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《线段的定比分点》教案新疆兵团二中 徐蓉一、 教育教学目标：（一）知识目标： 1.“线段的定比分点”的概念；2.“分点P 分有向线段21P P 所成比λ”的概念；3. 线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式。
（二）能力目标: 1. 掌握线段的定比分点坐标公式的推导过程；2. 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决有关问题。
（三）德育目标： 1. 培养学生主动参与、积极探究的主体意识；2. 渗透由特殊到一般的思想，培养用新的数学语言对原有的数学现象加以概括、加以解决的能力；3. 培养和锻炼学生善于发现规律、及时解决问题的态度和能力。
二、教学重点：线段的定比分点问题的确立；线段的定比分点坐标公式的推导过程以及公式的应用。
三、教学难点：由学生原有知识中“线段的分点”向“有向线段的定比分点”这一概念过渡以及“分点P 分有向线段21P P 所成比λ”这一概念的建立过程。
四、教学方法：启发式、讲练结合法。
五、教学过程：(一)提出问题，探究新知问题：直线l 上两点、 ，在l 上取不同于， 的任一点P ，则P 点与有向线段 12PP 的位置有哪几种情形？（请一名学生回答）（师）我们发现，不管是上述哪一种情形，点P 、1P 、2P 三点共线，有共线向量的充要条件可知：1P 2P 1P 2P存在唯一的实数λ ，使得12PP PP λ= ，λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比。
即：我们今天所要研究的课题----------线段的定比分点（板书） (二)解决问题，得到新知1. 线段的定比分点的定义:存在唯一的实数λ ，使得12PP PP λ= ，λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比。
探究:点P 的位置与λ的取值范围的关系:①当λ>0时, 1PP 与2PP共线同向；②当λ<0时, 1PP 与2PP共线反向(当λ<-1时,点P 在有向线段12PP 的延长线上；当-1< λ<0时, 点P 在有向线段12PP 的反向延长线上)。
课题：线段的定比分点．目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点．过程：一、复习引入前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点．二、新授1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，21PP P P =λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点；（2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴21PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．）（3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关；（4）在21PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量．请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系．3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，35-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关．4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ．三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ．分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得2121MM M M PP PP =．如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此21PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴xx x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λλ++=121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y （1-≠λ）． （1）把P P 1、2PP ，M M 1、2MM 看成一般的线段，根据初中几何平行截割定理得2121MM M M PP PP =；（2）从有向线段的数量的符号来验证这个比例． 当点P 在两点1P 、2P 之间，这时点M 也在两点1M 、2M 之间，有向线段P P 1和2PP 都具有相同的方向，它们的数量符号相同，∴=λ21PP P P 是正的．同样有向线段M M 1、2MM 也具有相同的方向，它们的数量的符号也相同，所以21MM M M 也是正的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上，而P P 1与2PP 的符号相反，于是=λ21PP P P 0<．同样M M 1、2MM 的符号也相反，所以21MM M M 也是负的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 所以1P 、2P 不论在哪个象限，相互位置关系怎样，也不论点P 在21P P 上或在延长线上，定比分点公式都是正确的．特别地，当点P 是线段21P P 的中点时，有21PP P P =，即1=λ，因此线段21P P 中点P 的坐标是221x x x +=，221y y y +=．四．简单应用例．点1P 和2P 的坐标分别是)6,1(--和)0,3(，点P 的横坐标为37-．求点P 分21P P 所成的比λ和点P 的纵坐标y ． 解：由λ的定义，可得x x x x --=21λ41373)1(37-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=． 84110416121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++=λλy y y ． 点P 分21P P 所成的比是41-，点P 的纵坐标是8-． 五．练习1．已知两点)2,3(1-P 、)4,9(2-P ．求点)0,(x P 分21P P 所成的比λ及x 的值．2．点M 分有向线段21M M 的比为λ，求点M 的坐标),(y x ，其中)5,1(1M 、)3,2(2M ，2-=λ； 六．小结1．定比分点P 的位置与λ的符号关系；2．定比分点坐标公式；3．λ的求法．七．作业。
