平行四边形的定义,性质与判定

平行四边形平行四边形是特殊的四边形,它具有许多特点,我们要认真研究。

因为矩形,菱形,正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的,所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键,也是学好全章的关键。

一.重点:平行四边形的概念,性质和判定是这部分的重点。

二.知识要点:(一)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(二)平行四边形的性质: 从它的边,角,对角线三个方面进行研究。

1.由定义知平行四边形的对边平行。

2.两组对边分别相等；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.平行四边形是中心对称图形。

(三)平行四边形的判定。

1.利用定义判定。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

三.例题:(一)要熟练掌握平行四边形的性质及判定,就要学会多角度地思考问题,要学会认真审题,注意题设中的关键词语,如:"两组","互相","平行且相等"等等,并会举反例否定一个命题。

例1.判断正误(我们要判断一个命题是假命题,举一个反例即可)1.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。

()分析:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠C, ∵∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°, ∴∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)。

∴此命题正确。

2.一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形。

()分析: 此命题不正确。

反例：AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形。

3.一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形。

()分析: 是错误的。

反例：如图, AB∥CD,∠A+∠C=180°,但四边形ABCD不是平行四边形。

高中几何知识解析平行四边形的性质与判定在高中几何学中，平行四边形是一类重要的图形，具有特殊的性质和判定方法。

本文将对平行四边形的性质进行解析，并介绍如何准确地判定一个四边形是否为平行四边形。

一、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

根据这一定义，我们可以得出平行四边形的一些重要性质。

1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

证明：设ABCD是一个平行四边形，AD和BC是平行四边形的两对对边。

根据平行线性质，我们可以得知∠DAB和∠CBA是对应角，由此可得∠DAB=∠CBA。

同理，∠ABC和∠BAD也是对应角，因此∠ABC=∠BAD。

根据等角的余角性质，我们可以得到∠BAC+∠CBA=180°和∠ABC+∠BAD=180°，进一步推导可得∠BAC=∠CBA=∠ABC=∠BAD=180°/4=45°。

由于三角形的内角和等于180°，所以三角形ABC和三角形ABD的第三个角∠ACB和∠ADB 也都是45°。

根据等腰三角形的性质，我们可以得知AD=BC，即平行四边形的对边相等。

2. 对角性质：平行四边形的对角互补，即两对对角的和为180°。

证明：设ABCD是一个平行四边形，对边AD和BC分别平行。

由于平行线的性质，我们可以得知∠BAC和∠CDA是对应角，对应角的性质告诉我们∠BAC=∠CDA。

同理，∠ABC=∠BDA。

根据等角的补角性质，我们可以得到∠BAC+∠BDA=180°和∠ABC+∠CDA=180°，进一步推导可得∠BAC+∠ABC+∠CDA+∠BDA=360°，也就是四个角的和为360°。

但是，平行四边形ABCD只有四个内角，因此这四个角的和应该是四个直角，即360°=4×90°=180°×2。

综上所述，平行四边形的对角互补，对角的和为180°。

平行四边形的性质与判定平行四边形是几何学中常见的一个概念，具有一些特殊的性质和判定条件。

本文将介绍平行四边形的性质，并通过实例展示如何判定一组线段或角度是否构成平行四边形。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

根据定义，我们可以得出平行四边形的性质和判定条件。

二、平行四边形的性质1. 相对边相等：平行四边形的对边长度相等。

即AB=CD，AD=BC。

2. 相对角相等：平行四边形的对角角度相等。

即∠A=∠C，∠B=∠D。

3. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

即AC平分BD，BD平分AC。

4. 对角线相等：平行四边形的对角线相等。

即AC=BD。

5. 内角和为360度：平行四边形的内角和等于360度。

三、判定平行四边形的条件要判定一组线段或角度构成平行四边形，需要满足以下条件之一。

1. 对边相等：如果四边形的对边长度相等，即AB=CD，AD=BC，则这个四边形是平行四边形。

2. 对角线互相平分：如果四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD平分AC，则这个四边形是平行四边形。

3. 相对角相等：如果四边形的相对角度相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，则这个四边形是平行四边形。

在实际问题中，我们可以通过测量边长、角度或线段平分关系来判定是否为平行四边形。

下面举例说明。

例题一：已知线段AB与线段CD互相平分，且∠A=∠C，∠B=∠D，判断ABCD是否为平行四边形。

解析：根据给定条件得知，线段AB与线段CD互相平分，且相对角度相等。

根据判定平行四边形的条件，我们可以得出这个四边形是平行四边形。

例题二：在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为A(2, 3)，B(7, 3)，C(9, -2)，D(4, -2)的四边形ABCD，判断是否为平行四边形。

解析：根据给定坐标可以计算出AB的斜率为0，CD的斜率也为0。

根据斜率的性质，我们可以得出AB与CD是平行的。

另外，根据对边长度可以计算出AB=CD，AD=BC。

平行四边形的定义,性质及判定方法平行四边形是我们在数学学习中经常会遇到的一个重要几何图形。

它在实际生活和数学理论中都有着广泛的应用。

首先，咱们来聊聊平行四边形的定义。

简单来说，两组对边分别平行的四边形就叫做平行四边形。

这就好比两条平行线，它们永远不会相交，而平行四边形的两组对边就具有这样的特性。

接下来，咱们看看平行四边形都有哪些性质。

平行四边形的对边是相等的。

比如说，如果一个平行四边形的一条边是 5 厘米，那么与它相对的那条边的长度也一定是 5 厘米。

这是因为平行四边形的两组对边分别平行且相等，所以相对的两条边长度是一样的。

平行四边形的对角也是相等的。

假设其中一个角是 60 度，那么与它相对的那个角也必然是 60 度。

平行四边形的邻角是互补的。

什么叫互补呢？就是两个角加起来等于 180 度。

比如说，如果一个角是 70 度，那么与它相邻的角就是 110 度。

平行四边形的两条对角线还互相平分。

也就是说，如果有一条对角线把平行四边形分成了两个三角形，那么这条对角线被另一条对角线分成的两段长度是相等的。

再来说说平行四边形的面积。

平行四边形的面积可以用底边长度乘以这条底边对应的高来计算。

比如说，底边是 8 厘米，对应的高是 4 厘米，那么面积就是 8×4 ＝ 32 平方厘米。

下面咱们讲讲平行四边形的判定方法。

如果一个四边形的两组对边分别相等，那么它就是平行四边形。

比如说，一组对边都是 6 厘米，另一组对边都是 8 厘米，那这个四边形就是平行四边形。

要是一个四边形的一组对边平行且相等，那它也是平行四边形。

比如一条边是 5 厘米，并且与它相对的边和它平行，长度也为 5 厘米，那就可以判定这个四边形是平行四边形。

当一个四边形的两组对边分别平行时，它肯定是平行四边形。

这个就很好理解了，这正好符合平行四边形的定义嘛。

还有，如果四边形的两条对角线互相平分，那它也是平行四边形。

平行四边形在我们的生活中随处可见。

平行四边形性质和判定
平行四边形性质：两组对边平行且相等；两组对角大小相等；相邻的两个角互补；对角线互相平分；对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

平行四边形性质定理
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。

平行四边形判定定理
（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形恒等式
平行四边形恒等式是描述平行四边形的几何特性的一个恒等式。

它等价于三角形的中线定理。

在一般的赋范内积空间（也就是定义了长度和角度的空间）中，也有类似的结果。

这个等式的最简单的情形是在普通的平面上：一个平行四边形的两条对角线长度的平方和，等于它四边长度的平方和。

平行四边形的性质和判定知识点1 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作“□ABCD ”。

知识点2 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等。

角：对角相等，邻角互补。

对角线：对角线互相平分。

知识点3 平行四边形的判定：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

、 知识点4 两条平行线的距离。

知识点5 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。

性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

例1、如图，E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF ．猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明。

【变式练习】已知，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF 交AB 于G ，BE 交CD 于H 。

求证：EH=FG 。

例2、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 交于F 。

求证：四边形AECF 是平行四边形。

例3、▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，线DC （1）求证：CE=CF ；C ABCDE F（2）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，求∠BDG ． 【变式练习】 1、如图,中，AE =CF ，M 、N 分别ED 、FB 的中点．求证：四边形ENFM 是平行四边形．2、在▱ABCD 中，∠ADC 的平分线交直线BC 于点E 、交AB 的延长线于点F ，连接AC ．（1）如图1，若∠ADC=90°，G 是EF 的中点，连接AG 、CG ． ①求证：BE=BF ．②请判断△AGC 的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F 顺时针旋转60°至FG ，连接AG 、CG ．那么△AGC 又是怎样的形状．例4、如图，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边中点，求证四边形EFGH 是平行四边形。

平行四边形的性质与判定一、平行四边形定义及其性质：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等。

定义的几何语言表述 ∵ AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 。

∵四边形ABCD 是平行四边形（或在 ABCD 中） ∴ AB=CD ，AD=BC 。

例题1、如图5，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE2、平行四边形除了对边平行且相等外，其对角也相等。

∵四边形ABCD 是平行四边形（或在ABCD 中） ∴ ∠A=∠C ，∠B=∠D 。

例题2、在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，求∠C 、∠D 的度数。

3、平行四边形的对角线互相平分。

例题3．已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，AC=24cm ，BD=38 cm ，AD= 28cm ，求三角形OBC 的周长。

5．如图，平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于O ，AE ⊥BD 于E ，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC 的周长。

例题4：已知平行四边形ABCD ，AB=8cm ，BC=10cm,∠B=30°, 求平行四边形平行四边形ABCD 的面积。

对边分别平行 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形角 对角相等 邻角互补图（5）DCB AA B C D二、平行四边形的判定 方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形的平边形。

几何语言表达定义法：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

∵OA=OC ， OB= OD ∴四边形ABCD 是平行四边形 方法四：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵ ∠A =∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 例1：已知：E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 求证：2∠1∠=三、三角形中位线：三角形两边的中点连线线段（即中位线）与三角形的第三边平行，并且等于第三边的一半。

平行四边形的定义,性质及判定方法平行四边形的定义、性质及判定方法在我们的数学世界中，平行四边形是一种非常常见且重要的几何图形。

它不仅在数学理论中有着重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。

接下来，就让我们一起深入了解平行四边形的定义、性质以及判定方法。

一、平行四边形的定义平行四边形是指在同一平面内，两组对边分别平行的四边形。

这是平行四边形最基本的特征，也是判断一个四边形是否为平行四边形的首要条件。

比如说，我们可以想象一个由四根木条组成的框架，如果相对的两根木条始终保持平行，那么这个框架所围成的四边形就是平行四边形。

二、平行四边形的性质1、对边平行且相等平行四边形的两组对边分别平行，这是定义所决定的。

同时，这两组对边的长度也是相等的。

例如，在平行四边形 ABCD 中，AB 平行且等于 CD，AD 平行且等于 BC。

2、对角相等平行四边形的两组对角分别相等。

也就是说，∠A ＝∠C，∠B ＝∠D。

3、邻角互补相邻的两个角之和为 180 度。

比如∠A 和∠B 是邻角，那么∠A ＋∠B ＝ 180°；同样，∠B 和∠C，∠C 和∠D，∠D 和∠A 也是如此。

4、对角线互相平分平行四边形的两条对角线相交于一点，并且这一点将每条对角线都平分成两段。

例如，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，那么 AO ＝ CO，BO ＝ DO。

5、平行四边形是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点。

将平行四边形绕着对角线的交点旋转 180 度后，能够与原来的图形重合。

这些性质在解决与平行四边形相关的问题时非常有用，我们可以通过已知条件灵活运用这些性质来得出所需的结论。

三、平行四边形的判定方法1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形这是根据平行四边形的定义直接得出的判定方法。

如果一个四边形的两组对边都相互平行，那么它一定是平行四边形。

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形例如，在四边形 ABCD 中，如果 AB ＝ CD，AD ＝ BC，那么四边形 ABCD 就是平行四边形。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定在我们的数学世界中，四边形家族有着各种各样的成员，其中平行四边形是非常重要的一类。

接下来，让我们一起深入了解平行四边形的定义，以及几种特殊四边形的性质和判定方法。

首先，平行四边形的定义很简单：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

这就像是给平行四边形打上了一个独特的标签，让我们能够轻易地识别它。

那平行四边形都有哪些性质呢？其一，平行四边形的两组对边分别相等。

想象一下，平行四边形的左右两条边和上下两条边就像是双胞胎，长度是一样的。

其二，平行四边形的两组对角分别相等。

也就是说，相对的两个角大小是相同的。

其三，平行四边形的对角线互相平分。

这就好像两条对角线在平行四边形的内部进行了一场平分的游戏。

其四，平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

把平行四边形绕着这个交点旋转180 度，它能和原来的图形完全重合。

了解了平行四边形的性质，那怎么判定一个四边形是不是平行四边形呢？方法一，如果两组对边分别相等，那么这个四边形就是平行四边形。

就好像我们通过比较四边形的四条边，发现两两相等，那就可以确定它是平行四边形啦。

方法二，如果两组对边分别平行，那也能判定是平行四边形。

这是从定义出发的判定方法，边的平行关系直接决定了四边形的类型。

方法三，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

想象一下，有一组边既平行又长度相等，那这个四边形自然就具备了平行四边形的特征。

方法四，两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

从角的角度来判断，只要相对的角大小一样，那它就是平行四边形。

方法五，对角线互相平分的四边形是平行四边形。

当两条对角线友好地把对方平分时，这个四边形也就成了平行四边形。

在平行四边形这个大家庭中，还有一些特殊的成员，比如矩形、菱形和正方形。

矩形，也叫长方形，它不仅具有平行四边形的所有性质，还有自己独特的地方。

矩形的四个角都是直角。

那怎么判定一个平行四边形是矩形呢？首先，如果一个平行四边形有一个角是直角，那么它就是矩形。

初二平行四边形的性质和判断专题1． 平行四边形的定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可以．(2)表示方法： 平行四边形用符号“ 四边形 ABCD ”．”表示．平行四边形ABCD记作“ ABCD ”，读作“平行 (3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线．平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判断方法．① 由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；② 由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．【例 1】关于平行四边形 ABCD ，AC 与 BD 订交于点 O ，以下说法正确的选项是(A ．平行四边形 ABCD 表示为“ ACDB ” B ．平行四边形 ABCD 表示为“ ABCD ”C ．AD ∥ BC ， AB ∥ CD D ．对角线为 AC ， BO)．解析： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，应选 C. AD答案： C2． 平行四边形的性质(1) 平行四边形的对边平行且相等．比方：如图①所示，在BC.ABCD 中， ABCD ，由上述 性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线l 1∥ l 2.AB ， CD是夹在直线l 1， l 2 间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故ABCD. (2)平行四边形的对角相等，邻角互补．比方：如图①所示，在 ∠CDA ， ∠ BAD ＝ ∠ BCD .∠ ABC ＋ ∠ BAD ＝ 180°， ∠ ABC＋ ∠ BCD ABCD 中，∠ ABC ＝＝ 180°， ∠ BCD ＋∠CDA ＝ 180°，∠ BAD ＋∠ CDA ＝ 180°.(3)平行四边形的对角线互相均分．比方：如图①所示，在ABCD中， OA ＝ OC ， OB＝OD .图③(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，而且该直线均分平行四边形的面积．比方：如图③所示，在ABCD 中， EF 经过对角线的交点O，与 AD 和 BC 分别交于点E，F ，则 OE＝OF ，且 S 四边形ABFE＝ S 四边形EFCD .【例 2】ABCD 的周长为30 cm，它的对角线AC 和 BD 交于 O，且△ AOB 的周长比△BOC 的周长大 5 cm，求 AB，AD 的长．解析：依题意画出图形，如图，△ AOB的周长比△BOC的周长大5 cm，即 AO＋ AB＋BO－(BO＋OC＋ BC)＝ 5(cm) ．因为 OA ＝OC， OB 为公共边，因此 AB － BC＝5(cm) ．30由AB＋ BC＝2＝ 15(cm) 可求 AB ，BC，再由平行四边形的对边相等得AD 的长．解：∵△ AOB 的周长比△ BOC 的周长大 5 cm，∴AO＋ AB＋ BO－(BO＋OC＋ BC)＝ 5(cm) ．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO＝ OC，∴ AB－ BC＝ 5(cm) ．∵ABCD 的周长为 30 cm，∴ AB＋ BC＝ 15(cm)．AB－ BC＝ 5，AB＝ 10，∴得AB＋ BC＝ 15，BC＝ 5.∴AB＝ 10 cm， AD ＝BC＝ 5 cm.3．平行四边形的判断(1)方法一： (定义判断法 )两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义是判断平行四边形的根本方法，也是其他判断方法的基础．关于边、角、对角线方面还有以下判判定理．(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．如图，连接BD ，由AD ＝BC ，AB ＝CD ，可证明△ABD ≌△CDB ，因此∠CDB ＝∠ABD ，∠ CBD ＝∠ ADB ，从而获取 AB∥ CD ， AD ∥BC.由定义获取四边形 ABCD 为平行四边形．其推理形式为：∵AB＝ DC ，AD ＝ BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．(3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．如图，由∠ A=∠ C，∠ B=∠D ，∠ A+∠B+∠ C+∠ D=360°，可得∠ B +∠ C=180 °，∠ A+∠B=180° . 从而获取 AB∥DC ， AD∥BC .由定义获取四边形ABCD 为平行四边形，其推理形式为：∵∠ A=∠ C，∠ B=∠ D ，∴四边形 ABCD 是平行四边形．(4)方法四：对角线互相均分的四边形是平行四边形．其推理形式为：如图，∵ OA=OC， OB=OD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形．(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其推理形式为：如图，∵ AD ∥ BC， AD ＝ BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．(1)判断方法可作为“画平行四边形”的依照； (2) 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不用然是平行四边形．【例 3】已知，如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 订交于点 O， AB∥ CD ，AO＝ CO. 四边形 ABCD 是平行四边形，请说明原由．解：因为 AB ∥CD ，因此∠ BAC＝∠DCA .又因为 AO＝ CO，∠ AOB＝∠COD ，因此△ABO≌△ CDO .因此 BO＝ DO.因此四边形ABCD 是平行四边形．4．三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，而且等于第三边的一半．(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的地址关系和数量关系； (2) 三角形的中位线不同样于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对极点的线段．【例 4】以下列图，在△ ABC 中，点 D， E， F 分别是 AB，BC， CA 的中点，若△ ABC 的周长为 10 cm，则△ DEF 的周长是 __________cm.解析：由三角形的中位线性质得，11 1DF ＝2BC， EF ＝2AB，DE ＝2AC，1答案： 55．两条平行线间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另素来线的距离，叫做这两条平行线间的距离．以下列图， a∥ b，点 A 在直线 a 上，过 A 点作 AC⊥ b，垂足为 C，则线段 AC 的长是点 A到直线 b 的距离，也是两条平行线 a， b 之间的距离．(1)如图，过直线 a 上点 B 作 BD⊥ b，垂足为 D，则线段 BD 的长也是两条平行线a， b 之间的距离．于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离各处相等．(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的地址确准时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的地址的改变而改变，是一个定值．【例 5】以下列图，若是 l 1∥ l2，那么△ ABC 的面积与△ DBC 的面积相等吗？由此你还能够得出哪些结论？解：△ ABC 的面积与△ DBC 的面积相等．因为 l1∥ l2，因此它们之间的距离是一个定值．因此△ABC 与△ DBC 是同底等高的两个三角形．因此S ABC＝S DBC.△△结论： l1上任意一点与 B， C 连接，构成三角形的面积都等于△ ABC 的面积，这样的三角形有无数个．6．平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用特别广泛，能够利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等．对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的要点．【例 6】如图，ABCD 的对角线订交于点O，过 O 作直线 EF，并与线段AB， CD 的反向延长线交于E， F ， OE 与 OF 可否相等，阐述你的原由．解： OE 与 OF 相等．原由：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BE∥ DF ， OB＝OD，∴∠ FDO ＝∠ EBO，∠ E＝∠ F .∴△ BOE≌△ DOF .∴OE＝ OF .7．平行四边形的判断的应用熟练掌握判判定理是平行四边形的判断的要点．已学了平行四边形的五种判断方法，记忆时要注意技巧，其中三种方法都与边相关：(1)一种关于对边的地址关系(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)；(2)一种关于对边的数量关系(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；(3 )一种关于对边的数量与地址关系 ( 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )．平行四边形的判断方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握．判断平行四边形的一般思路：①考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等；②考虑对角关系：证明两组对角分别相等；③考虑对角线关系：证明两条对角线互相均分．【例7】如图，请在以下四个关系中，选出两个合适的关系作为条件，推出四边形．．．．ABCD 是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)关系：① AD ∥ BC，② AB＝ CD ，③∠ A＝∠ C，④∠ B＋∠ C＝ 180°.已知：在四边形ABCD 中， __________ ，__________ ；求证：四边形ABCD 是平行四边形．解析：采纳①③ 关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；采纳①④ 关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；采纳②④ 关系时，证明一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形；采纳③④ 关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形．解：已知：①③ ，①④ ，②④ ，③④ 均可，其他均不可以够．举比以下：已知：在四边形ABCD 中，① AD∥BC，③∠ A＝∠ C，求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵ AD ∥ BC，∴∠ A＋∠B＝ 180 °.∵∠ A＝∠ C，∴∠ C＋∠ B＝ 180°.∴ AB∥ CD .∴四边形 ABCD 是平行四边形．8．平行四边形的性质和判断的综合应用平行四边形的性质和判断的应用主要有以下几种情况：(1)直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系；(2)判断一个四边形为平行四边形，从而获取两角相等、两直线平行等；(3)综合运用：先判断一个四边形是平行四边形，尔后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质获取线段平行、角相等等，再判断一个四边四边形．【例 8】以下列图，在ABCD 中， E， F 分别是AD ， BC 上的点，且形是平行AE＝ CF， AF与 BE 交于 G， DF 与 CE 交于 H，连接 EF， GH，试问 EF 与 GH 可否互相均分？为什么？解： EF 与 GH 互相均分．原由：在∵ ADABCD 中，BC， AE＝ CF，∴ AE CF.∴DE BF.∴四边形 AFCE ， BEDF 都是平行四边形． (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )∴AF∥ CE， BE∥ DF .∴四边形 EGFH 是平行四边形． (平行四边形的定义 )∴EF 与 GH 互相均分．9．三角形的中位线性质的应用三角形的中位线的性质不但反响了线段间的地址关系，而且还揭穿了线段间的数量关系，借助三角形中位线的性质能够进行几何求值 (计算角度、求线段的长度 )、证明 (证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等 )、作图，且能解决生活实责问题．应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中经常给出两其中点，若已知条件只给出一其中点，必定要证明另一个点也是中点，才能运用此定理．【例 9】在△ ABC 中， AB＝ 12， AC＝ 10， BC＝ 9， AD 是 BC 边上的高．将△ABC图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为EF，则△ DEF 的周长为 ()．按如A ．B ．C． 11 D．解析：∵△ EDF 是△EAF 折叠而形成的图形，∴△ EDF ≌△ EAF .∴∠ AEF ＝∠DEF .∵ AD 是 BC 边上的高，由折叠可知AD ⊥ EF ，∴EF∥ CB.∴∠ AEF ＝∠ B，∠ BDE ＝∠ DEF .∴∠ B＝∠ BDE.∴ BE＝ DE ＝ AE.∴ E 为 AB 的中点．同理点 F 是 AC 的中点．∴ EF 是△ ABC 的中位线．∴△ DEF 的周长为△ EAF 的周长，即AE＋ EF＋ AF ＝1× (AB＋ BC＋ AC)＝1× (12＋ 9＋ 10)＝ 15.5.22答案： D10．平行四边形的性质研究题平行四边形是一类特其他四边形，它的特别性表现在对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相均分几方面，因此，由平行四边形能够获取很多相等线段、相等角．因此，要学会利用比较的方法正确区分平行四边形的判判定理和性质定理，正确地运用相关的结论解决相关的问题．平行四边形的研究型问题，要点是依照平行四边形的性质和判断，构造出平行四边形．【例 10】如图，已知等边△ ABC 的边长为 a， P 是△ ABC 内一点， PD ∥ AB， PE∥ BC，PF ∥ AC，点 D ，E， F 分别在 AC ，AB， BC 上，试试究 PD ＋ PE＋ PF 与 a 的关系．解：如图，作DG∥ BC 交 AB 于点 G，因为△ABC 为等边三角形，因此∠ A＝∠ B＝∠ C＝60°.因此∠A＝∠AGD ＝∠ ADG＝ 60 °.因此 GD＝ AG.又可得 EP ＝GD ，因此 EP ＝AG， DP ＝ GE.同理可得 PF ＝ EB，因此 PD ＋PE＋ PF ＝a.11．平行四边形的判断的研究题平行四边形是一类特其他四边形，而且它是学习矩形、菱形、正方形和梯形的基础．在相关平行四边形判断的研究型问题中，要会判断一个四边形是平行四边形，运动型问题的要点是把运动的问题转变成静止的问题．运动变化题，这类题的解决技巧是把“ 运动” 的“ 静止” 下来，以静制动，同时注意不同样的情况．【例 11】以下列图，已知在四边形A 点以 1 cm/s 的速度向 D 点出发，同时点ABCDQ 从中， AD∥ BC(AD ＞ BC)， BC＝ 6 cm，点 P 从C 点以 2 cm/s 的速度向 B 点出发，设运动时间为 t 秒，问 t 为什么值时，四边形ABQP 是平行四边形？解：由题意知， AP＝ t， QC＝ 2t，则 BQ＝ 6－ 2t，若四边形 ABQP 为平行四边形，因为AD ∥ BC，只要 AP ＝ BQ 即可，即t＝ 6－ 2t ，解得 t＝ 2.答：当 t 为 2 秒时，四边形ABQP 是平行四边形．。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形是指四边形的对边两两平行，且对边相等的四边形。

其特殊性质有以下几点：1. 对边平行：平行四边形的定义中已经提到，其对边两两平行。

这意味着它有两对平行的边，且它的对边相等。

2. 对角线平分：平行四边形的两条对角线互相平分。

这意味着从顶点到顶点的线段长相等。

且对角线长度之和等于两倍的中线长度。

3. 内角和为360度：平行四边形的内部角度之和为360度。

这是由于它可以看作是一个由两个相反的等腰三角形组成的四边形。

4. 相邻角互补：平行四边形相邻两个角互补。

即相邻的两个内角之和为180度。

5. 对角线重心：平行四边形的对角线的交点是平行四边形的重心。

这意味着，从平行四边形的任意一个顶点出发，连接对角线交点的线段长度均相等。

如何判定是否是平行四边形？为了判定一个四边形是否为平行四边形，我们需要注意以下几点：1. 同位角是否相等：如果四边形的对边相等，且同位角相等，则它是一个平行四边形。

2. 对角线是否互相平分：如果四边形的对角线互相平分，则它是一个平行四边形。

3. 内角是否和为360度：如果四边形的内角和为360度，则它是一个平行四边形。

4. 相邻角是否补角：如果四边形的相邻两个角互补，则它是一个平行四边形。

总之，平行四边形不仅有着独特的特性，而且在日常生活中随处可见。

我们可以通过了解它的性质和判定方法，来更好地理解和应用它在实际问题中的作用。

平行四边形在几何中的重要性不言而喻。

它具有许多基本的性质，在解决几何问题时能够发挥重要的作用。

因此，对于学习者来说，理解和掌握平行四边形及其相关性质是非常重要的。

首先，平行四边形经常用于测量和设计。

例如，平面中的平行线和平行四边形常常被用来构建建筑和道路。

在测量中，以平行四边形为基础可以利用三角函数法求其面积。

当然，求解时需要知道两个相邻的边长和它们之间夹角的大小。

这也是平行四边形的另一个重要性质，它的相邻角互补。

其次，平行四边形经常用于计算图形的重心及其他几何量。

平行四边形的性质及应用一、平行四边形的定义平行四边形是四边形的一种，具有以下性质：1.两组对边分别平行且相等；2.对角相等；3.对边相等；4.对角线互相平分；5.相邻角互补，即和为180度；6.对边角相等，即对边上的角相等。

二、平行四边形的判定1.如果一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形；2.如果一个四边形的对角相等，则这个四边形是平行四边形；3.如果一个四边形的对边相等，则这个四边形是平行四边形；4.如果一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；5.如果一个四边形的相邻角互补，则这个四边形是平行四边形；6.如果一个四边形的对边角相等，则这个四边形是平行四边形。

7.性质应用：求解平行四边形的边长、角度等；8.性质应用：证明四边形是平行四边形；9.性质应用：计算平行四边形的面积；10.性质应用：证明平行四边形的对角线互相平分；11.性质应用：证明平行四边形的对角相等；12.性质应用：证明平行四边形的对边角相等。

四、平行四边形的实际应用1.建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的性质可以用于计算建筑物的面积、确定建筑物的结构稳定性等；2.交通工程：在交通工程中，平行四边形的性质可以用于设计道路标志、信号灯等；3.几何作图：平行四边形的性质可以用于进行几何作图，如绘制平行线、计算角度等。

平行四边形是中学数学中的重要知识点，掌握其性质和应用对于中学生来说非常重要。

通过学习平行四边形的定义、判定和性质，学生可以更好地理解和解决与平行四边形相关的问题。

同时，平行四边形的实际应用也使得这个知识点更具实用价值。

习题及方法：1.习题：已知平行四边形ABCD中，AB || CD，AD || BC，AB = CD，AD= BC，求证ABCD是平行四边形。

根据平行四边形的定义，我们需要证明ABCD的两组对边分别平行且相等。

已知AB || CD，AD || BC，且AB = CD，AD = BC，因此两组对边分别平行且相等，所以ABCD是平行四边形。

平行四边形的性质与判定解析平行四边形是初中数学中常见的一个概念，它有着许多独特的性质和判定方法。

本文将从几何角度详细解析平行四边形的性质以及如何准确判定平行四边形。

一、平行四边形的定义和性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

其中，对边是指四边形相对的两条边。

根据平行四边形的定义，我们可以得到以下性质：1. 对边平行性质：平行四边形的两对对边分别平行，即任意两边都是平行的。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相重合，即对角线交于一点，并且这个点是两条对角线的中点。

3. 对边长度性质：平行四边形的对边长度相等，即对边的长度一一对应。

4. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度，即四个内角之和等于180度。

基于以上性质，我们可以推导出平行四边形的一些重要结论：1. 对边对角等分：平行四边形的对边对角互相等分，即两对对边的内角相等。

2. 对角线等分：平行四边形的对角线互相等分，即两条对角线的长度相等。

二、平行四边形的判定方法判定一个四边形是否是平行四边形，我们需要利用以下方法：1. 对边平行判定：如果四边形的对边分别平行，则这个四边形为平行四边形。

2. 对边长度相等判定：如果四边形的对边长度相等，则这个四边形可能为平行四边形，但还需要进一步判定。

3. 对角线长度相等判定：如果四边形的对角线长度相等，则这个四边形可能为平行四边形，但还需要进一步判定。

4. 内角和为180度判定：如果四边形的内角和等于180度，则这个四边形可能为平行四边形，但还需要进一步判定。

需要注意的是，以上方法的适用条件是“可能为平行四边形”，因为某些情况下，这些条件也可能是其他四边形的性质。

三、综合例题分析为了更好地理解平行四边形的性质和判定方法，我们来看两个综合例题：例题1：ABCD是一个四边形，已知AB ∥ CD，AD = BC，∠A = 70度，求证：ABCD是一个平行四边形。

解析：根据已知条件，我们可以得到AB ∥ CD，即对边平行，符合平行四边形的性质。

专题02 平行四边形的定义、性质、判定【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 利用平行四边形的性质求解】 (1)【考点二 利用平行四边形的性质证明】 (3)【考点三 判断能否构成平行四边形】 (5)【考点四 添一个条件成为平行四边形】 (7)【考点五 证明四边形是平行四边形】 (8)【考点六 平行四边形中的折叠问题】 (10)【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】 (12)【过关检测】 (16)【典型例题】【考点一 利用平行四边形的性质求解】例题：（2022春·广东江门·八年级校联考期中）在平行四边形ABCD 中，130A Ð=°，则C Ð=（ ）A ．130°B ．50°C ．30°D ．120°【答案】A【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．【详解】解：如图：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴130A C Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．【变式训练】1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，8AD =，5AB =，DF 平分ADC Ð交边BC 于点F ，则BF =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，可得5CF CD AB ===，即可求解．【详解】解：在ABCD Y 中，5CD AB ==，8AD BC ==，AD BC∥∴ADF CFD Ð=Ð，又∵DF 平分ADCÐ∴ADF CDF Ð=Ð，∴CDF DFC Ð=Ð，∴5CF CD ==，∴3BF BC CF =-=，故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理．2．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BC ^，E 为AB 的中点，若2CE =，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得AB CD =，再由直角三角形的性质可得24AB CE ==，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，∵AC BC ^，E 为AB 的中点，2CE =，∴24AB CE ==，∴4CD =．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．【考点二 利用平行四边形的性质证明】例题：（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）在平行四边形ABCD 中BE 平分ABC Ð，DF 平分ADC Ð，证明：AE CF =．【答案】证明见解析【分析】先根据平行四边形的性质得到AB CD AD BC =，∥，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明ABE AEB Ð=Ð，得到AB AE =，同理可证CD CF =，由此即可证明AE CF =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD AD BC =，∥，∴AEB CBE Ð=Ð，∵BE 平分ABC Ð，∴ABE CBE Ð=Ð，∴ABE AEB Ð=Ð，∴AB AE =，同理可证CD CF =，∴AE CF =．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行四边形对边平行且相等是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE CF =，EF ，BD 相交于点O ，求证：OE OF =．【答案】证明见解析【分析】只需要利用ASA 证明ODE OBF △≌△即可证明结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，(1)求证：ADE FCE △≌△；(2)求证：AE 平分DAB Ð；(3)若60DAB Ð=°，4AB =，求Y 【答案】(1)见解析；【考点三 判断能否构成平行四边形】例题：（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ． AB CD P ，AD BC =B ．A B Ð=Ð，CD Ð=Ð C ． AB CD =，AD BC =D ． AB AD =，CB CD =【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．【详解】解：A 、AB CD P ，AD BC =，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；B 、A B Ð=Ð，CD Ð=Ð，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；C 、AB CD =，AD BC =，能判定四边形ABCD 为平行四边形；D 、AB AD =，CB CD =，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．【变式训练】1．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，下列哪组条件能判断四边形ABCD 是平行四边形（ ）A ．OA OC =，AC BD=B ．OB OA =，OD OC =C ．AB CD ∥，AD BC=D ．180ABC BAD Ð+Ð=°，BCD BADÐ=Ð【答案】D 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、由OA OC =，AC BD =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；B 、由OB OA =，OD OC =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；C 、由AB CD ∥，AD BC =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；D 、∵180ABC BAD Ð+Ð=°，∴AD BC ∥，∵BCD BAD Ð=Ð，∴180ABC BCD Ð+Ð=°，∴AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB CD =，AD BC=B ．AB CD P ，AD BC ∥C ．AB CD P ，AD BC=D ．AD BC ∥，AD BC=【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A ．∵AB CD AD BC ==，，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；B ．∵AB DC AD BC ∥，∥，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；C ．由AB DC P ，AD BC =不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项符合题意；D ．∵AB DC P ，AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．【考点四 添一个条件成为平行四边形】例题：（2022春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，AB ∥CD ，线段AC 和BD 交于点O ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．【答案】AD ∥CB （答案不惟一）．【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：AD ∥CB ，故答案为：AD ∥CB （答案不惟一）．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．【变式训练】1．（2021春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，要使四边形BEDF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是_______________．【答案】ED BF=【分析】由平行四边形的性质可得到ED BF ∥，要证明四边形BEDF 是平行四边形，只需要ED BF =即可．【详解】添加ED BF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ED BF ∥，∵ED BF =，∴四边形BEDF 是平行四边形，故答案为：ED BF =．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，E ，F 是对角线上的两点，要使四边形AFCE 是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________．【答案】BF =DE （答案不唯一）【分析】连接对角线AC ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可．【详解】解：添加的条件为BF =DE ，理由如下：证明：连接AC 交BD 于点O ，如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO =CO ，BO =DO ，∵BF =DE ，∴BO -BF =DO -DE ，即OF =OE ，四边形AFCE 为平行四边形，故答案为：BF =DE （答案不唯一）．【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．【考点五 证明四边形是平行四边形】例题：（2021春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，,AE BD CF BD ^^，垂足分别为E F 、，四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？【答案】是，理由见解析【分析】由于AE CF 、都垂直于BD ，首先可以确定的是AE CF P ；然后再通过证()AAS ABE CDF ≌△△，来得出AE CF =即可．【详解】答：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵,AE BD CF BD ^^，∴AE CF P ，90AEBCFD Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ABE CDE =Ð=Ð，，在ABE V 和CDF V 中，90ABE CDF AEB CFD AB CD Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴()AAS ABE CDF ≌△△，∴AE CF =，Q AE CF P ，∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图、在ABCD Y 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE CF =，连接CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形．【答案】见解析【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AD BC ∥，又因为AE CF =，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，又∵AE CF =，∴四边形AFCE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定．掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键．2．（2022秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知在四边形BCDE 中，CD BE ∥，点F 是DE 的中点，连接CF 交BE 于点A ，且点E 是AB 的中点，求证：四边形BCDE 是平行四边形．【答案】见解析【分析】先证明(ASA)CDF AEF V V ≌，得CD AE =，再证CD BE =，即可得出结论．【详解】证明：∵CD BE ∥，∴D AEF Ð=Ð，∵点F 是DE 的中点，∴DF EF =，在CDF V 和AEF △中，D AEF DF EFCFD AFE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴(ASA)CDF AEF V V ≌，∴CD AE =，∵点E 是AB 的中点，∴AE BE =，∴CD BE =，又∵CD BE ∥，∴四边形BCDE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．【考点六 平行四边形中的折叠问题】例题：（2022春·四川自贡·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD E¢处，AD¢与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED¢的度数为______．【答案】36°##36度【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D¢=∠D=52°，∠EAD¢=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED¢=108°，即可得出∠FED¢的大小．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D¢=∠D=52°，∠EAD¢=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED¢=180°-∠EAD¢-∠D¢=108°，∴∠FED¢=108°-72°=36°；故答案为：36°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED¢是解决问题的关键．【变式训练】【答案】140°【分析】利用平行四边形的性质得，进而求出1122 BAC BABÐ=Т=´【详解】解：在ABCDY中，AB138BAB\Т=Ð=°，【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】例题：（2022春·北京顺义·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F E ，为四边形ABCD 外一点，且ADE BAD Ð=Ð，AE AC ^．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关∵MNCD是平行四边形，(2)CN =2【分析】（1）证明DE ∥BC ，再证∠DMF =∠2，得DB ∥EC ，则四边形BCED 是平行四边形，即可得出结论；（2）由（1）得：BC =DE =2，EC ∥DB ，再由平行线的性质得∠CNB =∠DBN ，然后证∠CNB =∠CBN ，则可由CN =BC 求解．（1）证明：∵∠A =∠F ，∴DE ∥BC ，∵∠1=∠2，∠1=∠DMF ，∴∠DMF =∠2，∴DB ∥EC ，∴四边形BCED 是平行四边形，（2）解：∵BN 平分∠DBC ，∴∠DBN =∠CBN ，由（1）得：BC =DE =2，EC ∥DB ，∴∠CNB =∠DBN ，∴∠CNB =∠CBN ，∴CN =BC =2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，证明四边形BCED 为平行四边形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD 的两个内角:1:2A B ÐÐ=，则A Ð的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可得到A Ð与B Ð是邻角并且互补，再结合:1:2A B ÐÐ=列方程，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴180A B Ð+Ð=°，∵:1:2A B ÐÐ=，∴2180A A Ð+Ð=°，解得60A Ð=°，故选B ．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．2．（2022春·甘肃武威·八年级校联考期末）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，分别添加下列条件：①AB CD ∥；AB CD AD BC B D A C ==Ð=ÐÐ=Ð②；③；④；⑤，其中能使四边形ABCD 成为平行四边形的条件有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可．【详解】解：①AD BC ∥Q ，AB CD ∥， \四边形ABCD 是平行四边形；②由AD BC ∥，AB CD =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形；③AD BC ∥Q ，AD BC =，\四边形ABCD 是平行四边形；④ AD BC ∥Q ，180A B \Ð+Ð=°，B D Ð=ÐQ ，180A D \Ð+Ð=°，AB CD \∥，\四边形ABCD 是平行四边形；⑤AD BC ∥Q ，180A B \Ð+Ð=°，A C Ð=ÐQ ，180C B \Ð+Ð=°，AB CD \∥，\四边形ABCD 是平行四边形；其中能使四边形ABCD 成为平行四边形的条件有①③④⑤，共4个，故选：B ．A．124°B．114【答案】A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：Ð=Ð，由折叠得，45∵四边形ABCD是平行四边形，P，∴AB CD∴53Ð=Ð，A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC Ð=Ð，由角平分线可得ABF FBC Ð=Ð，所以AFB ABF Ð=Ð，所以6AF AB ==，同理可得6DE DC ==，则根据4EF AF DE AD =+-=即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，8AD =，∴AD BC ∥，6DC AB ==．∴AFB FBC Ð=Ð．∵BF 平分ABC Ð，∴ABF FBC Ð=Ð．∴AFB ABF Ð=Ð．∴6AF AB ==．同理可得6DE DC ==．∴6684EF AF DE AD =+-=+-=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握数学模型“角平分线+平行线得到等腰三角形”．5．（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE AC ^交CD 于点E ，连接AE ，若平行四边形ABCD 的周长为30，则ADE V 的周长为（ ）A ．15B ．23C ．25D ．30【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，得到点O 是AC 中点，根据垂直平分线的性质得到AE CE =，根据四边形周长求出AD CD +，然后转换求解即可．【详解】在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OA OC =即点O 是AC 中点，OE AC ^，AE CE=平行四边形ABCD 的周长为30，【答案】29【答案】50°##50度【分析】由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD ∴70BAE BCD Ð=Ð=°，AD【答案】73或3【分析】分别利用①当BQ=AP【详解】解：设点P，Q运动的时间为∵AD∥BC，(1)现有四个条件：①BE＝DF一个序号即可）(2)在（1）的基础上，求证：四边形【答案】(1)①或②或④（填一个即可）添加②，证明AF＝CE，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加④，证明AE＝CF，AE∥CF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加③不能得出四边形AECF为平行四边形．故答案为：①或②或④（填一个即可）；（2）证明：如图，添加①BE＝DF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；添加②AF∥CE时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵AF∥CE，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AFD＝∠CEB，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；添加④∠BAE＝∠DCF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF ＝∠CFE ，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．平行四边形的判定定理：1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．13．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）如图，在ABCD Y 中，AE BD ^，CF BD ^，垂足分别为点E ，点F ，连接AF 、CE ．(1)试判断AE 与CF 的关系，并说明理由；(2)若CD CE =，AEF △的面积是22cm ，则ABCD Y 的面积为______．【答案】(1)AE CF =，AE CF ∥，理由见解析；(2)212cm ．【分析】（1）求出ABE CDF Ð=Ð，由AE BD ^，CF BD ^可得90AEB CFD Ð=Ð=°，AE CF ∥，证明()AAS ABE CDF ≌V V ，即可得到AE CF =；（2）证明四边形AECF 为平行四边形，ABF △和CED △是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE EF =，=EF FD ，求出ABE V 和AFD △的面积是22cm ，进而可得答案．【详解】（1）解：AE CF =，AE CF ∥，理由：∵在ABCD Y 中，AB CD ∥，AB CD =，∴ABE CDF Ð=Ð，∵AE BD ^，CF BD ^，∴90AEB CFD Ð=Ð=°，AE CF ∥，在ABE V 和CDF V 中，ABE CDF AEB CFD AB CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若45,60,6Ð=°Ð=°=B FCE AB【答案】(1)见解析(2)623+【分析】（1）先证明四边形AFCE则∠AGB=∠AGE=90°，∵点D的落点为点D′，折痕为EF，∴D'F=DF．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC．又∵AF=EC，(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；。

平行四边形的定义,性质及判定方法平行四边形的定义、性质及判定方法在我们的数学世界中，平行四边形是一个非常重要的几何图形。

它在建筑设计、物理学、工程学等众多领域都有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解平行四边形的定义、性质及判定方法。

首先，什么是平行四边形呢？简单来说，平行四边形是指两组对边分别平行的四边形。

这是它最基本的定义，也是我们识别平行四边形的关键特征。

平行四边形具有许多独特的性质。

比如说，平行四边形的对边是相等的。

这意味着，如果我们知道一个平行四边形的一条边的长度，那么与之相对的那条边的长度也是一样的。

再来看平行四边形的对角。

平行四边形的对角是相等的。

也就是说，一个平行四边形的两个相对的角大小是相同的。

平行四边形的邻角互补。

这是什么意思呢？就是相邻的两个角加起来等于 180 度。

在平行四边形中，两条对角线还相互平分。

这意味着，两条对角线的交点把每条对角线都分成了相等的两段。

此外，平行四边形的面积可以通过底边长度乘以对应的高来计算。

了解了平行四边形的性质，接下来我们看看如何判定一个四边形是不是平行四边形。

如果一个四边形的两组对边分别相等，那么它就是平行四边形。

比如说，有一个四边形，它的上下两条边长度相等，左右两条边长度也相等，那么我们就可以判定它是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形也是平行四边形。

想象一下，有一条边是水平的，长度是 5 厘米，而与之相对的边不仅和它长度一样，也是水平的，那么这个四边形就是平行四边形。

如果两组对边分别平行，那这个四边形毫无疑问就是平行四边形。

还有一种判定方法是两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

这些判定方法在解决与平行四边形相关的问题时非常有用。

在实际应用中，平行四边形的知识经常被用到。

比如在建筑设计中，许多窗户和门的形状就是平行四边形。

在物理学中，力的合成与分解也会用到平行四边形法则。

总之，平行四边形的定义、性质及判定方法是我们学习几何知识的重要基础。

平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分
平行四边形判定：1、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形定义：有一个角是90°的平行四边形叫做矩形
矩形性质:1、四个角都是90°2、对角线相等
矩形判定：1、有一个角是90°的平行四边形是矩形
2、三个角都是90°的角是矩形
3、对角线相等的平行四边形是矩形
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形性质：1、四边相等2、对角线互相垂直
菱形判定:1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四条边都相等的四边形是菱形
3、对脚线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形性质：具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质
正方形判定：1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、有一组邻边相等的矩形是正方形
3、有一个角是直角的菱形是正方形。

平行四边形的性质和判定定理二、知识点回顾：1：平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2：平行四边形的性质：1）平行四边形对边平行；2）平行四边形对边相等；3）平行四边形对角相等；4）平行四边形对角线互相平分．3：平行四边形判定定理：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；四边形ABCD是平行四边形2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AD＝BC，AB＝CD四边形ABCD是平行四边形3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AD∥BC，AD＝BC四边形ABCD是平行四边形4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；OA＝OC，OB＝OD四边形ABCD是平行四边形5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD四边形ABCD是平行四边形4：三角形中位线定义及定理：1）定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2）定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半．【典型例题】例1. 已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD 的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．例2. 如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．例3. 如图3所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）图3A. 7个B. 8个C. 9个D. 11个例4. 如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4．AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_________例5. 现有一个四边形的木框，若想知道它是否为平行四边形，只给你一把刻度尺，你能有几种方法来测量？例6. 如图5，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且AB＝l，DE＝2，BC＋CD ＝8，求这个六边形的周长．图5例7. 如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC 上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. AE＝CFB. DE＝BFC. ∠ADE＝∠CBFD. ∠AED＝∠CFB图6例8. 如图7，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB＝OD．已知S△OBC＝1，求四边形ABCD 的面积．图7【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边平行且相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分2. 如图1，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE上BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（）图1A. 6B. 12C. 18D. 不确定3. 下列条件中，能判别一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边相等B. 一组对边平行C. 两条对角线相等D. 两组对角分别相等4. 已知四边形ABCD，以下四个条件：（1）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（2）AB＝CD，AD ＝BC；（3）AB＝CD，AB∥CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．其中能判定四边形ABCD为平行四边形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. OA＝OC，OB＝ODB. ∠ABD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADBC. AB＝CD，OB＝OD，∠ABD＝∠BDCD. OA＝OB．OC＝OD6. 如图2，在△ABC中，∠B＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，DE＝2，AC＝5，则AB的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5图27. 在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添一个条件________，就可以判定四边形ABCD 是平行四边形．8. 如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，请写出图中相等的线段_______，图中全等三角形有__________对．图39. 在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB 的周长为15，则CD＝______．10. 如图4，在平行四边形ABCD中，O是AC上一点，过点O的任一直线交AB于E，交CD于F，要想保证OE＝OF，需满足条件：_________________（填出一个你认为正确的一个条件即可）．图411. 用长为80cm的铁丝围成一个平行四边形，使平行四边形的两邻边之比为3：2，这个平行四边形最长边为___________．12. 已知四个角都是直角的四边形叫做矩形．如图5是小张剪出的一个四边形ABCD硬纸片，现他沿垂直于BC的线段AE剪下△ABE，然后放到△DCF处，使AB与CD重合，此时测得四边形AEFD是矩形．那么小张剪出的原四边形ABCD是_________形．判定的依据是_____________．13. 在四边形ABCD中，∠A＝60，要使四边形ABCD成为平行四边形，则∠B＝_________，∠C_____________．14. 如图6是小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，他把∠B沿EM折叠使点B落在点D上，把∠C沿FN折叠使点C也落在点D上，则小明就说四边形AEDF 是平行四边形，请你帮他说明理由；小明又量出AB＝9 cm，则四边形AEDF的周长是多少？图615. 如图7，把两把相同的角尺（两边互相垂直）的一边紧靠在木板同一侧的边缘上，再看板另一边缘（也为直线）在两把角尺上的刻度是否相等，木工师傅就可以判断木板的两个边缘是否平行，你能说出其中的道理吗？图7【试题答案】1、C2、B3、D4、C5、D6、B7、AB//CD（条件不唯一）8、AD=BC AB=CD OA=OC OB=OD 49、5 10、OA=OC 11、24cm12、平行四边形，AB//CD、AB=CD13、120°60°14、解：（1）由题意可得：（2）周长为18cm．15、答：由测量过程可知：测量的直线间距不仅相等，而且平行，所以对边是平行关系．。