，你们掌握了什么弧度制的定义；弧度制的意义；角度与弧度换算的核心公式. 特殊角的度数和弧度数的互化.五、作业布置课本P107-7 六、教学反思。