高考数学专题复习第二轮第 4讲 函数与方程的思想方法

高考数学专题复习——函数与方程思想一、教学目标1. 理解函数与方程的关系，掌握函数与方程的基本思想。

2. 熟练运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

二、教学内容1. 函数与方程的概念及关系2. 函数与方程的性质3. 函数与方程的解法4. 函数与方程在实际问题中的应用5. 典型例题分析与练习三、教学重点与难点1. 函数与方程的关系及其性质2. 函数与方程的解法3. 实际问题中函数与方程的运用四、教学方法1. 采用讲解、讨论、练习相结合的方式进行教学。

2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3. 注重启发式教学，引导学生主动探索、积极思考。

五、教学过程1. 导入：回顾函数与方程的基本概念，引导学生思考函数与方程之间的关系。

2. 讲解：详细讲解函数与方程的性质，结合实际例子阐述函数与方程的解法。

3. 讨论：分组讨论实际问题中的函数与方程应用，分享解题心得。

4. 练习：布置针对性的练习题，巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数与方程在数学中的重要性。

教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。

六、教学评估1. 课后作业：布置相关的习题，巩固课堂所学知识。

2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。

七、教学拓展1. 引入高等数学中的函数与方程理论，提高学生的数学素养。

2. 组织数学竞赛或讲座，激发学生对函数与方程的兴趣。

3. 推荐相关书籍或网络资源，引导学生深入研究函数与方程。

八、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解了函数与方程的基本概念、性质和解法。

2. 反思教学方法：是否有效地引导学生思考、探索和解决问题。

3. 反思教学效果：学生对函数与方程的理解程度以及实际应用能力的提升。

九、教学案例1. 案例一：讲解一次函数与一元一次方程的关系，引导学生理解函数与方程的解法。

函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。

在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。

下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。

一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。

在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。

例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。

我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。

2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。

这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。

例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。

我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。

3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。

通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。

例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。

二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。

解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。

例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。

对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。

2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。

在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。

例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。

3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。

我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。

高三数学[人教版]题型解法：函数与方程思想方法函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0通过方程进行研究。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

函数和方程的思想方法【高考能力要求】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题解决。

有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

高考中有关函数思想的试题主要涉及四个方面 （1） 具体的原始意义上的函数问题 （2） 方程、不等式与函数的综合题 （3） 数列这一特殊的函数 （4） 利用辅助函数解体高考中有关方程的试题主要有三个方面（1） 列方程解应用题 （2） 求曲线的方程 （3） 方程与函数的综合在高考复习时，函数和方程之间往往是可以互相转化的。

函数的许多性质可以归纳为对方程的研究；而方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数的问题，即用函数思想解答菲函数问题。

【例题精讲】【例1】若关于x 的方程0322=++k kx x 的两不同的根都在1-和3之间，求k 的取值范围。

分析：若令，k kx x x f 32)(2++= 其图像与x 的交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解而根据要求更根必须都在1-和3之间，则可以先画出符合题意函数)(x f y =的草图，结合图像找关系。

解：若令，k kx x x f 32)(2++= 其图像与x 的交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解 而根据要求更根必须都在1-和3之间，则画出符合题意函数)(x f y =的草图由)(x f y =的图像可知，要使两根都在1-和3之间则只需⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-=-<-=->>-)3,1(20)()2(0)3(0)1(k abk f a bf f f )0,1(-∈k说明：本题是二次方程的实数根问题，是高中阶段的重要问题之一。

主要考查了三个二次：二次函数、二次方程根及二次不等式之间的关系，结合对应的二次函数草图来得到满足二次方程根要求的二次不等式。

高三数学第二轮专题复习：函数方程思想高考要求函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决重难点归纳函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化 考生应做到（1）深刻理解一般函数y =f (x )、y =f –1(x )的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=log m33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由命题意图 本题重在考查函数的性质，方程思想的应用知识依托 函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组错解分析 第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根技巧与方法 本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题解 （1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］∵0＜m ＜1, f (x )为减函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在 例2已知函数f (x )=x 2–(m +1)x +m (m ∈R )(1)若tan A ,tan B 是方程f (x )+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角 求证 m ≥5;(2)对任意实数α,恒有f (2+cos α)≤0，证明m ≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f (sin α)的最大值是8，求m命题意图 本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围知识依托 一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式错解分析 第(1)问中易漏掉Δ≥0和ta n(A +B )＜0，第(2)问中如何保证f (x )在［1,3］恒小于等于零为关键技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列 列式要周到，不遗漏（1）证明 f (x )+4=0即x 2–(m +1)x +m +4=0 依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角∴2π＜A +B ＜π∴tan(A +B )＜0，即031tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=+m m B A B A B A ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--0310********m m m m m m ∴m ≥5 (2)证明 ∵f (x )=(x –1)(x –m )又–1≤cos α≤1，∴1≤2+cos α≤3，恒有f (2+cos α)≤0 即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0即(x –1)(x –m )≤0 ∴m ≥x 但x max =3，∴m ≥x max =3(3)解 ∵f (sin α)=sin 2α–(m +1)sin α+m =4)1()21(sin 22+-++-m m m α 且21+m ≥2,∴当sin α=–1时，f (sin α)有最大值8 即1+(m +1)+m =8，∴m =3例3关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为解析 设t =3x ，则t ∈［1,3］，原不等式可化为a 2–a –3＞–2t 2+t ,t ∈［1,3］等价于a 2–a –3大于f (t )=–2t 2+t 在［1,3］上的最大值 答案 (–∞,–1)∪(2,+∞)例4对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +1212+a 对称，求b 的最小值解 （1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点，∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立 于是Δ′=(4a )2–16a ＜0解得0＜a ＜1故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1（3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +1212+a 对称 ∴k =–1 设AB 的中点为M (x ′,y ′)∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根 ∴x ′=y ′=abx x 2221-=+， 又点M 在直线1212++-=a x y 上有121222++=-a ab a b ， 即aa a ab 121122+-=+-=∵a ＞0，∴2a +a 1≥22当且仅当2a =a 1即a =22∈(0,1)时取等号， 故b ≥–221，得b学生巩固练习1 已知函数f (x )=log a ［x –(2a )2］对任意x ∈［21,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )A (0,41] B (0,41) C ［41,1) D (41,21）2 函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x )的递减区间是( )A ［45，+∞) B (1,45] C ［47,+∞) D (1,47］3 关于x 的方程lg(ax –1)–lg(x –3)=1有解，则a4 如果y =1–sin 2x –m cos x 的最小值为–4，则m5 设集合A ={x ｜4x –2x +2+a =0,x ∈R }（1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；（2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2–6x ＜a (x –2)恒成立，求x 的取值范围参考答案1 解析 考查函数y 1=x 和y 2=(2a )x 的图象，显然有0＜2a ＜1由题意21)2(21a =得a =41，再结合指数函数图象性质可得答案 答案 A2 解析 由题意可得f (–x +1)=–f (x +1) 令t =–x +1，则x =1–t ，故f (t )=–f (2–t )，即f (x )=–f (2–x )当x ＞1,2–x ＜1，于是有f (x )=–f (2–x )=–2(x –47)2–87，其递减区间为［47，+∞) 答案 C3 解析 显然有x ＞3，原方程可化为1031=--x ax 故有(10–a )·x =29,必有10–a ＞0得a ＜10 又x =a -1029＞3可得a 31 答案 31＜a ＜10 4 解析 原式化为4)2(cos 22m m x y --= 当2m ＜–1,y min =1+m =–4⇒m =–5当–1≤2m ≤1,y min =42m -=–4⇒m =±4不符当2m＞1，y min =1–m =–4⇒m =5 答案 ±55 解 (1)令2x =t (t ＞0)，设f (t )=t 2–4t +a由f (t )=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有①f (t )=0有两等根时，Δ=0⇒16–4a =0⇒a =4验证t 2–4t +4=0⇒t =2∈(0,+∞)，这时x =1②f (t )=0有一正根和一负根时,f (0)＜0⇒a ＜0③若f (0)=0，则a =0，此时4x –4·2x =0⇒2x =0（舍去），或2x =4,∴x =2，即A 中只有一个元素综上所述，a ≤0或a =4，即B ={a ｜a ≤0或a =4}（2）要使原不等式对任意a ∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立 即g (a )=(x –2)a–(x 2–6x )＞0恒成立 只须175081020)4(022-⇒⎩⎨⎧<+-≤⇒⎩⎨⎧>≤-x x x g x ＜x ≤2。

函数与方程答题思路高考数学复习高考数学解题思想：函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数) 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题; 方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。

利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

例3 若曲线y=2x+1 与直线y=b 没有公共点，则b 的取值范围是分析：本题从方程的角度出发可直接作出方程y=2x+1 的方程y=b 的图像，观察即可得出结论，也可将“曲线y=2x+1 与直线y=b 没有公共点”转化为判断方程b=2x+1 何时无解的问题。

解：因为函数y=2x+1的值域为(1,+ X)，所以当b< 1,即-1 < b< 1时，方程b=2x+1无解，即曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点。

例4设函数f(x)=log2(2x+1) 的反函数为y=f-1(x) ,若关于x 的方程f-1(x)=m+f(x)在[1,2]上有解，则实数m的取值范围是。

分析：求出函数f(x) 的反函数f-1(x)=log2(2x-1) ,可将方程转化为m=log2(2x-1)-log2(2x+1) ,于是原问题转化为求函数y=log2(2x-1)-log2(2x+1) , x € [1,2]的值域。

解：由已知f-1(x)=log2(2x-1) ，所以f-1(x)=m+f(x) 化为m=log2(2x-1)-log2(2x+1)，令y=log2(2x-1)-log2(2x+1) ,x € [1,2], 则y=log2 ■=log2(1- ■ ) ，此函数在［1,2］上是单调递增函数，所以值域为［Iog2 ・,log2 ■］，于是m的取值范围为［Iog2 ■ ,log2 ■,］。

1. 在中学我们只研直圆柱、直圆锥和直圆台。

所以对圆柱、圆锥、圆台的旋转定义、实际上是直圆柱、直圆锥、直圆台的定义。

专题4函数与方程思想纵观近几年的高考试题，对函数与方程等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在.在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次： 1 解方程； 2 含参数方程讨论； 3 转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系； 4 构造方程求解.预测2013年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式间的关系.1．关于x 的方程sin 2x ＋cos x ＋a ＝0有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：a ＝－sin 2x －cos x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54，最小值为－54，最大值为1.所以a 的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，12．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，则通项a n ＝________. 解析：显然公差不为零，故通项为n 的一次函数，设a n ＝an ＋b ，a ，b 为常数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝10，12a ＋b ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－5，∴a n ＝3n －5.答案：3n －53．若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析：法一：∵ab ＝a ＋b ＋3，a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1. 而a >0，a ＋3a －1>0，∴a >1. ∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝ a －1 2＋5 a －1 ＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号． 法二：若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝ t －3 2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0.解得t ≥9，即ab ≥9. 答案：[9，＋∞)4．函数f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的值域为________． 解析：设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[]－2，2， 则sin x cos x ＝t 2－12，构造二次函数y ＝t 22＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]， 当t ＝－1时，y 最小为－1； 当t ＝2时，y 最大为12＋ 2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2 5．已知抛物线E ：y 2＝4x 与圆M ：(x －4)2＋y 2＝m 有四个交点，则实数m 的取值范围为________． 解析：将抛物线E ：y 2＝4x 与圆M ：(x －4)2＋y 2＝m 的方程联立，消去y 2整理得x 2－4x ＋16－m ＝0(*)．抛物线E ：y 2＝4x 与圆M ：(x －4)2＋y 2＝m 有四个交点的充要条件是方程(*)有两个不相等的正根，即f (x )＝x 2－4x ＋16－m 在(0，＋∞)上有两个不相同的零点．因为对称轴x ＝2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 0 >0，f 2 <0，解得12<m <16.答案：(12,16)[典例1] 如果函数y ＝ax ＋bx 2＋1的最大值是4，最小值是－1，求实数a ，b 的值． [解] 由y 的最大值是4，知存在实数x 使ax ＋bx 2＋1＝4， 即方程4x 2－ax ＋4－b ＝0有实根， 故有Δ1＝a 2－16(4－b )≥0；又由y 的最大值是4，知对任意实数x 恒有ax ＋b x 2＋1≤4，即4x 2－ax ＋4－b ≥0恒成立，故Δ1＝a 2－16(4－b )≤0，从而有Δ1＝a 2－16(4－b )＝0.同样由y 的最小值是－1，可得Δ2＝a 2－4(1＋b )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝0，Δ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±4，b ＝3.本题将函数的最值问题，巧妙转化为二次方程的问题，使问题顺利解决． [演练1](2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋6 ＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9 [典例2]设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ；数列{b n }的前n 项和为S n ，S n ＝1－b n . (1)设c n ＝1T n.①证明数列{c n }为等差数列； ②求数列{a n }的通项公式；(2)若T n (nb n ＋n －2)≤kn 对n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)①证明：由T n ＝1－a n 得：T n ＝1－T nT n －1(n ≥2)，T n ·T n －1＝T n －1－T n,1＝T n －1－T n T n ·T n －1＝1T n －1T n －1，即c n －c n －1＝1.又T 1＝1－a 1＝a 1，a 1＝12，c 1＝1T 1＝2，所以数列{c n }是以2为首项，1为公差的等差数列． ②c n ＝c 1＋n －1＝2＋n －1＝n ＋1， T n ＝1n ＋1，a n ＝T n T n －1＝nn ＋1(n ≥2)，当n ＝1时也符合，故a n ＝nn ＋1.(2)因为S n ＝1－b n ，S 1＝1－b 1＝b 1， 所以b 1＝12，S n －1＝1－b n －1(n ≥2)，S n －S n －1＝b n －1－b n,2b n ＝b n －1(n ≥2)．所以数列{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列．所以b n ＝b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.因为T n (nb n ＋n －2)≤kn 对n ∈N *恒成立， 所以T n ⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋n －2n ≤k 对n ∈N *恒成立， 即1n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n －2n n ＋1≤k 对n ∈N *恒成立． 设f (n )＝1n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 则f (n ＋1)＝1n ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 因为1n ＋1>1n ＋2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1>0， 所以f (n )>f (n ＋1)，所以当n ∈N *时，f (n )单调递减． 设g (n )＝n －2n n ＋1 ，则g (n ＋1)＝n －1n ＋1 n ＋2，g (n ＋1)－g (n )＝4－nn n ＋1 n ＋2.所以当1≤n ＜4时，g (n )单调递增；g (4)＝g (5)； 当n ≥5时，g (n )单调递减． 设L (n )＝f (n )＋g (n )，则L (1)<L (2)<L (3)，L (3)>L (4)>L (5)>L (6)>…. 所以L (3)最大，且L (3)＝1196.所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1196，＋∞.(1)数列是特殊的函数，所以数列问题多与函数、方程有密切的关系，数列中的基本运算就是方程思想的应用，求数列中的最大(小)项的问题，一般是构造函数利用函数的单调性解决．(2)解决不等式的恒成立问题的一种重要方法就是构造函数，利用函数的性质解决． [演练2]设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋m(m ∈N *)．(1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N *，t ≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．解：(1)因为S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，适合上式， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)， 所以b n ＝2n －12n －1＋m，则b 1＝11＋m ，b 2＝33＋m ，b 8＝1515＋m ，由b 22＝b 1b 8，得⎝⎛⎭⎪⎫33＋m 2＝11＋m ·1515＋m，解得m ＝0(舍)或m ＝9，所以m ＝9.(2)假设存在m ，使得b 1，b 4，b t (t ∈N *，t ≥5)成等差数列，即2b 4＝b 1＋b t ，则 2×77＋m ＝11＋m ＋2t －12t －1＋m ，化简得t ＝7＋36m －5， 分别存在t ＝43,25,19,16,13,11,10,9,8适合题意， 即存在这样的m ，且符合题意的m 共有9个． [典例3]已知椭圆方程为x 29＋y 24＝1，在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0<a <3)的距离的最小值为1？若存在，求出a 的值及P 点坐标，若不存在，请给予证明．[解] 设存在P (x ，y )满足题设条件， ∴AP 2＝(x －a )2＋y 2.∵x 29＋y 24＝1，∴y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 29.∴AP 2＝(x －a )2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －95a 2＋4－45a 2.∵－3≤x ≤3，若0＜95a ≤3，即0＜a ≤53时，AP 2的最小值为4－45a 2.依题意，4－45a 2＝1，∴a ＝±152∉⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53，∴95a >3，即53<a <3. 此时x ＝3时，AP 2取最小值(3－a )2. 依题意(3－a )2＝1，∴a ＝2. 此时P 点的坐标是(3,0)，故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，P 点坐标为(3,0)．几何中的最值问题，其实质就是构造函数求函数的最值问题． [演练3]设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x交于点M 、N ，则当MN 取得最小值时，a 的值为________． 解析：依题意得，a >0，点M (a 2，a )，N (ln a ，a )，易知a 2>ln a ，MN ＝a 2－ln a ．记f (a )＝a 2－ln a ，则有f ′(a )＝2a －1a ＝2a 2－1a .当0<a <22时，f ′(a )<0；当a >22时，f ′(a )>0.于是，函数f (a )＝a 2－ln a在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上是增函数，f (a )＝a 2－ln a 在a ＝22处取得最小值，即当MN 取得最小值时a ＝22. 答案：22[专题技法归纳]1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．2．在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．3．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．1．对任意实数m ，过函数f (x )＝x 2＋mx ＋1图象上的点(2，f (2))的切线恒过一定点P ，则点P 的坐标为________．解析：因为f ′(x )＝2x ＋m ， 故f ′(2)＝4＋m .于是过点(2，f (2))的切线方程是y －(5＋2m )＝(4＋m )(x －2)，即y ＝(m ＋4)x －3，因此切线恒过点(0，－3)． 答案：(0，－3)2．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________． 解析：设f (p )＝p (x －1)＋x 2－4x ＋3，f (p )为关于p 的一次函数，要使f (p )>0对p ∈[0,4]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝x 2－4x ＋3>0，f 4 ＝x 2－1>0.解得x >3或x <－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)3．设F 1是椭圆x 23＋y 22＝1的左焦点，弦AB 过椭圆的右焦点F 2，则△F 1AB 面积的最大值为________．解析：如图所示，由椭圆方程可知，a 2＝3，b 2＝2，c ＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则S △F 1AB ＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，代入椭圆方程，化简得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0.由根与系数的关系，得|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2＝43 m 2＋1 2m 2＋3＝432m 2＋1＋1m 2＋1.令t ＝m 2＋1≥1，则S △F 1AB ＝432t ＋1t.∵f (t )＝2t ＋1t在[1，＋∞)上是增函数，∴f (t )min ＝f (1)＝3.∴(S △F 1AB )max ＝433，此时t ＝1，即m ＝0.答案：4334．函数f (x )＝ax －a ＋1存在零点x 0，且x 0∈(0,2)，则实数a 的取值范围是________． 解析：f (0)·f (2)<0，(a ＋1)(a －1)>0，得a <－1或a >1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )＝2mx －1mx －mx<0恒成立，显然m ≠0.所以当m <0时，有2m 2x 2－1－m 2>0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，即2m 2×1－1－m 2>0，解得m 2>1，即m <－1；当m >0时，有2m 2x 2－1－m 2<0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，m 无解，综上所述m <－1.答案：(－∞，－1)6．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 的值为________． 解析：圆的方程(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1,0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m |3＋1＝3⇒|3＋m |＝23⇒m ＝3或者m ＝－3 3.答案：3或－3 37．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 a ＋1 2＝1的离心率e 的取值范围是________．解析：e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋ a ＋1 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a <1，所以2<e 2<5，即2<e< 5.答案：(2，5)8．关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的个数是________． 解析：根据题意可令|x 2－1|＝t (t ≥0)， 则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝|x 2－1|的图象，结合函数的图象可知当t ＝0或t >1时，原方程有两个不等的根，当0<t <1时，原方程有4个根，当t ＝1时，原方程有3个根．①当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个； ②当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个；③当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；④当0<k <14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x2－1|＝t 的解有8个．答案：①②③④9．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以x >0时，F (x )也为增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)，如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)． 答案：(－∞，－3)∪(0,3)10．设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝e x＋1，则f (x )＝________. 解析：由f (x )＋g (x )＝e x＋1得f (－x )＋g (－x )＝e －x＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝e x ＋1，f x －g x ＝e －x＋1.相加得f (x )＝12(e x ＋e －x＋2)．答案：e x ＋e －x＋2211．某公司生产某种消防安全产品，年产量为x 台(0≤x ≤100，x ∈N )时，销售收入函数R (x )＝3 000x －20x 2(单位：万元)，其成本函数C (x )＝500x ＋b (单位：万元)．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4 000(万元)．(1)求利润函数P (x )；(2)求该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？(3)在经济学中，对于函数f (x )，我们把函数f (x ＋1)－f (x )称为函数f (x )的边际函数，记作Mf (x )．对于(1)求得的利润函数P (x )，求边际函数MP (x )，并利用边际函数MP (x )的性质解释公司生产利润情况．(本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等)解：(1)由题意得C (0)＝4 000，所以b ＝4 000， 所以C (x )＝500x ＋4 000，故P (x )＝R (x )－C (x )＝3 000x －20x 2－500x －4 000＝－20x 2＋2 500x －4 000(0≤x ≤100，x ∈N )．(2)由(1)知P (x )＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －12522＋74 125(0≤x ≤100，x ∈N )，所以当x ＝62或x ＝63时，利润最大，最大利润P (x )max ＝P (62)＝P (63)＝74 120.所以该公司生产62台或63台产品时，利润最大，最大利润是74 120万元．(3)由(1)的结论及题中定义知MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－40x ＋2 480(0≤x ≤99，x ∈N )．边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台产品的利润与生产前一台产品的利润相比在减少．当x ＝0时，边际函数取得最大值2 480，说明生产一台产品与不生产时的利润差最大；当x ＝62时，边际函数为零，说明生产62台产品时，利润达到最大．12．若x ∈(0，＋∞)，求证：1x ＋1<ln x ＋1x <1x. 证明：令x ＋1x ＝1＋1x＝t ，由x >0可知t >1，则x ＝1t －1，所以原不等式可化为1－1t<ln t <t －1. ①令f (t )＝t －1－ln t ，则有f ′(t )＝1－1t，当t ∈(1，＋∞)时，f ′(t )>0，所以函数f (t )在区间(1，＋∞)上是增函数，则有f (t )>f (1)＝0， 即t －1>ln t ，②令g (t )＝ln t －1＋1t ，则有g ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t2，当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以函数g (t )在区间 (1，＋∞)上是增函数，则有g (t )>g (1)＝0，即ln t >1－1t.综上可知：1x ＋1<ln x ＋1x <1x.。

第4讲函数、基本初等函数I的图象与性质高考研究一、【考纲要求】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.7．导数及其应用（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3）根据导数的定义求函数(c为常数)的导数.（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数.常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；, n∈N+；；; ;(a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1).常用的导数运算法则：（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6） 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. （7） 会用导数解决某些实际问题..（8） 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （9） 了解微积分基本定理的含义. 【命题规律】二、【基础知识整合】1．函数的奇偶性：（1）定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫做偶函数；如果都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫做奇函数,函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称. (2)图象特征：函数()f x 是偶函数Û图像关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数Û图像关于原点对称.（3）奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果在0x =处有定义，有(0)0f =， 即其图像过原点（0,0）.，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反，且()()()f x f x f x -==，这样就可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上，是 简化问题的途径，切记！2.函数的单调性判断方法：（1）定义法：对于定义域内某一个区间D 内任意的12,x x ，且12x x <，若12()()f x f x < Ûf(x)在D 上单调递增；若12()()f x f x >Ûf(x)在D 上单调递减.（2）导数法：若函数在某个区间D 可导，如果'f (x)>0，那么函数f(x)在区间D 内单调递增；如果'f (x)<0，那么函数f(x)在区间D 内单调递减.(3)图像法：先作出函数的图像，再根据图像的上升或下降，从而确定单调区间.（4）()()()F x f x g x =+，若(),()f x g x 都是增函数，则()F x 在其公共定义域内是增函数；若(),()f x g x 都是减函数，则()F x 在其公共定义域内是减函数.()()()F x f x g x =-，若()f x 是增函数，()g x 是减函数，则()F x 在其公共定义域内是增函数；若()f x 是减函数，()g x 是增函数，则()F x 在其公共定义域内是减函数.同时要充分利用函数的奇偶性、函数的周期性、函数图象的直观性分析转化，函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用. 3．函数的图像：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成. （２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.()f x 的图像的画法：先画0x ≥时()y f x =，再将其关于y 对称，得y 轴左侧的图像.()f x 的图像画法：先画()y f x =的图象，然后位于x 轴上方的图象不变，位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折上去.()()f a x f a x +=-Þ()y f x =的图象关于x =a 对称；()()f a x f a x +=--Þ()y f x =的图象关于(a,0）点对称.()y f x =的图象关于x 轴对称的函数图象解析式为(y f x =-）；关于y 轴对称的函数解析式为(-y f x =）；关于原点对称的函数解析式为-(-y f x =）. (3)熟记基本初等函数的图象，以及形如1y x x=+的图象 4．周期性：（1）定义：对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()y f x =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期. f(x ）是偶函数，且图象关于1x =对称，则f(2+x)=f(-x)=f(x)，所以f(x)周期是2.5．指数函数、对数函数、幂函数的性质：幂函数y x α=图象永远过（1,1），且当0α>时，在(0,)x ∈+∞时，单调递增；当0α<时，在(0,)x ∈+∞时，单调递减.６.函数与方程（１）方程()0f x =有实根Û函数()y f x =的图象与x 轴有交点Û函数()y f x =有零点．（２）如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c (a b)∈，，使得f (c) = 0，这个c 也就是方程f (x) = 0的根（5）函数的零点就是函数()y f x =的图象与x 轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合极值和单调性画出函数大致图像，并结合零点存在定理判断零点所在的区间. 7．导数的几何意义（1）函数()y f x =在点0x 处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率，则'0()k f x = （2）函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-.(3)在关于函数图象的切线问题中，如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意三个条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率'0()k f x =. 8．导数与单调性的关系（1）若函数在某个区间D 可导，'f (x)>0 Þf(x)在区间D 内单调递增；'f (x)<0Þf(x)在区间D 内单调递减.(4)若已知单调性确定参数的范围，一种方法是结合基本函数图像或熟悉的函数的图象求解；另一种方法是转化为'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立.9．导数和函数极值、最值的关系（1）求极值的步骤：①先求'()0f x =的根0x （定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析0x 两侧导数'()f x 的符号：若左侧导数负右侧导数正，则0x 为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则0x 为极大值点.（2）对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件.（3）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在,a b （）内可导，则()y f x =在[,]a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点取得，所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最值.（4）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域. 10．利用定积分求曲边梯形的面积 （1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积 ()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a). （2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰三、【高频考点突破】 考点1 函数及其表示【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数)y x =-的定义域为（ ） A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]【例3】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．【规律方法】1、若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式（组）即可.2、对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3、对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.【举一反三】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】设36log (1)(6)()31(6)x x x f x x --+>⎧=⎨-≤⎩满足8()9f n =-，则(4)f n +=( ) A ．2 B ．2- C ．1D ．1-考点2 函数的图象【例1】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】已知函数()()()f x x a x b =--（a b >）的图象如下面左图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数cos sin y x x x =+的图象大致为【例3】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=（ ）A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --【规律方法】1.正确的作图必须做到：①熟练掌握常见的一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数及形如(0,0)by ax a b x=+>>的函数图象；②掌握图象变换的方法来简化作图过程. 2．正确的识图是解题的关键，在观察和分析图象时，要注意图象的分布和变化趋势，要结合函数的性质，或者特殊点，以及函数值的正负来判断. 【举一反三】考点3 函数的性质【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为______.【例3】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递增区间是（ ）A ．5[,)4+∞ B ．5(1,]4 C ．7[,)4+∞ D ．7(1,)4【规律方法】重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、图像变换、基本初等函数（载体），研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象（形）的作用，善于从形的角度研究函数的性质. 【举一反三】【广东省佛山市一中2014届高三10月段考（理）】已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，在(0,)+∞上单调递减，且0)3()21(>->f f ，则方程()0f x =的根的个数为_________.考点4 指数函数、对数函数、幂函数【例1】【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若2(2)()f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)- (D) (2,1)-【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知映射:f A B →，其中[0,1]A =，B R =，对应法则是121:log (2)()3xf x x →--，对于实数k B ∈，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ..【例3】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c == ()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 .【规律方法】1.对数函数的定义域为{}0x x >，指数函数的值域{}0y y >.2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.3. 注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题. 【举一反三】已知函数2232(0)()log (0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，则此函数的“和谐点对”有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对考点5 函数的零点【例1】【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是 （ ）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.31,2⎛⎫⎪⎝⎭【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【规律方法】1、确定函数()f x 的零点所在的区间：第一种方法是解方程()0f x =的根；第二种方法是如果方程容易解出，可转化为两个函数交点横坐标问题，通过检验交点左侧和右侧函数值的大小关系，进而得出两点所在的区间；第三种方法是利用零点存在定理.2.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.3、方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 【举一反三】【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】直线y x =与函数⎩⎨⎧<++≥=m x x x m x x f ,24,2)(2的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围（ ）A ．[1,2)- B. [1,2]- C. ]2,1(- D. [2,)+∞考点6 函数模型及其应用【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ） (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.第 11 页 共 13 页【规律方法】解与函数有关的应用题一般程序为：审题Þ建模Þ求解Þ反馈，审题就是理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；关键一步是设定变量，寻找其内在的等量关系或者不等关系，然后准确建立相关的函数解析式（标明定义域），再应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解决. 【举一反三】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】（本小题满分13分）预计某地区明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量)(x f （万件）近似满足：∈-+=x x x x x f )(235)(1()(N *，且12≤x ）考点7 导数的运算及其意义【例1】【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A.3-B.3C.6D.9【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数21()4ln 2f x x x =+，若存在满足013x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[5,)+∞B ．[4,5]C ．13[4,]3D ．(,4)-∞【规律方法】1.导数的几何意义是'()k f x =.2.从近几年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有关的问题是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义，切点既在曲线上，又在切线上. 【举一反三】 已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）第 12 页 共 13 页A. [0,)4πB. [,)42ππC. 3[,)4ππD. 3(,]24ππ 考点8 导数的应用（单调性、极值、最值）【例1】【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =C. 3(ln 2)2(ln3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定【例2】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】已知函数2()ln(1)f x ax x =++． （Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【规律方法】1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式'()0f x >和定义域求交集得单调递增区间；解不等式'()0f x <和定义域求交集得单调递减区间.2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.3、求函数的极值，先求'()0f x =的根0x ，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.4、求函数的最值和求极值类似，先求'()0f x =的根0x ，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值. 【举一反三】【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】已知函数1()ln xf x x ax-=+ （1）当1a =时，求()f x 在1[,2]2上的最小值；（2）若函数()f x 在1[,+)2∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；第 13 页 共 13 页（3）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．考点9 定积分的计算及应用【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）125ln5+ B ．11825ln 3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+【规律方法】1、求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.2、定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别. 【举一反三】【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x = 处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为焦．三．错混辨析A. (1,)+∞B. (,0)-∞C. (1,)+∞ (,0)-∞D. (,)e +∞ 2.概念不清致误【例2】已知322()+f x x ax bx a =++在1x =处有极值为10，则a b +的值=__________. 3.导数和函数单调性不清致误【例3】已知222()2x ax af x x+-=区间[1,)+∞是增函数，求实数a 的取值范围.。

[高考]高考数学二轮专题复习教案4：函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x),0的解就是函数y,f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y,f(x)也可以看作二元方程f(x)-y,0通过方程进行研究。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点1(函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

2(方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3((1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y,f(x)，当y,0时，就转化为方程f(x),0，也可以把函数式y,f(x)看做二元方程y,f(x),0。

函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x),0，就是求函数y,f(x)的零点。

(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y,f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

2019-2020年高三数学二轮复习 专题二第四讲 思想方法与规范解答教案 理 思想方法1．数形结合思想所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．本专题中集合的运算、求二次函数的最值，确定函数零点问题、求不等式恒成立中参数等都经常用到数形结合思想．[例1] (xx 年高考辽宁卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos (πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－，]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 根据函数y ＝f (x )的特点确定其性质，然后根据定义域分别作出图象求解．根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos (πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤，则x 3＝x cos (πx )，即x 2＝ |cos πx |.同理可以得到在区间[－12，0)， (12，1]，(1，32]上的关系式都是上式， 在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．[答案] B跟踪训练已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：利用函数的单调性及数形结合思想求解．∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)<0，得1<x<3，由f′(x)>0，得x<1或x>3，∴f(x)在区间(1，3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0，y极小值＝f(3)＝－abc<0，∴0<abc<4.∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，∴正确结论的序号是②③.答案：C2．分类讨论思想分类讨论思想是由问题的不确定性而引起的，需要按照问题的条件划分为几类，从而解决问题，在本专题中常见的分类讨论思想的运用有以下两个方面：(1)二次函数在给定区间的最值求法，注意对称轴与区间关系；(2)含参数的函数的单调性的判断，极值、最值的求法．[例2] (xx年高考课标全国卷)设函数f(x)＝e x－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．[解析](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x －1＋x (x >0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ， 则g ′(x )＝－x e x －1（e x －1）2＋1＝e x （e x－x －2）（e x －1）2. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1，2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)． 又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2，3)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.跟踪训练(xx 年济南模拟)已知函数f (x )＝x 2e －ax ，a R.(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程；(2)讨论f (x )的单调性．解析：(1)因为当a ＝1时，f (x )＝x 2e －x ，f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝(2x －x 2)e －x ，所以f (－1)＝e ，f ′(－1)＝－3e.从而y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －e ＝－3e(x ＋1)，即y ＝－3e x －2e.(2)f ′(x )＝2x e －ax －ax 2e －ax ＝(2x －ax 2)e －ax .①当a ＝0时，若x <0，则f ′(x )<0，若x >0，则f ′(x )>0.所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．②当a >0时，由2x －ax 2<0，解得x <0或x >2a， 由2x －ax 2>0，解得0<x <2a. 所以当a >0时，函数f (x )在区间(－∞，0)，(2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，2a)上为增函数． ③当a <0时，由2x －ax 2<0，解得2a<x <0， 由2x －ax 2>0，解得x <2a或x >0. 所以，当a <0时，函数f (x )在区间(－∞，2a )，(0，＋∞)上为增函数，在区间(2a，0)上为减函数． 综上所述，当a ＝0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，0)，(2a ，＋∞)上单调递减，在(0，2a )上单调递增当a <0时，f (x )在(2a，0)上单调递减，在(－∞，2a)，(0，＋∞)上单调递增．考情展望高考对本专题的考查主要是两个方面：一是在选择填空题中考查函数图象与性质及应用，二是在解答题中考查导数的应用，常与不等式联系，难度较大，多涉及含参数问题．名师押题【押题】 设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R.(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围．【解析】 (1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1x－1. 由f ′(x )＝1x－1>0得0<x <1， 由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px .由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0.即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意；②当－12<p <0时，存在x ∈(1，－12p)使得ln x >0，1＋2px >0，从而g ′（x ）＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在(1，－12p )上单调递增，从而存在x 0∈(1，－12p)使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意； ③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意．综上所述，实数p 的取值范围为。