高中数学1.1.2弧度制导学案新人教版必修4

课 题：1.1.2弧度制（二）教学目的：1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 604．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合 实数集R5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180r n l π=；3602R n S π=扇二、讲解新课：1．弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

〔三〕给出一般规律ɑ所对弧的长为L ，那么，角ɑ的弧度数的绝对值是|a|=rl 教师引导：继续观察上述表格，看一看∠AOB 的弧度数与∠AOB 的度数的符号有什么关系？〔建立角的集合与实数集之间的一一对应关系，而这种关系在表中很容易发现。

〕 （四）角度制与弧度制的换算360º = 2π rad 180º = π rad 学生回答公式，老师再次强调：必须熟记住180º = π rad ，这是知识的本源.只要记住方法弧度制与角度制的换算就会迎刃而解. 三、应用举例及课 堂练习约15分钟 课本第7页例题1：把67°30′化成弧度；补充：把〔1〕300 ，〔2〕-450化成弧度。

引导学生通过利用换算方法把度换算为弧度，在黑板上写出解题过程.〔强化弧度的表示.〕补充例题2：把(1)54π,(2) 2 化成角度。

引导学生解题，掌握弧度换算为角度的方法〔板书〕.并填写完下表.〔强化互化公式的应用〕再次阐述一一对应关系引入了弧度制之后，角和实数就存在了一一对应的关系〔阐明引入弧度制的优点之一.〕课堂练习：度 00300600 1200 1350 2700弧度4π2π65ππ2π2.将分针拨快15分钟，那么分针转过的弧度数是〔 〕 A -3π B 3π C -2π D 2π 3.5弧度的角所在的象限为〔 〕A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限〔对本节课的重点进行针对性的训练。

〕1，2，3题学生口答，教师多媒体展示，并再次强调互化的两种方法。

rad 01745.01801≈=︒π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；〖板书设计〗。

§1.1.2 弧度制1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.2.了解角的集合与实数集R之间可以成立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.69在初中，咱们常常利用量角器量取角的大小，那么角的大小的气宇单位为何？二、新课导学※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的概念是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是如何的？问题5：角的集合与实数集R之间成立了________对应关系。

问题6：用弧度别离写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导 进程。

回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。

※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方式） （1）53π（2） （3）252º （4）11º15¹变式训练：①填表②若6-=α，则α为第几象限角？③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合___ ____.用弧度制表示终边在第四象限的角的集合__ _____.例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.变式训练 (2)：A=()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k,21ππ, B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22ππ则A 、B 之间的关系为 .※ 动手试试一、将下列弧度转化为角度：（1）12π= °；（2）－87π= ° ′； （3）613π= °；二、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ； （2）－105°= rad ； （3）37°30′= rad ；3、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则 （ ）A ．集合M 是集合N 的真子集B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包括关系4、圆的半径变成原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变 C ．扇形的面积增大到原来的2倍 D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍三、小结反思角度制与弧度制是气宇角的两种制度。

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

人教版高中必修4(B版)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算课程设计一、课程背景及目标弧度制是高中数学学习中一项非常重要的知识点，是学习三角函数和圆周运动等知识的基础。

本课程旨在帮助学生深入理解弧度制的定义、性质及与角度制的换算，并能够熟练地进行弧度制和角度制的换算，以达到以下目标：1.掌握弧度制的定义、性质以及与角度制的换算方法；2.能够正确地应用弧度制和角度制进行计算；3.培养学生认真、细心，探究问题的能力。

二、课程内容及教学方法1. 课程内容本课程将分为以下几个部分：1.弧度制的定义及性质；2.弧度制与角度制的换算；3.探究：弧度制和角度制的关系以及运用。

2. 教学方法本课程将采取以下教学方法：1.通过教师讲解、演示以及举例等方式，帮助学生全面理解弧度制和角度制的定义、性质和换算方法；2.在教师的引导下，让学生自主探究弧度制和角度制之间的关系，并且在探究的过程中加深对知识点的理解；3.借助计算机等辅助工具，进行弧度制和角度制的换算练习以及应用实例分析，帮助学生掌握该知识点的运用技巧。

三、教学重点与难点1. 教学重点：1.弧度制的定义及性质；2.弧度制与角度制的换算方法；3.弧度制和角度制的应用。

2. 教学难点：1.熟练地进行弧度制和角度制的换算；2.弧度制和角度制的应用。

四、教学过程设计1. 引入教师通过引进本章主题、介绍本章知识点的重要性等方式，引导学生进入本节课程内容。

2. 讲解弧度制的定义及性质1.通过实物演示圆周，引出圆周的弧长与半径的关系；2.引出“弧度”概念，并讲解弧度的定义及性质；3.通过实例说明弧度的大小，帮助学生加深对弧度的理解。

3. 弧度制与角度制的换算1.引导学生理解弧度和角度之间的关系；2.通过教师演示和学生举例等方式，介绍弧度制和角度制的换算方法；3.让学生进行练习及交流。

4. 探究：弧度制和角度制的关系以及运用1.让学生自主进行探究，理解弧度制和角度制的关系；2.设计几道弧度制和角度制的问题，让学生运用所学知识进行解答。

１．２弧度制一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生明确弧度制的概念，弧度与角度的换算，弧长公式及扇形公式． 教学目的：引导学生认识弧度制，并确立１弧度的含义。

教学意义：培养学生用转化的思想对同一事物进行不同方式描述。

二、教学过程１．１弧度的角定义：我们规定，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。

这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

２．弧长公式：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０。

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是rl =||α。

３．弧度与角度的换算：π2360=︒弧度1801()5718'1180rad rad ππ⎧=︒≈︒⎪⇒⎨⎪︒=⎩例 若)(4Z k k ∈+=ππα，则在第几象限？一、三 例 填写特殊角的换算对应表：度０° ３０° ４５° ６０° ９０° 弧度０ 6π 4π 3π 2π １２０° １３５° １５０°１８０° ２７０° ３６０° 23π 34π 56π π 32π 2π４．弧度制下的弧长公式及扇形公式：R l ||α=，22121R lR S α==。

例 已知半径为10的圆中，弦AB 的长为10。

（1） 求弦AB 所对的圆心角α的大小；3π （2） 求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形面积。

π310，)233(50-π 例 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？2,10==αr三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．若α是第三象限角，则απ+所在的象限是（ Ａ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限２．若βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是 )0,(π- ．３．若三角形的三个内角之比为3:2:1，则此三角形的最小内角的弧度数为 6π ．４．如图所示，已知单位圆上一点)0,1(A 按逆时针方向做匀速圆周运动，s 1时间转过的弧度数是(0)θθπ<≤，经过s 2到达第三象限，经过s 14又转到最初位置，则θ的弧度数是 75,74ππ ．五、课后作业 同步练习1. 半径为2的圆中，弧长为4的弧所对圆心角大小是多少？ ２２．已知扇形周长为10，为4，求扇形的圆心角。

第一章§1.1.2弧度制学习目标：1. 了解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数2. 掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度和弧度的换算3.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形面积公式5.会用弧度制解决某些实际问题预习导航：要求：在上课前认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注1．弧度（1）长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做，记作。

用弧度为单位来度量角的单位制，叫做。

（2）正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是，角α的弧，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。

2．角度与弧度的换算360°= ，=πrad 。

1°= rad，1rad = 。

3．扇形的弧长与面积公式（1）在弧度制下，弧长公式为，扇形面积公式为。

（2）在弧度制下，弧长公式为，扇形面积公式为。

探究问题（一）弧度的概念:思考1：在平面几何中，1°的角是怎么定义的？思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对应的圆弧长如何计算？思考3：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad，读作1弧度。

那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r的圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？思考5：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值如何计算？探究问题二角度与弧度的换算思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1弧度等于多少度？思考3：根据度与弧度的换算关系，完成下表（2）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.()1l R α=()2122S R α=()132S l R=课堂小结：1.这节课学到了什么2.各小组表现如何课下作业：说明（1）今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad 的角. 例2： 利用弧度制证明下列关于扇形公式: 课本P10 习题1.1 A 组：6，7，8，9，10.练习： 1、在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？。

1.1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点一 角度制与弧度制思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 答案 周角的1360等于1度.思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad 表示. 思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.梳理 (1)角度制和弧度制 角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 知识点二 角度制与弧度制的换算思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ 答案 利用1°＝π180rad 和1 rad ＝(180π)°进行弧度与角度的换算.梳理 (1)角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π rad π rad＝180° 1°＝π180rad≈0.017 45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0° 1° 30° 45° 60° 90°120°135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0π180π6π4π3π22π33π45π6π3π22π知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案 设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则：α为度数 α为弧度数 扇形的弧长l ＝απR 180°l ＝αR 扇形的面积S ＝απR 2360°S ＝12lR ＝12αR 2类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°.(4)－11π5＝－115×180°＝－396°.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°即可.跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度.解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°.类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角. (1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角. (2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角. (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角. 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°.∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A.π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.2 B.2sin 1 C.2sin 1 D.4sin 1答案 (1)A (2)D解析 (1)扇形的中心角为120°＝2π3，半径为3，所以S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π3×(3)2＝π.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为2sin 1.这个圆心角所对的弧长为2×2sin 1＝4sin 1. 反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算. 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1.下列说法中，错误的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案 D解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D 是错误的，故选D. 2.时针经过一小时，转过了( ) A.π6 rad B.－π6 radC.π12 rad D.－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6 rad ，故选B.3.若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限答案 D解析 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4答案 C解析 设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.5.已知⊙O 的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是 . 答案 － 3解析 设⊙O 的半径为r ，其内接正三角形为△ABC .如图所示，D 为AB 边中点， AO ＝r ，∠OAD ＝30°， AD ＝r ·cos 30°＝32r ， ∴边长AB ＝2AD ＝3r . ∴的弧长l ＝AB ＝3r . 又∵α是负角， ∴α＝－l r＝－3rr＝－ 3.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式. 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.课时作业一、选择题1.－300°化为弧度是( ) A.－43πB.－53πC.－74πD.－76π答案 B解析 －300°＝－300×π180＝－53π.2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 A ，B 中弧度与角度混用，不正确. 9π4＝2π＋π4，所以9π4与π4的终边相同. －315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°的终边相同.故选C. 3.下列转化结果错误的是( ) A.60°化成弧度是π3B.－103π化成度是－600°C.－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 答案 C解析 C 项中－150°＝－150×π180＝－56π.4.设角α＝－2弧度，则α所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 ∵－π<－2<－π2，∴2π－π<2π－2<2π－π2，即π<2π－2<32π，∴2π－2为第三象限角， ∴α为第三象限角.5.把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A.－34πB.－2πC.πD.－π答案 A解析 ∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，∴θ＝－34π.6.若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A.1∶3B.2∶3C.4∶3D.4∶9答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.7.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6 m 2B.9 m 2C.12 m 2D.15 m 2答案 B解析 根据题设，弦＝2×4sin π3＝43(m)，矢＝4－2＝2(m)，故弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(m 2). 二、填空题8.在直径长为20 cm 的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为 cm. 答案55π6解析 ∵165°＝π180×165＝11π12(rad)，∴l ＝11π12×10＝55π6(cm).9.已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π].10.若2π<α<4π，且α与－76π角的终边垂直，则α＝ .答案 73π或103π解析 α＝－76π－π2＋2k π＝2k π－53π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝73π；或者α＝－76π＋π2＋2k π＝2k π－23π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝103π.综上，α＝73π或103π.11.如果圆心角为2π3的扇形所对的弦长为23，则扇形的面积为 .答案4π3解析 如图，作BF ⊥AC .已知AC ＝23，∠ABC ＝2π3，则AF ＝3，∠ABF ＝π3.∴AB ＝AFsin ∠ABF ＝2，即R ＝2.∴弧长l ＝|α|R ＝4π3，∴S ＝12lR ＝4π3.三、解答题12.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是30，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10(cm)，∴l ＝αR ＝10π3(cm).S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2). (2)∵l ＋2R ＝30，∴l ＝30－2R ，从而S ＝12·l ·R ＝12(30－2R )·R ＝－R 2＋15R ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －1522＋2254. ∴当半径R ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)， 扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝l R＝2(rad). ∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254cm 2. 13.已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.解 (1)∵α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3， 又π2<2π3<π， ∴角α与2π3的终边相同，∴角α是第二象限的角. (2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2k π＋2π3，k ∈Z ， ∴由－4π≤2k π＋2π3≤π，得－73≤k ≤16. ∵k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1或k ＝0.故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－10π3，－4π3，2π3.。

1.1.2弧制度教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的 集合与实数集R 一一对应关系的概念。

教学重点：会将一个角度制的角化为弧度制，将弧度制角化为角度制角。

教学难点：1弧度角化为角度，1度角化为弧度角的理解。

教学过程一、复习提问任意角包括哪些角？有最大角、最小角吗？终边相同的角的集合如何表示？二、新课1、提出课题：弧度制－—另一种度量角的单位制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

它的单位是rad 读作 弧度。

如图：AOB=1rad ，AOC=2rad 周角=2rad（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值 rl =α（l 为弧长，r 为半径）（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0），用角度制和 弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

2、角度制与弧度制的换算抓住：360=2rad ∴180= rad ∴ 1=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad 例1、 把'3067ο化成弧度o rC 2rad 1rad r l=2r o A A B解：οο⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=ο 例2、 把rad π53化成度。

解：οο1081805353=⨯=rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin 表示rad 角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合 实数集R3、练习（P10 练习1 、2）例3、 用弧度制表示：1终边在x 轴上的角的集合；2终边在y 轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合. 解：1终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 4、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化5、作业：P11习题1.1A6、7、8、9、10正角 零角 负角 正实数 零 负实数。

弧度制
【学习目标】
. 理解并掌握弧度制定义. 熟练进行角度制与弧度制地互化换算.
．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用.
【新知自学】
知识回顾：
．角的概念
一条射线由原来的位置，绕着它的按一定方向旋转到另一位置，就形成了角。

按方向旋转所形成的角叫正角；
按方向旋转所形成的角叫负角；
如果一条射线，我们称它形成了一个零角.
．象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
．终边相同的角
所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,
新知梳理：
. 角度制规定
将一个圆周分成份，每一份叫做度，故周角等于度，平角等于度，直角等于度.
. 弧度制的定义
长度等于的圆弧所对的圆心角叫做弧度角，记作，或弧度，或(单位可以省略不写).
思考：在大小不同的圆中，等长的弧所对的圆心角相等吗？
．弧度数的求法
一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么角的弧度数的绝对值是：.的正负由决定.
正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.
．角度与弧度的换算
（）；
（）；
度数弧度数；
弧度数度数.
【感悟】在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
对点练习：
填写下表
. 扇形的公式:
(); ();
().
对点练习：
若扇形的面积是，它的周长是，求扇形圆心角的弧度数．。