初中数学几何最值专题28：瓜豆原理之定比分点轨迹圆(最全修正版)

最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k⋅AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。

(常见于动态翻折中)如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型1-4. 定边对定角(或直角)模型1)一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2)一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

1(2023·山东泰安·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.22(2023·四川广元·统考一模)如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为．4(2023·湖南·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．5(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD< BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为．6(2023·浙江金华·九年级校考期中)如图，点A，C，N的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，(4，3)，以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为．7(2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习)已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为．8(2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习)问题提出：(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=43，则AB的长为；问题探究：(2)如图②，已知矩形ABCD，AB=4，BC=5，点P是矩形ABCD内一点，且满足∠APB= 90°，连接CP，求线段CP的最小值；问题解决：(3)如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中AD∥BC，AD= 40m，BC=60m，点E为CD边上一点，且CE:DE=1:2，∠AEB=60°，为了美化环境，要求四边形ABCD的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值．课后专项训练1(2023·安徽合肥·校考一模)如图，在△ABC中，∠B=45°，AC=2，以AC为边作等腰直角△ACD，连BD，则BD的最大值是()A.10-2B.10+3C.22D.10+22(2023春·广东·九年级专题练习)已知：如图，在△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，△ABC面积的最大值是( )．A.8+43B.83+4C.83D.8+833(2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习)如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为()A.43+4B.4C.43+8D.64(2023·山东济南·一模)正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+25(2023上·江苏连云港·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为．6(2023春·广东深圳·九年级专题练习)如图，点G是△ABC内的一点，且∠BGC=120°，△BCF是等边三角形，若BC=3，则FG的最大值为．7(2023·江苏泰州·九年级专题练习)如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=16，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD外部找一点E，使得∠BEC+∠BPC=180°，则线段DE的最大值为．8(2023·陕西渭南·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，点E在BC上，且CE=4BE，点M 为矩形内一动点，使得∠CME=45°，连接AM，则线段AM的最小值为．9(2023江苏扬州·三模)如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB=6，CD=4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是．10(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB= AC=22，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为．11(2023·福建泉州·统考模拟预测)如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点(含边界)，且AD= EB=8，点F在BE上，BF=2，则以下结论：①CF的最小值为6；②DE的最小值为82-8；③CE= CF；④DE+CF的最小值为10；正确的是．12(2021·广东·中考真题)在△ABC中，∠ABC=90°,AB=2,BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为．13(2023·广东·深圳市二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为边BC上一动点，F为AE 中点，G为DE上一点，BF=FG，则CG的最小值为．14(2023秋·广东汕头·九年级校考期中)如下图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是以BC为直径的圆上的点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连接CF，则线段CF的最大值与最小值的和．15(2023·陕西渭南·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，Q是矩形ABCD左侧一点，连接AQ、BQ，且∠AQB=90°，连接DQ，E为DQ的中点，连接CE，则CE的最大值为．16(2023·安徽亳州·统考模拟预测)等腰直角△ABC 中，BAC =90°，AB =5，点D 是平面内一点，AD =2，连接BD ，将BD 绕D 点逆时针旋转90°得到DE ，连接AE ，当DAB =(填度数)度时，AE 可以取最大值，最大值等于．17(2023·河北廊坊·统考二模)已知如图，△ABC 是腰长为4的等腰直角三角形，∠ABC =90°，以A 为圆心，2为半径作半圆A ，交BA 所在直线于点M ，N ．点E 是半圆A 上仟意一点．连接BE ，把BE 绕点B 顺时针旋转90°到BD 的位置，连接AE ，CD ．(1)求证：△EBA ≌△DBC ；(2)当BE 与半圆A 相切时，求弧EM的长；(3)直接写出△BCD 面积的最大值．18(2022·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (a ,b ),N .对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移a 个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移b 个单位长度，得到点P '，点P '关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点M (1,1),点N 在线段OM 的延长线上，若点P (-2,0),点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12 OM;(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t12<t<1，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)19(2023下·广东广州·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．(1)求证：BD=CE；(2)连接CD，延长ED交BC于点F，若△ABC的边长为2；①求CD的最小值；②求EF的最大值．20(2023·江苏常州·统考二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-13x2+bx-3的图像与x轴交于点A和点B9,0，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且cos∠AQB=35，点M在y轴正半轴，∠MBO=45°，线段MQ是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3)确定动点轨迹的方法(重点)②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已知轨迹的线段求最值。

最值问题之瓜豆原理知识解读瓜豆原理是主从动点联动问题，也叫旋转相似，这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题．瓜豆原理：一个主动点，一个从动点(根据某种约束条件，跟着主动点动)，当主动点运动时，从动点的轨迹相同．(古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．)满足条件：1.两动一定；2.动点与定点的连线夹角是定角；3.动点到定点的距离比值是定值．方法：第一步：找主动点的轨迹；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹；第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值．“瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似．涉及的知识和方法：知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值．运动轨迹为圆弧引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO: AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量；主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)．【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．模型二运动轨迹为线段引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角)P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ(由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN)1针对训练一、单选题1如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为()A.43+4B.4C.43+8D.62如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF 所在直线翻折，得到△A'EF，则A'C的长的最小值是()A.132B.3C.13-1D.10-13如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=23，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE=CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为()A.1B.3C.32D.24如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M 为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为()A.24π B.22π C.1 D.25如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q ，连接OQ ，则OQ 的最小值为()A.455B.5 C.523D.655二、填空题6如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=23，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为，当点D运动到点H，此时线段BE的长为．7如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为．8如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边ΔEFG，连接CG，则CG的最小值为．9如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．10如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠DAC=60°，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论：①∠BDE=∠EFC；②ED=EC；③直线OE⊥CD；④点E运动的路程是23．其中正确的结论是．(写出所有正确结论的序号)11如图，已知AC =2AO =8，平面内点P 到点O 的距离为2，连接AP ，若∠APB =60°且BP =12AP ，连接AB ，BC ，则线段BC 的最小值为．12如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB =4，BC =2，点P 是⊙O 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt △PCD ，且使∠DCP =60°，连接OD ，则OD 长的最大值为．三、解答题13如图，过抛物线y =14x 2-2x 上一点A 作轴的平行线，交抛物线于另一点B ，交轴于点C ，已知点A 的横坐标为．(1)求抛物线的对称轴和点B 的坐标；(2)在AB 上任取一点P ，连结OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D ；①连接BD ，求BD 的最小值；②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD 的函数表达式．14如图①，在ΔABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到ΔBPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP=；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是．(2)请在图③中画出ΔBPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．15如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．(1)若点D在AB边上(不与A，B重合)请依题意补全图并证明AD=BE；(2)连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．16如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点D是AC上一点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长．17在平面直角坐标系中，A(a，0)、B(b，0)，且a，b满足a2-6a+9+b+3=0，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；(1)如图1，若C(0，4)，求△ABC的面积；(2)如图1，若C(0，4)，BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；(3)如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离．18如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α(0°<α<360°且α≠180°)．(1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；(2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'=90°时，求tan∠A′AD；(3)在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值=．19如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，求PB的最小值．20如图所示，在扇形AOB 中，OA =3，∠AOB =120°，点C 是AB上的动点，以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从点A 移动至点B 时，求点D 经过的路径长．21如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =23，以点B 为圆心，3为半径作圆．点P 为⊙B 上的动点，连接PC ，作P C ⊥PC ，使点P 落在直线BC 的上方，且满足P C :PC =1:3，连接BP ，AP ．(1)求∠BAC 的度数，并证明△AP C ∽△BPC ；(2)如图2，若点P 在AB 上时，连接BP ，求BP 的长；(3)点P 在运动过程中，BP 是否有最大值或最小值？若有，请求出当BP 取得最大值或最小值时，∠PBC 的度数；若没有，请说明理由．22如图所示，△ABO为等腰直角三角形，A-4,0，直角顶点B在第二象限，点C在y轴上移动，以BC为斜边向上作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式．23如图所示，点P3,4，⊙P的半径为2，A2.8,0，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，求AC的，B5.6,0最小值．24如图所示，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P 沿半圆从点A运动至点B时，求点M运动的路径长．25如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA=3，tan∠OAC=33，D是BC的中点.(1)求OC的长和点D的坐标；OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P,D,B三点的抛物线交x轴的正半(2)如图2，M是线段OC上的点，OM=23轴于点E，连结DE交AB于点F①将ΔDBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边ΔDFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.26在等边三角形ABC中，点D为AC上一点，连接BD，将BD绕D逆时针旋转角度α得到DE，连接BE，已知AB =4，BG⊥AC；(1)如图1，若α=60°，tan∠DBG=2-3，连接CE，求CE的长；(2)如图2，若α=120°，分别取CD的中点H，BE的中点F，连接HF，DF，求证：HG=HF；，连接GP ，(3)如图3，若AD=32，P为AE上一点，且满足AP=2PE，连接BP，将BP沿着BG所在直线翻折得到BP当GP 最大时，直接写出△BPE的面积．27在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是对角线BD上的一点，连接AE．(1)当E在AB的中垂线上时，把射线EA绕点E顺时针旋转90°后交CD于F，连接BF．如图①，若AB=4，求EF的长．(2)在(1)的条件下，连接BF，把△BEF绕点B顺时针旋转得到△BHK如图②，连接CH，点N为CH的中点，连接AN，求AN的最大值．28在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°，得到BE，连接DE与AB相交于点F．(1)如图1，若D为AC的中点，∠BAC=90°，AC=4，BD=29，连接AE，求线段AE的长；(2)如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接DG，EC，若∠BAC<90°，EC⊥BG，∠ADE=∠DBC，∠DBC+∠G=∠EBF，证明2BC=2AD+DC；(3)如图3，若△ABC为等边三角形，AB=62，点M为线段AC上一点，且2CM=AM，点P是直线BC上的动点，连接EP，MP，EM，请直接写出当EP+MP最小时△EPM的面积．。

最值模型-瓜豆原理动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

瓜豆原理原理概述俗语云“种瓜得瓜，种豆得豆”，数学上有“种线得线，种圆得圆”：平面内，动点Q 随着动点P 的运动而运动，我们把点P 叫做主动点，点Q 叫做从动点；当这两个动点与某个定点连 线的夹角一定，且与该定点距离之比一定时（简记为“定角、定比”），易判断两个动点与定点构成的三角形形状一定，大小可能变，此时两个动点的轨迹形状相同,瓜豆问题的本质是 旋转、相似（包含全等）变换，往往与共点旋转（手拉手）模型相结合，考查类型有： （1）确定动点轨迹；（2）求运动路程；（3）求线段最值、面积最值等.基本模型一、种直线得直线（主动点与从动点的轨迹都是直线或直线上一部分） 1.图1 图2如图1，已知l 为定直线，O 为直线外一定点，P 为直线l 上一动点，连接OP ，若Q 为直线 OP 上一点（一般在线段OP 上），且Q 点到O 点的距离与P 点到O 点的距离之比为定值k （k ＞0且k ≠1），即k OP OQ=，此时我们可认为Q 、P 两点与定点O 连线的夹角一定（夹角为0°），符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而Q 点的运动轨迹也是直线；如图2，另取 一组对应的点P ’、Q ’,则k O PO Q P O Q O ==''，因而△OQ ’Q ∽△OP ’P ，相似比为k ，可知从动点Q 在平行于l 的直线m 上运动.易判断点O 到直线m 和l 的距离之比也等于k. 2.图1 图2如图1，已知l 为定直线，O 为直线外一定点，P 为直线l 上一动点，将射线OP 绕着点O 按 确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度α（0＜α＜180°），得到射线OM ，在射线 OM 上取一点Q ，使k OP OQ=（k 为大于0的定值），此时符合瓜豆原理“定角、定比”的条件， 因而Q 点的运动轨迹也是直线；如图2，另取一组对应的点P ’、Q ’,则Q 点的运动轨迹即 为直线QQ ’，∵∠POQ=∠P ’OQ ’=α，∴∠POP ’=∠QOQ ’，又∵k P O Q O O P O Q==''，∴△OPP ’∽△OQQ ’.特别的，当k=1时，△OPP ’≌△OQQ ’.k ≠1时，△OQQ ’可看做由 △OPP ’绕着O 点旋转并放缩（0＜k ＜1时缩小，k ＞1时放大）而来.直线QQ ’可看做由直 线l 绕着点O 顺时针旋转α角而来，0＜α＜90°时，两直线的夹角即为α.典型例题1-1如图，在平面直角坐标系中，A （4,0），B 为y 轴正半轴上 一动点，以AB 为一边向下作等边△ABC ，连接OC ，则线段 OC 的最小值为_________.【分析】B 为主动点，C 为从动点；方法一：与从动点有关的线段最值，优先转化为与主动点有关的线段最值，将线段OA 绕着点A 顺时针旋转60°，得到线段O ’A ，构造全等三角形可实现线段的转化；方法二：两动点与定点A 连线的夹角为定值（60°），到点A的距离之比为定值1（即CA:BA=1），符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，主动点B 的轨迹为射线，则从动点C 的轨迹也为射线，确定其轨迹后，依据“垂线段最短”求OC 得最小值.【解答】方法一：如图1，将线段OA 绕着点A 顺时针旋转60°，得到线段O ’A ；连接O ’B ，易证△AO ’B ≌△AOC ，则OC=O ’B ，即求O ’B 的最小值；由于O ’为定点，点B 在y 轴正半轴上运动，如图2，由垂线段最短，知O ’B ⊥y 轴时，O ’B 最小，连接OO ’，则 △AOO ’为等边三角形，作O ’H ⊥OA 于H ，此时O ’B=OH=21OA=2，即OC 的最小值为2.图1 图2 方法二：如图3，当点B 位于原点时，对应的点C 位于1C （2，-23）处，当点B 位于2B （0，334）时，对应的点C 位于2C （0，-334） 处，则点C 的运动轨迹为射线21C C ，当OC ’⊥21C C 时，OC ’ 最小；易证△O AB 2≌△12C AC ，∴∠12C AC =∠O AB 2=60°， 则∠C OC '2=60°，∴OC ’=223OC =2，即OC 的最小值为2.【小结】1.动点引起的最值问题，经常需要确定动点轨迹； 图3 2.两种方法中，均有两个等边三角形构成“共点旋转（手拉手）”模型，会伴随产生一组全等三角形；3.方法二中，由于从动点的轨迹为射线，因而先确定其端点，再找一组特殊位置的主动点和从动点（目的是便于计算），即可确定从动点的轨迹；4.严格来说，y 轴的正半轴不包括原点，因此C 点的轨迹不包括点1C .典型例题1-2如图，正方形 ABCD 的边长为4，动点E 从A 点出发，沿着AB 边向终点B 作无折返运动，连接DE ，以DE 为边向右上方作正 方形DEFG ，则点E 在整个运动过程中，点F 经过的路径长为______.【分析】E 为主动点，F 为从动点，依据正方形的性质，两动点与定点A 的连线夹角恒为45°，且始终有DF ：DE=2，符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，故F 点的运动轨迹为线段，由临界情况确定该线段的两个端点，结合“共点旋转（手拉手）”相似模型，运用相似比计算该线段长.【解答】如图1，连接BF 、BD 和DF ，由正方形的性质知D ED F D A DB==2,图1∠BDA=∠FDE=45°，则∠ADE=∠BDF ，∴△DAE ∽△DBF ，∴BF=2AE ， 当E 点位于A 点处时，F 点位于B 点处，当E 点位于B 点处时，F 点的 位置如图2，则F 点的运动轨迹即为图2中的线段BF ，BF=2AB=42，即点F经过的路径长为42.图2【小结】1.图1中，△DAB与△DEF构成“共点旋转（手拉手）”模型，伴随产生一组相似三角形（△DAE和△DBD）；2.瓜豆题型的突破口在于找到从动点、主动点和某定点之间的“定角、定比”关系.变式训练1-1如图，△ABC为等边三角形，AB=4，AD为高，E为直线AD上一动点，连接CE并以CE为边向下作等边△CEF，连接DF；则点E在运动的过程中，线段DF的最小值为_________.变式训练1-2（原创）如图，在△ABC中，∠A=105°，∠ABC=30°，AC=2，动点D从A点出发，沿着AC边向终点C作无折返运动，以BD为边向上作△BDE，使∠BDE=∠A，且∠E=45°，则点D运动的整个过程中，点E运动的路径长为________；F为直线CE上一动点，连接BF，则线段BF的最小值为_______.变式训练1-3（多种方法）如图，已知AB=12，点C在线段AB上，且AC=4，以AC为一边向上作等边△ACD，再以CD为直角边向右作Rt△DCE，使∠DCE=90°，F为斜边DE的中点，连接DF，随着CE边长的变化，BF长也在改变，则BF长的最小值为_________.二、种曲线得曲线（主动点与从动点的轨迹都是双曲线或双曲线一部分）其原理与模型一类似，不再赘述，直接看例题：典型例题2-1如图，点A 是双曲线xy 4=在第一象限上的一动点，连接AO并延长，交双曲线的另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ， 点C 落在第二象限内，随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化， 但始终在同一函数图像上，则该函数解析式为___________. 【分析】A 为主动点，C 为从动点；方法一：根据点C 坐标判断，连接CO 过点C 向x 轴作垂线段，构建“三垂直”模型，设点A 坐标，表示出点C 坐标，观察其坐标符合的函数解析式； 方法二：根据反比例函数k 的几何意义判断；方法三：动点A 、C 与定点O 符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，因而点C 的轨迹是双曲线的一支，任意的点C 均可看做对应的点A 绕着点O 逆时针旋转90°而来，因而点C 的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O 逆时针旋转得到. 【解答】方法一：连接OC ，作CD ⊥x 轴于点D ，AE ⊥x 轴于点E ，由双曲线的对称性知OA=OB ，又∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CO ⊥OA ，CO=OA ，则易证△COD ≌△OAE ，设A （a,a 4）,则C （-a 4，a ），易判断点C 在反比例函数y=-x 4（x ＜0）上，故答案为：y=-x4（x ＜0）. 方法二：辅助线同方法一，由反比例函数k 的几何意义知COD AOE S S ∆∆==2，易判断点C 在反比例函数y=-x4（x ＜0）上. 方法三：点C 的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O 逆时针旋转得到，因而新反比例函数的k 与原函数k 互为相反数，故点C 在反比例函数y=-x 4（x ＜0）上. 变式训练2-1如图，Rt △ABO 中，∠AOB=90°，点A 在第一象限、点B 在第四象限， 且AO ：BO=1：，若点A （x 0，y 0）的坐标x 0，y 0满足y 0=，则点B （x ，y ）的坐标x ，y 所满足的关系式为 ．三、种圆得圆（主动点与从动点的轨迹都是圆或圆弧） 1.图1 图2如图1，已知点P 为⊙M 上一动点，O 为定点（一般在圆外），Q 为直线OP 上一点（一般在线段OP 上），若OP OQ=k （k ＞0且k ≠1），则主动点P 、从动点Q 与定点O 符合“定角（0°）、定比”特征，因而Q 点的轨迹也是圆，如何确定该圆的圆心和半径呢？如图2，连接MP 、MO ，作QN ∥PM ，交MO 于点N ，则△OQN ∽△OPM ，从而有MPNQO PO Q OM O N ===k,由于M 、O 为定点，k 为定值，∴N 为定点，设⊙M 半径为R ，⊙N 半径为r ，∵NQ=kMP=kR,∴NQ 长为定值，由圆的定义知，点Q 在以N 为圆心，kR 长为半径的圆上运动,即Q 点的轨迹是以N 为圆心，kR 长为半径的圆. 2.图1 图2如图1，已知点P 为⊙M 上一动点，O 为定点（一般在圆外），将射线OP 绕着点O 按确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度α（0＜α＜180°），得到射线OT ，在射线OT 上有一点Q ，满足OP OQ=k （k 为大于0的常数），则主动点P 、从动点Q 与定点O 符合“定角、定比”的特征，因而Q 点的轨迹也是圆，如何确定该圆的圆心和半径呢？如图2，连接MP 、MO ，将射线OM 绕点O 顺时针旋转α角，得到射线OS ，在射线OS 上取一点N ，使OM ON =k,则N 为定点，易证△OQN ∽OPM ，则O PO QPM Q N=k ，∴QN=kPM=kR,则QN 为定值，由圆的定义知，点Q在以N 为圆心，kR 长为半径的圆上运动,即Q 点的轨迹是以N 为圆心，kR 长为半径的圆.特别的，当k=1时，△OQN ≌OPM ，⊙N 和⊙M 为等圆，⊙N 可看做由⊙M 绕着点O 顺时针旋转α角而来；当k ≠1时，⊙N 可看做由⊙M 绕点O 顺时针旋转α角，且半径放缩k 倍（0＜k ＜1时缩小，k ＞1时放大）而来.典型例题3-1如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是以点A 为圆心4为半径的圆上一动点，连接BD ，点M 为BD 中点，线段CM 长度的最大值为________．【分析】方法一：关联三角形法，取AB 的中点E ，连接EC 、EM 和AD ，放到△CEM 中求解CM 的范围，三点共线时取最大值； 方法二：辅助圆法，从动点相关的线段优先转化为主动点相关的线段，将线段BC 加倍延长，借助中位线构造出2CM ，即求2CM 的最大值； 方法三：符合瓜豆原理基本模型，确定从动点M 的轨迹圆，进而求CM 的最大值.【解答】方法一：如图1，取AB 的中点E ，连接EC 、EM 和AD ，∵M 为BD 的中点，∴EM 为△BAD 的中位线，∴EM=21AD=2；∵∠ACB=90°，∴CE=21AB=5，CM ≤CE+EM ，即CM ≤7，当且仅当C 、E 、M 共线时（如图2），CM 取得最大值7.图1 图2方法二：如图3，延长BC 至点F ，使CF=BC ，则F 为定点，连接DF ，则CM 为△BDF 的中位线，∴FD=2CM ，当FD 最大时，CM 最大；如图4，连接FA 并延长，与⊙A 交于点D ，此时FD 最大，易知AF=AB=10，则此时FD=14，对应CM 的最大值即为7.图3 图4方法三：主动点D 、从动点M 与定点B 符合“定角（0°）、定比”特征，因而点M 的轨迹为圆；如图5，连接AD ，∵M 为BD 的中点，∴取AB 得中点E ，连接EM ，可知E 为定点且EM=21AD=2，根据圆的定义知，点M 的轨迹为以E 为圆心，2为半径的圆；如图6，∵C 为⊙E外一定点，∴连接CE 并延长，与⊙E 交于点M ，此时CM 最大，此时CM=CE+EM=7.图5 图6【小结】以上方法中，辅助线均有一举多得之妙，我们可总结出一些常见的辅助线作法： ①出现直角三角形：常作斜边的中线；②出现直角三角形：常倍长直角边，构造等腰三角形；③出现线段中点：常取另一线段的中点，构造中位线；④出现线段中点：常倍长另一线段，构造中位线.典型例题3-2（改编）如图，△ABC 中，AB=3，AC=2，以BC 为斜边作等腰Rt △BCD （与△ABC 分布在直线BC 的两侧），连接AD ，则线段AD 的最大值为___________.【分析】方法一：∵△BCD 为等腰直角三角形，∴以AB 为斜边向下作等腰直角三角形，与△BCD 构成“共点旋转（手拉手）”模型，伴随产生一组相似三角形，用“关联三角形”法求出AD 的最大值.方法二：不妨固定AB 边，则主动点C 在以A 为圆心，2为半径的一段圆弧上运动，它与从动点D 、定点B 符合“定角、定比”特征，借助模型确定D 点的轨迹圆弧，求出AD 的最大值.【解答】方法一:如图1，以AB 为斜边向下作等腰Rt △BAE ，连接DE ，则△BAE ∽△BCD ，从而易证△BAC ∽△BED ，∴21==ABBE AC DE，∴DE=2AC =2，又AE=2232=AB ，∴AD ≤AE+DE ，即AD ≤225，如图2，当且仅当A 、E 、D 三点共线时，AD 取得最大值，最大值为225.图1 图2方法二：如图3，假定AB边固定，则主动点C在半圆（不包括端点G、H）上运动，从动点D可看作由主动点C绕着点B顺时针旋转45°，且到点B的距离缩至22倍而来，则将主动圆心A按照相同的操作可得到从动圆心F，从动圆的半径缩小至主动圆半径的22（即构造△BDF∽△BCA，与构造“手拉手”模型本质相同），D点在如图所示的半圆（不包括端点I、J）上运动，A为⊙F外一定点，∴当A、F、D共线时，AD最大，最大值为AF+DF=225. 图3【小结】1.方法一与方法二实质相同，只是方法二多了确定主动点轨迹、从动点轨迹的过程；2.由图2可知，当AD取得最大值时，∠BAC=∠BDE=90°，∠BAD=∠CAD=45°，因而可以变换多种问法，如当AD取得最大值时，求∠BAD、∠BAC的大小，求BC长、BD长等；3.本题可稍稍加大难度，将“求AD得最大值”改为“求△ABD面积的最大值”（答案为4269 ，方法见视频讲解）；4.许多同学误将主动点和从动点的轨迹判断为完整的圆，虽不影响结论，但不够严谨.5.共点旋转与瓜豆可谓形影相伴模型，很多题往往用两种方法均可解答；变式训练3-1如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝xk（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，连接AP，Q是AP的中点，连接OQ，已知OQ长的最大值为23，则k的值为______；BQ的最大值为________.变式训练3-2（原创）如图，在平面直角坐标系中，圆心在x轴正半轴上的⊙M交x轴的负半轴于点A（-1,0），交y轴正半轴于点B（0，3），交y轴负半轴于点C，动点P从点B出发，沿着⊙M顺时针向终点C做无折返运动，D（-2,0），在点P运动过程中，连接DP，Q为线段DP上一点且始终满足PQ=2DQ，则在整个运动过程中，点Q经过的路径长为_______；线段DQ扫过的区域面积为________.变式训练3-3（原创）如图，在平面直角坐标系中，A（2,0），B（-1,0），以OA为直径的圆上有两个动点C、D，连接BC，并以BC为直角边向逆时针方向作Rt△BCE，使∠CBE=90°，∠BEC=30°，连接CD、ED和BD，则C、D两点的位置在变化的过程中，△BCE面积的最大值与最小值之差为_______；线段DE的最小值为_________；当∠EBD最大时，线段BE和CD的数量关系是_____________.中考真题6在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于1.如图，点A是双曲线y=-x点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点Ck上运动，则k的值为（）的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=xA.1B.2C.3D.42.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3B．C．D．43.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A 到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．5.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿着半圆从点A运动到点B时，点M运动的路径长为．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为．7.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．8．如图，正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE=CF；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．参考答案变式训练1-1 1.变式训练1-2262+；2622+.变式训练1-3 6.变式训练2-1 y=-x2.变式训练3-12532，1051452+.变式训练3-298π；27839π+. 变式训练3-343；3-3；BE=3CD. 中考真题1.B2.C3.3344.D5.π6.33π7.25 8.（1）证明：如图1，由题意知：∠EDF=90°，ED=DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD ，∴∠ADC=∠EDF ， 即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF ，∴∠ADE=∠CDF ，在△ADE 和△DCF 中， ∵，∴△ADE ≌△DCF ，∴AE=CF ；（2）如图2，过F 作OC 的垂线，交BC 的延长线于P ， ∵O 是BC 的中点，且AB=BC=2，∵A ，E ，O 三点共线，∴OB=，由勾股定理得：AO=5，∵OE=2，∴AE=5﹣2=3，由（1）知△ADE ≌△DCF ， ∴∠DAE=∠DCF ，CF=AE=3，∵∠BAD=∠DCP ，∴∠OAB=∠PCF ， ∵∠ABO=∠P=90°，∴△ABO ∽△CPF ，∴==2，∴CP=2PF ，设PF=x ，则CP=2x ，由勾股定理得：32=x 2+（2x ）2， x=或﹣（舍去），∴FP=，OP=+=，由勾股定理得：OF==，（3）方法一：如图3，由于OE=2，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP=OC ，连接PE ，∵AE=CF ，∠PAE=∠OCF ，∴△PAE ≌△OCF ， ∴PE=OF ，当PE 最小时，为O 、E 、P 三点共线， OP===5，∴PE=OF=OP ﹣OE=5﹣2，∴OF 的最小值是5﹣2．方法二：如图4，连接OD ，将△ODE 绕点D 逆时针旋转90°得到△IDF ，连接OI 、OF ， 在Rt △OCD 中，OD=22CD OC +=5，在Rt △ODI 中，OI=22ID OD +=52，∵OF ≥OI-FI ，而 FI=OE=2，∴OF ≥52-2，即OF 的最小值是5﹣2．。

【中考数学】刘岳：初中数中最值问题之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q 之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路01动点轨迹之“圆”引例1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图：点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．引例2如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】动图先看结果：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例3如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】动图先看结果：考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．模型总结为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．【条件】两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．思考1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．思考2如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根号2：1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM=根号2：1．M点即为Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．真题战场2016余姚模拟如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．2016武汉中考如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根号2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：取AB中点O，连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹．当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．2018南通中考如图，正方形ABCD中，AB=2倍根号5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．一条隐藏的瓜豆△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．根据AC=2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆．接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．或者直接利用托勒密定理可得最大值．02动点轨迹之“直线”引例1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P 在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】先看动图结果：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N：在运动过程中，因为AP=2AQ，所以AM=2QN，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．引例2如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P 在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】动图先看结果：当AP 与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置Q1和终点位置Q2，连接即得Q点轨迹线段．模型总结【必要条件】主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）真题战场2017姑苏区二模如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．2013湖州中考如图，已知点A是第一象限内横坐标为2倍根号3的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=根号3:1，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为根号3:1，P点轨迹长ON为2倍根号6，故B点轨迹长为2倍根号2．坐标系中的最值如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP=60°可知：P1P2与y轴夹角为60°，作OP⊥P1P2，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=3/2．2019宿迁中考如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F 为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_______．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹．考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G1位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹．CG最小值即当CG⊥G1G2的时候取到，作CH⊥G1G2于点H，CH即为所求的最小值．根据模型可知：G1G2与AB夹角为60°，故G1G2⊥EG1．过点E作EF⊥CH于点F，则HF=G1E=1，CF=1/2CE=3/2，所以CH=5/2，因此CG的最小值为5/2．03动点轨迹之“其他图形”所谓“瓜豆原理”，就是根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．2016乐山中考如图，在反比例函数y=-2/x的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=k/x的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】依旧动图观察：∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？动点轨迹三角形如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ=根号2:1，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为根号2:1，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【来源】有一点数学（gh_41d61a2081f7）、作者：刘岳。

初中数学几何模型之圆弧轨迹型瓜豆原理专题一．模型介绍运动轨迹为圆弧型的瓜豆原理模型构造(1)如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．Q 点轨迹是？(2)如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ =90°且AP =k ⋅AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？解决方法如图，连接AO ，取AO 中点M ，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP ，OM OP =AQ AP =12,则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。

如图，连结AO ，作AM ⊥AO ，AO :AM =k :1；任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为k 。

则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。

【最值原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

二．例题讲解1如图，M 是正方形ABCD 边CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP ，线段BP 以B 为中心逆时针旋转90°得到线段BQ ，连接MQ ．若AB =4，MP =1，则MQ 的最小值为．答案：210-1．【分析有据】连接BM ，将△BCM 绕B 逆时针旋转90°得△BEF ，连接MF ，QF ，证明△BPM ≌△BQF (SAS )，得MP =QF =1，故Q 的运动轨迹是以F 为圆心，1为半径的弧，求出BM =BC 2+CM 2=25，可得MF =2BM =210，由MQ ≥MF -QF ，知MQ ≥210-1，从而可得MQ 的最小值为210-1．【解答有法】解：连接BM ，将△BCM 绕B 逆时针旋转90°得△BEF ，连接MF ，QF ，如图：∵∠CBE=90°，∠ABC=90°，∴∠ABC+∠CBE=180°，∴A，B，E共线，∵∠PBM=∠PBQ-∠MBQ=90°-∠MBQ=∠FBQ，由旋转性质得PB=QB，MB=FB，∴△BPM≌△BQF(SAS)，∴MP=QF=1，∴Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，∵BC=AB=4，CM=12CD=2，∴BM=BC2+CM2=25，∵∠MBF=90°，BM=BF，∴MF=2BM=210，∵MQ≥MF-QF，∴MQ≥210-1，∴MQ的最小值为210-1．故答案为：210-1．2如图，点A、B的坐标分别为A(2，0)、B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM最长为()A.32B.52C.2D.3答案：A．【分析有据】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，根据三角形的中位线定理可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标．【解答有法】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD=OA=2，连接CD，∵AM =CM ，OD =OA ，∴OM 是△ACD 的中位线，∴OM =CD ，当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大，∵OB =OD =2，∠BOD =90°，∴BD =2，∴CD =2+1=3，∴OM =32．故选：A ．三．巩固练习1如图，在△ABC 中，∠B =45°，AC =2，以AC 为边作等腰直角△ACD ，连BD ，则BD 的最大值是()A.10-2B.10+3C.22D.10+2【分析有据】如图所示，以AC 为斜边，作等腰直角△AOC ，过点O 作OE ⊥AD 交DA 延长线于E ，连接OD ，则∠AOC =90°，OC =OA =2，∠OAC =45°，先证明点B 在以O 为圆心，2为半径的圆周上运动(AB 右侧)，故当点O 在线段BD 上时，BD 最大，再求出OE ，DE 的长，进而利用勾股定理求出OD 的长即可得到答案．【解答有法】解：如图所示，以AC 为斜边，作等腰直角△AOC ，过点O 作OE ⊥AD 交DA 延长线于E ，连接OD ，∴∠AOC =90°，OC =OA =22AC =2，∠OAC =45°，∵∠ABC =45°，∴点B 在以O 为圆心，2为半径的圆周上运动(AB 右侧)，∴当点O 在线段BD 上时，BD 最大，∵△ACD 是以AC 为边的等腰直角三角形，∴∠CAD =90°，AD =AC =2，∴∠OAE =45°，∴△AOE 是等腰直角三角形，∴AE =OE =22OA =1，∴DE =AE +AD =3，在Rt △DOE 中，由勾股定理得OD =OE 2+DE 2=10，∴BD 的最大值=DO +BO =10+2，故选：D ．2正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G．以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+2【分析有据】连接AC，取AD的中点O，连接OG，CO，利用△BAH∽△CAG，得CG=2BH，再证明△ADE≌△DCF(SAS)，得∠DAE=∠CDF，则∠AGD=∠ADE=90°，可知当点O、G、C三点共线时，CG最小，从而解决问题．【解答有法】解：连接AC，取AD的中点O，连接OG，CO，∵△AHG和△ABC是等腰直角三角形，∴AC AB =AGAH=2，∠BAC=∠HAG，∴∠BAH=∠CAG，∴△BAH∽△CAG，∴CG=2BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADE=∠DCF，∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠DAE=∠CDF，∴∠AGD=∠ADE=90°，∴当点O、G、C三点共线时，CG最小，∴CG的最小值为OC-OG=25-2，∴BH的最小值为25-22=10-2，故选：C．3如图，点A的坐标为(4，3)，AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC=2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为()A.3B.72C.352D.25【分析有据】作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到BD=12EC，求出CE的最大值即可．【解答有法】解：如图，作点A关于x轴的对称点E(4，-3)，则点B是AE的中点，又∵点D是AC的中点，∴BD是△AEC的中位线，∴BD=12EC，∴当EC最大时，BD最大，∵点C为坐标平面内一点，且OC=2，∴点C在以O为圆心，2为半径的⊙O上运动，∴当EC经过圆心O时，EC最大．∵OB=4，BE=3，∴OE=5，∴CE的最大值为5+2=7，∴BD的最大值=72．故选：B．4如图，点M坐标为(0，2)，点A坐标为(2，0)，以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为()A.(0，1+2)B.(1，1+2)C.(2，2)D.(2，4)【分析有据】根据垂径定理得到OA=OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD=12BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD=OA=2，得到D的坐标为(2，2)．【解答有法】解：∵OM⊥AB，∴OA=OB，∵AD=CD，∴OD ∥BC ，OD =12BC ，∴当BC 取得最大值时，线段OD 取得最大值，如图，∵BC 为直径，∴∠CAB =90°，∴CA ⊥x 轴，∵OB =OA =OM ，∴∠ABC =45°，∵OD ∥BC ，∴∠AOD =45°，∴△AOD 是等腰直角三角形，∴AD =OA =2，∴D 的坐标为(2，2)，故选：C ．5如图，点A 的坐标为(-3，3)，点P 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-1，0)，⊙A 的半径为1，C 为圆上一动点，Q 为BC 的中点，连接PC ，OQ ，则OQ 长的最大值为()A.5B.2.5C.6D.3【分析有据】由点P 、点B 的坐标得O 是BP 的中点，则OQ 是△CBP 的中位线，OQ =12PC ，当PC 的长最大时，OQ 的长最大，根据点与圆的位置关系可得PC 长的最大值为AP +1，求出AP =(1+3)2+32=5，即可求解．【解答有法】解：∵点P 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-1，0)，∴O 是BP 的中点，∵Q 为BC 的中点，∴OQ 是△CBP 的中位线，∴OQ =12PC ，∴当PC 的长最大时，OQ 的长最大，如图，∵点A 的坐标为(-3，3)，点P 的坐标为(1，0)，∴AP =(1+3)2+32=5，∴PC 长的最大值为AP +1=6，∴OQ 长的最大值为OQ =12PC =3，故选：D ．6如图，在正方形ABCD 中，AB =2，点P 是对角线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，连接PD ，PB ．过点D 作DE ⊥DP ，且DE =DP ，连接PE ，CE ．①∠APB =∠CDE ；②PE 的长度最小值为2；③PC 2+CE 2=2DE 2；④CE +CP =22．以上判断，正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析有据】证明△ADP ≌△CDE (SAS )，得∠APD =∠CED ，CE =AP ，由正方形的对称性可得∠APD =∠APB ，即知∠APB =∠CED ，而P 为AC 上的动点，故CD =CE 不一定成立，可判断①错误；由PE =2PD =2DE ，知PD 最小时，PE 取最小值，此时PD 是△ADC 的边AC 上的高，PD =AD ⋅CD AC =2×222=2，可得PE =2PD =2，判断②错误；又∠PCE =∠DCE +∠ACD =45°+45°=90°，有PC 2+CE 2=PE 2=2DE 2；判断③正确；根据AP +CP =AC =22，AP =CE ，可判断④正确．【解答有法】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD ，∠ADC =90°，∵DE ⊥DP ，∴∠PDE =90°=∠ADC ，∴∠ADP =∠CDE ，∵DE =DP ，∴△ADP ≌△CDE (SAS )，∴∠APD =∠CED ，CE =AP ，由正方形的对称性可得∠APD =∠APB ，∴∠APB =∠CED ，∵CD =AD ，CE =AP ，而P 为AC 上的动点，∴AD =AP 不一定成立，即CD =CE 不一定成立，∴∠CDE =∠CED 不一定成立，∴∠APB =∠CDE 不一定成立，故①错误；∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PE =2PD =2DE ，∴PD 最小时，PE 取最小值，此时PD 是△ADC 的边AC 上的高，∵AC =2AB =22，∴PD =AD ⋅CD AC =2×222=2，∴PE =2PD =2，即PE 的长度最小值为2，故②错误；∵△ADP ≌△CDE ，∴∠DCE =∠DAP =45°，∴∠PCE=∠DCE+∠ACD=45°+45°=90°，∴PC2+CE2=PE2=2DE2；故③正确；∵AP+CP=AC=22，AP=CE，∴CE+CP=22，故④正确，∴正确的有③④，共2个，故选：B．7如图，点A，C，N的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，(4，3)，以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙O上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为3．【分析有据】连接CM，OM，由垂径定理得出CM⊥QP，由直角三角形的性质得出OM=12AC=2，进而得出点M在以O为圆心，以2为半径的⊙O上，得出当O、M、N三点共线时，MN有最小值，由N(4，3)，求出ON=5，进而求出MN=3，即线段MN的最小值为3．【解答有法】解：如图1，连接CM，OM，∵A(-2，0)，C(2，0)，∴AC=4，O是AC的中点，∵M是QP的中点，∴CM⊥QP，∴∠AMC=90°，∴OM=12AC=2，∴点M在以O为圆心，以2为半径的⊙O上，如图2，当O、M、N三点共线时，MN有最小值，∵N(4，3)，∴ON=42+32=5，∵OM=2，∴MN=ON-OM=5-2=3，∴线段MN的最小值为3，故答案为：3．8如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5，AD=4，AD<BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为　29-2．【分析有据】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DFA=90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．【解答有法】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠ADF=∠BAE，∴∠DFA=∠ABE=90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD=4，∴AO=OF′=1AD=2，2∴BO=52+22=29，∴线段BF的最小值为29-2，故答案为：29-2．9如图正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE上的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最小值为42　．【分析有据】取BD中点H和BE中点I，则点G的动轨迹是线段HI，确定出点G和点H重合时，线段值AG最小，据此解答即可．【解答有法】解：取BD中点H和BE中点I，则点G的动轨迹是线段HI，如图，∴当点G和点H重合时，线段值AG最小，∴BD=AB2+AD2=82+82=82，AG是直角△ABD的中线，BD=42．∴AG=12故答案为：42．10如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为2．【分析有据】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．【解答有法】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB=AM=3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC=32+42=5，AM=AB=3，∴CM=5-3=2，故答案为：2．11如图，点G是△ABC内的一点，且∠BGC=120°，△BCF是等边三角形．若BC=3，则FG的最大值为23　．【分析有据】如图，作△BFC的外接圆⊙O，连接OG，OF，OC，过点O作OH⊥CF于点H．说明B，F，C，G四点共圆，求出OF，可得结论．【解答有法】解：如图，作△BFC的外接圆⊙O，连接OG，OF，OC，过点O作OH⊥CF于点H．∵△BCF是等边三角形，∴∠BFC=∠FBC=60°，CB=CF=3，∵∠BGC=120°，∴点G在△ABC的外接圆上，∴OG=OF=OC，∵OH⊥CF，∴FH=CH=32，∵∠FOC=2∠FBC=120°，∴∠OFC=∠OCF=30°，=3，∵FG≤OF+OG=23，∴OF=FHcos30°∴FG的最大值为23．12在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为　5-2．【分析有据】根据∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB 为等腰直角三角形，OB =OA =2，同样可证△OBE 也为等腰直角三角形，OE =BE =1，由勾股定理可求得OC 的长为5，最后CD 最小值为OC -OD =5-2．【解答有法】解：如图所示．∵∠ADB =45°，AB =2，作△ABD 的外接圆O (因求CD 最小值，故圆心O 在AB 的右侧)，连接OC ，当O 、D 、C 三点共线时，CD 的值最小．∵∠ADB =45°，∴∠AOB =90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴AO =BO =sin45°×AB =2．∵∠OBA =45°，∠ABC =90°，∴∠OBE =45°，作OE ⊥BC 于点E ，∴△OBE 为等腰直角三角形．∴OE =BE =sin45°•OB =1，∴CE =BC -BE =3-1=2，在Rt △OEC 中，OC =OE 2+CE 2=1+4=5．当O 、D 、C 三点共线时，CD 最小为CD =OC -OD =5-2．故答案为：5-2．13如图，点P (3，4)，⊙P 半径为2，A (2.8，0)，B (5.6，0)，点M 是⊙P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是()A.1.4B.52C.32D.2.6【分析有据】如图，连接OP 交⊙P 于M ′，连接OM ．因为OA =AB ，CM =CB ，所以AC =12OM ，所以当OM 最小时，AC 最小，M 运动到M ′时，OM 最小，由此即可解决问题．【解答有法】解：如图，连接OP 交⊙P 于M ′，连接OM ，由勾股定理得：OP =32+42=5，∵OA=AB，CM=CB，∴AC=12OM，∴当OM最小时，AC最小，∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值=12OM′=12(OP-PM′)=12×(5-2)=32，故选：C．14如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是△ABC所在平面内一点，连接AD，BD，CD．(1)如图1，点D在BC上，AD=10，且tan∠CAD=13，求△ABD的面积；(2)如图2，点D为△ABC内部一动点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接CF，点G是线段CD的中点，连接AG，猜想线段AG，CF之间存在的位置关系和数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，点C关于直线AB的对称点为点C′．连接AC'，BC'，点D为△ABC′内部一动点，连接C'D．若∠BDC=90°，且BC=8，当线段C'D最短时，直接写出△ACD的面积．【分析有据】(1)过点D作DH⊥AC于点H．设DH=HC=m，利用勾股定理构建方程求出m，可得结论；(2)猜想：AG=12CF，AG⊥CF．延长CA到T，使得AT=AC，连接BT，TD，延长TD交CF于点K，交BC于点O．证明△TBD≌△CBF(SAS)，推出DT=CF，∠BTD=∠BCF，可得结论；(3)取BC的中点J，连接C′J，DJ．求出JC′，DJ，推出当C′，D，J共线时，DC′的值最小，最小值为45 -4，由此可得结论．【解答有法】解：(1)过点D作DH⊥AC于点H．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°，∵DH⊥AC，∴∠HDC=∠C=45°，∴DH=CH，设DH=DC=m，．∵tan∠DAC=DHAH =13，∴AH=3m，∵AD2=DH2+AH2，∴10=m2+(3m)2，∴m=1(负根已经舍弃)，∴DH=CH=1，AH=3，∴AB=AC=4，∴S△ABD=S△ABC-S△ADC=12×4×4-12×4×1=6；(2)猜想：AG=12CF，AG⊥CF．理由：延长CA到T，使得AT=AC，连接BT，TD，延长TD交CF于点K，交BC于点O．∵AT=AC，BA⊥CT，∴BT=BC，∴∠BTC=∠BCA=45°，∴∠TBC=90°=∠DBF，∴∠TBD=∠CBF，∵BT=BC，BD=BF，∴△TBD≌△CBF(SAS)，∴DT=CF，∠BTD=∠BCF，∵∠BOT=∠KOC，∴∠TBD=∠OKC=90°，∴TD⊥CF，∵AT=TC，GD=GC，∴AG=12DT=12CF，AG∥DT，∴AG⊥CF；(3)取BC的中点J，连接C′J，DJ．∵C，C′关于AB对称，∴BC=BC′=8，∠ABC=∠ABC′=45°，∴∠CBC′=90°，∵BJ=CJ=4，∴C′J=BJ2+C′B2=42+82=45，∵∠BDC=90°，BJ=JC，∴DJ=12BC=4，∵DC′≥JC′-DJ=45-4，∴当C′，D，J共线时，DC′的值最小，最小值为45-4．此时△ADC的面积=12S△DC′C=12S△DBC′=12×12×8×4×45-445=40-855．15阅读理解：(1)【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=52°，D是△ABC外一点，且AD= AC，求∠BDC的度数．解：由于AB=AC=AD，根据圆的定义可知，点B、C、D一定在以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径的⊙A上，则∠BAC是BC所对的圆心角，而∠BDC是BC所对的圆周角，从而可容易得到∠BDC=　26　．②类型二，“定角+定弦”：如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值．解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°．∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°．∴∠APB=90°．(定角)∴点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上．又∵点P在△ABC内部，∴点P在弧BM上(不包括点B、点M)，(如图5)请完成后面的过程．(2)【问题解决】如图3，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为　2　．(3)【问题拓展】如图4，在正方形ABCD中，AD=6，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF．连接AE和DF，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为　3π　．2【分析有据】(1)①以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A，得出∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，即可求出答案；②先判断出∠ABP+∠PBC=90°，进而判断出∠APB=90°，进而判断出点P在OC上，即可求出答案；(2)当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可；(3)由“SAS”可证△ADE≌△DCF，可得AE=DF，∠DAE=∠FDC，由余角的性质可证AE⊥DF；由题意可得点P的运动路径是以AD为直径的圆的DPO，由弧长公式可求解．【解答有法】解：(1)①∵AB=AC，AD=AC，∴AB=AC=AD，∴点B，点C，点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，如图1，∵∠BAC=52°，∠BAC=26°，∴∠BDC=12故答案为：26°；②∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上，如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵点O是AB的中点，∴OA =OB =12AB =6，在Rt △ABC 中，∠OBC =90°，BC =8，OB =6，∴OC =BC 2+OB 2=10，∴PC =OC -OP =10-6=4．∴PC 最小值为4；(2)如图3，连接AC ，AM ，∵点B ，点M 关于直线AP 对称，∴AB =AM =6，∴点M 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上运动，∴当点M 在线段AC 上时，MC 有最小值，∵AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=32+42=5，∴CM 的最小值为CM =AC -AM =5-3=2，故答案为：2．(3)∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =DC ，∠ADE =∠DCF =90°，在△ADE 和△DCF 中，AD =DC∠ADE =∠DCF DE =CF，∴△ADE ≌△DCF (SAS )，∴AE =DF ，∠DAE =∠FDC ，∵∠ADE =90°，∴∠ADP +∠DCF =90°，∴∠ADP +∠DAE =90°，∴∠APD =180°-90°=90°，∴AE ⊥DF ；如图4，连接AC ，BD 交于点O ，∵点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的DPO，∴点P的运动路径长为90π×3180=3π2．故答案为：32π．。

专题瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题【专题说明】动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.【知识精讲】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？P QAB C【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．N C B AQP M【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠P AQ =90°且AP =AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？CB AQ P【分析】当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．Q 2Q 1ABC【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角） M N ααP QAB CP 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ） M NααAB C【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B CDE F2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24πB ．22πC ．1D ．23、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．4、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．5、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B C DE F【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2G 1E DCB ACG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =， 所以CH =52，因此CG 的最小值为52． F HG 2G 1E DCB A 2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24B ．22C ．1D ．2【答案】C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=222，∠A=∠B=45°，∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP=CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ ，QF=22BQ ， ∴PE+QF=22（CQ+BQ ）=22BC=222， ∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12（PE+QF ）=12， 即点M 到AB 的距离为12， 而CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB=1， 故选C ．3、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】213【详解】ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上， 连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +==22224652213AB BC +=+==故答案为：2134、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．【答案】62 【详解】解：如图，由题意可知点C 运动的路径为线段AC ′，点E 运动的路径为EE ′，由平移的性质可知AC ′=EE ′，在Rt △ABC ′中，易知AB =BC ′=6，∠ABC ′=90°，∴EE ′=AC 2266+2故答案为：625、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）27【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，在Rt △ACF 中， ∴CF=22AC AF +=()22423+=27，∴CD=CF=27.专题 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题【专题说明】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

初中数学几何模型与最值问题专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【例题】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2B．4C．6D．8【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．6B．C．D．【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A-1B．3C．3D．2、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．3、如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6AB =，以线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连结CE 并延长交线段AD 于点F .(1)求证：四边形BCFD 为平行四边形；(2)求平行四边形BCFD 的面积；(3)如图，分别作射线CM ，CN ，如图中ABD △的两个顶点A ，B 分别在射线CN ，CM 上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD 的最大长度.4、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（）A ．4B ．8C ．D ．6【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接B P，以B P为边作等边△B P Q，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．2、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．6B．3C．2D．1．5【模型】四、借助中位线1、如图，在等腰直角∆ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接B P，取B P的中点M，则CM的最小值为（）A．B．C-D．2、如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题答案【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

专题7 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题【专题说明】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:（1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。

（2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形①见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形【知识精讲】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接A P，Q为A P中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为A P中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是O P一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AO P，QM:P O=AQ:A P=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为A P中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系【分析】圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系【分析】轨迹圆半径数量关系．如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接A P，作AQ⊥A P且AQ=A P．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将A P绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑A P⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑A P=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=P O．即可确定圆M位置，任意时刻均有△A P O≌△AQM．如图，△A P Q是直角三角形，∠P AQ=90°且A P=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑A P⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑A P:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△A P O∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（A P:AQ是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：A P:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【例题】1、如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82、如图，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF ，则'A C 的长的最小值是( )A B ．3 C 1 D 13、如图，在Rt ①ABC 中，①ABC ＝90°，①ACB ＝30°，BC ＝2√3 ，①ADC 与①ABC 关于AC 对称，点E 、F 分别是边DC 、BC 上的任意一点，且DE ＝CF ，BE 、DF 相交于点P ，则CP 的最小值为( ) A ．1 B ．√3 C ．32 D ．24、如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将ΔEBF 沿EF 所在直线折叠得到ΔEB ' F ，连接B ' D ，则B ' D 的最小值是_____．5、如图，Rt ABC △中，AB BC ⊥，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA ︒∠+∠=，则线段CP 长的最小值为________.6、如图，点D 在半圆O 上，半径5OB =，4=AD ，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，作DH AC ⊥，垂足为H ，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是______．7、如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结O P，作点C关于直线O P的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；①当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线P D的函数表达式．【解析】（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，①A、B关于对称轴对称，①B（10，5）．（2）①如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，①当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=．①如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt①ODE中，OD=OC=5，OE=4，①DE==3，①点D的坐标为（4，3）．设P C=P D=x，在Rt①P DK中，x2=（4﹣x）2+22，①x=，①P（，5），∴直线P D的解析式为y=﹣x+．。

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。

很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。

动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．只要满足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角3.两动点到定点的距离比值是定值。

【引例】（选讲）如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°，得到P ’，EP ’的最小值【分析】结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型第一层：点P ’运动的轨迹是直线吗？第二层：点P ’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？第三层：手拉手模型怎么构造？第四层：分析∠CAP 和∠CBP ’第五层：点P 和点P ’轨迹的夹角和旋转角的关系P'P'P'总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 那么什么具体选择什么方法更合适呢？我们再看一道例题 【例题2 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目策略一：找始末，定轨迹我们分别以BE ，AE 为边，按题目要求构造等边三角形得到G 1与G 2，连接G 1与G 2得到点G 的轨迹，再作垂线CH 得到最小值.前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG 1＝60°，BABABABA22进一步得到△MBG 1为等腰三角形后，求CH 就不难了.策略二：在点F 轨迹上找一点进行旋转.我们分别对A ，B 顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，对A 点旋转会得到一个正切值为14的角，即1tan tan 4∠G M E =∠A FE=，然后进一步算出最值【简证】311202EM AE EN NEC IC ⇒°⇒∠,则5=2CH对B 点旋转得到∠EMG ＝∠FBE ＝90°，相对来说要容易一些.策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.将点C 逆时针旋转60°，得到点H ，易证△CGE ≌△HFE ，则有CG ＝HF ，作MH ⊥AB 于M ，HM 即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.BABA如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 为AB 边上一点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则AG 的最小值为 ．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 3,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。

最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k⋅AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。

(常见于动态翻折中)如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型1-4. 定边对定角(或直角)模型1)一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2)一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

1(2023·山东泰安·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.22(2023·四川广元·统考一模)如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为．4(2023·湖南·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．5(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD< BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为．6(2023·浙江金华·九年级校考期中)如图，点A，C，N的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，(4，3)，以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为．7(2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习)已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为．8(2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习)问题提出：(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=43，则AB的长为；问题探究：(2)如图②，已知矩形ABCD，AB=4，BC=5，点P是矩形ABCD内一点，且满足∠APB= 90°，连接CP，求线段CP的最小值；问题解决：(3)如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中AD∥BC，AD= 40m，BC=60m，点E为CD边上一点，且CE:DE=1:2，∠AEB=60°，为了美化环境，要求四边形ABCD的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值．课后专项训练1(2023·安徽合肥·校考一模)如图，在△ABC中，∠B=45°，AC=2，以AC为边作等腰直角△ACD，连BD，则BD的最大值是()A.10-2B.10+3C.22D.10+22(2023春·广东·九年级专题练习)已知：如图，在△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，△ABC面积的最大值是( )．A.8+43B.83+4C.83D.8+833(2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习)如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为()A.43+4B.4C.43+8D.64(2023·山东济南·一模)正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+25(2023上·江苏连云港·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为．6(2023春·广东深圳·九年级专题练习)如图，点G是△ABC内的一点，且∠BGC=120°，△BCF是等边三角形，若BC=3，则FG的最大值为．7(2023·江苏泰州·九年级专题练习)如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=16，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD外部找一点E，使得∠BEC+∠BPC=180°，则线段DE的最大值为．8(2023·陕西渭南·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，点E在BC上，且CE=4BE，点M 为矩形内一动点，使得∠CME=45°，连接AM，则线段AM的最小值为．9(2023江苏扬州·三模)如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB=6，CD=4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是．10(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB= AC=22，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为．11(2023·福建泉州·统考模拟预测)如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点(含边界)，且AD= EB=8，点F在BE上，BF=2，则以下结论：①CF的最小值为6；②DE的最小值为82-8；③CE= CF；④DE+CF的最小值为10；正确的是．12(2021·广东·中考真题)在△ABC中，∠ABC=90°,AB=2,BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为．13(2023·广东·深圳市二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为边BC上一动点，F为AE 中点，G为DE上一点，BF=FG，则CG的最小值为．14(2023秋·广东汕头·九年级校考期中)如下图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是以BC为直径的圆上的点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连接CF，则线段CF的最大值与最小值的和．15(2023·陕西渭南·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，Q是矩形ABCD左侧一点，连接AQ、BQ，且∠AQB=90°，连接DQ，E为DQ的中点，连接CE，则CE的最大值为．16(2023·安徽亳州·统考模拟预测)等腰直角△ABC 中，BAC =90°，AB =5，点D 是平面内一点，AD =2，连接BD ，将BD 绕D 点逆时针旋转90°得到DE ，连接AE ，当DAB =(填度数)度时，AE 可以取最大值，最大值等于．17(2023·河北廊坊·统考二模)已知如图，△ABC 是腰长为4的等腰直角三角形，∠ABC =90°，以A 为圆心，2为半径作半圆A ，交BA 所在直线于点M ，N ．点E 是半圆A 上仟意一点．连接BE ，把BE 绕点B 顺时针旋转90°到BD 的位置，连接AE ，CD ．(1)求证：△EBA ≌△DBC ；(2)当BE 与半圆A 相切时，求弧EM的长；(3)直接写出△BCD 面积的最大值．18(2022·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (a ,b ),N .对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移a 个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移b 个单位长度，得到点P '，点P '关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点M (1,1),点N 在线段OM 的延长线上，若点P (-2,0),点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12 OM;(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t12<t<1，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)19(2023下·广东广州·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．(1)求证：BD=CE；(2)连接CD，延长ED交BC于点F，若△ABC的边长为2；①求CD的最小值；②求EF的最大值．20(2023·江苏常州·统考二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-13x2+bx-3的图像与x轴交于点A和点B9,0，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且cos∠AQB=35，点M在y轴正半轴，∠MBO=45°，线段MQ是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．。

瓜豆原理模型
若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

瓜豆原理是主从联动轨迹问题。

主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线。

瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。

关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。

在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．
本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．
一、轨迹之圆篇
引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M 点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系
分析轨迹圆半径数量关系．
此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．。

1、如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？2、【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B3、【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

BB4、【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

BB【将军过桥】1.已知将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？2.已知A 、B 两点，MN 长度为定值，求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小？军营河1.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．x2.如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CDEFM几何图形中的将军饮马正方形中的将军饮马1. 如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．NMD CBA2.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)3.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )PDCBAA ．4B ．5C ．6D ．7三角形中的将军饮马1.如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．A BCDMN2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( )E AFCDBA ．3B ．4C ．33D ．233. 如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )NMDCBAA ．3B ．2C ．23D ．44.如图，△ABC 中，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝60°，AC ＝4，则△ABC 的面积为_；点D ，点E ，点F 分别为BC ，AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，FD ，则△DEF 的周长最小值为 ．矩形、菱形中的将军饮马1. 如图，在菱形ABCD 中，AC=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )EPDCBAMA ．6 B．C．D ．4.52.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( )A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)33.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB的最小值为( )DCBAPA． B．C．D4.如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )H FGEDCB AA．B． C． D．特殊角的对称1. 如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )ABMOPNABC ．6D ．32. 如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．x3. 如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为____________．求两线段差的最大值问题基本图形解析：在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A-P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

最值系列之瓜豆原理【瓜豆圆介绍】如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ.当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？思路提示：总结如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ．当点P 在圆O 上运动时，如何作出Q 点轨迹？思路提示：总结 方法解析为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点（你）”，点Q 为“从动点（我）”． 主动点（你）、从动点（我）与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）； 主动点（你）、从动点（我）到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．QQ【例题精讲】例1、如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为________解析提示：总结：例2、如图，⊙O半径为3，Rt△ABC的顶点A，B在⊙O上，∠A＝30°，点C在⊙O内，当点A在圆上运动时，OC的最小值为（）解析提示：总结：例3、如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为．解析提示：总结：例4、（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．解析提示：总结：针对训练1、如图，⊙O 的半径为3，点A ，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，垂足为A ，求OC 的最小值．2、如图，⊙O 的半径为3，AB 为圆上一动弦，以AB 为边作正方形ABCD ，求OD 的最大值 ．3、如图，⊙O 的半径为3，点A ，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB ＝43AC ，AB ⊥AC ，垂足为A ，则OC 的最小值为4、如图，线段AB ＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE ＝2，连接BE ，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EC ，连接AC 、BC ，则线段AC 长度的最大值为________5、如图，线段AB ＝4，M 为AB 的中点，动点P 到点M 的距离是1，连接PB ，线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PC ，连接AC ，则线段AC 长度的最大值是 ．6、如图所示，AB=4，AC=2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD=PD ，则PB 的取值范围为 。

瓜豆原理（与相似有关）编者的话：上一节课已经体验了瓜豆妙用，能解决相应的最值问题．本节课继续学习瓜豆相关知识，但是难度要比上一节课要增大，本节不仅需要旋转还需要进行放缩，即与相似有联系．不过相信在理解前一节的基础上，再学本节会简单很多，我们一起来攻克吧！一、典型例题例1．如图，∠AOB=60°，C，D是边OA上的两点，且OD=8，CD=2，点P是射线OB上一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连CQ，则CQ的最小值为．解：第一步：判断．点D为定点，P为主动点，Q为从动点，满足瓜豆原理．第二步：画路径．局部变化：点Q是点P以定点D为位似中心，以12为相似比缩小而来．P点在射线OB上运动，则整体上变化：Q点的路径是射线OB以定点D为位似中心，1 2为相似比缩小而来，即射线Q1Q为Q的运动路径．（实际作图：两点确定一条直线，只要寻找两个特殊点即可．当点P在点O时，取OD中点Q1，连Q1Q并延长即可）．由位似的性质，△DQ1Q∽△DOP，且相似比为12，Q1Q∥OB．第三步：计算．即当CQ⊥Q1Q时，CQ2最小．∠AOB=∠AQ1Q=60°，CQ1=2，则CQ2．例2．平面内两定点A，B之间的距离为8，P为一动点，且PB=2，连接AP，并且以AP为斜边在AP的上方作等腰直角△APC，如图，连接BC，则BC的最大值与最小值的差为．解：第一步，判断．确定P点的路径为⊙B．A为定点，P为主动点，C为从动点，满足瓜豆原理．·第二步，画路径．局部变化是点P到点C的变化是先绕点A逆时针旋转45°，再以A为位似中心，以为相似比缩小．点P在⊙B上运动，则整体的变化：将⊙B先绕点A逆2时针旋转45°，再以A O．（实际作图：以AB为斜边向上构造等腰直角三角形，顶点即为圆心O，连OC，以O为圆心OC为半径画圆即得到⊙O）第三步：计算．BC的最值转化为点圆位置关系，则BC2－BC1= C1C2，即为⊙O的直径例3．如图，等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，D是AB上的点，且AD E是BC边上的一动点，过E作EF⊥ED，使:EFDE ，连接FD，CF，则CF的最小值是．解：第一步：判断．点D为定点，E为主动点，F为从动点，满足瓜豆原理．第二步：画路径．局部变化：点F是点E绕点D顺时针旋转60°，再以定点D为位似中心，以2为位似比放大得到；点E 在BC 上运动，则整体上变化：F 的路径为BC 绕点D 顺时针旋转60°，再以定点D 为位似中心，以2为位似比放大得到B ’C ’．（实际作图：将BD ，DC 分别顺时针旋转60°再扩大2倍得到B ’，C ’，连接即可）．第三步：计算最小值CK ．AD:AC=1:√3，可得∠ADC =60°=∠BDB ’，则B ’，D ，C 共线且B ’C =6；又△BDC ∽△B ’DC ’，所以∠B ’=∠B =45°，则CK =例4．如图，△ABO 为等腰直角三角形，A （-4，0），直角顶点B 在第二象限，点C 在y 轴上移动，以BC 为斜边作等腰直角△BCD ，我们发现直角顶点D 点随着点C 的运动也在一条直线上运动，这条直线的函数解析式是 ．图1 图2解：第一步：判断．点B 为定点，点C 为主动点，点D 为从动点，满足瓜豆原理．由于D 点的位置没有明确，故分两种情况进行讨论．】第二步：画路径．局部变化：点D 是点C 先绕B 旋转45°，再以B位似比缩小而来．则整体上：D 点的路径为y 轴绕点B 旋转45°，再以B 为位似比缩小．（实际作图：直线型的我们可以寻找两个特殊点，两点确定一条直线．如图1，点C 在y 轴上，当BC 1⊥y 轴时，D 1（-1，3）；当C 2在O 点时，D 2（0，2）；如图2，当BC 1⊥y 轴时，D 1（-1，1）；当C 2在O 点时，D 2（-2，0）第三步：计算．2y x =-+；2y x =+．二、巩固练习1．如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，E 为对角线BD 上一动点，以E 为直角顶点，AE 为直角边作等腰直角Rt △AEF ，A ，E ，F 按逆时针排列．当点E 从点D 运到到点B 时，点F 的运动路径长为 ．【答案】：1，寻找始末位置，F1为开始的位置，F2为最终的位置，连接即为F的路径．利用勾股即可求得．法2，口算．E点的路径长为5，F点是由E点旋转扩大得倍，即F的路径为2．如图，AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为边向右下作等腰△BDE，其中顶角∠BDE=120°，则点D从A运动到C的过程中，则E点的运动路径长为．【答案】：．提示：满足瓜豆原理．法1：画出路径具体求解．法2：口算法，D到E倍，即E3．如图，在等边△ABC中，BC=6，D，E是BC边上的两点，且BD=CE=1，P是DE上一动点，过点P分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，连接MN，AP交于点G，则点P由点D 移动到点E的过程中，线段BG扫过BG扫过的区域面积为．`【答案】 提示：满足瓜豆原理．找始末位置G 1，G 2，则G 1G 2为△ADE 的中位线即122112,22G G DE G V AU ===．∴12212S G G G V =⋅= 4．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO ，A （0，4），点D 为x 轴上一动点，以AD 为边在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，∠ADE ＝90°，连接OE ，则OE 的最小值为 ．【答案】：提示：瓜豆直线型，路径是x 轴绕点O 逆时针旋转45°得到．实际操作，找一个特殊点（图上已经有一点），C 点为开始点，连接CE 即为E 点运动路径，则OE 1为最小值．即1OE ==． 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，BC =3，点D 是半径为2的⊙A 上一点，点E 是CD 的中点，则BE 长的最大值是 ．【答案】：72．提示：以C 为位似中心，12为位似比缩小，转化为点圆位置关系．6．如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是 ．【答案】：π 提示：法1：画路径求路径，以C 为位似中心，12为位似比缩小，即为点M 的路径长．法2：口算．M 路径为P 点路径长的一半．7．如图，在矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，长度为2的动线段AE 绕点A 旋转，连接EC ，取EC 的中点F ，连接DF ，则DF 长的取值范围为 ．…【答案】：11AC ≤≤．提示：确定E 点的路径为圆．以C 为位似中心，12为位似比缩小，转化为点圆位置关系． 8．如图，边长为4的正方形ABCD 外有一点E ，∠AED =90°，F 为CE 的中点，连接BF ，则BF 的最大值为 ．【答案】1．提示：确定E 点的路径为圆．以C 为位似中心，12为位似比缩小，转化为点圆位置关系．9．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 在AD 边上，且AE ：ED =1：3．动点P 点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为 ．【答案】：9．提示：E 为定点，P 为主动点，F 为从动点（一线三垂直可得PE ：EF =1：3），为线段型瓜豆，找始末两特殊点F 1，F 2．F 在F 1F 2上运动，则M 点的路径为△EF 1F 2的中位线． 10．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，D 是AB 上一动点以DC 为斜边向上作等腰直角△DCE ，使∠CED =90°，连接BE ，则BE 的最小值为 ．%【答案】2E 1E 2．△E 2CE 1∽△BAC ．得到∠CE 2E 1=∠CBA =60°，则∠BE 2E 1=30°，∴321222BE BE == 11．如图，直线m // n ，m ，n 之间的距离为3，A ，B 为直线n 上的两点，且AB =2，点C 是直线m 上的动点，四边形ACDE 为矩形，3CD AC =，则BD 的最小值 ．【答案】：1．提示：定点A ，主动点C ，从动点为D ，点C 绕点A 逆时针旋转60°，并以A 为位似中心放大2倍得到D ，满足直线型瓜豆．找特殊点D 1即有D 点路径，此时D 1D与m ，n 的夹角为60°，则231 1.2BD BD BD ≥== 12．如图，BE ，AC 为四边形ABCE 的对角线，CE =2，∠CAE =60°，∠CAB =90°，∠CBA =30°，连接BE ，则BE 的最大值为 ．【答案】：3． 提示：第一步：定角定弦隐圆．点A 的路径是以O 为圆心，OA 为半径的圆上（部分圆）．O 在CE 的垂直平分线上，且∠COE =120°．第二步：C 为定点，A 为主动点，B 为从动点，满足瓜豆．A 到B 是绕点C 逆时针旋转60°,再以C 为位似中心放大2倍，即B 点的路径为将O 绕点C 逆时针旋转60°再以C 为位似中心放大2倍．（实际作图：过C 作CE 的垂线，过O 作CO 的垂线相交于点O ’，此时Rt △O ’OC 为含30°的直角三角形，O ’C =2OC ，∠O ’CO =60°，再以O ’B 为半径作圆即可）．第三步：计算．点圆位置关系．'233OC O C OC ====．''33BE O E O B O C '≤+===。