(完整)(典型题高考数学二轮复习知识点总结函数与方程及函数的应用,推荐文档

数学高考二模知识点归纳高考数学是每个学生都需要面对的一项重要考试科目，掌握好数学的基础知识和解题思路对于取得高分至关重要。

为帮助同学们复习数学高考，下面将对数学高考二模的知识点进行归纳总结。

1. 函数与方程(1) 函数的定义及性质：函数的概念，一次函数、二次函数、绝对值函数、反比例函数等常见函数的性质。

(2) 方程的解法：一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等各种类型方程的解法和应用。

(3) 不等式：一元一次不等式、一元二次不等式的解法和应用。

2. 三角函数与解三角形(1) 三角函数的定义及性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等基本三角函数的定义和相关性质。

(2) 三角方程与三角恒等式：解三角方程的方法和技巧，利用三角恒等式进行证明和计算。

(3) 三角形的性质与解法：平面直角坐标系中的三角形，三角形边长关系，三角形的面积等相关性质及解法。

3. 数列与数学归纳法(1) 数列的概念及性质：等差数列、等比数列等常见数列的性质和求和公式。

(2) 递推关系与通项公式：根据数列的递推关系确定通项公式，根据通项公式计算数列的和。

(3) 数学归纳法：数学归纳法的基本原理和应用，证明数学命题的正确性。

4. 概率与数理统计(1) 概率的基本概念：样本空间、随机事件、概率等概率基本概念的解释和计算。

(2) 排列组合与概率：计算排列组合问题与概率问题相结合的题目，应用组合数学的知识解题。

(3) 统计分布与统计量：正态分布、二项分布等常见统计分布的性质和应用，常见统计量的计算和解读。

5. 解析几何与空间几何(1) 坐标系与二维几何：直线、圆、抛物线等二维几何图形的性质和解析表示。

(2) 空间几何与向量：向量的概念与性质，点、线、面等空间几何图形的性质和解析表示。

(3) 空间几何中的运算与应用：向量的运算法则，利用向量解决平面和空间几何问题。

以上是数学高考二模的知识点归纳，希望同学们能够针对这些知识点进行有针对性的复习，并在复习过程中加强练习和巩固。

高三第二轮知识点总结数学高三是每个学生都期待的一年，也是所有知识点的总结和复习的关键时期。

在这个阶段，数学是一个尤为重要的学科，需要我们加倍努力。

本文将对高三数学的第二轮知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些重要的数学知识。

1. 函数与方程在高三数学的第二轮中，函数与方程是一个重要的知识点。

函数是数学中的一种基本概念，它描述了变量之间的依赖关系。

而方程则是用来解决未知数的值的问题。

在这一部分，我们需要熟练掌握函数的定义、性质和图像，以及方程的解法和应用。

2. 几何与三角几何与三角是高三数学中不可或缺的一部分。

在这个部分，我们需要掌握几何图形的性质、定理和推导过程，以及三角函数的定义、性质和应用。

同时，需要注意几何证明的方法和技巧，以便在考试中能够灵活运用。

3. 概率与统计概率与统计是高三数学的重要组成部分，它们是描述随机事件和数据分析的两个重要工具。

在这一部分，我们需要熟悉概率的计算方法、事件的互斥和独立性，以及统计的数据收集、整理和分析的方法。

同时，需要注意概率与统计在实际生活中的应用，例如调查和推断等。

4. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是高三数学中的一个重要知识点。

数列是按照一定规律排列的一组数，它在数学和科学中有着广泛的应用。

数学归纳法则是一种证明数学命题的重要方法。

在这一部分，我们需要掌握数列的性质、求和公式和递推关系，以及数学归纳法的基本步骤和应用。

5. 导数与极限导数与极限是高三数学的难点和重点。

导数是函数在某一点的变化率，描述了函数的局部特征。

极限则是函数在某一点无限接近的值，描述了函数的整体特征。

在这一部分，我们需要熟练掌握导数和极限的定义、性质和计算方法，以及函数的变化规律和应用。

同时，需要注意导数与极限在物理和经济学等实际问题中的应用。

通过对高三数学的第二轮知识点进行总结，我们可以更好地理解和掌握这些重要的数学知识。

希望同学们能够认真学习，勤于思考，做到灵活运用，将这些知识点熟练应用于解决实际问题。

高三第二轮知识点总结数学尊敬的高三学子们：随着高考的临近，第二轮复习已经成为了我们备考过程中的关键阶段。

在这个阶段，我们需要对之前学过的知识点进行系统的梳理和总结，以便更好地巩固基础，提高解题能力。

本文将针对数学科目的第二轮复习，提供一些关键的知识点总结，希望能帮助大家在最后的冲刺阶段取得更好的成绩。

一、函数与方程函数是高中数学的核心概念之一，它涉及到的知识点广泛而深刻。

在复习函数时，我们需要重点关注以下几个方面：1. 函数的基本概念：定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 函数的性质和图像：了解不同类型函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）的性质和图像特征。

3. 函数的应用题：掌握利用函数解决实际问题的方法，如最值问题、增长率问题等。

4. 方程与不等式的解法：包括一元一次方程、一元二次方程、不等式及其解集的求解技巧。

二、数列与级数数列是高中数学中另一个重要的知识点，它不仅涉及基本的数列概念，还包括数列的求和、递推公式等。

在复习时，我们需要注意：1. 等差数列和等比数列的性质和公式。

2. 数列的通项公式和求和公式的推导。

3. 利用递推关系解决数列问题。

4. 级数的概念和计算，特别是等差级数和等比级数的求和公式。

三、几何几何部分包括平面几何和立体几何，以及解析几何的初步。

在复习时，我们应该：1. 掌握各种几何图形的性质，如三角形、圆、多边形等。

2. 理解并运用平面几何中的基本定理，如勾股定理、相似三角形定理等。

3. 熟悉立体图形的性质和体积、表面积的计算方法。

4. 解析几何中，要掌握直线和圆的方程，以及它们的位置关系。

四、概率与统计概率与统计是解决现实生活中随机现象的重要工具。

在复习这部分内容时，我们应该：1. 理解概率的基本概念，如样本空间、事件、概率等。

2. 掌握条件概率、独立事件的概率计算方法。

3. 熟悉统计中的基本概念，如平均数、中位数、众数、方差等。

4. 学会利用统计图表（如条形图、饼图、直方图等）解读数据信息。

高三第二轮复习知识点总结一、数学复习要点1.1 函数与方程在复习函数与方程时，首先要掌握各种基本函数的性质，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

同时，要熟悉函数图像的绘制和变换规律，理解函数的奇偶性、单调性和周期性。

方程部分要重点掌握一元一次方程、一元二次方程、不等式以及方程组的解法。

1.2 几何知识几何部分包括平面几何和立体几何。

平面几何要掌握各种图形的性质，如三角形、四边形、圆的基本性质和计算方法。

立体几何则要熟悉空间图形的体积和表面积公式，以及空间直线和平面的位置关系。

1.3 概率与统计概率与统计部分要求掌握概率的基本概念，如事件、概率的计算和条件概率。

同时，要了解随机变量、期望值和方差的概念，以及统计中的基本概念，如平均数、中位数、众数和标准差等。

二、语文复习要点2.1 文言文阅读文言文阅读要求掌握常见的文言虚词和实词的含义，理解句子结构和修辞手法。

通过阅读经典文言文，提高文言文的阅读理解能力。

2.2 现代文阅读现代文阅读要注重提高对文章主旨的把握能力，理解作者的观点和态度。

同时，要学会分析文章的结构和论证方法，提高批判性阅读的能力。

2.3 写作技巧写作部分要掌握议论文、记叙文和说明文等不同文体的写作技巧。

注意文章结构的合理性，语言的准确性和表达的流畅性。

同时，要注重积累素材，提高写作的创新性和说服力。

三、英语复习要点3.1 词汇与语法词汇是英语学习的基础，要通过不断的积累和复习，扩大词汇量。

语法部分要掌握时态、语态、非谓语动词等基本语法规则，并通过练习提高应用能力。

3.2 阅读理解阅读理解要注重提高速度和准确度。

通过广泛阅读不同类型的文章，提高对文章主旨和细节信息的理解能力。

同时，要学会运用阅读策略，如略读、寻读和细读等。

3.3 写作与听力英语写作要掌握基本的句型结构和段落组织方法，注意语言的连贯性和逻辑性。

听力部分要通过反复练习，提高对不同口音和语速的适应能力，以及捕捉关键信息的技巧。

函数与方程及函数的应用1． 函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2． 函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一 函数的零点例1 (1)(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x－a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 (2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x x >0，2x ＋1x ≤0，的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3答案 (1)A (2)D解析 (1)由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.(2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标． (1)(2012·天津)函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a＝3,3b＝2，则n ＝________. 答案 (1)B (2)－1解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点．(2)f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0就是方程a x＝－x ＋b 的根． 设y 1＝a x，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y 1＝1a＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32，∴－1<x 0<0，∴n ＝－1. 考点二 与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性． 答案 A解析 对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1， 则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确． 对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确． 对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确． 对于④，若f (x )是“12－伴随函数”，则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f (12)＋12f (0)＝0，若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点；若f (0)，f (12)均不为0，则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理，知f (x )在(0，12)内存在零点x 0，所以④正确．故选A.函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“镜像点对”)． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx x <0，log 3xx >0，则f (x )的图象上的“镜像点对”有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对答案 C解析 依题意，设点P (x 0，y 0)，Q (－x 0，y 0)(其中x 0>0)， 若点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝log 3x 0，y 0＝cos π－x 0＝cos πx 0，所以log 3x 0＝cos πx 0，即x 0是方程log 3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f (x )的图象的“镜像点对”共有3对．故选C. 考点三 函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|xx 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )． (1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝xx 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]． (2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g12，0≤a ≤14，g0，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等． (2)对函数模型求最值的常用方法 单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M (a )时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋2，0<x ≤4，x ＋142x －2，x >4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值． 解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋80<x ≤4，2x ＋28x －1x >4.当0<x ≤4时x 24＋8≥4，显然符合题意．当x >4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x ≤16.综上0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2m 0<x ≤4，m x ＋142x －2x >4，得当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ；当x >4时，y ′＝－30m 2x －22<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y <3m ，综上知，7m4≤y ≤3m ，为使4≤y ≤10恒成立，只要7m4≥4且3m ≤10即可， 即167≤m ≤103. 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1． 函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0.2． 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3． 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1． 已知函数f (x )＝(13)x－log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0<bB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析 函数f (x )＝(13)x－log 2x在其定义域(0，＋∞)上是减函数， ∵0<a <b <c ，∴f (a )>f (b )>f (c )． 又∵f (a )f (b )f (c )<0， 则f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0， 或者f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0. 若f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，则x 0<a ， 若f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0，则b <x 0<c ， 故x 0>c 不可能成立，故选D. 2． 若f (x )＋1＝1fx ＋1，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12]答案 D解析 根据方程与函数关系． 设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)， ∴f (x )＝1fx ＋1－1＝1x ＋1－1， ∴画出f (x )在(－1,1]上的图象(如右图)，g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f (x )＝m (x ＋1)有两个不同根，即y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)有两个不同交点． 如右图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时， 满足题意，则0<m ≤12.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．卖店函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0，f (1)＝log 21－11＝0－1<0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0， f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．2． 若函数g (x )＝f (x )－2在(－∞，0)内有零点，则y ＝f (x )的图象是( )答案 D解析 由f (x )－2＝0，得f (x )＝2，由图象可知， 对于A ，当f (x )＝2时，x ＝0，不成立． 对于B ，当f (x )＝2时，无解．对于C ，当f (x )＝2时，x >0，不成立，所以选D.3． 函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案 C解析 因为f ′(x )＝2xln 2＋2x2>0，所以f (x )是增函数，由条件可知f (1)f (2)<0， 即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0， 解之得0<a <3.4． 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，①所以必有4<A ，且c4＝c2＝30， ②联立①②解得c ＝60，A ＝16.5． 已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是 ( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15答案 B解析 令f (x )＝|x 2－6x |，作图象如下：知f (x )＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称， 它与直线y ＝a 交点的个数为2,3或4个． 所以方程根的和为6,9,12.选B.6． (2013·辽宁)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B 等于( )A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16D ．16答案 C解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)， 函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16. 二、填空题7． 函数f (x )＝x 2－2x的零点个数为________．答案 3解析 由于f (－1)＝1－2－1＝12>0，又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点； 又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点．8． 若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.9． 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________． 答案 7解析 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a >1.三、解答题11．已知函数f (x )＝2x，g (x )＝12|x |＋2.(1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值． 解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0得2x－12|x |－2＝0， 当x ≤0时，显然不满足方程， 当x >0时，由2x－12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2， 故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x＝1＋2， 即x ＝log 2(1＋2)．12．某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x 3＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元． (1)试将y 表示成关于x 的函数； (2)需要修建多少个增压站才能使y 最小？ 解 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝120，即k ＝120x－1，所以y ＝432k ＋(k ＋1)(x 3＋x ) ＝432×(120x －1)＋120x(x 3＋x )＝51 840x＋120x 2－312.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x ≤60. 故y 与x 的函数关系是y ＝51 840x＋120x 2－312(0<x ≤60)．(2)因为f (x )＝51 840x＋120x 2－312(0<x ≤60)，则f ′(x )＝－51 840x 2＋240x ＝240x2(x 3－216)， 由f ′(x )>0，得x 3>216，又0<x ≤60，则6<x ≤60.所以f (x )在区间(6,60]上为增函数，在区间(0,6)上为减函数． 所以当x ＝6时，f (x )取最小值， 此时k ＝120x －1＝1206－1＝19.故需要修建19个增压站才能使y 最小．13．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数． 解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，且f (1)＝－4a ， ∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x－4ln x＝x －3x－4ln x －2 (x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝x －1x －3x2.x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x (0,1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)＋0－0＋g(x)单调增加极大值单调减少极小值单调增加又g(e5)＝e5－3e5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)．。

高三数学第二轮复习知识点高三学生即将面临着人生中最重要、最紧张的考试——高考。

而数学作为其中一门科目，在高考中具有举足轻重的地位。

为了帮助大家更好地复习数学，提高分数，下面将介绍高三数学第二轮复习的重要知识点。

一、函数与方程函数与方程是数学中最基础的概念之一。

在高考中，函数的概念和性质经常出现，并且与方程密切相关。

1. 函数的定义：函数是一个输入与输出之间的关系，即对于每一个输入，都有唯一的输出。

2. 函数的性质：包括奇偶性、周期性、单调性等。

要熟悉不同类型函数的图像特征。

3. 方程的解法：要掌握一元一次方程、一元二次方程及其根的性质，熟练运用因式分解、配方法、求根公式等方法解题。

二、向量与几何1. 向量的概念与性质：熟悉向量的定义、加减法、数量积、向量夹角等基本性质，还要了解向量与坐标、平移、旋转等几何关系。

2. 几何与解析几何的转化：能够灵活地在几何图形和解析几何之间转化，掌握几何意义下的向量运算。

三、三角与三角函数1. 三角函数的定义与性质：熟悉三角函数的定义及其周期性、奇偶性等基本性质。

要能够准确地绘制各个三角函数的图像。

2. 三角函数的应用：要能够熟练地运用三角函数解决各种与角度有关的问题，如三角方程、三角不等式等。

四、导数与微分1. 导数的定义：理解导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。

2. 导数的性质：了解导数的性质，如可导必连续、导数的运算法则等。

3. 微分的概念与应用：理解微分的概念，能够应用微分解决实际问题，如求函数的最值、曲线的切线方程等。

五、概率与统计1. 概率的基本概念：理解事件、样本空间、随机事件、概率等基本概念。

2. 概率的计算：掌握加法原理、乘法原理、全概率公式等概率计算的方法。

3. 统计分析：学会收集、整理、分析数据，掌握数据的分布特征及统计量的计算方法等。

这些是高三数学第二轮复习的主要知识点，掌握这些知识将为考生在高考中取得好成绩打下坚实的基础。

在复习过程中，我们需要注重巩固基础知识，多做一些题目进行练习。

数学高考二模知识点汇总一、函数与方程1. 一次函数一次函数又称线性函数，表达形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

掌握求斜率和截距的方法，能够画出一次函数的图像。

2. 二次函数二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a不为0。

重点理解二次函数的图像特征，包括顶点、开口方向、对称轴以及零点的求解方法。

3. 指数函数与对数函数了解指数函数和对数函数的定义和性质，掌握指数函数与对数函数之间的互逆关系。

能够应用指数函数和对数函数解决实际问题。

4. 幂函数与反函数理解幂函数的概念和性质，包括幂函数的图像和变化规律。

掌握幂函数与反函数之间的关系及求解方法。

5. 三角函数熟悉正弦、余弦和正切函数的定义和性质，能够利用三角函数解决相关问题。

掌握三角函数的图像特征和周期性。

6. 方程与不等式掌握一元二次方程、一次不等式和一元一次方程组的解法，能够应用方程与不等式解决实际问题。

二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列了解等差数列和等比数列的定义和性质，能够求解等差数列和等比数列的通项公式以及前n项和的公式。

2. 递推数列理解递推数列的概念和性质，能够求解递推数列的通项公式和前n项和的公式。

3. 数学归纳法了解数学归纳法的基本原理和应用方法，掌握利用数学归纳法证明数学结论的步骤。

三、平面解析几何1. 二维坐标系熟悉平面直角坐标系的性质和表示方法，能够在平面上表示点、直线和图形。

2. 直线及其方程掌握点斜式、截距式和一般式等直线方程的求解方法，能够判断两条直线的位置关系和求解直线的交点。

3. 圆及其方程了解圆的定义和性质，熟悉圆的标准方程和一般方程的求解方法，能够利用平面解析几何解决圆相关的问题。

四、立体几何1. 空间几何体熟悉空间几何体的定义、性质和计算公式，包括直线、平面、立方体、棱柱、棱锥等。

2. 空间坐标理解三维坐标系的性质和表示方法，能够表示空间中的点和向量。

3. 空间几何体的位置关系掌握点、线、面的位置关系和相交关系的判断方法，能够确定两个几何体之间的位置关系。

高考数学二卷知识点总结高考是对于每一个学生而言都是至关重要的一次考试。

数学作为其中一门科目，对于许多学生来说相当具有挑战性。

为了帮助学生更好地应对高考数学二卷，本文将对数学二卷中的一些重要知识点进行总结和归纳。

一、函数与方程函数与方程是数学中非常基础且重要的概念。

在高考数学二卷中，考查的范围相对较广。

其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等等。

在应对这些题目时，需要掌握各种函数的性质，例如图像的性质、定义域、值域、单调性、奇偶性等。

此外，还需要熟练掌握解方程的方法，包括通过因式分解、配方法、二次方程的求根公式等来解方程，同时要注意解方程时的注意事项。

二、几何与向量几何与向量是高中数学中的重要部分，也是高考数学二卷中常见的考点。

在几何方面，我们需要掌握多边形、三角形、圆等的性质，例如周长、面积、角度关系等。

同时，还要熟练掌握平行线、垂直线、角平分线等的性质和判定方法。

在向量方面，需要掌握向量的加减法、数量积、向量积等运算，以及向量的共线、共面等性质。

三、概率与统计概率与统计是高考数学二卷中相对较容易得分的部分。

在概率方面，需要掌握基本的概念，例如事件、样本空间、事件的概率等，同时要能够解决一些基本的概率问题，例如排列组合、求概率、互斥事件、相互独立事件等。

在统计方面，需要熟悉数据的收集和整理方法，以及数据的描绘和分析方法，例如频数分布表、频数分布图、平均数、中位数、众数等。

四、数列与数论数列与数论在高考数学二卷中的重要性不容忽视。

在数列方面，需要掌握等差数列、等比数列等的性质和求和公式，以及解决数列相关的问题，例如数列的通项、求和等。

在数论方面，需要掌握整数的性质，例如质数与合数、因子分解、最大公约数、最小公倍数等。

五、解析几何解析几何是高考数学二卷中较难的部分之一。

对于解析几何，需要熟悉平面直角坐标系和空间直角坐标系的性质和转换。

同时，还需要掌握直线和曲线的方程、性质和应用，例如直线的斜率、截距、交点等，以及圆锥曲线的一些基本知识。

高中数学二轮专题归纳总结高中数学是一门重要的学科，它不仅培养学生的逻辑思维能力，还有助于学生的科学素养和解决实际问题的能力。

在高中数学学习的过程中，掌握各种基础知识是非常重要的。

本文将对高中数学二轮专题进行归纳总结，帮助学生更好地复习和掌握这些知识点。

一、函数与方程1. 函数的基本概念与性质- 函数的定义：函数是一种映射关系，根据自变量的不同取值，得到相应的函数值。

- 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等。

2. 二次函数- 二次函数的基本形式：$f(x)=ax^2+bx+c$。

- 二次函数的图像与性质：顶点、对称轴、最值等。

3. 指数与对数- 指数函数与对数函数的定义与性质。

- 指数与对数的运算性质与应用。

4. 三角函数- 常用三角函数的定义与性质。

- 三角函数的图像与变换。

二、数列与数列求和1. 等差数列- 等差数列的定义与性质。

- 等差数列的求和公式。

2. 等比数列- 等比数列的定义与性质。

- 等比数列的求和公式。

3. 递推数列- 递推数列的定义与性质。

- 递推数列的通项公式与求和公式。

三、空间几何与立体几何1. 空间向量- 空间向量的基本概念与性质。

- 向量的加减运算与数量积。

2. 空间中的基本几何元素- 点、线、面的基本概念与性质。

- 垂直、平行等关系的判定准则。

3. 空间中的位置关系- 点到直线、点到平面的距离与投影。

- 直线与平面的位置关系。

4. 立体几何的基本概念- 立体的基本元素：点、线、面、体。

- 空间几何体的计算公式。

四、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的概念与性质。

- 概率计算的基本方法：古典概型、几何概型、排列组合等。

2. 条件概率与独立性- 条件概率的定义与性质。

- 事件的独立性与相关性。

3. 随机变量与概率分布- 随机变量的概念与分类。

- 离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。

4. 统计与抽样- 统计的基本概念与性质。

- 抽样调查的方法与误差估计。

当然，以上只是高中数学二轮专题的一些基本内容归纳总结，实际的学习内容还有更多。

2024年高考数学必考知识点总结一、函数与方程1. 一次函数与二次函数- 函数定义与函数图像- 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等- 一次函数的表示与性质- 二次函数的表示与性质：顶点坐标、对称轴等- 一次函数与二次函数的图像变换2. 指数与对数- 指数与对数的性质：乘法规则、除法规则、幂次规则、换底公式等- 指数函数与对数函数的图像与性质- 指数方程与对数方程的解法3. 三角函数- 常用角的定义：正弦、余弦、正切、余切等- 三角函数的周期性与对称性- 三角函数的图像变换- 三角函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等- 三角函数的主要公式与应用4. 线性方程组- 线性方程组的解的判定方法与解法- 线性方程组的应用问题二、平面几何1. 直线与曲线- 直线与平面的位置关系：平行、垂直等- 直线与曲线的交点问题- 直线方程与曲线方程的解法2. 三角形与四边形- 三角形的基本性质：内角和、外角和、中线定理、垂心、内心、外心、重心等- 三角形的判定方法- 三角形的相似与全等- 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等3. 圆与圆锥曲线- 圆的性质：弦长定理、弧长定理、切线定理等- 圆与直线、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质三、空间几何1. 空间几何基础- 点与向量的运算与性质- 平行四边形法则与向量共线性- 点、线、面的位置关系2. 空间直线与空间曲线- 空间直线的方程与性质- 空间曲线的参数方程与性质3. 空间几何体- 空间几何体的基本概念与性质：球、柱、锥、棱柱、棱锥等- 空间几何体的体积与表面积计算四、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念与性质- 概率的定义与性质：加法原理、乘法原理等- 事件的独立性与互斥性- 概率计算：古典概型、几何概型、条件概率等2. 统计与抽样- 数据的分布：频数分布与频率分布- 统计指标：平均数、中位数、众数等- 抽样与样本调查- 点估计与区间估计3. 随机变量与概率分布- 随机变量的基本概念与性质- 离散型随机变量与连续型随机变量- 常见概率分布：二项分布、正态分布等- 期望、方差、标准差的计算与应用以上是____年高考数学必考的知识点总结，希望可以帮助你更好地准备高考。

高三数学二轮知识点总结在高三阶段，数学是一个很重要的科目，对于考生来说，掌握数学知识点是必不可少的。

本文将对高三数学二轮的知识点进行总结，希望对同学们的备考有所帮助。

1. 三角函数三角函数是高中数学中一个重要的章节。

其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是必须要掌握的。

相关的知识点包括三角函数的基本性质、图像、周期性、解析式以及相关的变形与恒等式等。

2. 平面向量平面向量也是高中数学中的重点内容。

关于平面向量，需要掌握向量的概念、向量的加减法、数量积、向量的夹角、向量的共线性和异面性等相关的知识点。

3. 空间向量空间向量是在平面向量的基础上扩展而来的。

在学习空间向量时，要了解向量的概念、向量的共线性和共面性、数量积、向量的夹角以及平行四边形法则等。

4. 解析几何解析几何是数学中的一个重要分支，其中平面解析几何和空间解析几何是重要的内容。

在学习解析几何时，要掌握点、直线、平面的方程以及相互关系，如点到直线的距离、点到平面的距离等等。

5. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法是数学中的基础概念。

学习数列与数学归纳法时，要了解数列的概念、数列的通项公式、数列的递推关系、数列的性质以及数学归纳法的基本原理和应用等。

6. 三角恒等变换与三角方程三角恒等变换和三角方程是高中数学中的难点。

在学习三角恒等变换时，要掌握三角函数的基本性质，如诱导公式、倍角公式、和差化积等。

在学习三角方程时，要了解三角方程的解法，如借助三角函数图像、三角函数对称性和三角函数的周期性等。

7. 函数与导数函数与导数是高中数学中的重要内容。

在学习函数与导数时，要了解函数的概念、函数的性质、函数的图像与性质、函数的运算以及导数的概念、导数的性质、导数与函数的关系等。

8. 不等式与极限不等式与极限是高中数学中的考察重点。

在学习不等式与极限时，要掌握不等式的性质、不等式的运算、不等式的解法，以及极限的概念、极限的运算、极限的性质和求极限的方法等。

9. 统计与概率统计与概率是高中数学中的一个分支。

高三数学二轮复习重点内容高中数学是学生们十分重视的科目，它不仅是高校招生考试的必修科目，而且在日常生活中也具有实际应用价值。

在高三的复习中，数学二轮复习至关重要。

下面将详细介绍高三数学二轮复习的重点内容。

函数与解析几何函数的性质1.反函数的概念与常见函数的反函数2.常用初等函数的性质与图像（函数随自变量的变化而变化，借助此性质解题）3.可导函数的概念与求导计算的基本方法4.函数基本性质（连续性、单调性、凸凹性等概念的理解与运用）解析几何的基本知识1.二维平面直角坐标系与三维空间直角坐标系的建立及用途（基本坐标系的建立方法、坐标系的图形表示，以及坐标参数体现的几何关系）2.其他直线的参数式方程和向量式方程、两点式方程、点法式方程等（掌握各种表示方法的联系和转换）3.圆的方程及性质（通过不同表达方式理解圆的性质，如直角坐标系、参数方程、向量等）4.面的参数式方程、一般式方程和法向量式方程、截距式方程等（掌握各式之间的联系和区别）向量的基本知识1.向量的加、减、点乘、叉乘等基本运算2.向量的数量积和向量积的性质与计算（如夹角公式、平面面积公式等）3.直线与平面的解析式（如点法式、一般式），以及直线平行和垂直的判定方法三角函数基本概念1.弧度制与角度制的转换以及弧度制上角度、弧长和正弦、余弦、正切的定义2.常用的初等三角函数，如正弦函数、余弦函数、正切函数等的性质、图像和运算三角函数的逆函数1.反三角函数的定义及性质2.反正弦、反余弦、反正切等函数的图像和性质3.弧度制和角度制下反三角函数的关系三角函数的基本公式与解三角形1.三角函数的导数公式和积分公式2.三角函数的和差化积公式、积化和差公式、倍角公式和半角公式的推导和运用3.平面解三角形的基本知识，如余弦定理、正弦定理和解三角形的最优解等问题矩阵论矩阵的基本概念1.矩阵、向量的定义及二者之间的关系2.矩阵的加减法以及矩阵的乘法和矩阵转置行列式1.行列式的定义及其运算性质（行列式的性质、行列式的计算方法、Cramer法则）2.行列式的几何意义及其应用矩阵的逆、特征值和特征向量1.矩阵的逆及其计算方法2.特征值与特征向量的概念及计算方法3.矩阵的对角化及其应用概率统计基本概念1.随机事件、样本空间、随机变量的概念和统计实验的基本过程2.事件、概率的基本公理和概率的性质离散随机变量1.离散型随机变量及其分布律和分布函数，如二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、负二项分布等2.离散随机变量的数学期望和方差的计算方法和性质连续随机变量1.连续型随机变量及其密度函数和分布函数，如均匀分布、正态分布、指数分布等2.连续随机变量的数学期望和方差的计算方法和性质，如依据离散随机变量的期望求连续随机变量的期望的方法以上就是高三数学二轮复习的重点内容，希望能够对你的复习有所帮助。

高三数学二轮知识点一、函数与方程在高三数学的二轮复习中，函数与方程是重要的知识点之一。

函数是一种特殊的关系，它将一个自变量与一个或多个因变量相关联。

我们可以通过方程的形式来表示一个函数，例如y = f(x)。

在函数与方程的学习中，我们需要掌握以下几个重要的概念和技巧：1. 函数的定义域和值域：函数的定义域是指自变量可取的值的集合，而函数的值域是指因变量可取的值的集合。

在确定函数的定义域和值域时，我们需要注意函数中的各种限制条件，如根号内不能为负等。

2. 线性函数：线性函数是一种表达简单、图像为直线的函数。

它的一般形式是y = kx + b，其中k和b为常数。

我们可以通过确定k和b的值来完全确定一条直线。

3. 二次函数：二次函数是一种关系较为复杂的函数，它的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数且a不等于0。

我们需要学会通过二次函数的图像来确定函数的性质，如顶点坐标、开口方向等。

4. 高次函数与分式函数：高次函数是指次数大于2的函数，如立方函数、四次函数等。

分式函数是指以一个或多个函数的商形式表示的函数。

在学习高次函数和分式函数时，我们需要关注其定义域、奇偶性、渐近线等特性。

二、概率与统计概率与统计也是高三数学二轮复习中需要重点掌握的知识点。

概率是指某个事件发生的可能性在数值上的度量，而统计是指通过收集、整理和分析数据来描述和推断总体的特征。

以下是我们在概率与统计学习中需要了解的内容：1. 样本空间与事件：样本空间是指一个随机试验的所有可能结果构成的集合，事件是指样本空间的一个子集。

我们需要学会用集合的形式来表示样本空间与事件，并熟练运用概率的计算方法，如频率法、几何法等。

2. 条件概率与独立事件：条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

独立事件是指事件A和事件B的发生与否相互独立，即事件A的发生与否并不会影响事件B的发生概率。

我们需要学会运用条件概率和独立事件的概念来解决实际问题。

高三数学二轮复习重点内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

数学高三数学函数与方程知识总结与应用在高三数学学习过程中，数学函数与方程是非常重要的内容。

掌握了这些知识，不仅可以为学习其他数学课程提供基础，也能在解决实际问题时发挥重要作用。

下面将对高三数学函数与方程的知识进行总结并介绍其应用。

一、函数知识总结1.1 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，通常用f(x)表示。

其中，x是自变量，f(x)是因变量。

要使一个关系为函数，对于任意的x值，都必须有唯一的f(x)值与之对应。

函数也有定义域与值域的概念，分别表示自变量与因变量的可能取值范围。

1.2 基本函数类型高中数学中常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

每种函数类型都有其独特的特点和性质。

例如，线性函数的图像为直线，二次函数的图像为抛物线。

1.3 函数图像的性质通过函数的表达式，我们可以得到其图像的一些性质。

例如，对于一次函数y = kx + b，其中k和b为常数，我们知道其图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度。

二、方程知识总结2.1 一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知常数，x是未知数。

解一元一次方程的一般步骤是将方程化简为ax = b的形式，然后求出x的值。

2.2 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。

解一元二次方程的一般步骤可以通过配方法、因式分解法或求根公式等方式进行。

2.3 二元一次方程组二元一次方程组是形如{ax + by = c,dx + ey = f}的方程组，其中a、b、c、d、e和f是已知常数，x和y是未知数。

解二元一次方程组的一般步骤是使用消元法或代入法等方法，最终得到x和y的值。

三、函数与方程的应用3.1 函数的图像应用函数的图像不仅可以直观地展示函数的性质，还可以应用于实际问题的解决。

例如，在物理学中，我们可以通过绘制v - t图像，其中t表示时间，v表示速度，从图像中直观地了解物体的运动情况。

高三第二轮知识点总结数学一、函数与导数1. 函数的概念函数是自变量与因变量之间的对应关系。

如果每个自变量对应唯一的因变量，并且每个因变量都由自变量确定，则称这种对应关系为函数。

2. 函数的性质（1）定义域：一个函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，是函数的合法输入值的范围。

（2）值域：一个函数的值域是指所有可能的因变量的取值，是函数的合法输出值的范围。

3. 导数的概念函数的导数，简称导数，是函数在某一点处的变化率。

导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，例如速度，加速度等。

如果函数y=f(x)在点x=x0处可导，则称函数在该点可导。

如果函数在某一点处可导，那么导数就是这个点处函数的斜率。

4. 导数的计算导数的计算是通过极限的概念来定义的。

对于一个函数y=f(x)，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式来计算：$$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$5. 导数的性质（1）导数与函数的关系：如果函数f(x)在任意一点可导，则称f(x)是可导的。

（2）可导函数的性质：如果函数f(x)在某一点可导，则它在该点处必然连续。

6. 导数的应用导数在很多实际问题中都有着重要的应用，如切线与切线方程、极值与最优化问题、微分与微分方程等。

二、不等式1. 绝对值不等式（1）绝对值函数：$|x|$表示x的绝对值。

绝对值函数的性质有：a. $|x|\geq 0$；b. $|ab|=|a|\cdot |b|$；c. $|x-y|\leq |x|+|y|$。

（2）绝对值不等式：绝对值不等式是带有绝对值的不等式，解题时会对不等式的两边取绝对值，然后分类讨论。

2. 一元二次不等式一元二次不等式是指一元二次函数的不等式，它的解法主要通过构造零点法，求不等式的根，或者使用图像法，构造抛物线的图像来求解。

3. 二元一次不等式二元一次不等式是指两个变量的一次不等式，通常使用图像法，分析直线在坐标轴上的位置以及不等式的解集。

函数与方程高考知识点总结一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系。

2.函数的表示方法：函数可以用函数解析式、函数图象、函数表等形式表示。

3.函数的性质：奇偶性、周期性、有界性、单调性、极值、最值等。

二、初等函数1.常数函数：y=c。

2. 一次函数：y=kx+b。

3. 二次函数：y=ax²+bx+c。

4.幂函数：y=xⁿ。

5.指数函数：y=aᵡ。

6. 对数函数：y=logₐx。

7.三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

8.反三角函数：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

三、函数的运算1.函数的和、差、积、商的定义与性质。

2.复合函数的定义与性质。

3.反函数的定义与性质。

四、方程的概念与性质1.方程的定义：含有未知数的等式称为方程。

2.方程的根：使方程等式成立的未知数的值称为方程的根。

3.方程的解：满足方程的根的值的集合。

4.方程的性质：等价方程、可解性、唯一性等。

五、一元一次方程1.一元一次方程的定义与解的概念。

2.一元一次方程的解法：解方程的基本步骤、去分母、去项、整理方程等。

3.一元一次方程的应用：问题转化为一元一次方程。

六、一元二次方程1.一元二次方程的定义与解的概念。

2.一元二次方程的解法：配方法、因式分解法、求根公式、三角函数法等。

3.一元二次方程的判别式：判别式与方程根的关系。

七、一元高次方程1.一元高次方程的定义与解的概念。

2.一元高次方程的解法：因式分解法、整理方程法、二次根与系数关系、综合除法等。

3.一元高次方程的应用：问题转化为一元高次方程。

八、二元一次方程组1.二元一次方程组的定义与解的概念。

2.二元一次方程组的解法：方法一、方法二、方法三等。

3.二元一次方程组的应用：问题转化为二元一次方程组。

九、二元二次方程组1.二元二次方程组的定义与解的概念。

2.二元二次方程组的解法：消元法、代入法、加减消元法、变量代换法等。

3.二元二次方程组的应用：问题转化为二元二次方程组。

2024年高三数学高考知识点总结一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义及函数关系的表示方法- 函数的定义域、值域和区间- 函数的奇偶性、周期性及单调性2. 一次函数与二次函数- 一次函数的性质及图像- 二次函数的性质及图像- 一次函数与二次函数的应用3. 指数函数与对数函数- 指数函数的性质及图像- 对数函数的性质及图像- 指数函数与对数函数的应用4. 三角函数- 正弦函数、余弦函数、正切函数的性质及图像- 三角函数之间的关系及图像的性质- 三角函数的应用5. 幂函数与反比例函数- 幂函数的性质及图像- 反比例函数的性质及图像- 幂函数与反比例函数的应用6. 方程和不等式- 一元一次方程与一元一次不等式的解法- 一元二次方程与一元二次不等式的解法- 方程与不等式的应用7. 绝对值方程与绝对值不等式- 绝对值方程与绝对值不等式的解法及应用- 带有绝对值的一元二次方程的解法二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质- 数列的定义及常见数列的形式- 等差数列与等比数列的性质及通项公式2. 数列的通项公式与求和公式- 等差数列的通项公式及前n项和公式- 等比数列的通项公式及前n项和公式- 递推数列的通项公式及前n项和公式3. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想及应用- 利用数学归纳法证明不等式4. 递归数列与逼近法- 递归数列的定义及应用- 逼近法解决数学问题三、三角恒等变换1. 三角函数的和差化积与积化和差- 正弦、余弦、正切的和差化积公式- 正弦、余弦、正切的积化和差公式2. 三角函数的倍角化半角与半角化倍角- 正弦、余弦、正切的倍角化半角公式- 正弦、余弦、正切的半角化倍角公式3. 三角方程的基本解法- 使用三角函数的恒等变换解三角方程- 利用等效代换解三角方程4. 三角函数的图像与性质- 三角函数图像的性质及平移、伸缩、翻转操作- 三角函数图像的综合性质及应用四、平面几何与立体几何1. 二维几何相关知识- 平面几何基本概念及性质- 二维几何形状的性质与判定2. 三角形相关知识- 三角形的内角和与外角和的性质- 三角形的中线、高线、角平分线的性质及应用3. 圆相关知识- 圆的基本概念及性质- 弧长与扇形面积的计算- 切线与切线定理的应用4. 直线与圆的位置关系- 直线与圆的位置关系的判定及性质- 直线与圆的切线与切点的性质与计算5. 空间几何相关知识- 空间几何基本概念及性质- 空间几何形状的性质与判定6. 空间几何立体的计算- 空间几何立体的体积与表面积的计算- 立体的展开图与折叠图的应用五、概率与统计1. 概率的基本概念与性质- 随机事件与样本空间的概念- 概率的定义及性质- 概率的计算方法2. 排列、组合与概率计算- 排列与组合的基本概念与计算方法- 包含条件的排列与组合的计算方法- 概率计算中的排列与组合问题的应用3. 随机变量与概率分布- 随机变量的定义及性质- 离散型和连续型随机变量的概率分布- 随机变量的数学期望与方差的计算4. 概率统计与抽样调查- 总体与样本的概念及表示方法- 抽样调查的基本方法与误差分析- 统计量的计算与应用六、向量与矩阵1. 向量的基本概念与性质- 向量的定义及表示方法- 向量的数量乘法、加法、减法与向量的线性相关性2. 向量的线性组合与线性方程组- 向量的线性组合与线性方程组概念- 线性方程组的解的判定与求解3. 矩阵的基本概念与运算- 矩阵的定义及表示方法- 矩阵的乘法、加法、减法与矩阵的性质4. 矩阵的转置、行列式与逆矩阵- 矩阵的转置运算与性质- 矩阵的行列式及其性质与应用- 矩阵的逆矩阵的定义与求解5. 矩阵的秩与线性方程组- 矩阵的秩的定义及性质- 秩与线性方程组解的存在性与唯一性的关系这只是对____年高三数学高考知识点进行的一个预测总结，具体内容还需要参考教材或高考大纲进行复习和学习。

第5讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下． (3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-ab是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间． (4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a nn|,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a aa a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．常用的函数图象变换有：1．平移变换y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．2．对称变换y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．3．翻折变换y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】1.＝（）A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y ＝f (x )在实数a 处的值等于零，即f (a )＝0，则a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a 是函数y ＝f (x )的零点，则点(a ，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x 轴的交点为(a ，0)． 2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步．【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 2.已知函数f （x ）＝﹣log 2x ，在下列区间中，函数f （x ）有零点的是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用． 【答案】B【分析】首先判断函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续； f （1）＝1﹣0＝1＞0，f （2）＝﹣1＝﹣＜0； 故函数f （x ）有零点的区间是（1，2）； 故选：B ．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x -'=-=，在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e =-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误， 对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<， f （2）222log 210=-+=>，所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：A ．1.55B ．1.62C ．1.71D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a与函数()f x至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|x a -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+ 210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题．。