定比分点坐标公式

定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。

若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。

分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。

解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。

以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。

考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。

2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。

如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。

因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。

例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。

分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。

解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。

下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。

定比分点的坐标表示
哎呀，说起这个定比分点的坐标表示啊，就像咱们四川人摆龙门阵一样，得细细道来，才有味道。

你想象一下，咱们坐在茶馆里，泡上一杯热腾腾的盖碗茶，边喝边聊这数学里的“小秘密”。

首先啊，你得明白，定比分点，这个名字听起来就有点儿玄乎，但其实它讲的是两个点之间，按照一定比例分出来的一个新点。

就像咱们分蛋糕，一人一半或者我多点你少点，总有个比例在那儿。

在数学里，这个比例就是咱们说的“定比”，而那个点，就是咱们要找的“定比分点”。

坐标表示嘛，简单说，就是用数字来给这个点定位。

咱们在平面直角坐标系里头，每个点都有它的横坐标和纵坐标，对吧？那定比分点也不例外，它也有自己的坐标位置。

怎么找呢？就得用到公式了，公式就像是咱们手里的指南针，告诉你方向，让你能准确地找到那个点。

说到这儿，你可能要问了，为啥这个知识点这么重要呢？嘿，这你就问到点子上了。

定比分点的坐标表示，它不仅仅是个数学工具，更是连接几何和代数的桥梁。

有了它，咱们可以更方便地在图形上“动手术”，比如找中点、分割线段，甚至解决一些复杂的几何问题。

而且，它还能培养咱们的逻辑思维和计算能力，让咱们的大脑更灵活，更聪明。

所以啊，朋友们，下次遇到定比分点的坐标表示，别急着头疼，静下心来，用咱们四川人的智慧和耐心，一步一步去攻克它。

就像咱们爬山一
样，虽然路陡，但山顶的风景，绝对值得你付出汗水。

好了，今天咱们就聊到这儿，下次有机会再摆摆其他的数学龙门阵哈！。

定比分点公式
定比分点坐标介绍
定比分点坐标公式是数学中一种重要的工具，如果应用得当，常常可以巧妙地解决函数、等差数列、解析几何和不等式中的一些数学难题。

和两点间的中点公式一样，定比分点公式是一种给出中点坐标的公式。

定比分点应该理解为：“固定比例分割点的坐标公式”，中点公式是他的一种特殊情况。

我们可以用它寻找三角形的内心、质心和外心。

他是在一个线段中按照固定比例将线段分为两部分。

定比分点坐标公式是：
x=(x1+kx2)/(1+k)
设x轴上点A(x1)，B(x2)，坐标分别为x1，x2，点M(x)分AB为定比k：AM：MB=K
则（x-x1)：（x2-x)=k
去分母得：x-x1=kx2-kx
所以x(1+k)=x1+kx2
所以x=(x1+kx2)/(1+k)
这就是定比分点的坐标公式
类似的方法可以推导平面上的定比分点的坐标公式
设A(X1,Y1),B(X2,Y2),点M(X,Y)分AB为定比k：AM：MB=K
则有公式x=(x1+kx2)/(1+k) , y=(y1+ky2)/(1+k)。

定点分比定理公式
固定点分比定理是一种实用及经典的数学推理方法，它是一种艺术结合科学技术的创新，极为重要。

固定点分比定理更多地运用了数学的模型和实践，来检验问题的准确性和合理性。

简要来说，固定点分比定理是一种确定比例因子的方法，通过固定点和比例尺寸，它可以确定一个点与另一个点之间的距离。

举个例子，当一个点在一个集合变换中不变时，则称该点为固定点，而变换就会影响其他的点，即分比的系数即比例因子。

固定点分比定理的公式是：α：β＝γ：δ。

即：α：β＝γ：δ可以确定α：β与γ：δ之间的比例关系。

比如，固定点A的坐标是(1,1)，B的坐标是(2,2)，则可以得到A：B＝1：1，也就是说从A到B的距离与它们之间的比例关系恒定不变。

固定点分比定理在求解不同称重比例、面积和距离问题中也有重要应用，最关键的是，它可以帮助我们根据一定规律，将复杂的问题简化，使之不仅简单而且易懂。

例如，在求解称重问题时，只要能够根据固定点分比定理求出比例因子，就可以得出各组称重值的比例，从而使之更容易地求解。

固定点分比定理可以帮助我们更清楚地了解几何问题的规律，是一种有用的数学理论。

它为工程应用、经济学及其它科学研究带来了许多好处，值得被更多人探索和研究。

[编辑本段]定比分点定义对于轴上两个已给的点Ｐ，Ｏ，它们的坐标分别为Ｘ１，Ｘ２，在轴上有一点Ｌ，可以使ＰＬ/ＬＯ等于已知常数λ。

即ＰＬ/ＬＯ＝λ，我们就把Ｌ叫做有向线段ＰＯ的定比分点。

若设Ｌ的坐标为Ｘ，则Ｘ＝（Ｘ１+λＸ２）/（１+λ）,Y＝（Y１+λY ２）/（１+λ）[编辑本段]定比分点相关概念1.线段的定比分点及λ：P1，P2是直线L上的两点，P是L上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分P1P2所成的比。

P点位置与λ的关系以P1P2中点为原点，x轴表示P相对P1 P2的位置，y轴表示λ的取值根据右图，从左往右看，λ 的取值有以下五种情况①P在P1左边（P在向量P1P2反向延长线上），λ∈（-1，0）②P与P1重合，λ=0③P在P1与P2之间（P在向量P1P2上），λ∈（0，+∞）*i. P在P1与原点之间，即P1P＜PP2，λ∈（0，1）*ii. P与原点重合，即P1P=PP2，λ=1*iii. P在原点与P2之间，即P1P＞PP2，λ∈（1，+∞）④P与P2重合，λ∈Φ⑤P在P2右边（P在向量P1P2正向延长线上），λ∈（-∞，-1）2 定比分点公式：若设点P1（x1,y1），P2（x2,y2），λ为实数，且向量P1P=λ向量PP2即P1P=λPP2由向量的坐标运算，得P1P=（x-x1,y-y1），PP2=（x2-x, y2-y）∴（x-x1,y-y1）=λ（x2-x, y2-y）∴定比分点公式为，λ=（x-x1）/（x2-x）λ=（y-y1）/（y2-y）3.定比分点坐标公式：∴λ=（x-x1）/（x2-x）∴λx2-λx=x-x1λx2+x1=λx+x得，x=（λx2+x1）/（λ+1）同理，y=（λy2+y1）/（λ+1）注：当λ=1时，即中点坐标公式。

定比分点定理目录[隐藏]证明定比分点补充公式补充公式证明已知线段PQ上有一点T,且PT/PQ=a,AB是与PQ无交点的一条线段，则S(AT B)=a*S(ABQ)+(1-a)*S(ABP)其中S(AQB)表示AQB的面积，以此类推。

解析几何中的定比分点问题在解析几何中，定比分点问题是指在一条线段上，已知两个点A和B以及它们之间的比例关系，求解线段上的某一点C，使得AC与CB的比例与已知的比例相等。

这是一个常见的几何问题，在实际应用中有着广泛的应用。

一、问题描述假设已知线段AB的长度为a，点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，已知AC与CB的比例为m:n，其中m和n为正整数。

我们需要求解点C的坐标。

二、解法分析为了求解点C的坐标，我们可以利用坐标系中的比例关系和线段长度来推导出点C的坐标。

具体的解法如下：1. 计算线段AB的长度根据两点坐标的距离公式，线段AB的长度可以计算为：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 计算AC与CB的比例已知AC与CB的比例为m:n，我们可以假设AC的长度为mx，CB的长度为nx。

根据比例关系，我们可以得到以下等式：mx + nx = AB其中，AB为已知的线段长度。

3. 求解点C的坐标已知AC的长度为mx，我们可以利用类似的思路来计算点C的坐标。

假设点C的坐标为(x, y)，则有以下等式：x - x1 = (mx/AB) * (x2 - x1)y - y1 = (mx/AB) * (y2 - y1)将上述两个等式整理，可得：x = x1 + (mx/AB) * (x2 - x1)y = y1 + (mx/AB) * (y2 - y1)4. 求解点C的坐标将上述计算得到的x和y代入，即可得到点C的坐标。

三、示例为了更好地理解定比分点问题的解法，我们举一个具体的例子来说明。

假设已知线段AB的长度为10，点A的坐标为(1, 2)，点B的坐标为(5, 6)，已知AC与CB的比例为2:3。

我们需要求解点C的坐标。

1. 计算线段AB的长度AB = √((5-1)^2 + (6-2)^2) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.6572. 计算AC与CB的比例假设AC的长度为2x，CB的长度为3x，则有：2x + 3x = 5.6575x = 5.657x ≈ 1.13143. 求解点C的坐标根据上述的解法分析，我们可以得到点C的坐标为：x = 1 + (2/5.657) * (5-1) ≈ 2.2628y = 2 + (2/5.657) * (6-2) ≈ 3.5256因此，点C的坐标为(2.2628, 3.5256)。

线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式教学目标1、理解点P 分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；明确点P 的位置与λ的范围的关系；2、掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；3、向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律。

教学重点线段的定比分点和中点坐标公式的应用。

教学难点利用线段定比分点坐标公式解题时确定λ的值。

教学过程一、定比分点设P 1、P 2是直线l 上的两个点，P 是l 上不同于P 1，P 2的点，则存在一个实数λ，使得12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，点P 叫做定比分点。

注意：1、1212,,PP PP PP 均是有向线段，P 1为起点，P 2为终点，P 为分点，这三条有向线段的顺序不能颠倒，否则λ的值会改变.记忆规律：1PP ：起点到分点；2PP ：分点到终点。

2、当点P 在线段P 1P 2上时，λ>0，这时称P 为内分点；当点P 在线段P 1P 2或P 2P 1的延长线上时，λ<0(1λ=-)，此时称P 为外分点。

具体地说，当点P 在线段P 1P 2的延长线上时，1λ<-；当点P 在线段P 2P 1的延长线上时，10λ-<<。

3、具体解题时，起点、分点、终点可根据情况灵活决定.这样计算过程稍有不同，但结果一样。

二、定比分点公式 1、坐标形式设点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，即12PP PP λ=，则12111OP OP OP λλλ=+++ (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)（1）2、特别地，当1λ=时，显然此时点P 为12PP 的中点，1212121212(1)12x x x x x x y y y y y y λλλλλ++⎧⎧==⎪⎪⎪⎪+≠⇒⎨⎨++⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩……….中点坐标公式（2）我们将（2）式称为有向线段12PP 的中点坐标公式。

数轴定比分点公式推导过程
嘿，咱今儿就来聊聊数轴定比分点公式的推导过程，这可有意思啦！
咱先想象一下，数轴就像是一条长长的跑道，上面有好多好多的点
在排队呢。

那定比分点呢，就像是在这条跑道上找一个特别的位置。

比如说，咱有两个点 A 和 B，它们在数轴上的位置是确定的。

然后呢，咱要找一个点 P，让 AP 和 PB 之间有个特定的比例关系。

那怎么找这个点 P 呢？别急，咱慢慢来。

咱先设 A 点的坐标是 x1，B 点的坐标是 x2，定比是λ。

那咱就可
以开始捣鼓啦。

从 A 到 P 的距离，不就是 P 点的坐标减去 A 点的坐标嘛。

同样，
从 P 到 B 的距离，就是 B 点的坐标减去 P 点的坐标。

然后呢，根据定比的关系，咱就可以列出一个等式呀。

就是从 A 到
P 的距离和从 P 到 B 的距离的比值等于定比λ。

这就像你分糖果一样，要按照一定的比例来分。

把这些式子一整理，一化简，哇塞，不就得出数轴定比分点公式啦！
你看，其实也没那么难嘛！就是这么一步步推导出来的呀。

咱再想想，生活中好多事情不也是这样嘛，得一点点去分析，去琢磨，才能找到答案。

就像解开一道谜题一样，过程可能有点麻烦，但一旦解开了，那成就感可不是一般的大呀！
所以呀，别害怕这些数学公式推导，就把它当成一个有趣的游戏，去探索，去发现。

说不定你会发现其中的乐趣无穷呢！以后再遇到类似的问题，你就可以拍拍胸脯说：“这我会呀！”这不挺棒的嘛！
总之呢，数轴定比分点公式的推导过程就是这么回事，只要你用心去理解，肯定能搞明白的。

加油吧！。

向量定理七个公式平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。

平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

输入分数，查看能上的大学测一测能上的大学1向量的加法1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3向量的的数量积1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.3、向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);4、向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.5、向量的数量积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.（2）向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出b=c.（3）|a•b|≠|a|•|b|（4）由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b.4数乘向量1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.5向量的向量积1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.6向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.7定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式8其他公式1、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线2、三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心3、向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。

巧用定比分点坐标公式解题
杜蓉;陈昌全;熊锡成
【期刊名称】《成都教育学院学报》
【年(卷),期】2000(014)007
【摘要】有向线段P1P2-(其中P1（x1,y1),P2(x2,y2))的定分点坐标公式是
x=x1+λ·x2/1+λ,y=y1+λ·y2/1+λ(λ≠-1），这是一个结构整齐，对称，数学美感强的公式，当且仅当λ>0时，分点位于p1,p2之间；当且仅当λ<0且λ≠-1时，分点位于p1p2-的延长线上或反向延长线上，或者p1p2-退缩为一点。

【总页数】3页(P60-62)
【作者】杜蓉;陈昌全;熊锡成
【作者单位】四川崇州市蜀城中学，崇州611230
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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平面向量定比分点定理1. 引言大家好，今天咱们要聊聊一个数学中非常有趣的话题——平面向量定比分点定理。

听上去是不是有点高大上？别担心，咱们会把它说得简单易懂，甚至还有点幽默，让你轻松get到这个知识点。

毕竟，数学也可以很有趣，不是吗？1.1 什么是定比分点定理？先来捋捋，这个定理到底是个什么东西。

简单来说，定比分点定理就是告诉我们，如何通过某些特定的比例来确定一个点在两点之间的位置。

想象一下，假如你在一个超市里，想要在两排货架之间找到一个完美的购物位置，你就可以用这个定理来帮助你，当然，前提是你得知道你要的东西在哪儿，对吧？1.2 公式与例子那具体的公式是什么呢？假设你有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，如果我们希望找一个点P，按照比例m:n来分割AB线段，P的坐标就可以用这个公式表示：P(x, y) = ((mx2 + nx1) / (m + n), (my2 + ny1) / (m + n))。

听起来复杂？其实不然，我们来举个例子。

比如说，有两位朋友A和B，A在(1, 2)的位置，B在(3, 4)的位置。

如果你想找一个P点，使得它在A和B之间，比例是1:3，那么用公式计算一下，你就能找到P在(2.5, 3)的位置。

就像是找到朋友聚会的最佳位置，嘿嘿！2. 应用场景2.1 生活中的实际应用说到这儿，你可能会问：“这跟我的生活有什么关系？”其实还真有！想象一下，你在一个公园里散步，突然发现两个大树之间有个超级适合拍照的地方。

你可以用定比分点定理来判断这个地方的最佳位置，分出一段合理的距离。

生活中，许多设计、建筑、甚至是游戏开发，都离不开这个定理的支持，简直是个“万能钥匙”！2.2 动手实践而且，定比分点定理还可以用来做一些小实验。

比如说，你可以带着朋友们去外面，找两个标志性的位置，然后用比例来确定一个新位置，看看是不是大家都觉得这个位置最合适。

就像你们在决定去哪吃饭时，总得有人说：“咱们去那个小店吧，它的蛋糕好吃得不得了！”这种分点定理的思路，恰好就适合用来做决策，嘿！3. 总结与感悟3.1 直观与趣味总之，平面向量定比分点定理并不是个冷冰冰的公式，它其实可以为我们的生活增添一些乐趣和便利。