2020高考文数(人教版)一轮讲义：第13讲 函数与方程含答案

函数 y ＝f(x)在区间(a ，b )内至少有 一个零点 .⎨Δ － <m f (m )>0 第 13 讲 函数与方程1．结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系． 2．判断一元二次方程根的存在性及根的个数．知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y ＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y ＝f(x)的零点． (2)三个等价关系方程 f(x)＝0 有实根 函数 y ＝f(x)的图象与 x 轴 有交点 函数 y ＝f(x)有 零点 . (3)函数零点的判定(零点存在定理)如果函数 y ＝f(x)在区间[a ，b ]上是一条 连续不断 的曲线，并且有 f(a )· f (b ) < 0，那么．． 2．二分法(1)二分法的意义对于区间[a ，b ]上连续不断且 f(a )· f (b )<0 的函数 y ＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二 分法．(2)利用二分法求函数 f(x)的零点的近似值的步骤：第一步，确定区间[a ，b ]，验证 f(a)f(b )<0 ，给定精确度 ε. 第二步，求区间(a ，b )的中点 x 1. 第三步，计算 f(x 1)；①若 f(x 1)＝0，x 1 就是函数的 零点 ；②若 f(a)f(x 1)<0，则令 b ＝x 1，此时零点 x 0∈ (a ，x 1) ； ③若 f(x 1)f(b )<0，则令 a ＝x 1，此时零点 x 0∈ (x 1，b ) .第四步，判断是否达到精确度的要求，否则重复第二至第四步．1．有关函数零点的结论(1)若连续函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点． (2)连续函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续函数的图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．二次函数 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)零点的分布零点的分布 (m ，n ，p 为常数)图象 满足条件x 1<x 2<m⎧ ⎩b 2am<x 1<x 2b－ >m f (m )>0 ⎨Δ 2a⎨Δ＝ m<－ <n2aA. B ．－1 C ．0 或 D ．0⎩⎧ ⎩x 1<m<x 2f(m )<0m<x 1<x 2<nm<x 1<n <x 2<p只有一个零点 在(m ，n )之间{f (m ) f (n ) f (p )>0⎧ b ⎩或 f(m )· f (n )<03.三个等价关系的推广方程 f(x)－g (x)＝0 有实根 函数 y ＝f(x)与 y ＝g (x)的图象有交点 函数 F(x)＝f(x)－g (x)有零点．热身练习⎧⎪2x －1，x ≤1， 1．(2018· 济宁模拟)已知函数 f(x)＝⎨则 f(x)的零点为(D) ⎪1＋log 2x ， x >1，1 21 2当 x ≤1 时，由 f(x)＝2x －1＝0，解得 x ＝0；1当 x >1 时，由 f(x)＝1＋log 2x ＝0，解得 x ＝2，又因为 x >1，所以此时方程无解． 综上，函数 f(x)的零点只有 0.2．函数 f(x)＝x 3＋3x －1 在以下哪个区间内一定有零点(B) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)因为 f (0)· f (1)<0，所以 f(x)在(0,1)上一定有零点．3．已知函数 f(x)＝2ax －a ＋3.若 x 0∈(－1,1)，f(x 0)＝0，则实数 a 的取值范围是(A) A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－3,1) D ．(1，＋∞)当 a ＝0 时，显然不成立．4．(2018· 武昌区模拟)函数 f(x)＝ x 2 －( )x 的零点的个数为(B)在同一平面直角坐标系内作出 y ＝ x 2 与 y ＝( )x的图象(如图)， 因此函数 f(x)＝ x 2 －( )x 只有 1 个零点．⎪⎩当 a ≠0 时，由题意知 f(－1)· f (1)<0，即(－3a ＋3)(a ＋3)<0，解得 a <－3 或 a>1.1 12A ．0B ．1C ．2D ．31 1 2由图可知，两函数图象只有一个交点，1 1 25．若函数 f(x)＝x 3＋x 2－2x －2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2 f(1.25)＝－0.984f(1.4375)＝0.162f(1.5)＝0.625f(1.375)＝－0.260 f(1.40625)＝－0.054那么方程 x 3＋x 2－2x －2＝0 的一个近似值(精确到 0.1)为(C)A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5可知方程的解在区间(1.40625,1.4375)上，因为 1.40625≈1.4,1.4375≈1.4，故近似解为 1.4.函数零点的判断与求解(1)设 x 0 是方程 ln x ＋x ＝4 的解，则 x 0 属于区间A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)⎧x 2－2， x ≤0， (2)函数 f(x)＝⎨的零点个数是____________． ⎪2x －6＋ln x ， x >0(1)设 f(x)＝ln x ＋x －4，因为 f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，所以 f (2)· f (3)<0， 所以 f(x)在(2,3)上有零点．(2)当 x ≤0 时，由 x 2－2＝0，得 x ＝－ 2；当 x >0 时，f(x)＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0. 所以 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上，f(x)的零点个数为 2.(1)C (2)2判断方程的根的个数，函数的零点个数等问题，常用方法有：(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2) 利用函数零点存在定理：利用定理不仅要函数在区间 [a ， b ] 上是连续不断的曲线，且A ．(－ ，0)B ．(0， )C ．( ， )D ．( ， )f( )＝ e 4 ＋4× －3＝ e 4 －2<0， f( )＝ e 2 ＋4× －3＝ e 2 －1>0， 所以 f(x)在( ， )内存在唯一零点．解得 x ＝－9 或 x ＝ 满足条件．⎩ 1 1 ⎩ ⎩f(a)f(b )<0，还必须结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)才能确定函数有多少个零点．(3)利用函数图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，看其有几 个交点，就有几个不同的零点．1．(1)在下列区间中，函数 f(x)＝e x ＋4x －3 的零点所在的区间为(C)1 14 41 1 1 34 2 2 4⎧⎪x 2＋2x ，x ≤0， (2)(2018· 岳麓区校级模拟)已知函数 f(x)＝⎨则函数 g (x)＝f(1－x)－1 的零点个⎪|lg x|， x >0，数为(C)A ．1B ．2C ．3D ．4(1)因为 f(x)是 R 上的增函数且图象是连续的，且1 11 4 41 11 2 21 14 2⎧⎪(1－x )2＋2(1－x )， x ≥1，(2)由题意得 f(1－x)＝⎨⎪|lg (1－x )|， x <1，⎧⎪x 2－4x ＋3，x ≥1， 即 f(1－x)＝⎨⎪|lg (1－x )|， x<1.当 x ≥1 时，由 f(1－x)－1＝x 2－4x ＋2＝0，解得 x ＝2＋ 2或 x ＝2－ 2(舍去)；当 x <1 时，由 f(1－x)－1＝|lg(1－x)|－1＝0，910综上所述，函数 g (x)的零点有 3 个，故选 C.二次函数的零点已知函数 f(x)＝x 2＋2mx ＋2m ＋1.(1)若函数有两个零点，其中一个零点在区间(－1,0)内，另一个零点在区间(1,2)内，求 m 的取 值范围；(2)若函数的两个零点均在(0,1)内，求 m 的取值范围．(1)条件说明抛物线：f(x)＝x 2＋2mx ＋2m ＋1 的零点分别在(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得：⎧⎪f(0)＝2m＋1＜0，⎧m＜－，，⎨f(－1)＝2＞0，⎨⎪⎩f(1)＝4m＋2＜0，⎪m＜－，⎩m＞－5.所以－＜m＜－.⎪⎩Δ>0，2 2所以－＜m<1－ 2.⎧⎪Δ＝4a－4(2＋a)>0，所以⎨－＝a>1，⎪⎩⎩1 2f(2)＝6m＋5＞065162(2)根据f(x)的零点落在(0,1)内，列不等式组：⎧⎪f(0)＞0，⎨f(1)＞0，0＜－m＜1⎧⎪m＞－1，⎨m＞－1，⎪⎩m>1＋2或m<1－－1＜m＜0.2，12利用二次函数图象，采用数形结合是求解二次函数零点分布问题的基本方法．求解时，一般要考虑如下四个方面：“开口方向、方程有解的条件、对称轴的位置、区间端点函数值的正负”．其中方程有解的条件可以是：①Δ≥0；②零点存在定理．2．若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，分别满足下列条件，求a的取值范围．(1)方程的两根都大于1；(2)方程一根大于1，另一根小于1.设f(x)＝x2－2ax＋2＋a.(1)两根都大于1，即f(x)在(1，＋∞)上有两个不同的零点，2－2a2f(1)＝3－a>0，解得2<a<3.(2)方程一根大于1，另一根小于1，即要求f(x)＝x2－2ax＋2＋a的两零点在x＝1的两旁，所以只需要f(1)<0，所以a>3.函数零点和参数的范围⎧⎪e x，x≤0，(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝⎨g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则⎪ln x，x>0，A ．－ B. C. D ．1要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a ＝1，即 a ＝ .a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)令 h (x)＝－x －a ，则 g (x)＝f(x)－h (x)．在同一坐标系中画出 y ＝f(x)，y ＝h (x)图象的示意图，如图：若 g (x)存在 2 个零点，则 y ＝f(x)的图象与 y ＝h (x)的图象有 2 个交点，平移 y ＝h (x)的图象，可 知当直线 y ＝－x －a 过点(0,1)时，有 2 个交点， 此时 1＝－0－a ，解得 a ＝－1.当 y ＝－x －a 在 y ＝－x ＋1 上方，即 a <－1 时，仅有 1 个交点，不符合题意． 当 y ＝－x －a 在 y ＝－x ＋1 下方，即 a >－1 时，有 2 个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．C由函数的零点确定参数的取值范围，常采用数形结合的方法．有如下两种常用的方法．(1)将参数分离，化为 b ＝g (x)的形式，转化为 y ＝b 与 y ＝g (x)的交点问题；(2)将函数 f(x)化为 f(x)＝h (x)－g (x)的形式，根据 f(x)＝0 h (x)＝g (x)，转化为 y ＝h (x)与 y ＝g (x) 的交点问题．3．(2017· 全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝x 2－2x ＋a(e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则 a ＝(C)1 12 312(方法一)f(x)＝ a(e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x.令 g (x)＝－x 2＋2x ，h (x)＝a(e x －1－e －x ＋1)， 因为 g (x)＝－(x －1)2＋1≤1， 当且仅当 x ＝1 时取“＝”．又因为 e x －1＋e －x ＋1≥2 e x －1·e －x ＋1＝2， 当且仅当 x ＝1 时取“＝”．若 a ＞0，则 h (x)＝a(e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，12若 a ≤0，则 f(x)的零点不唯一．(方法二)f(x)＝x 2－2x ＋a(e x －1＋e －x ＋1)所以 2a －1＝0，解得 a ＝ .f(x)有唯一零点f(1)＝0，所以 a ＝ .＝(x －1)2＋a[e x －1＋e －(x －1)]－1，令 t ＝x －1，g (t)＝f(t ＋1)＝t 2＋a(e t ＋e －t )－1. 因为 g (－t)＝(－t)2＋a(e －t ＋e t )－1＝g (t)， 所以函数 g (t)为偶函数．因为 f(x)有唯一零点，所以 g (t)也有唯一零点． 又 g (t)为偶函数，由偶函数的性质知 g (0)＝0，12(方法三)f(x)＝(x －1)2＋a(e x －1＋e －x ＋1)，因为 f(2－x)＝f(x)，所以 f(x)关于 x ＝1 对称，121．函数 y ＝f(x)的零点是一个实数，是方程 f (x)＝0 的实数根，也是 y ＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标．2．函数零点的判定的常用方法有：(1)零点存在定理；(2)数形结合；(3)解方程 f(x)＝0.3．方程 f(x)＝g (x)的解，实质上就是研究 F(x)＝f(x)－g (x)的零点，可利用函数思想，将其转化 为两个函数图象的交点问题．4．二次方程根的分布问题实质上是函数零点存在的范围问题，因此可借助函数，运用数形结 合的思想方法进行处理．在利用二次函数的图象研究根的分布问题时，要注意考察如下四个方面： ①开口方向；②方程有根的条件；③对称轴位置；④区间端点函数值的正负．。

第八节函数与方程知识点一函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ ) (4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．( √ )2．(必修1P92A 组第5题改编)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( B )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)解析：易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0，得f (2)·f (3)<0.故选B.3．(必修1P88例1改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由f ′(x )＝e x＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．知识点二二分法1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且_f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证_f(a)f(b)<0，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)；①若_f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若_f(a)f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若_f(x1)f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(A)5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为1.56.解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件．3．“对勾”函数模型f (x )＝x ＋ax (a >0)在区间(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在区间(－a ，0)和(0，a )上单调递减．考向一 函数零点的判断与求解方向1 判断函数零点所在区间【例1】 (1)设x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x 的解，则x 0所在的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 (2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.【答案】 (1)D (2)B 方向2 判断函数零点的个数【例2】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)(2019·天津河东一模)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)解法1：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点． 解法2：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(2)由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 【答案】 (1)B (2)C(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点. (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.1．(方向1)(2019·河南十校联考)命题p ：－72<a <1，命题q ：函数f (x )＝2x －1x ＋a 在(1,2)上有零点，则p 是q 的( C )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得函数f (x )＝2x －1x ＋a 在(1,2)上单调递增，又函数f (x )在(1,2)上有零点，∴f (1)f (2)＝(1＋a )72＋a <0， 解得－72<a <－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，1， ∴p 是q 的必要不充分条件．故选C.2．(方向2)(2019·南宁摸底联考)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：解法1：令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x ，h (x )＝2x －6(x >0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.解法2：函数f (x )＝ln x －2x ＋6的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，当0<x <12时，f ′(x )>0，当x >12时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0，12)上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减．因为f (1e 10)＝－4－2e 10<0，f (12)＝5－ln2>0，f (e 2)＝8－2e 2<0，所以函数f (x )在(1e 10，12)，(12，e 2)上各有一个零点，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B. 考向二 函数零点的应用方向1 二次函数的零点问题【例3】 函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103【解析】 当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (3)<0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有且仅有一个零点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－a 2·(10－3a )<0，解得52<a <103；当⎩⎪⎨⎪⎧12<a2<3，Δ＝a 2－4≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f (3)>0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有一个或两个零点，解得2≤a <52；当a ＝52时，函数的零点为12和2，符合题意；当a ＝103时，函数的零点为13或3，不符合题意．综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103. 【答案】 D方向2 求参数的取值范围【例4】 (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C. 【答案】 C方向3 由函数零点探求函数的特征【例5】 (2019·石家庄质量检测)已知M 是函数f (x )＝e x 2－3x ＋134－8cos[π(12－x )]在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和，则M 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】函数f (x )＝e x 2－3x ＋134 －8cos[π(12－x )]在(0，＋∞)上的所有零点之和，即e x 2－3x ＋134＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和，即e(x －32)2＋1＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和．令g (x )＝e (x －32)2＋1，h (x )＝8sinπx ，易知函数g (x )＝e (x －32)2＋1的图象关于直线x ＝32对称，函数h (x )＝8sinπx 的图象也关于直线x ＝32对称，作出两个函数的大致图象，如图所示．由图象知，两个函数的图象有4个交点，且4个交点的横坐标之和为6，故选B.【答案】 B已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.1．(方向1)已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则m 的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18B.⎝⎛⎭⎪⎫－38，18 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－18，38 解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或②⎩⎨⎧f (－2)＝0，－2<14m <0或③⎩⎨⎧f (2)＝0，0<14m <2.解①得－18<m <0或0<m <38； ②无解，解③得m ＝38. 综上可知－18<m ≤38.故选D.2．(方向2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( D )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．故选D.3．(方向3)(2019·惠州市调研考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x ≥0，－ln (－x )，x <0，若函数f (x )的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是( D )A ．(－∞，0)B ．(0，12) C ．(0，＋∞)D ．(0,1)解析：依题意，函数f (x )的图象上存在关于原点对称的点，如图，可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)的图象关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使得它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可，当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，则⎩⎨⎧km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，k ＝1，可得切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时，函数y ＝ln x 的图象与直线y ＝kx －1有2个交点，即函数f (x )的图象上关于原点对称的点有2对，故选D.用换元法解决复合函数的零点问题关于复合函数方程f (g (x ))＝a 的零点个数问题，可先换元解套t ＝g (x )，则f (t )＝a ，g (x )＝t ，从而先由f (t )＝a 确定t 的解(或取值范围)，再由g (x )＝t 并数形结合确定x 的解的个数．典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围为( )A ．(2,8)B ．[2，174) C ．(2，174]D ．(2,8]【分析】 本题应先求方程t 2－bt ＋1＝0的根，设为t 1，t 2，再根据t 1＝f (x )，t 2＝f (x )的解的个数确定函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1的零点个数．已知函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，先确定两个实数t 的范围，再转化为一元二次方程t 2－bt ＋1＝0根的分布问题来解决．【解析】 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4＝(x －2)(x 2＋2x －2)，x ≥0，作出f (x )的简图，如图所示．由图象可得，f (x )在(0,4]上任意取一个值，都有四个不同的x 值与之对应．再结合题中函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，可得关于t 的方程t 2－bt ＋1＝0有两个不同的实数根t 1，t 2，且0<t 1≤4,0<t 2≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4>0，0<b2<4，0－b ×0＋1>0，42－4b ＋1≥0，解得2<b ≤174.【答案】 C归纳总结 本题结合图象可知，一元二次方程t 2－bt ＋1＝0的两个根0<t 1≤4,0<t 2≤4，结合二次函数图象的特点可知，对称轴0<b2<4，且Δ>0，另外t ＝0时的函数值为正，t ＝4时的函数值非负．当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x 的方程3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是(A)A．3 B．4C．5 D．6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由极值点定义可得，x1，x2为3x2＋2ax＋b ＝0①的两根，观察到方程①与3f2(x)＋2af(x)＋b＝0结构完全相同，可得3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的两根为f1(x)＝x1，f2(x)＝x2，其中f(x1)＝x1.若x1<x2，可判断出x1是极大值点，x2是极小值点，且f2(x)＝x2>x1＝f(x1)，所以y＝f1(x)的图象与y＝f(x)的图象有两个交点，而y＝f2(x)的图象与y＝f(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(1)所示)；若x1>x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点，且f2(x)＝x2<x1＝f(x1)，所以y＝f1(x)的图象与y＝f(x)的图象有两个交点，而y＝f2(x)的图象与y＝f(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(2)所示)．综上所述，共有3个交点．故选A.。

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).[基本知识]1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数是特殊的映射．()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．()(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()答案：(1)√(2)√(3)×二、填空题1．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为__________________________________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为____________． 解析：∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7.∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． 答案：{－1,1,3,5,7}3．下列f (x )与g (x )表示同一函数的是________． (1)f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1； (2)f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋xx 2＋1；(3)y ＝x 与y ＝(x )2； (4)f (x )＝x 2与g (x )＝3x 3. 答案：(2)[全析考法]考法一 求函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] (1)(2019·合肥八中期中)函数f (x )＝ln (x ＋3)1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)(2)(2019·东北师大附中摸底)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.⎣⎡⎦⎤1，32 [解析] (1)∵f (x )＝ln (x ＋3)1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，解得－3<x <0，即函数的定义域为(－3,0)．故选A.(2)由题意得⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，∴⎩⎨⎧－12≤x ≤32，12≤x ≤52，∴12≤x ≤32.故选C. [答案] (1)A (2)C [方法技巧]1．根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．2．求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． 3．求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．考法二 已知函数的定义域求参数[例2] (2019·安阳模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得0≤m ≤4. [答案] D [方法技巧]已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.2.[考法一]若函数f (x ＋1)的定义域是[－1,1]，则函数f (log 12x )的定义域为________． 解析：∵f (x ＋1)的定义域是[－1,1]，∴f (x )的定义域是[0,2]．令0≤log 12x ≤2，解得14≤x ≤1，∴函数f (log 12x )的定义域为⎣⎡⎦⎤14，1.答案：⎣⎡⎦⎤14，1 3.[考法二]已知函数y ＝1kx 2＋2kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时，y ＝13，满足条件；当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧k >0，4k 2－12k <0，得0<k <3.综上，0≤k <3.答案：[0,3)突破点二 函数的表示法[基本知识]1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项方法 注意事项解析法 一般情况下，必须注明函数的定义域 列表法 选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征图象法注意定义域对图象的影响：与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x －1，则f (x )＝1x－1.( ) (2)若f (x )＝2x ＋1，x ∈[1,3]，则f (x －1)＝2x －1，x ∈[2,4]．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________.解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设得3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －232．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， 所以f (x )＝x 2＋2. 答案：x 2＋23．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (x )＝32x ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：73[典例感悟]1．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x ＋3，则f (x )的解析式为________________． 解析：由题意设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故所求解析式为f (x )＝－2x －3或f (x )＝2x＋1.答案：f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋12．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．解析：法一：设t＝x＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．答案：f(x)＝x2－1(x≥1)3．已知f(0)＝1，对任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)的解析式为________________．解析：令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，∴f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.答案：f(x)＝x2＋x＋1[方法技巧]求函数解析式的3种方法1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x解析：选C选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项B，f(2x)＝2x －|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项C，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)；选项D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)．故选C.2．(2019·南阳第一中学模拟)已知f(1－cos x)＝sin2x，则f(x2)的解析式为________________________．解析：因为f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，令1－cos x＝t，t∈[0,2]，则cos x＝1－t，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．则f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－2，2]．答案：f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－2，2]3．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x ，则f (x )的解析式为________________． 解析：由f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )＋1x， 联立得⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x ， ①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )＋1x， ②①＋②×2得f (x )＝x ＋4f (x )＋2x ，则f (x )＝－23x －13x .答案：f (x )＝－23x －13x突破点三 分段函数[基本知识]1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)分段函数是两个或多个函数．( )(2)若f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝1.( )答案：(1)× (2)× 二、填空题1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋2)，x ≤0，则f (－5)＝________.解析：f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2. 答案：22．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________．解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 答案：1093．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，45x ，x >2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析：当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)；当x 0>2时，f (x 0)＝45x 0＝8，∴x 0＝10.综上可知，x 0＝－6或x 0＝10.答案：－6或10[全析考法]考法一 分段函数求值问题[例1] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝ ⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B. [答案] B [方法技巧]分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．考法二 分段函数与方程、不等式问题[例2] (1)(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )≤a ，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无实数解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件，故选A.(2)当a ≥0时，由f (a )＝12a －1≤a ，解得a ≥－2，即a ≥0；当a <0时，由f (a )＝1a ≤a ，解得－1≤a ≤1，即－1≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[答案] (1)A (2)[－1，＋∞) [方法技巧]解分段函数与方程或不等式问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．[集训冲关]1.[考法一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (3))＝( )A.43 B.23 C ．－43D ．－3解析：选A 因为f (3)＝1－log 23＝log 223<0，所以f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫log 223＝222log +13＝224log 3＝43，故选A.2.[考法二]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≥2，log 2x ，x <2，若f (m )＝7，则实数m 的值为( )A ．0B ．1C ．－3D ．3解析：选D ①当m ≥2时，由f (m )＝7得m 2－2＝7，解得m ＝3或m ＝－3(舍去)，则m ＝3；②当m <2时，由f (m )＝7得log 2m ＝7，解得m ＝27>2，舍去．综上可得，实数m 的值是3.故选D.3.[考法二]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D 当a ≥0时，不等式可化为a (a 2＋a －3a )>0， 即a 2＋a －3a >0，即a 2－2a >0，解得a >2或a <0(舍去)； 当a <0时，不等式可化为a (－3a －a 2＋a )>0， 即－3a －a 2＋a <0，即a 2＋2a >0， 解得a <－2或a >0(舍去)．综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·重庆五校联考)下列函数中，与y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝lg 10x C ．y ＝x 2xD ．y ＝(x －1)2＋1解析：选B 选项A ，y ＝x 2＝|x |与y ＝x 的对应法则和值域不同，不是相同函数；选项B ，y ＝lg 10x＝x ，是相同函数；选项C ，y ＝x 2x＝x (x ≠0)与y ＝x 的定义域不同；选项D ，函数的定义域不相同，不是相同函数．故选B.2．(2019·山西名校联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x >1，则f (f (2))＝( )A ．1B ．4C ．0D ．5－e 2解析：选A 由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1.3．(2019·马鞍山质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 020)＝( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 018解析：选A 由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…， 2 020中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 020)＝44.4．(2019·邯郸调研)函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C.⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选C 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12，所以函数y＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <－12或－12<x <1.5．(2019·衡阳县联考)若函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，则a ＋b ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ≥0，b －x >0，解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2a ，x <b .∵函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴a ＋b ＝1＋4＝5.故选B.6．(2019·乌鲁木齐一诊)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎫－∞，43 C.⎝⎛⎭⎫1，43 D ．[2，＋∞)解析：选A 当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1，∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解．综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·玉溪模拟)与函数y ＝10lg(x －1)的图象相同的函数是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －12D ．y ＝x 2－1x ＋1解析：选C 函数y ＝10lg(x－1)的定义域为{x |x >1}．y ＝x －1与y ＝|x －1|的定义域都为R ，故排除A ，B ；y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，故排除D ；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －12的定义域为{x |x >1}，解析式可化简为y ＝x －1，因此正确，故选C.2．(2019·全国名校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a x ，x ≤1，log a(2x ＋4)，x >1，且f (1)＝6，则f (2)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C 由题意，得f (1)＝3a ＝6，解得a ＝2，所以f (2)＝log 2(2×2＋4)＝log 28＝3，故选C.3．(2019·山西名校联考)若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8 B ．f (x )＝3x ＋2 C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4解析：选B 令t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝9×t －23＋8＝3t ＋2.所以f (x )＝3x ＋2，故选B.4．(2019·郑州外国语学校月考)若函数f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．1 B ．3 C ．15D ．30解析：选C 由于f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则当1－2x ＝12时，x ＝14，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1－116116＝15.故选C.5．(2019·福州检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0，若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516 B ．3 C ．－6364或3 D ．－1516或3 解析：选A 若a >0，则f (a )＝log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2，则f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516；若a ≤0，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不合题意．综上f (a －2)＝－1516.故选A. 6．(2019·邵阳检测)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为( ) A ．[1,2] B ．(2,4] C ．[1,2)D ．[2,4)解析：选B ∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.8．(2019·山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域是________． 解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f (x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)，要使函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4有意义，则－x 2－3x ＋4>0，∴－4<x <1，∴函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为(－1,1)．答案：(－1,1)9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，2x ＋2，－1<x <1，1x －1，x ≥1，已知f (a )>1，求a 的取值范围． 解：法一：(数形结合)画出f (x )的图象，如图所示，作出直线y ＝1，由图可见，符合f (a )>1的a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 法二：(分类讨论)①当a ≤－1时，由(a ＋1)2>1，得a ＋1>1或a ＋1<－1，得a >0或a <－2， 又a ≤－1，∴a <－2；②当－1<a <1时，由2a ＋2>1，得a >－12，又∵－1<a <1，∴－12<a <1；③当a ≥1时，由1a －1>1，得0<a <12，又∵a ≥1，∴此时a 不存在．综上可知，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1.。

2020 年高考数学一轮考点专题 11函数与方程及其应用一、【知识精讲】1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数 y＝ f ( x)，我们把使 f ( x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝ f ( x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程 f ( x)＝0有实数根?函数 y＝f ( x)的图象与 x 轴有交点?函数 y＝ f ( x)有零点．函数的零点不是函数y＝ f ( x)与 x 轴的交点，而是y＝ f ( x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理假如函数 y＝ f ( x)在区间[ a，b]上的图象是连续不停的一条曲线，并且有 f ( a) f ( b)<0，那么，函数 y＝f ( x)在区间 (a ，) 内有零点，即存在c∈( ， )，使得f(c) ＝0，这个c也就是方程f(x)＝ 0 的根．b a b函数零点的存在性定理只好判断函数在某个区间上的变号零点，而不可以判断函数的不变号零点，并且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充足不用要条件.3．二分法的定义对于在区间 [ a，b] 上连续不停且 f ( a) f ( b)<0的函数 y＝ f ( x)，经过不停地把函数 f ( x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐迫近零点，从而获得零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点相关函数零点的结论(1)若连续不停的函数 f ( x)在定义域上是单一函数，则 f ( x)至多有一个零点．(2)连续不停的函数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号．(3)连续不停的函数图象经过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、【典例精练】考点一函数零点个数、所在区间1x－ 2例 1. (1) 设函数＝x3与y＝的图象的交点为 (x0，0)，若x0∈(，＋1) ，∈N，则x0所在的区间是y2y n n n________.1(2) 设函数f ( x) ＝3x－ ln x，则函数 y＝ f ( x)()1A．在区间e，1，(1，e)内均有零点1B．在区间e，1，(1，e)内均无零点1 C．在区间， 1内有零点，在区间(1 ，e) 内无零点e1D．在区间e， 1内无零点，在区间(1 ，e) 内有零点【答案】 (1)C(2)Dx－ 2x － 23131【分析】 (1)设 f ( x)＝ x －2，则 x0是函数 f ( x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝ x与 y＝2的图象如下图.1－1因为 f (1)＝1－2＝－ 1<0，1f (2)＝8－2＝7>0，所以 f (1) f (2)<0，所以 x0∈(1，2).(2)法一：图象法11令 f ( x)＝0得3x＝ln x．作出函数y＝3x 和y＝ln x 的图象，如图，1明显y＝ f ( x)在e， 1内无零点，在(1 ， e) 内有零点．法二：定理法当 x∈1e， e时，函数图象是连续的，且1 1f ′(x)＝3－ x＝x－3<0，所以函数3xf ( x)在1e， e上单一递减．1111又 f e ＝ 3e＋ 1>0，f (1)＝ 3>0，f (e)＝ 3e－ 1<0，所以函数有独一的零点在区间(1 ， e) 内．【解法小结】掌握判断函数零点个数的 3 种方法(1)解方程法若对应方程 f ( x)＝0可解，经过解方程，即可判断函数能否有零点，此中方程有几个解就对应有几个零点．(2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但一定联合函数的图象与性质( 如单一性、奇偶性、周期性、对称性 )才能确立函数的零点个数．(3)数形联合法合理转变为两个函数的图象( 易画出图象 ) 的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其能否有交点，若有交点，此中交点的个数，就是函数零点的个数．考点二函数零点的应用考法 (一)已知函数零点个数求参数范围例 2. (2018 ·全国卷Ⅰ ) 已知函数f ( x) ＝e x，x≤0，g( x)＝ f ( x)＋ x＋ a.若 g( x)存在2个零点，则 a ln x，x>0，的取值范围是 ()A． [ － 1,0)B．[0 ，＋∞)C． [ － 1，＋∞) D ．[1 ，＋∞)【答案】 C【分析】令 h( x)＝－ x－ a，则 g( x)＝f ( x)－ h( x)．在同一坐标系中画出y＝ f ( x)， y＝ h( x)的表示图，如下图．若 g( x)存在 2 个零点，则y＝ f ( x)的图象与y＝ h( x)的图象有 2 个交点，平移y＝ h( x)的图象，可知当直线y＝－ x－ a 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时1＝－ 0－a，a＝－ 1.当 y＝－ x－ a 在 y＝－ x＋1上方，即 a<－1时，仅有1个交点，不切合题意．当y＝－ x－ a 在 y＝－ x＋1下方，即 a>－1时，有2个交点，切合题意．综上， a 的取值范围为[－1，＋∞)．考法 ( 二 ) 已知函数零点所在区间求参数范围例 3. (2019 ·安庆摸底 ) 若函数f ( x) ＝ 4x－ 2x－ a，x∈[－1,1]有零点，则实数 a 的取值范围是________．1【答案】－4，2【分析】x x有零点，∵函数 f ( x)＝4－2－ a， x∈[－1,1]∴方程 4x－2x－a＝ 0在[ － 1,1]上有解，即方程 a＝4x－2x在[－1,1] 上有解．xxx1 2 1方程 a ＝ 4 － 2 可变形为 a ＝2 －－4，2∵ x ∈ [ － 1,1] ，∴ 2x∈ 1， 2 ，22x1211∴ －－ 4∈－ ， 2.2 41∴实数 a 的取值范围是－ 4， 2 .x － 4，x ≥ λ ，例4. (2018·浙江卷 )已知λ ∈R ，函数 f (x )＝x 2－4x ＋3，x <λ.(1) 当 λ ＝2 时，不等式 f ( x )<0 的解集是 ________.(2) 若函数 f ( x ) 恰有 2 个零点，则 λ 的取值范围是 ________.【答案】 (1)(1 ， 4) (2)(1 ，3] ∪(4 ，＋∞)【分析】 (1) 若 λ ＝ 2，当 x ≥2时，令 x － 4<0，得 2≤ x <4；当 x <2 时，令 x 2－ 4x ＋ 3<0，解得 1<x <2. 综上可知， 1< <4，所以不等式f ( x )<0 的解集为 (1 ， 4).x(2) 令 f ( x ) ＝ 0，当 x ≥ λ 时， x ＝ 4，当 x <λ 时， x 2－ 4x ＋ 3＝ 0，解得 x ＝ 1 或 x ＝ 3.因为函数 f ( x ) 恰有 2 个零点，联合如图函数的图象知，1<λ ≤3或 λ >4.【解法小结】1．利用函数零点求参数范围的3 种方法直接法 直接依据题设条件建立对于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围分别参 分别参数 ( a ＝ g ( x )) 后，将原问题转变为 y ＝ g ( x ) 的值域 ( 最值 ) 问题或转变为直线数法 y ＝ a 与 y ＝ g ( x ) 的图象的交点个数问题 ( 精选分别、次选分类 ) 求解数形结先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，而后数形联合求解合法2. 利用函数零点求参数范围的步骤三、【名校新题】x21. (2019 ·北京西城区模拟) 若函数f( x) ＝ 2－x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是()A． (1,3)B．(1,2)C． (0,3) D ．(0,2)【答案】 Cx2x2【分析】因为函数 f ( x)＝2－x－ a 在区间(1,2)上单一递加，又函数 f ( x)＝2－x－ a 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1) ·f (2)<0 ，所以 ( －a)(4 － 1－a)<0 ，即 a( a－3)<0，解得0<a<3.x2－2x， x≤0，2.(2019 ·岳阳二模 ) 已知函数f ( x) ＝1则函数 y＝ f ( x)＋3x 的零点个数是()1＋x，x>0，A.0B.1C.2D.3【答案】 C【分析】函数y ＝() ＋ 3 的零点个数就是y＝(x) 与＝－ 3 两个函数图象的交点个数，如下图，由f x x f yx函数的图象可知，零点个数为 2.3. (2019 ·郑州质量测试e x－a，x≤0，( a∈ R)，若函数f ( x) 在 R 上有两个零点，则) 已知函数f ( x) ＝2x－a，x>0实数 a 的取值范围是()A． (0,1] B ．[1 ，＋∞) C． (0,1) D ．( －∞， 1]【答案】 A【分析】画出函数 f ( x)的大概图象如下图．因为函数 f ( x)在R 上有两个零点，所以 f ( x)在(－∞，0]和 (0 ，＋∞ ) 上各有一个零点．当x≤0时， f ( x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时， f ( x)有一个零点，需－a<0，即 a>0.综上，0<a≤1.4.(2019 ·湖北七校联考 ) 已知f ( x) 是奇函数且是R 上的单一函数，若函数y＝ f (2 x2＋1)＋ f (λ－ x)只有一个零点，则实数λ的值是 ()1173A. 4B. 8C.－8D.－8【答案】 C【分析】令y＝f (2 x2＋1)＋ f (λ － x)＝0，则 f (2 x2＋1)＝－ f (λ － x)＝ f ( x－λ)，因为 f ( x)是R上的单一函数，所以 2x2＋ 1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋ 1＋λ＝ 0 只有一个实根，则＝1－ 8(1 ＋λ ) ＝ 0，解得7λ＝－8.x5. 已知函数f ( x) ＝2＋ x＋1，g( x)＝log2x＋ x＋1，h( x)＝log2x－1的零点挨次为a， b， c，则()A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. b<a<c【答案】 A【分析】令函数 f ( x)＝2x＋x＋1＝0，可知 x<0，即 a<0；令 g( x)＝log2x＋ x＋1＝0，则0<x<1，即0<b<1；令 h( x)＝log2x－1＝0，可知 x＝2，即 c＝2.明显 a<b<c.6. (2018 ·济南月考 ) 若函数f ( x) ＝x2＋ 2x＋a没有零点，则实数 a 的取值范围是()A.( －∞， 1)B.(1，＋∞)C.( －∞， 1]D.[1，＋∞)【答案】 B【分析】因为函数 f ( x)＝x2＋2x＋ a 没有零点，所以方程x2＋2x＋ a＝0无实根，即＝4－4a<0，由此可得a>1.ln （x＋1）（ x≥0），7.(2019 ·北京燕博园联考 ) 已知函数f ( x) ＝3－ 3（<0），若函数 y＝ f ( x)－ k 有三个不一样的零x x x点，则实数 k 的取值范围是 ()A.( － 2， 2)B.( －2， 1)C.(0 ， 2)D.(1 ，3)【答案】 C【分析】当 x <0 时， f ( x ) ＝ x 3－ 3x ，则 f ′(x ) ＝ 3x 2－ 3，令 f ′(x ) ＝ 0，∴ x ＝± 1( 舍去正根 ) ，故 f ( x ) 在( －∞，－ 1) 上单一递加，在 ( － 1， 0) 上单一递减 .又 f ( x ) ＝ln( x ＋ 1) 在 (0 ，＋∞ ) 上单一递加 .则函数 f ( x ) 图象如下图 .f ( x ) 极大值 ＝ f ( － 1) ＝ 2，且 f (0) ＝ 0，故当 k ∈(0 ， 2) 时， y ＝ f ( x ) － k 有三个不一样零点.8.(2019 ·永州模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ a ＋ log 2( x 2＋ a )( a >0) 的最小值为 8，则实数 a 的取值范围是 ( )A.(5 ， 6)B.(7 ，8)C.(8 ， 9)D.(9 ，10)【答案】 A【分析】因为 f ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上是增函数，在 ( －∞， 0) 上是减函数，∴ f ( x ) min ＝ f (0) ＝ a ＋ log 2a ＝ 8.令 g ( a ) ＝a ＋ log 2a －8， a >0.则 g (5) ＝log 25－ 3<0， g (6) ＝log 26－ 2>0，又 g ( a ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，∴实数 a 所在的区间为 (5 ， 6).9.(2018 ·郑州一模 ) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 知足 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，且当 x ∈[ － 1， 1] 时， f ( x ) ＝ x 2. 令g ( x ) ＝ f ( x ) － kx － k ，若在区间 [ － 1，3] 内，函数 g ( x ) ＝ 0 有 4 个不相等实根， 则实数 k 的取值范围是 ()A.(0 ，＋∞ )B. 0，1211 1C. 0，D. ，344【答案】 C【分析】令 g ( x ) ＝0，得 f ( x ) ＝ k ( x ＋1) ，由 f ( x ) 的周期性，作出 y ＝ f ( x ) 在 [ －1， 3] 上的图象如下图.1设直线 y ＝k 1( x ＋ 1) 经过点(3，1) ，则k 1＝ 4.1∵直线y ＝k ( x ＋ 1) 经过定点( － 1，0) ，且由题意知直线y ＝k ( x ＋ 1) 与y ＝ f ( x ) 的图象有4 个交点，∴0< k ≤ 4.10. (2019 ·太原模拟 ) 若函数 f ( x ) ＝( m － 2) x 2＋mx ＋ (2 m ＋ 1) 的两个零点分别在区间 ( － 1,0) 和区间 (1,2) 内， 则实数 m 的取值范围是 ________．1 1【答案】4， 2m ≠2，【分析】依题意并联合函数f ( x ) 的图象可知，f － f ，ff，≠2，m即 [ m － 2－m ＋m ＋m ＋， [－2＋＋＋－＋ 2 ＋＋ ，mmm mmm11解得 4<m <2.|lg x | ， x >0，211. 已知 f ( x ) ＝ 2| x| ， x ≤0， 则函数 y ＝ 2[ f ( x )] － 3 f ( x ) ＋ 1 的零点个数是 ________.【答案】 521【分析】由 2[ f ( x )] － 3f ( x ) ＋ 1＝ 0 得 f ( x ) ＝ 2或 f ( x ) ＝1， 作出函数 y ＝ f ( x ) 的图象 .1由图象知 y ＝ 2与 y ＝f ( x ) 的图象有 2 个交点， y ＝ 1 与 y ＝ f ( x ) 的图象有 3 个交点 . 所以函数 y ＝ 2[ f ( x )] 2－ 3f ( x ) ＋ 1 的零点有 5 个.12. (2019 ·西安调研 ) 方程 2x ＋3x ＝ k 的解在 [1 ，2) 内，则 k 的取值范围是 ________.【答案】[5 ， 10)【分析】令函数 f ( x)＝2x＋3x－ k，则 f ( x)在R上是增函数.当方程2x＋ 3x＝k的解在 (1 ， 2) 内时，f (1)· f (2)<0，即(5 －k)(10 －k)<0 ，解得 5<k<10.又当f (1) ＝0 时，＝ 5. 则方程2x＋ 3 ＝k的解在 [1 ， 2) 内，k的取值范围是 [5 ， 10).k x13. （ 2019盐城检测）已知函数f(x)=，若f(x)在区间上有且只有 2 个零点，则实数m的取值范围是________【答案】【分析】当时，易知x=0 不是方程的解，故m= -x在上是减函数，故 m即 m时，方程f(x)=0在上有且只有一个解，当 x时，令得故,即当时，方程f(x)=0在x上有且只有一个解，综上，若f(x) 在区间上有且只有 2个零点，则实数m的取值范围是14.(2019·邯郸模拟 ) 若曲线y ＝ log 2(2 x－ )(x>2) 上起码存在一点与直线y＝＋ 1 上的一点对于原点对称，m x则 m的取值范围为________.【答案】 (2 ， 4]【分析】因为直线 y＝ x＋1对于原点对称的直线为y＝ x－1，依题意方程log2(2x－ m)＝ x－1在(2，＋∞)上有解，即＝2x－ 1在x ∈(2 ，＋∞ ) 上有解，∴ >2.m mx x又 2 －m>0 恒建立，则m≤(2 )min＝4，。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题11函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.基础知识融会贯通1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．重点难点突破【题型一】函数零点所在区间的判定【典型例题】函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．【再练一题】函数f（x）＝log8x的一个零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：函数f（x）＝log8x的连线增函数，∵f（1）＝00，f（2）＝log820，可得f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2），故选：B．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法．【题型二】函数零点个数的判断【典型例题】已知偶函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+1）＝f（x﹣1）且x∈[0，1]时f（x）＝x，则函数g（x）＝f （x）﹣log3|x|的零点个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x），取x＝x+1，得：f（x+1+1）＝f（1﹣x﹣1），所以f（x+2）＝f（﹣x），又因为函数为偶函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数．因为当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x，由偶函数可知，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，所以函数f（x）的图象是f（x）＝x在[﹣1，1]内的部分左右平移2个单位周期出现，0求函数g（x）＝f（x）﹣|log3x|的零点个数，就是求两函数y＝f（x）与y＝|log3x|的交点个数，由于log33＝1，所以两函数在（0，3]内有2个交点，根据对称性可知：[﹣3，0）内有2个交点，所以交点总数为4个，所以函数g（x）＝f（x）﹣|log3x|的零点个数为4．故选：D．【再练一题】已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数，即方程πx的解的个数．当x＞0时，方程即x+1，故该方程解的个数即函数y＝x+1与函数y的图象的交点个数．当x＜0时，方程即x﹣1，故该方程解的个数即函数y＝x﹣1与函数y的图象的交点个数，数形结合可得，方程πx的解的个数为2，故选：C．思维升华函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；(3)利用函数图象的交点个数判断．【题型三】函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数【典型例题】已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在x＝1处取到极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx﹣ax+1，∴x＞0，，∵f（x）在x＝1处取到极值，∴f′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，∴实数a的值为1．（2）∵x＞0，，由f′（x）＝0，得x当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，x∈（，+∞），f′（x）＜0，f（x）在上单调递减．∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，∴f（）是函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f（x）最多只有一个零点，∴f（）＝ln0，解得0＜a＜1，此时，，且f（）＝﹣110，f（）＝2﹣2lna1＝3﹣2lna，（0＜a＜1），令F（a）＝3﹣2lna，则F′（x）0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）＝3﹣e2＜0，即f（）＜0，∴a的取值范围是（0，1）．【再练一题】已知函数的图象过点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2m+3有3个零点，求m的取值范围．【解答】解：（1）因为函数的图象过点．所以，解得a＝2，即，所以f'（x）＝x2﹣x﹣2．由f'（x）＝x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＜﹣1或x＞2．所以函数f（x）的递减区间是（﹣1，2），递增区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（2）由（1）知，同理，，由数形结合思想，要使函数g（x）＝f（x）﹣2m+3有三个零点，则，解得．所以m的取值范围为．命题点2根据函数有无零点求参数【典型例题】已知函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+b，f（1）＝1．（1）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象的对称轴是x＝1，解不等式f（x）＞1．【解答】解：（1）由f（1）＝1得1+a﹣1+b＝1，得a+b＝1，因为函数f（x）没有零点，所以x2+（a﹣1）x+b＝0中△＜0，即（a﹣1）2﹣4b＜0，又b＝1﹣a，所以（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＜0，化为a2+2a﹣3＜0，解得﹣3＜a＜1；（2）函数f（x）的图象的对称轴是x＝1，即，又b＝1﹣a，联立解得a＝﹣1，b＝2．∴x2﹣2x+2＞1，化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1，所以f（x）＞1的解集为{x|x≠1}．【再练一题】已知f（x）＝a cos2x+2cos x﹣3（Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y＝f（x）存在零点，求a的取值范围．【解答】解：由已知可得：f（x）＝a cos2x+2cos x﹣3＝2a cos2x+2cos x﹣（3+a）．（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝2cos2x+2cos x﹣4＝2（cos x）2由﹣1≤cos x≤1，得函数y＝f（x）的值域为[，0]（Ⅱ）函数y＝f（x）存在零点，即2at2+2t﹣（3+a）＝0在[﹣1，1]上有解．（1）a＝0时，方程的解t∉[﹣1，1]不满足条件（2）当a≠时，设g（t）＝2t2（）则①当g（﹣1）g（1）≤0时满足条件，此时有1≤a≤5②当g（﹣1）g（1）＞0时时，必有以下四式同时成立即g（﹣1）＞0，g（1）＞0，△≥0，﹣11．解得a＞5，或a综上可得，a的取值范围为（﹣∞，）∪[1，+∞）命题点3根据零点的范围求参数【典型例题】已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零点，∴p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5在（0，3）上有零点．∴△＝（4k2﹣8k+4）﹣12k﹣60≥0，解得k≤﹣2，或k≥7．若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则p（0）p（3）＝（k+5）（7k+26）＜0 ①，或②，或③，或④．解①得﹣5＜k，解②得k∈∅，解③得k，解④可得k＝﹣2，或k＝7．当k＝7时，p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5＝3x2+12x+12的零点是﹣2，不符合题意所以k＝7舍去．若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有，解得k≤﹣2．综上所述，实数k的取值范围为[﹣5，﹣2]．（2）函数q（x），即q（x）．显然，k＝0不满足条件，故k≠0．当x≥0时，q（x）＝2k2x+k∈[k，+∞）．当x＜0时，q（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5∈（5，+∞）．记A＝[k，+∞），B∈（15，+∞）．①当x2＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＜0，且A⊆B，故k≥5；②当x2＜0时，q（x）在（﹣∞，0）上是减函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＞0，且B⊆A，故k≤5；综上可得，k＝5满足条件．故存在k＝5，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）．【再练一题】已知函数f（x）alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＞0，函数f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x．①a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；②a＞0时，由f′（x）＞0得x；由f′（x）＜0得0＜x．即f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当a＞0时，由（1）知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，①若1，即0＜a≤1时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（1），f（x）在区间（1，e）上无零点．②若1e，即1＜a＜e2时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e）上单调递增．f（x）min＝f（）a（1﹣lna）．∵f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，∴f（1）0，f（）a（1﹣lna）＜0．f（e）e2﹣a＞0，∴e＜a e2．③若e，即a≥e2时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（1）0，f（e）e2﹣a＜0，f（x）在区间（1，e）上有一个零点．综上，f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点时a的取值范围是（e，e2）．思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法．(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．基础知识训练1．下列函数中，能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意以及零点判定定理可知：只有选项D能够应用二分法求解函数的零点，故选：D．2．方程的根所在的区间为A．B．C．D．【答案】C【解析】令函数，则方程的根即为函数的零点，再由，且，可得函数上有零点．故选：C．3．函数的零点所在的一个区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】上的增函数，又，故零点所在对的区间为，选C．4．已知函数若方程有5个解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，当时，，所以函数上是偶函数，当时，单调递减，且当时，，当时，，因此，作出函数的大致图象如图所示：设，则原方程为，因为是方程的根，所以由图象可知，若关于的方程有五个不同的实数解，只需直线与函数的图象有三个不同的公共点，且关于的方程有两个不同的公共点，其中一根，另一根，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选D.5．已知函数满足，当时，；当时，，若函数上有五个零点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】有题意知，则的周期为。