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竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
专题拓展课三竖直面内圆周运动模型及临界问题【学习目标要求】 1.通过建立竖直面内圆周运动的轻绳模型，应用动力学方法分析临界问题。
2.通过建立竖直面内圆周运动的轻杆模型，分析与绳模型的区别。
3.会通过分析临界状态，找到临界条件，解决临界问题。
拓展点1竖直面内圆周运动的轻绳模型1.模型概述无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。
2.模型特点比较项目特点情景图示弹力特征弹力可能向下，也可能等于零受力示意图力学方程mg＋F T＝m v2 r临界特征F T＝0，即mg＝m v2r，得v＝grv＝gr的意义物体能否过最高点的临界点【例1】(2020·深州中学高一月考)杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。
如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝60 cm(g＝10 m/s2) 。
求：(1)在最高点水不流出的最小速率；(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
解析(1)杯子运动到最高点时，设速度为v时水恰好不流出，水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力， 根据牛顿第二定律得mg ＝m v 2L 代入数据解得v ＝ 6 m/s 。
(2)对水研究，在最高点时由水的重力和杯底的弹力的合力提供水做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得F N ＋mg ＝m v ′2L 代入数据解得F N ＝2.5 N由牛顿第三定律知水对杯底的压力大小为2.5 N 。
答案 (1) 6 m/s (2)2.5 N【针对训练1】 如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒，若轨道半径为R ，要使体重为mg 的乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( ) A.0 B.gR C.2gRD.3gR解析 由题意知F N ＋mg ＝2mg ＝m v 2R ，故速度大小v ＝2gR ，选项C 正确。
轻绳模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件最高点：F T ＝0 即mg ＝m v2r 得v 临＝gr最高点v ＝0 即F 向＝0 F N ＝mg讨论分析(1)过最高点时，v ≥gr ， F N ＋mg ＝m v 2r，绳、轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v ＜gr ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道了圆轨道(1)当v ＝0时，F N＝mg ，F N为支持力，沿半径背离圆心力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v ＜gr 时，时，－F N ＋mg ＝m v 2r，F N 背离圆心且随v 的增大而减小的增大而减小(3)当v ＝gr 时，F N ＝0 (4)当v ＞gr 时，F N ＋mg ＝m v 2r ，F N指向圆心并随v 的增大而增大的增大而增大如图所示，有一长为L 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球。
现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。
已知水平地面上的C 点位于O 点正下方，且到O 点的距离为1.9L 。
不计空气阻力。
不计空气阻力。
(1)求小球通过最高点A 时的速度v A ；(2)若小球通过最低点B 时，细线对小球的拉力F T 恰好为小球重力的6倍，且小球经过B 点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C 点的距离。
点的距离。
解题指导： 解答本题可按以下思路进行：物理建模系列 竖直平面内竖直平面内圆周运动圆周运动的“轻绳、轻杆”模型1．模型条件(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动。
物体在竖直平面内做变速圆周运动。
(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。
“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。
2．常用模型该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：分析小球的运动过程抓住小球在最高点的临界条件利用牛顿第二定律列方程mg ＝m v 2AL解得v A ＝gL 。
圆周运动中的“临界问题”总结一、“绳”模型——“最高点处有临界，最低点时无选择”一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球“刚好”“恰好”过最高点的条件是：此时，只有小球的 提供向心力，即 ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度，vmin ＝ . V= 是“绳”模型中小球能否顺利通过最高点继续做圆周运动的临界速度。
类此模型：竖直平面内的内轨道巩固1：游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m =60kg ，由静止从斜轨顶端A 点开始下滑，恰好过半径为r=2.5m 的圆形轨道最高点B 。
求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
巩固2：杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．巩固3：公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。
如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时A ．车的加速度为零，受力平衡B ．车对桥的压力比汽车的重力大C ．车处于超重状态D ．车的速度越大，车对桥面的压力越小二、“杆”模型————“最高点处有临界，最低点时无选择” 一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，注意v=0和v=gr 两个速度。
①当v ＝0时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0<v <gr 时，杆对小球产生 力，且该力 于小球的重力；③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零；④当v >gr 时，杆对小球产生 力。
V= 是“杆”模型中杆对小球是“推”“拉”的临界。
类此模型：竖直平面内的管轨道.巩固4：如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度要大于0C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力 三、“拱形桥”模型——“最高点处有临界”小球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点时，若小球与球面间弹力为零，则有 = ，v= 。
（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即rmvmg2临界=⇒rg=临界υ（临界υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。
②能过最高点的条件：临界υυ≥。
此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mgrvmN-=2③不能过最高点的条件：临界υυ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。
（2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0=临界υ。
②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0<v<rg时，杆对小球有竖直向上的支持力rvmmgN2-=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。
当rg=υ时，N=0；当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力mgrvmN-=2，其大小随速度的增大而增大。
③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。
GF当0<v<rg 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0。
当v=gr 时，N=0。
当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大。
④图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。
在最高点的v 临界=gr 。
当v=gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动。
第11点 绳、杆、桥类模型的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点时的情况，并且经常出现临界状态．这类问题常出现在绳、杆、桥类模型的临界问题中．1．类绳模型(1)此类模型的施力特点：只能提供指向圆心的力．(2)常见的装置：①用绳系物体(如图1甲所示)；②物体沿轨道内侧做圆周运动(如图乙所示)．图1(3)临界特点：此种情况下，如果物体恰能通过最高点，绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg ＝mv 20R，得临界速度v 0＝gR .当物体的速度不小于v 0时，才能通过最高点．2．类杆模型(1)此类模型的施力特点：对物体既能提供指向圆心的力，又能提供背离圆心的力．(2)常见的装置：①用杆固定的物体(如图2甲所示)；②小球在光滑圆管中(如图乙所示)；③小球穿在光滑圆环上(如图丙所示)．图2(3)临界特点：此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆、管或环对它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零．当物体在最高点的速度v ≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动．3．拱桥模型(1)此类模型的施力特点：对物体只提供背离圆心的力．(2)常见装置：①拱形桥(如图3甲所示)；②凹凸不平的路面的凸处(如图乙所示)．图3(3)临界特点：此时，如果物体的速度过大，将会脱离圆轨道而做平抛运动．同样，当轨道对物体的支持力等于零时，是物体做圆周运动的临界情况，即v0＝gR为临界速度．所以只有当物体的速度小于gR时，它才能沿轨道外侧做圆周运动．图4对点例题(双选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图4所示．则下列说法正确的是( )A．小球通过最高点时，绳子张力可以为0B．小球通过最高点时的最小速度为0C．小球刚好通过最高点时的速度是gRD．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与小球所受重力方向相反解题指导设小球通过最高点时的速度为v，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋T＝m v2R.当T＝0时，v＝gR，故选项A正确；当v＜gR时，T＜0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故选项B、D错误；当v＞gR时，T＞0，小球能沿圆弧通过最高点．可见，v≥gR是小球能沿圆弧通过最高点的条件．答案AC(单选)一辆汽车行驶在如图5所示的半径为R的半圆路面上，当它到达路面顶端A时( )图5A．汽车速度不大于gR即可安全通过B．速度如果小于gR，汽车将做平抛运动C．汽车速度只有小于gR才能安全通过D．以上说法都不对答案C解析当汽车运动到半圆路面的顶端时，汽车将受到重力和路面支持力的作用，即汽车在半圆路面顶端的向心力由重力和支持力的合力提供，所以汽车获得的最大向心力就等于重力，即汽车的最大速度就是gR，此时汽车对路面的压力为零，所以当汽车以这个速度行驶时汽车就会脱离地面，做平抛运动．汽车要安全地通过，速度就必须小于gR，综上所述，只有C项正确．。
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆"模型1。
“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2。
有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动,一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外,物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝m错误!mg±F N＝m错误!临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝错误!v＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥错误!v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则( ）A．小球的质量为错误!B．当地的重力加速度大小为错误!C．v2＝c时,小球对杆的弹力方向向上D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】: ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m的绳系着装有m ＝ 0。
5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动,成为“水流星”.G ＝10 m/s2。
求:（1）最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大?【答案】（1) 2.45 m/s (2） 2。
5 N 方向竖直向上【解析】（1) 水做圆周运动,在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v0。
以水为研究对象，mg＝m错误!解得v0＝错误!＝错误!m/s ≈ 2.45 m/s(2）因为v ＝ 3 m/s>v0,故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
一.竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球受力特征除重力外，物体受到的弹力向下或等于零除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上受力示意图过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，mg－F N＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心，并随v的增大而增大3.竖直面内圆周运动问题的解题思路二. 杆—球模型经典例题讲解与对点演练（一）例题例1：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( ) A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A解析 当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，即当速度v ＝gR时，轻杆所受的弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，若v <gR ，则有：mg －F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v >gR ，则有：mg ＋F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C 、D 错误．（二）杆—球模型对点演练：1.如图所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B ，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g ，则球B 在最高点时( ) A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gL C ．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg ＝m v B 22L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2L ，解得：F ＝1.5mg ，根据牛顿第三定律可知，C 正确，D 错误．2.(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。
已知秋千的两根绳长约为10 m ，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg 。
绳的质量忽略不计。
当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s ，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )A ．200 N B.400 N C ．600 N D.800 N答案 B解析 当该同学荡到秋千支架的正下方时，根据牛顿第二定律，有2T －mg ＝m v 2r ，解得T ＝410 N ，即此时每根绳子平均承受的拉力约为400 N ，故B 正确。
3.(2019·江苏高考)(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。
座舱的质量为m ，运动半径为R ，角速度大小为ω，重力加速度为g ，则座舱( )A ．运动周期为2πRω B ．线速度的大小为ωRC ．受摩天轮作用力的大小始终为mgD ．所受合力的大小始终为mω2R 答案 BD解析 座舱的运动周期T ＝2πR v ＝2πω，A 错误；根据线速度与角速度的关系，可知座舱的线速度大小为v ＝ωR ，B 正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与座舱的重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F 合＝mω2R ，C 错误，D 正确。
4.一质量为m 的汽车以2v 的速度经过拱形桥面顶端时对桥面的压力为零，重力加速度为g 。
则该汽车以速度v 经过顶端时对桥面的压力F 为( )A ．0.25mg B.0.5mg C ．0.75mg D.mg答案 C解析 由题意，汽车速度为2v 时，其重力恰好充当向心力，则有mg ＝m (2v )2R ，当汽车速度变为v 时，向心力减小，桥面对汽车有向上的支持力F ′，则有mg －F ′＝m v 2R ，联立解得F ′＝0.75mg ，根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力F ＝0.75mg ，故C 正确，A 、B 、D 错误。
5．(2020·广东省汕头市高三第一次模拟)如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N 装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N 点时的速率v N ，最高处M 装有力传感器，可测出球经过M 点时对管道的作用力F (竖直向上为正)。
用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F 与v 2N 的关系图像如图乙，c 为图像与横轴交点的横坐标，b 为图像延长线与纵轴交点的纵坐标，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是( )A ．若小球经过N 点时满足v 2N ＝c ，则经过M 点时对管道壁无压力B ．若小球经过N 点时满足v 2N ＝2c ，则经过M 点时对内管道壁有压力C ．小球做圆周运动的半径为c5gD ．F ＝－b 时小球经过N 点的速度等于0 答案 AC解析 由图乙可知，若小球经过N 点时满足v 2N ＝c ，则经过M 点时对管道壁无压力，A 正确；当小球经过N 点时满足v 2N ＝2c >c ，则经过M 点时对管道壁的压力为正值，可知此时小球对外管道壁有压力，B 错误；若小球经过N 点时满足v 2N ＝c ，则经过M 点时满足mg ＝m v 2MR ，由机械能守恒定律可得12m v 2N ＝mg ·2R ＋12m v 2M ，联立解得R ＝c5g ，C 正确；由图乙可知，F ＝－b 时v 2N >c ，小球经过N 点的速度大于0，D 错误。
6．一水平放置的木板上放有砝码，砝码与木板间的摩擦因数为μ，如果让木板在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，假如运动中木板始终保持水平，砝码始终没有离开木板，那么下列说法正确的是 ( )A ．在通过轨道最高点时砝码处于超重状态B ．在经过轨道最低点时砝码所需静摩擦力最大C ．匀速圆周运动的速度小于μgRD ．在通过轨道最低点和最高点时，砝码对木板的压力之差为砝码重力的6倍 答案：C[解析] 在通过轨道最高点时，向心加速度竖直向下，是失重，故A 项错误；木板和砝码在竖直平面内做匀速圆周运动，则所受合外力提供向心力，砝码受到重力G ，木板支持力F N 和静摩擦力F f ，由于重力G 和支持力F N 在竖直方向上，因此只有当砝码所需向心力在水平方向上时静摩擦力有最大值，此位置是当木板和砝码运动到与圆心在同一水平面上时的位置，最大静摩擦力必须大于或等于砝码所需的向心力，即μF N ≥m v 2R ，此时在竖直方向上F N ＝mg ，故v ≤μgR ，故B 项错误，C 项正确；在最低点，F N1－mg ＝m v 2R ，在最高点，mg －F N2＝m v 2R ，则F N1－F N2＝2m v 2R，故D 项错误。
三. 绳—球模型经典例题讲解与对点演练 （一）例题例2:(多选)如图所示，一个小球沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动，圆环的半径为R ，关于小球的运动情况，以下说法正确的是( )A ．小球在最高点对轨道的压力为零B ．小球在最低点对轨道的压力最大C ．如果小球恰好通过最高点，圆环的半径越大，小球在最低点对轨道的压力越大D ．如果小球恰好通过最高点，圆环半径的大小与在最低点对轨道的压力无关答案 BD解析 小球在最高点若只有重力提供向心力，则小球在最高点对轨道的压力为零，其他情况压力都不为零，故A 错误；小球在最低点时速度最大，受到的支持力最大，对轨道的压力最大，故B 正确；如果小球恰好通过最高点，则满足mg ＝m v 20R ，从最高点到最低点的过程由动能定理得mg ·2R ＝12mv 2－12mv 20，小球在最低点满足F －mg ＝m v 2R ，联立解得F ＝6mg ，根据牛顿第三定律，小球在最低点对轨道的压力为6mg ，与圆环半径无关，故C 错误，D 正确。
例3：如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O 在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v ，此时绳子的拉力大小为F T ，拉力F T 与速度的平方v 2的关系如图乙所示，图象中的数据a 和b 包括重力加速度g 都为已知量，以下说法正确的是( )A ．数据a 与小球的质量有关B ．数据b 与圆周轨道半径有关C ．比值ba 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关D ．利用数据a 、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径 答案 D解析 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有F T ＋mg ＝m v 2R ，可得图线的函数表达式为F T ＝m v 2R －mg ，题图乙中横轴截距为a ，则有0＝m aR －mg ，得a ＝gR ，A 错误；图线过点(2a ，b )，则b ＝m 2a R －mg ，可得b ＝mg ，B 错误；b a ＝m R ，C 错误；由b ＝mg 得m ＝bg ，由a ＝gR 得R ＝ag，则D 正确．（二）绳—球模型对点演练：1. 如图甲所示，轻绳一端固定在O 点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动．改变小球通过最高点时的速度大小v ，测得相应的轻绳弹力大小F ，得到F －v 2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b )，斜率为k .不计空气阻力，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )A ．该小球的质量为bgB ．小球运动的轨迹半径为bkgC ．图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零D ．当v 2＝a 时，小球的向心加速度为g 答案 B解析 小球在最高点时受到的拉力为F ，则有： F ＋mg ＝m v 2R ，解得：F ＝m v 2R－mg结合题图乙可知：mg ＝b ，即m ＝b g ，斜率为k ＝m R ＝2ba解得：R ＝m k ＝bkg，故A 错误，B 正确；图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合外力等于重力时的情况，故C 错误；根据向心加速度公式可知a ′＝v 2R ＝a b kg＝akgb＝2g ，故D 错误．2.如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球挂在离水平地面高为3L的O 点，小铁球以O为圆心在竖直面内做圆周运动且恰好能到达最高点A处，不计空气阻力，重力加速度为g，若运动到最高点时轻绳被切断，则小铁球落到地面时速度的大小为()A.3gLB.6gLC.4gLD.3gL答案 D解析小铁球刚好到达最高点时，绳的拉力为零，小铁球的重力提供向心力，有mg＝m v21L，在最高点切断轻绳后，小铁球做平抛运动落地，对这一过程由动能定理有：mg·4L＝12m v22－12m v21，联立可得小铁球落地速度大小：v2＝3gL，故A、B、C错误，D正确。
