线段的定比分点

定比分点的向量公式定比分点的向量公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱们先来聊聊啥是定比分点。

想象一下，在一条直线上有两个点 A 和 B，然后又有一个点 P 把线段 AB 按照一定的比例分成了两段。

这个点 P 就叫做线段 AB 的定比分点。

那定比分点的向量公式是啥呢？假设点 A 的坐标是 (x₁, y₁) ，点B 的坐标是 (x₂, y₂) ，点 P 的坐标是 (x, y) ，并且点 P 分线段 AB 的比是λ ，那么定比分点的向量公式就是：x = (x₁ + λx₂) / (1 + λ) ，y = (y₁ + λy₂) / (1 + λ) 。

听起来是不是有点晕乎？别担心，我给您举个例子哈。

有一次我在课堂上讲这个知识点，有个学生一脸迷茫地看着我，我就知道他没听懂。

于是我走到他身边，问他：“你是不是觉得有点迷糊呀？”他使劲儿点头。

我就拿了一支笔在纸上画了一条直线，标上 A 点和 B 点，然后跟他说：“咱们就把这当成是一条路，A 点是你家，B 点是学校，你每天上学走到某个地方，这个地方就是点 P 。

现在假设你走的路程和剩下的路程有个比例，那这个点 P 的位置是不是就能算出来啦？”这孩子听了，眼睛一下子亮了，好像突然就明白了。

咱们继续说这个公式啊。

定比分点的向量公式在解决很多几何问题的时候特别有用。

比如说，已知两个点的坐标和分点的比例，就能轻松算出定比分点的坐标。

在实际生活中，这个公式也能派上用场呢。

比如说，在规划物流路线的时候，要确定货物在某个路段的分配点，就可以用到这个公式。

还有在建筑设计中，计算一些结构的位置也能用到。

再比如，咱们想象一个场景，有一辆送快递的车，要在一条路线上的几个站点送货，每个站点的需求比例不同。

这时候，就可以用定比分点的向量公式来计算最佳的送货停留点，这样就能提高送货效率啦。

总之，定比分点的向量公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多联系实际，就能很好地掌握它，让它成为咱们解决问题的有力工具。

课题：线段的定比分点．目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点．过程：一、复习引入前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点．二、新授1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，21PP P P =λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点；（2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴21PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．）（3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关；（4）在21PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量．请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系．3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，35-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关．4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ．三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ．分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得2121MM M M PP PP =．如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此21PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴xx x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λλ++=121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y （1-≠λ）． （1）把P P 1、2PP ，M M 1、2MM 看成一般的线段，根据初中几何平行截割定理得2121MM M M PP PP =；（2）从有向线段的数量的符号来验证这个比例． 当点P 在两点1P 、2P 之间，这时点M 也在两点1M 、2M 之间，有向线段P P 1和2PP 都具有相同的方向，它们的数量符号相同，∴=λ21PP P P 是正的．同样有向线段M M 1、2MM 也具有相同的方向，它们的数量的符号也相同，所以21MM M M 也是正的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上，而P P 1与2PP 的符号相反，于是=λ21PP P P 0<．同样M M 1、2MM 的符号也相反，所以21MM M M 也是负的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 所以1P 、2P 不论在哪个象限，相互位置关系怎样，也不论点P 在21P P 上或在延长线上，定比分点公式都是正确的．特别地，当点P 是线段21P P 的中点时，有21PP P P =，即1=λ，因此线段21P P 中点P 的坐标是221x x x +=，221y y y +=．四．简单应用例．点1P 和2P 的坐标分别是)6,1(--和)0,3(，点P 的横坐标为37-．求点P 分21P P 所成的比λ和点P 的纵坐标y ． 解：由λ的定义，可得x x x x --=21λ41373)1(37-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=． 84110416121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++=λλy y y ． 点P 分21P P 所成的比是41-，点P 的纵坐标是8-． 五．练习1．已知两点)2,3(1-P 、)4,9(2-P ．求点)0,(x P 分21P P 所成的比λ及x 的值．2．点M 分有向线段21M M 的比为λ，求点M 的坐标),(y x ，其中)5,1(1M 、)3,2(2M ，2-=λ； 六．小结1．定比分点P 的位置与λ的符号关系；2．定比分点坐标公式；3．λ的求法．七．作业。

定比分点的定义及求解方法在几何学中，比分点是指将一条线段分成两个比例相等的部分的点。

而定比分点则是指已知线段两端点和比例，求这个比例所对应的点的位置。

定比分点的定义定义一：已知线段AB，C是线段AB的任意一点，比例为m:n，则点D就是线段AB的定比分点，当且仅当AD:BD=m:n。

其中，当m=n=1时，点D是线段AB的中点。

定义二：在平面几何中，如果已知线段AB的长度为d，而且已知点D在线段上，线段在D点分割的比例为m:n，则当且仅当AD:BD=m:n时，D称为线段AB的定比分点。

定比分点的求解方法1.按照比分点的定义直接求解我们可以直接根据定比分点的定义来求解，通过构建等式来解出指定的比例段长度，最终确定定比分点的位置。

比如在定义一中，我们有AD:BD=m:n，因此可以得到AD=m/(m+n)×AB,BD=n/(m+n)×AB。

通过这个公式，我们可以根据已知的数据计算出定比分点的位置。

2.使用向量法求解向量法可以被用来求解定比分点的位置。

首先将线段AB表示为向量a和向量b，那么使向量BD=θa，则向量AD=(1-θ)b。

因此，我们有AD/AB=(1-θ)，BD/AB=θ。

同时由于AD/BD=m/n，我们可以得到m/(m+n)=(1-θ)/θ，解出θ=(n/ (n+m))，从而求出点D的位置。

3.使用相似三角形法求解在图形中，我们可以将三角形ADB与三角形CDF进行相似处理。

因此，我们有AD/AB=DF/CF=m/n，由此得到DF=CF×m/n，那么点D就可以表示为点C向量加上DF×向量AB的一部分。

总结以上就是定比分点的定义及求解方法，当然还有其他的方法可以求解定比分点的位置，比如重心法和割分线法等，根据不同的问题，我们可以使用不同的方法来求解定比分点。

无论是哪一种方法，都需要运用相应的数学知识和技巧，才能确保求解结果的准确性。

高考数学一轮复习必备：第42课时：第五章平面向量线段的定比分点及平移课题：线段的定比分点及平移一．复习目标：1．把握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和λ，会用中点坐标公式解决对称咨询题；2．把握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式．二．知识要点：1．线段的定比分点：内分点、外分点、λ的确定； 2．定比分点坐标公式是 ；线段的中点坐标公式是 ；3．平移公式是 ． 1．假设点P 分AB 的比为34，那么点A 分BP 的比是 ． 2．把函数1124y x =-的图象，按向量(2,4)a =-平移后，图象的解析式是〔 〕 ()A 12124y x =- ()B 11324y x =- ()C 11924y x =+ ()D 12124y x =-- 3．将函数241y x x =--顶点P 按向量a 平移后得到点(1,3)P '-，那么a = ． 4．ABC ∆中三边中点分不是(2,1),(3,4),(2,1)D E F --，那么ABC ∆的重心是 ．四．例题分析：例1．两点(,5)A x ，(2,)B y -，点(1,1)P 在直线AB 上，且||2||AP BP =，求点A 和点B 的坐标．例2．(1,2),(1,3),(2,2)A B C --，点M 分BA 的比λ为3:1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 的坐标．例3．函数 22(2)1y x =---的图象通过按a 平移后使得抛物线顶点在y 轴上，且在x 轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a ．例4．,,D E F 分比是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且使BD CE AF DC EA FB==，证明：ABC ∆与DEF ∆的重心相同．五．课后作业：1．点(1,3)按向量a 平移后得到点(4,1)，那么点(2,1)按向量a 平移后的坐标是〔 〕()A (5,1) ()B (5,1)-- ()C (5,1)- ()D (5,1)-2．平面上有(2,1)A -，(1,4)B ，(4,3)D -三点，点C 在直线AB 上，且12AC BC =，连DC 并延长到E ，使1||||4CE ED =，那么E 点的坐标为〔 〕 ()A (0,1) ()B (0,1)或811(,)33 ()C 811(,)33- ()D 5(8,)3-- 3．平移曲线()y f x =使曲线上的点(1,1)变为(2,3)，这时曲线方程为〔 〕()A (1)2y f x =-+ ()B (1)2y f x =++()C (1)2y f x =-- ()D (2)1y f x =-+4．把一个函数的图象向量(,2)4a π=平移后图象的解析式为sin()24y x π=++，那么原先函数图象的解析式为 ． 5．函数11x y x-=+，按向量a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，那么向量a = ，化简后的函数式为 ． 6．(1,0)A ，(0,1)B -，(,)P x y ，O 为坐标原点，假设1OA OB OP λλ+=+，那么P 点的轨迹方程为 ．7．三角形ABC 的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C ，〔1〕求三边的长；〔2〕求AB 边上的中线CM 的长；〔3〕求重心G 的坐标；〔4〕求A ∠的平分线AD 的长；〔5〕在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5的两部分，求点P 的坐标．8．如图三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C --，D 点内分AB 的比是1:3，E 在BC 上，且BDE ∆的面积是ABC ∆面积的一半，求E 点的坐标．9．将函数2y x =-的图象进行如何样的平移，才能使平移后得到的图象与函数22y x x =--的两交点关于原点对称？并求平移后的图象的解析式。