平行四边形及定理性质

平行四边形的关系平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，它具有一些独特的特点和性质。

本文将介绍平行四边形的定义、性质和应用。

一、定义平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

它的特点是相对边相等且对角线互相平分。

二、性质1. 对边性质：平行四边形的对边是平行的，即AB || CD，AD || BC。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD 平分AC。

3. 边角性质：平行四边形的对边上的内角互补，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠C = 180°。

4. 相等性质：平行四边形的相对边相等，即AB = CD，AD = BC。

5. 对称性质：平行四边形具有对称性，即以对角线为轴进行折叠，可完全重合。

6. 高度性质：平行四边形的高度等于任意一边在与其平行的另一边上的垂直距离。

三、应用1. 工程建设：平行四边形的特性使其在工程建设中具有广泛的应用。

例如，建筑物的门窗常常采用平行四边形的形状，既美观又稳定。

2. 地理测量：在地图绘制和测量中，平行四边形常被用于表示地物的形状和方位。

通过测量平行四边形的边长和角度，可以计算出地物的面积和位置。

3. 数学推理：平行四边形是数学中的一个重要概念，通过研究平行四边形的性质和定理，可以推导出其他几何图形的性质，进一步拓展数学知识。

4. 艺术设计：平行四边形具有简洁而稳定的形状，广泛应用于艺术设计中。

例如，平行四边形的图案常被运用于服装设计、家居装饰等领域。

5. 机械制造：在机械制造中，平行四边形的性质被广泛应用于零件的设计和加工。

通过保证平行四边形的边和角的精度，可以提高机械零件的装配精度和使用寿命。

平行四边形是一种具有特殊性质和广泛应用的几何图形。

它的定义和性质使其在工程建设、地理测量、数学推理、艺术设计和机械制造等领域发挥着重要作用。

通过深入研究和应用平行四边形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学原理，推动科学技术的发展。

平行四边形的性质与定理平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。

在数学中，平行四边形具有一些特殊的性质与定理，下面将逐一介绍。

1. 平行四边形定义平行四边形是一种特殊的四边形，其两组对边分别平行。

如果将平行四边形的对边延长，它们将永不相交。

2. 平行四边形的性质2.1 对边性质平行四边形的对边长度相等。

即，对边AB与CD长度相等，对边AD与BC长度相等。

2.2 对角线性质平行四边形的对角线互相平分。

即，对角线AC和BD相交于O点，且AO = OC，BO = OD。

2.3 到任意点的距离性质平行四边形上的任意一点到相邻两边的距离之差相等。

即，从点P到AB的距离减去从点P到CD的距离等于从点P到BC的距离减去从点P到AD的距离。

2.4 内角和性质平行四边形的内角和为360°。

即，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。

3. 平行四边形的定理3.1 对边定理如果一个四边形的对边分别平行且长度相等，那么这个四边形是平行四边形。

对边定理可以用于判断一个四边形是否为平行四边形。

3.2 邻补角定理在平行四边形中，相邻的内角互补，即相邻的内角之和为180°。

例如，∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，以此类推。

3.3 余补角定理在平行四边形中，对角互补，即对角之和为180°。

例如，∠A +∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。

3.4 对顶角定理在平行四边形中，对顶角相等。

即，∠A = ∠C，∠B = ∠D。

4. 平行四边形的应用平行四边形的性质与定理在几何应用中有广泛的应用。

4.1 建筑设计平行四边形的性质可用于建筑设计中的墙体、天花板、地板等结构的布置。

设计师可以利用平行四边形的特性来构建更美观、稳定的建筑。

4.2 求解几何问题在解题过程中，利用平行四边形的性质可以简化许多几何问题。

例如，通过对边性质可以判断两条线段是否平行，通过对角线性质可以判断四边形是否为平行四边形。

平行四边形的性质与定理平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和定理。

在本文中，我们将探讨这些性质和定理，从而更好地理解平行四边形。

一、性质：1. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

换句话说，对角线的交点将对角线分成两个相等的部分。

2. 对角线互相等长：在平行四边形中，对角线相等长。

这是因为平行四边形的两对边都是平行的，从而使得对角线相等。

3. 两对边相互平行：平行四边形的两对边是平行的。

这意味着对立边是平行的，以及相邻边是平行的。

4. 两个相邻角和为180度：在平行四边形中，两个相邻角的和始终为180度。

也就是说，如果我们将平行四边形的一个内角称为x度，那么相邻的内角将为(180 - x)度。

二、定理：1. 相反角相等：在平行四边形中，对立的内角是相等的。

也就是说，如果一个内角为x度，那么它的对立内角也是x度。

2. 同位角相等：在平行四边形中，同位角是相等的。

同位角是指两个内角分别位于平行四边形的对角线之间的角。

3. 内角和为360度：平行四边形的内角和始终为360度。

也就是说，四个内角加起来总是等于360度。

4. 对角线的交点连线平分相邻角：在平行四边形中，对角线的交点将相邻内角平分。

换句话说，对角线所形成的线段将相邻内角分成两个相等的角。

5. 对角线长度关系：在平行四边形中，对角线所形成的线段之间存在一定的比例关系。

具体来说，如果对角线的长度分别为d1和d2，那么d1与d2的比值等于平行四边形两对边长度的比值。

综上所述，平行四边形具有以上的性质和定理。

这些性质和定理帮助我们理解了平行四边形的特点和关系，为解决与平行四边形相关的问题提供了重要的指导。

对于数学学习者来说，掌握这些性质和定理将有助于提高解题能力和准确性。

总而言之，平行四边形是一个重要的几何概念，具有丰富的性质和定理。

通过深入理解它们，我们可以更好地应用于实际问题的推理和证明中，同时也能够更好地理解几何学的其他概念和定理。

平行四边形的性质与定理平行四边形是几何学中常见的一种四边形，具有一些特殊的性质与定理。

本文将介绍平行四边形的基本性质，并探讨一些与平行四边形相关的定理。

一、平行四边形的定义与性质1. 定义：如果一个四边形的对边都是平行的，则该四边形称为平行四边形。

2. 性质：a) 两对对边分别相等：在平行四边形中，对边是两两平行的，因此对边的长度也相等。

b) 两对对角线分别相等：平行四边形的两对对角线分别相等。

c) 两对内角互补：平行四边形的两对内角互补，即相邻的内角之和为180度。

二、平行四边形的定理1. 定理1：平行四边形的对边平等定理在平行四边形中，对边相等。

即AB = CD，BC = AD。

2. 定理2：平行四边形的同名角对应角相等定理如果一对同名角是平行四边形的对应角，则它们相等。

即∠A = ∠C，∠B = ∠D。

3. 定理3：平行四边形的同位角互补定理如果一对同位角是平行四边形的内角，则它们互补。

即∠A + ∠B = 180度，∠C + ∠D = 180度。

4. 定理4：平行四边形的对角线互相平分定理平行四边形的对角线互相平分。

即对角线AC平分∠B，对角线BD平分∠A。

5. 定理5：平行四边形的对角线定理平行四边形的对角线互相等分。

即AC = BD。

三、应用示例下面通过一个具体的应用示例来展示平行四边形性质与定理的应用。

示例：已知四边形ABCD是平行四边形，AB = 8cm，BC = 6cm，∠A = 120度。

求解该平行四边形的其他角度和对边的长度。

解答：由于ABCD是平行四边形，根据定理1，对边相等，即AB = CD，BC = AD。

所以CD = 8cm，AD = 6cm。

根据定理3，同位角互补，可得∠B = 180度 - ∠A = 180度 - 120度= 60度。

又根据定理2，同名角对应角相等，可知∠C = ∠B = 60度。

由于∠C + ∠D = 180度，带入已知数据，可得∠D = 180度 - ∠C = 180度 - 60度 = 120度。

平行四边形的性质与推导平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，它具有独特的性质与推导过程。

在本文中，我们将探讨平行四边形的性质以及相关推导过程。

一、平行四边形的性质：1. 对边和对角线性质：平行四边形的对边相等，并且对角线互相平分，即相交于对角线的两点分割对角线成相等的部分。

2. 内角性质：平行四边形的内角相邻补角相等，即相邻两个内角之和等于180度。

3. 对边角性质：平行四边形对边之间的对边角相等，即对边角的度数相等。

4. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的，即两组对边之间的边是平行的。

二、平行四边形的推导：1. 推导1：平行四边形的定义考虑四边形ABCD，如果AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。

2. 推导2：平行四边形内角和证明平行四边形的内角和为360度。

根据平行四边形的定义，得知∠ADC+∠DAB=180度，同时∠DAB+∠ABC=180度。

将两式相加，得到∠ADC+∠DAB+∠DAB+∠ABC=360度，即平行四边形的内角和为360度。

3. 推导3：平行四边形的对边平行证明平行四边形的对边是平行的。

已知平行四边形ABCD，根据定义得知AB∥CD且AD∥BC。

假设AB与CD不平行，那么考虑三角形ABD和三角形BCD，根据平行线的性质，∠BAD=∠DCB，又因为∠ABD=∠BCD，根据AA准则可得，两个三角形相似。

但是这与ABCD是平行四边形相矛盾，所以假设不成立，即AB与CD平行。

同理可证，AD与BC也是平行的。

三、结论综上所述，平行四边形具有对边和对角线相等、内角和为360度、对边角相等和对边平行的性质。

这些性质为解决平行四边形的相关问题提供了便利。

在几何学的学习中，对平行四边形的性质和推导有着重要的意义。

结尾陈述：通过对平行四边形的性质与推导的探讨，我们深入了解了这个特殊四边形的基本特征与相关定理。

熟练掌握平行四边形的性质和推导过程，可以有效解决各类几何问题，提升数学学习的能力和解题的技巧。

平行四边形的性质及应用平行四边形是一种四边形，具有特殊的性质和广泛的应用。

在本文中，我们将探讨平行四边形的性质，以及它在几何学和实际生活中的应用。

一、平行四边形的定义与基本性质平行四边形是指有四条边两两平行的四边形。

根据这个定义，我们可以得出平行四边形的两个基本性质：1. 对角线互相平分在平行四边形中，对角线互相平分。

也就是说，连接平行四边形的相对顶点的线段相等。

这一性质可以通过对角线的定义和平行线的性质进行证明。

2. 相邻内角互补，相对内角相等在平行四边形中，相邻的内角互补，即相邻的两个内角之和为180度。

同时，平行四边形的对角线所夹的内角是相等的。

基于这两个基本性质，我们可以推导出许多其他的性质和定理。

二、平行四边形的性质与定理1. 同底角定理平行四边形的同底边上的两个内角相等。

也就是说，连接平行四边形相邻两个顶点的线段所夹的角度相等。

2. 五等分定理平行四边形的一条边上任意一点与其他三条边的交点将这三条边所对应的外角五等分。

3. 对边等长定理平行四边形对边相等。

也就是说，平行四边形的对边长度相等。

4. 逆定理如果四边形的对边相等，并且相邻内角互补，则这个四边形是一个平行四边形。

通过这些性质和定理，我们可以进行平行四边形相关问题的证明和计算。

三、平行四边形的应用1. 几何学中的应用平行四边形在几何学中具有广泛的应用。

一些常见的应用包括计算平行四边形的面积、寻找平行四边形的顶点坐标等。

此外，平行四边形也经常被用作其他几何形状的基础，如梯形、菱形等的构建。

2. 实际生活中的应用平行四边形在实际生活中也有许多应用。

例如，建筑设计中的墙壁、地板等往往是平行四边形的形状。

在道路规划中，行驶车道的设计也常常涉及到平行四边形的应用。

此外，在制图、设计和工程测量等领域，平行四边形的应用也非常广泛。

总结：平行四边形在几何学和实际生活中都有重要的地位。

它具有许多特殊的性质和应用，通过研究平行四边形的性质和定理，我们可以应用它解决各种问题，提高我们的几何思维能力和分析能力。

平行四边形性质平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。

本文将介绍平行四边形的性质，包括其定义、内角和外角性质、对角线性质以及平行四边形的相关定理。

1. 定义平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。

这意味着平行四边形的对边是平行的，而且相邻边之间的内角相等。

2. 内角和外角性质平行四边形的内角性质是其中一个重要的特点。

根据平行线之间的性质，平行四边形的内角是180度的补角。

也就是说，平行四边形的相邻内角之和始终等于180度。

另外，平行四边形的外角性质也很有意思。

外角是指一个角位于平行四边形的边的外部，并且与相邻的内角形成补角关系。

因此，平行四边形的相邻外角之和也等于180度。

3. 对角线性质平行四边形的对角线有一些特殊的性质。

首先，平行四边形的对角线相交于一点，并且将平行四边形分割成两个全等的三角形。

其次，平行四边形的对角线相互平分。

也就是说，平行四边形的对角线把它们所在的角等分成两个相等的角。

最后，平行四边形的对角线长度都相等。

这一性质可以通过运用平行线的性质和三角形的相似性来证明。

4. 相关定理除了上述基本性质外，还存在一些与平行四边形相关的定理，如下所述：4.1. 任意一条线段平行于一对平行边，就将平行四边形分割成两个全等的平行四边形。

4.2. 直角的两个边分别平行于另外两个边，即为矩形。

4.3. 对角线相等的平行四边形是矩形。

4.4. 连接平行四边形相对顶点的线段，所形成的四边形也是平行四边形。

这些定理为解决与平行四边形相关的问题提供了有力的工具。

总结：平行四边形是一种特殊的四边形，具有很多有趣的性质。

通过了解平行四边形的内角和外角性质，对角线的性质以及相关定理，我们可以更好地理解和解决与平行四边形有关的问题。

熟练掌握这些性质和定理，有助于我们在几何学的学习和实际问题的解决中取得更好的成绩。

注：以上内容对于平行四边形的性质做了简要的介绍，如需深入了解和运用平行四边形的性质，请参考相关的数学教材或资料。

平行四边形的性质与定理平行四边形是一种特殊的四边形，具有独特的性质和定理。

本文将介绍平行四边形的定义、性质以及与之相关的定理，帮助读者加深对平行四边形的理解。

一、平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边两两平行的四边形。

对边分别为相对的边，其长度相等。

二、平行四边形的性质1. 对边性质平行四边形的对边相等。

设平行四边形ABCD，AB和CD是对边，BC和AD是对边，那么有AB = CD，BC = AD。

2. 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点将对角线分成两个相等的部分。

设平行四边形ABCD，AC和BD为对角线，交于点O，那么有AO = CO，BO = DO。

3. 内角性质平行四边形的内对角相等。

设平行四边形ABCD，∠A和∠C是内角，∠B和∠D是内角，那么有∠A = ∠C，∠B = ∠D。

4. 外角性质平行四边形的外对角互补，即外角之和等于180度。

设平行四边形ABCD，∠A和∠D是外角，∠B和∠C是外角，那么有∠A + ∠D =∠B + ∠C = 180°。

5. 两组对边性质平行四边形的一组对边平行，则另一组对边也平行。

设平行四边形ABCD，AB和CD是一组对边，BC和AD是一组对边，若AB ∥CD，那么有 BC ∥ AD。

三、平行四边形的定理1. 平行四边形的性质定理如果一个四边形满足对边平行，则它是平行四边形。

即如果ABCD是一个四边形，且AB ∥ CD 以及 AD ∥ BC，那么ABCD是一个平行四边形。

2. 平行四边形的导出性质定理如果一个四边形满足以下条件之一，则它是平行四边形。

- 两组对边相等：AB = CD 且 AD = BC；- 对角线互相平分：AO = CO 且 BO = DO；- 内对角相等：∠A = ∠C 且∠B = ∠D。

3. 平行四边形的面积定理平行四边形的面积可以通过底边长和高来计算。

设底边长为b，高为h，则平行四边形的面积S等于底边长乘以高，即S = b * h。

平行四边形的性质及相关定理平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。

在本文中，我们将探索平行四边形的性质，并介绍一些与平行四边形相关的重要定理。

一、平行四边形的定义和性质平行四边形是指四条边两两平行的四边形。

根据定义，平行四边形具有以下性质：1. 对边相等：平行四边形的对边两两相等。

也就是说，相对的两边长度相等。

2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

对角线是连接平行四边形的两个非相邻顶点的线段。

3. 内角和为180度：平行四边形的内角之和等于180度。

证明如下：设平行四边形的两对对角线分别为AC和BD，交于点O。

根据平行线的性质，△ACO与△BDO是全等的。

因此，∠ACO=∠BDO，∠ACO+∠BDO=180度。

同理可证得平行四边形的其他两个内角和为180度。

二、平行四边形的重要定理在平行四边形的研究中，有几个重要的定理与其密切相关，分别是平行四边形定理、对边定理和同位角定理。

1. 平行四边形定理：如果一个四边形的对边相等且对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形。

证明：设四边形ABCD的对边AB与CD相等，对角线AC与BD互相平分。

根据平行四边形的定义，我们需要证明ABCD的边AD与BC平行。

通过对角线AC与BD的平分，我们可以得到△ABC≌△CDA和△BAD≌△DCB。

这意味着∠BAC=∠DCA和∠ABD=∠CBD。

根据平行线理论，我们可以得到∠BAD+∠ABD+∠BDA=180度和∠CBD+∠CBA+∠ABC=180度。

联立以上两个等式可得∠BDA=∠CBA。

因此，AB与CD为平行线，从而四边形ABCD是一个平行四边形。

2. 对边定理：平行四边形的对边相等。

证明：根据平行四边形的定义，我们已经知道对边两两平行。

接下来，我们需要证明对边相等。

设平行四边形ABCD的对边为AB与CD，连结AC与BD，交于点O。

我们可以通过证明三角形△ACO≌△BDO和△CDO≌△BAO来得出结论。

平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定定理 1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定定理 3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定定理 4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形。

4.平行四边形的面积：面积 =底边长×高 = ah（ a 是平行四边形任何一边长，h 必须是 a 边与其对边的距离。

）二、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形。

3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.矩形的面积：矩形的面积 =长×宽三、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理（ 1）：四边都相等的四边形是菱形。

（3）判定定理（ 2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.菱形的面积：菱形的面积 =底×高 =对角线乘积的一半四、正方形1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定Prepared on 22 November 2020平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形。

4.平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。

）二、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。

（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半四、正方形1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

性质（1）假如一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分离相等.（简述为“平行四边形的两组对边分离相等”[2]）（2）假如一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分离相等.（简述为“平行四边形的两组对角分离相等”[2]）（3）假如一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补.（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行的高相等.（简述为“平行线间的高距离处处相等”）（5）假如一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相等分.（简述为“平行四边形的对角线互相等分”[2]）（6）衔接随意率性四边形各边的中点所得图形是平行四边形.（推论）（7）平行四边形的面积等于底和高的积.（可视为矩形.）（8）过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形.（9）平行四边形是中间对称图形,对称中间是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形,但平行四边形是中间对称图形.矩形和菱形是轴对称图形.注：正方形,矩形以及菱形也是一种特别的平行四边形,三者具有平行四边形的性质.（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上接近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分.（12）平行四边形ABCD中,AC.BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和.（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份.（14）平行四边形中,两条在不合对边上的高所构成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角.（15）平行四边形的面积等于相邻双方与其夹角正弦的乘积平行四边形的剖断办法（共6种）1.两组对边分离平行的四边形是平行四边形（界说剖断法）;2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.对角线互相等分的四边形是平行四边形;4.两组对角分离相等的四边形是平行四边形;5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形;6.两组对边分离相等的四边形是平行四边形.帮助线作法一.衔接对角线或平移对角线.二.过极点尴尬刁难边的垂线构成直角三角形.三.衔接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线.四.衔接极点与对边上一点的线段或延伸这条线段,结构类似三角形或等积三角形.五.过极点尴尬刁难角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.平行四边形的界说：在统一平面内有两组对边分离平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的界说.性质：（1）平行四边形对边平行且相等.（2）平行四边形两条对角线互相等分.（菱形和正方形）（3）平行四边形的对角相等,两邻角互补（4）衔接随意率性四边形各边的中点所得图形是平行四边形.(推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积.（可视为矩形）（6）平行四边形是扭转对称图形,扭转中间是两条对角线的交点.（7）过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形.（8）平行四边形是中间对称图形,对称中间是两对角线的交点.（9）一般的平行四边形不是轴对称图形,菱形是轴对称图形.（10）平行四边形ABCD中,AC.BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证实）.（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分.剖断：（1）两组对边分离相等的四边形是平行四边形; （2）对角线互相等分的四边形是平行四边形; （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; （4）两组对边分离平行的四边形是平行四边形; （5）两组对角分离相等的四边形是平行四边形; （6）一组对边平行一组对角线互相等分的四边形是平行四边形; （7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形;。

平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。

两点之间，线段最短。

如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离人，叫做这两条平行线之间的距离。

如果直线a平行直线b ，A是a上的任意一点，AB垂直直线b，b是垂足，线段AB的长就是直线a，b之间的距离。

平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，也就是说当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。

矩形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；矩形的4个角都是直角；矩形的对角线相等。

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是举行。

菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；菱形的4条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形好，平行四边形通常只被分成两个两对全等的三角形。

菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。

菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。

正方形正方形的两条对角线，把这个正方形分成4个全等的等腰直角三角形。

正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。

总结平行四边形的性质与定理平行四边形是平面几何学中一种重要的图形。

在本文中，我们将总结平行四边形的性质与定理，探讨其定义、特点以及相关定理，并通过例题加深理解。

一、平行四边形的定义平行四边形是指有四个边都是平行的四边形。

它的特点是对边相等且对角线互相平分。

二、平行四边形的性质1. 对边相等性质：平行四边形的对边是相等的。

具体而言，其中任意一对对边长度相等。

2. 对角线平分性质：平行四边形的对角线互相平分。

也就是说，对角线所形成的交点将对角线分为两个相等的部分。

3. 对角线长度关系：平行四边形中，对角线的长度满足定理：对角线互相平分情况下，两对角线长度平方和等于对角线平方和。

即若对角线分别为d1和d2，则有d1^2 + d2^2 = 2a^2 + 2b^2，其中a和b分别为平行四边形的两条边长。

4. 临角补角：平行四边形的相邻内角互为补角。

如果一个内角是a 度，那它相邻的内角就是180° - a度。

5. 对边夹角：平行四边形的对边夹角相等。

也就是说，如果一个内角是a度，那它所对面的内角也是a度。

6. 邻边平行关系：平行四边形中，邻边互相平行。

三、平行四边形的定理1. 垂直定理：如果平行四边形的一对对边垂直相交，那么该平行四边形是矩形。

2. 对角线互相垂直定理：如果平行四边形的对角线互相垂直，那么该平行四边形是菱形。

3. 对角线平分关系：如果平行四边形的对角线互相平分，并且其中一对对边相等，那么该平行四边形是正方形。

例题1：已知平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC的长度为10cm，求对角线BD的长度。

解：根据对角线长度关系定理，我们有d1^2 + d2^2 = 2a^2 + 2b^2，其中a=6cm，b=8cm，d1=10cm。

代入数值计算可得，d2=√(10^2+40^2)=√500=10√5 cm。

例题2：已知平行四边形EFGH中，对边FG=2x+3，对边EH=4x-1，对角线EG=3x+7，求该平行四边形的周长。

五年级数学认识简单的平行四边形及其性质在数学学科中，平行四边形是一个重要的概念。

在本文中，我们将简要介绍五年级学生需要了解的平行四边形及其性质。

一、平行四边形的定义平行四边形是指有四条边，且两两相对的边是平行的四边形。

简单来说，如果四边形的相对边是平行的，那么它就是平行四边形。

二、平行四边形的性质1. 相邻角性质：平行四边形的相邻内角互补，也就是说，相邻内角的度数之和等于180度。

例如，如果一个相邻内角的度数是50度，那么它的相邻内角就是130度。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相等长，且相交于中点。

也就是说，如果我们连接平行四边形的两个相对顶点，那么这条线段就是对角线，而且两条对角线的长度相等。

此外，两条对角线的交点是对角线的中点。

3. 同底角性质：平行四边形的同底角相等，也就是说，如果两个平行四边形的底边相等，那么它们的同底角也相等。

例如，如果两个平行四边形的底边长度都是5厘米，那么它们的同底角就相等。

4. 对边性质：平行四边形的对边相等，也就是说，如果两个平行四边形的相对边相等，那么它们的对边也相等。

例如，如果一个平行四边形的上边长度是8厘米，下边长度是8厘米，那么它的左边和右边也分别是8厘米。

三、平行四边形的应用1. 全等判定：当一个四边形的对边相等，且对角线相等时，可以判断它是一个平行四边形。

2. 面积计算：平行四边形的面积可以通过底边和高的乘积得到。

即面积等于底边乘以高。

3. 解题实践：平行四边形经常运用于解决几何问题和计算题。

通过运用平行四边形的性质，可以更轻松地解决各种题目。

四、总结在五年级数学中，学习平行四边形是非常重要的。

通过了解平行四边形的定义和性质，我们可以更好地应用它们解决问题。

平行四边形不仅是理论知识，还是实践解题的基础。

希望同学们能够通过实际练习和思考，更好地掌握平行四边形的概念和运用。

通过对五年级数学认识简单的平行四边形及其性质的介绍，我们希望能够帮助同学们对平行四边形有更清晰的理解。

平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形。

4.平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。

）二、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。

（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半四、正方形1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

平行四边形的性质和判定定理二、知识点回顾：1：平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2：平行四边形的性质：1）平行四边形对边平行；2）平行四边形对边相等；3）平行四边形对角相等；4）平行四边形对角线互相平分．3：平行四边形判定定理：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；四边形ABCD是平行四边形2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AD＝BC，AB＝CD四边形ABCD是平行四边形3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AD∥BC，AD＝BC四边形ABCD是平行四边形4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；OA＝OC，OB＝OD四边形ABCD是平行四边形5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD四边形ABCD是平行四边形4：三角形中位线定义及定理：1）定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2）定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半．【典型例题】例1. 已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD 的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．例2. 如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．例3. 如图3所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）图3A. 7个B. 8个C. 9个D. 11个例4. 如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4．AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_________例5. 现有一个四边形的木框，若想知道它是否为平行四边形，只给你一把刻度尺，你能有几种方法来测量？例6. 如图5，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且AB＝l，DE＝2，BC＋CD ＝8，求这个六边形的周长．图5例7. 如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC 上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. AE＝CFB. DE＝BFC. ∠ADE＝∠CBFD. ∠AED＝∠CFB图6例8. 如图7，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB＝OD．已知S△OBC＝1，求四边形ABCD 的面积．图7【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边平行且相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分2. 如图1，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE上BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（）图1A. 6B. 12C. 18D. 不确定3. 下列条件中，能判别一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边相等B. 一组对边平行C. 两条对角线相等D. 两组对角分别相等4. 已知四边形ABCD，以下四个条件：（1）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（2）AB＝CD，AD ＝BC；（3）AB＝CD，AB∥CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．其中能判定四边形ABCD为平行四边形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. OA＝OC，OB＝ODB. ∠ABD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADBC. AB＝CD，OB＝OD，∠ABD＝∠BDCD. OA＝OB．OC＝OD6. 如图2，在△ABC中，∠B＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，DE＝2，AC＝5，则AB的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5图27. 在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添一个条件________，就可以判定四边形ABCD 是平行四边形．8. 如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，请写出图中相等的线段_______，图中全等三角形有__________对．图39. 在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB 的周长为15，则CD＝______．10. 如图4，在平行四边形ABCD中，O是AC上一点，过点O的任一直线交AB于E，交CD于F，要想保证OE＝OF，需满足条件：_________________（填出一个你认为正确的一个条件即可）．图411. 用长为80cm的铁丝围成一个平行四边形，使平行四边形的两邻边之比为3：2，这个平行四边形最长边为___________．12. 已知四个角都是直角的四边形叫做矩形．如图5是小张剪出的一个四边形ABCD硬纸片，现他沿垂直于BC的线段AE剪下△ABE，然后放到△DCF处，使AB与CD重合，此时测得四边形AEFD是矩形．那么小张剪出的原四边形ABCD是_________形．判定的依据是_____________．13. 在四边形ABCD中，∠A＝60，要使四边形ABCD成为平行四边形，则∠B＝_________，∠C_____________．14. 如图6是小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，他把∠B沿EM折叠使点B落在点D上，把∠C沿FN折叠使点C也落在点D上，则小明就说四边形AEDF 是平行四边形，请你帮他说明理由；小明又量出AB＝9 cm，则四边形AEDF的周长是多少？图615. 如图7，把两把相同的角尺（两边互相垂直）的一边紧靠在木板同一侧的边缘上，再看板另一边缘（也为直线）在两把角尺上的刻度是否相等，木工师傅就可以判断木板的两个边缘是否平行，你能说出其中的道理吗？图7【试题答案】1、C2、B3、D4、C5、D6、B7、AB//CD（条件不唯一）8、AD=BC AB=CD OA=OC OB=OD 49、5 10、OA=OC 11、24cm12、平行四边形，AB//CD、AB=CD13、120°60°14、解：（1）由题意可得：（2）周长为18cm．15、答：由测量过程可知：测量的直线间距不仅相等，而且平行，所以对边是平行关系．。

四边形的性质和判定一、平行四边形的性质和判定（一）平行四边形性质：1、平行四边形的两组对边平行且相等2、平行四边形的两组对角相等,邻角互补3、平行四边形的两条对角线互相平分4、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（二）平行四边形的判定：1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等4、两条对角线互相平分5 两组对角分别相等以上五个条件均可判定一个四边形是平行四边形，都是平行四边形的判定定理。

二、菱形的性质和判定：（一）菱形的性质：1、对角线互相垂直且平分；2、四条边都相等；3、对角相等,邻角互补；4、每条对角线平分一组对角．5、菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点也是轴对称图形，对称轴是两条对角线（二）菱形的判定三、矩形的性质和判定（一）矩形的性质1、从边看，矩形对边平行且相等。

2、从角看，矩形四个角都是直角。

3、从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。

4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点（二）矩形判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形2.有三个角是直角的四边形是矩形四、正方形的性质和判定（一）正方形的性质1、四边相等，四个角是直角2、对角线相等、相互平分、相互垂直3、既是中心对称图形又是轴对称图形（二）正方形的判定1、有一个角是直角的菱形是正方形2、有一组邻边相等的矩形是正方形3、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形5、对角线相互垂直的矩形是正方形。