2020届高考数学一轮复习检测(浙江专用)2.4 指数与指数函数+Word版含解析

第04讲 指数与指数函数---练1．（2019·浙江高三会考）计算( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】.2．（2019·山东高三期中（理））已知集合0，，，则等于A ．B ．C ．D ．0，【答案】C 【解析】 由得，所以，则，又合因为0，， 所以，故选C ．3.（2019·广东高考模拟（理））函数21()x f x e -=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由21()x f x e -=为偶函数，所以排除,A B ，又，故选C .4.（2019·北京高考模拟（理））已知0c <,则下列不等式中成立的是（ ）A ．2c c >B ．12cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．122cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．122cc ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】,故选：D5．（2019·吉林高三期中（理））下列四个方程中有实数解的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为指数函数的值域为 ，故A,B,D 中方程无实根，故选C.6.（2019·云南高三高考模拟（文））已知，，，则下列不等式正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 因为在R 上递减，且，所以.又因为 在R 上递增，且 ，所以 .所以.故选：D.7. （2019·江西高三期中（文））函数在上的最大值与最小值的和为，则 ( )A ．2B ．3C ．D ． 【答案】A 【解析】 ①当时，函数在上单调递减，由题意得，解得，不合题意． ②当时，函数在上单调递增，由题意得，解得，符合题意．综上可得．故选A ．8.（2019·湖南长沙一中高三高考模拟（文））已知函数，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是奇函数，且在R 上是增函数B ．函数()f x 是偶函数，且在R 上是增函数C ．函数()f x 是奇函数，且在R 上是减函数D ．函数()f x 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()f x 的定义域为R ，且；∴()f x 是奇函数；又xy e =和x1y ()e=-都是R 上的增函数；是R 上的增函数．故选：A ．9.（2019·辽宁高三高考模拟（理））函数的值域为（ ）A ．()0,∞+B ．()0,1C ．()1,+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】，，，即01y <<，即函数的值域为()0,1，故选B .10.（2019·湖北高三高考模拟（文））已知函数，若其值域为，则可能的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 令则，对称轴为.当时，，此时，不满足题意； 当时，，此时，不满足题意； 当时，，此时，不满足题意；当时，，此时，满足题意.故选D.1.（2019·天津高考模拟（文））设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】在R 上递减，∴若充分性成立，若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则，必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.2. （2019·甘肃省甘谷第一中学高三月考（文））若函数f (x )=3x＋3－x与g (x )=3x －3－x的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 【答案】D 【解析】 由偶函数满足公式，奇函数满足公式，对函数有满足公式所以为偶函数，对函数有，满足公式所以为奇函数，故选D.3.（2019·江苏高三期末）已知集合，，则________．【答案】【解析】N 为不等式的解集，由指数函数的性质，可得，即x ＜-1，则M ∩N＝{﹣2}； 故答案为．4．（2019·山东高考模拟（文））已知函数且1)a ≠恒过定点(),,A m n 则m n +=_________．【答案】4 【解析】当1x =时，3y = 可知函数恒过()1,3A 则：4m n += 本题正确结果：45. （2019·四川省绵阳江油中学高三月考（文））若“, 12xm ≥⎛⎫⎪⎝⎭”是真命题，则实数m 的最大值为__________． 【答案】4【解析】 由题意得，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，当[]4,2x ∈--上的最小值为2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，要使得为真命题，所以4m ≤，所以实数m 的最大值为4.6. （2019·甘肃省静宁县第一中学高考模拟（理））已知函数（a,b 为常数且）的图象经过A(1,8)，B(3,32). （1）试求a,b 的值； （2）若不等式在x∈(-∞,1]时恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】 (1)由题意，解得.所以.(2)设,所以在上是减函数.所以当时,.若不等式在时恒成立,则在时恒成，则.所以,的取值范围为.1.(2017课标1，理1)已知集合A={x|x<1}，B={x|31x<}，则（ ）A ．B ．A B =R UC ．D ．A B =∅I【答案】A 【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即，所以，，故选A. 2．（2019·浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数且0)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递减，函数过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.3．（2015·山东高考真题（文））设则的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.f x（）4.(2017北京文理)已知函数，则()（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【解析】5.（2018年新课标I卷文）设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.6. （2017·山东高考真题（文））已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.。

2.5 指数与指数函数A组基础题组1.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )答案 D 令f(x)=a x-,当a>1时,f(0)=1-∈(0,1),所以A与B均错;当0<a<1时,f(0)=1-<0,所以C错D对,故选D.2.若函数f(x)=(2a-5)·a x是指数函数,则f(x)在定义域内( )A.为增函数B.为减函数C.先增后减D.先减后增答案 A 由指数函数的定义知2a-5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数,故选A.3.已知实数a,b满足等式=,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能．．．成立的关系式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B 如图,令y 1=,y2=,由=得a<b<0或0<b<a或a=b=0.故选B.4.(2017浙江高考模拟训练冲刺)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=a x(a>0且a≠1),且f(lo4)=-3,则a的值为( )A. B.3 C.9 D.答案 A 由f(lo 4)=-3,得f(-2)=-3,又f(x)是奇函数,则有f(2)=3,即a2=3,又a>0,故a=.5.(2018浙江宁波效实中学高三质检)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞, ]B.[ ,+∞)C.[- ,+∞)D.(-∞,-2]答案 B 由f(1)=得a2=.又a>0,所以a=,因此f(x)=-.设g(x)=|2x-4|,因为g(x)=|2x-4|在[ ,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[ ,+∞).6.已知a∈R,则“|a-1|+|a|≤1”是“函数y=a x在R上为减函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B 由绝对值的几何意义知,|a-1|+|a|≤1的解集是{a|0≤a≤1};函数y=a x在R上为减函数,则a的取值构成的集合是{a|0<a<1},所以B⫋A,根据充分条件与必要条件的定义知选B.7.已知4a=2,lgx=a,则a= ,x= .答案; 0解析由4a=2,得a=,由lgx=,得x= 0.8.计算:·)= ,= .答案1;6解析·)=··-=-=m0=1;=× = × = .9.(2019衢州质检)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .答案-解析①当a>1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,则-b- ,0b0,无解.②当0<a<1时,f(x)在[-1,0]上单调递减,则-b0,0b- ,解得,- ,∴a+b=-.10.已知函数f(x)=-.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是 0,+∞),求实数a的取值范围.解析(1)当a=-1时,f(x)=--,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(- ,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,因此f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(- ,+∞)上单调递增, 即函数f(x)的单调递增区间为(- ,+∞),单调递减区间为(-∞,-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)=),由于f(x)有最大值3,因此h(x)应有最小值-1,所以-=-1,解得a=1.(3)由指数函数的性质知,要使函数f(x)的值域是 0,+∞),则需函数h(x)=ax2-4x+3的值域为R,因为二次函数的值域不可能为R,所以a=0.B组提升题组1.无论a为何值,函数y=(a-1)2x-恒过定点,则这个定点的坐标是( )A. ,-B. ,C.- ,-D.- ,答案 C y=(a-1)2x-=a--2x,令2x-=0,得x=-1,故函数y=(a-1)2x-恒过定点- ,-,故选C.2.(2017浙江温州十校期末)设函数f(x)=- ), 0,, 0,若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )A.[0,+∞)B. 0,+∞)C. ,+∞)D.[ ,+∞)答案 D 作出函数y=f(x)的图象,如图所示.由f2(x)-af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=a.显然f(x)=0只有1个实数根,所以只需f(x)=a有2个不同的实根即可.利用图象可得实数a的取值范围是[ ,+∞).3.设n∈N*,x=,y=,则下列结论成立的是( )A.y x>x yB.y x<x yC.y x=x yD.x,y的大小关系与n的取值有关答案 C 由x=,得lnx=(n+1)ln,由y=,得lny=nln,则=,又==,因而=,xlny=ylnx,即y x=x y,故选C.4.已知函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,则m的取值范围为.答案(-∞,-18]解析设t=3x,则y=9x+m·3x-3=t2+mt-3.因为x∈[-2,2],所以t∈, .又函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,即y=t2+mt-3在区间, 上单调递减,故有-≥9,解得m≤-18.所以m的取值范围为(-∞,-18].。

第04节 指数与指数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》第二套模拟】已知2.10.5a =， 0.52b =， 2.10.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】D【解析】因为幂函数 2.1y x= 在定义域内单调递增，所以01c a <<<，由指数函数的性质可得0.5022=1,b c a b =>∴<<，故选D.2.【2018年浙江省温州新力量联盟期中联考】 已知，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】分析：首先根据指数函数的单调性，结合幂的大小，得到指数的大小关系，即，从而求得，利用集合间的关系，确定出p,q 的关系.详解：由得，解得，因为是的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.3.【2018届福建省三明市5月联考】若，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先确定a 的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最终结果.4．【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区二诊】函数的图象的大致形状是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为．当时，由题意可得，故可排除B,D；又当时，由于，故，故排除C．选A．5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：，的底数相同，故可用函数在R上为减函数，可得.用指数函数的性质可得，进而可得. 详解：因为函数在R上为减函数，且0.2<0.4所以因为.所以.故选A.6．若实数满足,则的大小关系是：A. B. C. D.【答案】D7．为了得到函数的图像，可以把函数的图像（）．A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】分析：函数化成：，利用函数的平移变换可得结果.详解：∵函数化成：，∴可以把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故选．点睛：本题主要考查指数的运算以及函数的“平移变换“，属于中档题. 函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.8．已知函数()的图象如左下图所示，则函数的图象是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得：0＜a＜1，b＜-1，进而结合指数函数的图象和性质及函数图象的平移变换法则，画出g（x）=a x+b的图象，可得答案．详解：由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得：0＜a＜1，b＜-1，故g（x）=a x+b的图象如下图所示：，选A.点睛：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出0＜a＜1，b＜-1，是解答的关键．9．已知函数满足：且．A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】由已知可设，则，因为为偶函数，所以只考虑的情况即可．若，则，所以．故选B．10.【2018届广东省模拟一】设函数()21,2{5,2x x f x x x -≤=-+>，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是 （ ）A. ()16,32B. ()18,34C. ()17,35D. ()6,7 【答案】B【解析】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221ab-=-，则222ab+=． 结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<．选B ． 点睛：解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222ab+=；二是根据图象判断出c 的取值范围，进而得到16232c <<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围． 二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【山东省烟台市2018年春季高考第一次模拟】化简：__________．【答案】【解析】分析：根据实数指数幂的运算，即可化简得到结果． 详解：由实数指数幂的运算可得．12．【2018届湖南省益阳市4月调研】已知函数的图象关于点对称，则__________．【答案】1【解析】由已知，得，，整理得，所以当时，等式成立，即.13.函数（且）的图像必过定点，点的坐标为__________．【答案】.14.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.【答案】()20xx <－【解析】依题意，1(1)2f =，∴12a =， ∴1()()2xf x =，0x >.当0x <时，0x >－. ∴()()12.2xxg x f x -＝－－＝－()＝－15．【2017安徽江淮十校联考】已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e|x－2|}，则f (x )的最小值为________.【答案】e【解析】2,1(),1xx e x f x e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，当1x ≥时，()xf x e e ≥＝ (x ＝1时，取等号)，当1x <时，()||22x x f x e e e >－－＝＝， 因此x ＝1时，()f x 有最小值()1f e ＝.16. 记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函，x ∈[]2,a -（0a ≥），其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是_____． 【答案】317．【北京海淀清华附中实验班期中】已知函数，给出下列命题：①若，则； ②对于任意的，，，则必有；③若，则；④若对于任意的，，，则，其中所有正确命题的序号是_____． 【答案】②④ 【解析】分析：，利用指数函数的性质判断即可.详解：，对于①，当时，，故①错误．对于②，在上单调递减，所以当时，即：，故②正确．对于③表示图像上的点与原点连线的斜率，由的图像可知，当时，，即：，故③错误．对于④，由得图像可知，，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（1）计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭（2）已知()11223a a a R -+=∈，求值：22111a a a a --++++. 【答案】（1）47930；（2）6. 【解析】（1）)213134114790.027256310.3496417330--⎛⎫--+-+=-+-+=⎪⎝⎭； （2）11122223,7,47,a aa a a a ---+=∴+=∴+=22114716171a a a a --+++∴==+++. 19.已知函数，为常数，且函数的图象过点.（1）求的值； （2）若，且，求满足条件的的值.【答案】(1) a ＝1;(2) 满足条件的x 的值为－1. 【解析】试题分析：（1）由函数过点,代入表达式可得值；（2）由将两函数表代入,转化为关于的指数型复合方程.利用换元法,将指数型方程化为一元二次方程,解一元二次方程后再解指数方程,可得值.试题解析：（1）由已知得，解得．20.已知函数．（Ⅰ）若，求的值．（Ⅱ）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值．【答案】（1）；（2）实数的值为或.【解析】分析：（Ⅰ）由题可得，解得：或，分类讨论可求得值．（Ⅱ）分和，分别求出函数在上的最大值与最小值，根据题意可求实数的值.详解：（Ⅰ）∵，，∴，解得：或，当时，，，当时，，，故．（Ⅱ）当时，在上单调递增，∴，化简得，解得：（舍去）或．当时，在上单调递减，∴，化简得．解得：（舍去）或．综上，实数的值为或．21.设函数，且，若的图象过点．（1）求的值及的零点．（2）求不等式的解集．【答案】(1);.(2).【解析】分析：（1）直接把点代入函数解析式即可求出a的值；从而求得函数的准确解析式，令，即可求出零点.（2）关于不等式，可化为，由此求出不等式的解集.解析：（1）∵经过点，即，又∵，∴，∴时，解得，零点为．（2）∵即，∴，∴，∴，∴不等式解集为．22．已知函数(其中为常量且且）的图象经过点,.(1)试求的值；(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由函数(其中为常数且，）的图象经过点,，知，由此能求出；（2）设，则在上是减函数，故当时，，由此能求出实数的取值范围.试题解析：（1）由已知可得且且.（2）解：由（1）可得令，只需，易得在为单调减函数，.。

••＞必过数材美1. 有理数指数幕(1) 幕的有关概念①正分数指数幕：an= n a m(a> 0, m, n € N，且n> 1).②负分数指数幕：1 a———n 1 *(a> 0, m, n € N,且n > 1). n —m a③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.(2) 有理数指数幕的性质①a r a s= a r s(a> 0, r, s€ Q)；②(a r)s=a rs(a>0, r, s€ Q)；③(ab)r= a r b r(a>0, b>0, r € Q).2. 指数函数的图象与性质x y= a a > 10v a v 117tr严\图象Io i 當O丨X 定义域R值域(0,+ -oo )过定点3性质当x>0 时，y> 1; x v 0 时，0v y v 1当x> 0 时，0v y v 1 ；x v 0 时，y> 1在区间(— g,+s )上是增函数在区间(— o,+o )上是减函数［小题体验］1 •计算［(—2)6］1_( —1)0的结果为()解析：选 B 原式=26 X 1—1= 23—1 = 7.弟八节指数与指数函数A. —9B. 722. 函数f(x)= 3x+ 1的值域为()A. (—1 ,+^ )B. (1 ,+^ )C . (0,1)D . [1 ,+^ )解析：选 B •/ 3x>0,「. 3x+ 1> 1, 即函数f(x)= 3x+ 1的值域为(1,+ a).3. ___________________________________________________________________ 若函数f(x) =a x(a>0，且a丰1)的图象经过点A 2,寸，贝V f(—1) = ____________________________ ，答案：4. _____________________________________________________________ 若指数函数f(x)= (a—2)x为减函数，则实数a的取值范围为___________________________________ .解析：■/ f(x)= (a —2)x为减函数，••• O v a —2v 1，即2v a v 3.答案：(2,3)必过易措美1. 在进行指数幕的运算时，一般用分数指数幕的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幕，也不能既有分母又含有负指数.2•指数函数y= a x(a>0, a^ 1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a> 1或0v a v 1.［小题纠偏］1.判断正误(请在括号中打“V”或“X” ).(1)^a n= (^a)n= a.()(2)分数指数幕a^可以理解为m个a相乘.())(3)( —1舟=(-1)2= T.(答案：(1)X (2)X (3) X2. 若函数y= (a—1)x在(— 8,+^ )上为减函数，则实数a的取值范围是答案：(1,2)考点一指数幂的化简与求值基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. 化简与求值:2答案：25［谨记通法］指数幕运算的一般原则(1) 有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. (2) 先乘除后加减，负指数幕化成正指数幕的倒数.(3) 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假 分数. (4) 若是根式，应化为分数指数幕，尽可能用幕的形式表示，运用指数幕的运算性质来 解答. 考点二指数函数的图象及应用重点保分型考点一一师生共研［典例引领］=1+1X 2一丄4 310=1 + 1 - 16 1016 15'(2)原式=一 5 -6 -32a 6 b 说4a1-3 2b )21- 5a 13 b -3 荷 b —2)一 4八 b '2解析： 1 1 1 由 + x -才=3,得 x + x -1 + 2= 9,所以 x 2+ x 2= 47.因为x 3+ x - 3= 2 215 1 4仙3一2•若x 1+ x -卜3,则X X +X -++_2的值为所以 x + x -1= 7,所以 x 2+ x -2+ 2= 49,(x1 +18+ 2 = 2 47+ 3= 5_x— 1..1.函数y = a -a (a >0,且a * 1)的图象可能是( )1 1解析：选D 函数y = a x -1是由函数y = a x 的图象向下平移1个单位长度得到的，所以a a A 项错误；当a > 1时，0 v ~< 1,平移距离小于1,所以B 项错误；当0v a v 1时，」> 1, ，aa 平移距离大于1,所以C 项错误.故选 D.2. _________ 已知a > 0,且a * 1,若函数y =|a x — 2|与y = 3a 的图象有两个交点，则实数 a 的取 值范围是 ___________ .解析：①当0v a < 1时，作出函数y = |a x — 2|的图象，如图a.若直线y = 3a 与函数y = |a x2—2|(0< a v 1)的图象有两个交点，则由图象可知0< 3a v 2,所以0v a v -.3②当a > 1时，作出函数 y =|a x — 2|的图象，如图b ，若直线y = 3a 与函数y = |a x -2|(a答案：°, 3［由题悟法］指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y = a x (a >0, a * 1)的图象，应抓住三个关键点：(1, a), (0,1), — 1,.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、 对称变换得到其图象.［即时应用］1 .函数f(x)= 1 — e |x|的图象大致是()解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)= 1— e |x|是偶函数，且值域> 1)的图象有两个交点，则由图象可知0v 3a v 2，此时无解.所以 a 的取值范围是0, 2 .(3) 一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.是(—g , 0］,只有A 满足上述两个性质.2•已知 f(x)=|2x — 1|,当 a v b v c 时，有 f(a)>f(c)>f(b)，则必有( )A . a v 0, b v 0, c v 0B . a v 0, b > 0, c > 0C . 2—a v 2cD . 1 v 2a + 2c v 2解析：选D 作出函数f(x)= |2x — 1|的图象如图所示，因为a vacb vc ,且有 f(a)>f(c)>f(b),所以必有 a v 0,0 v c v 1，且|2 — 1|> |2 —1|,所以 1 — 2a >2c — 1,贝U 2a + 2c v 2，且 2a + 2c > 1.故选 D.考点三指数函数的性质及应用 题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题. 常见的命题角度有：(1) 比较指数式的大小；(2) 简单指数方程或不等式的应用； (3) 探究指数型函数的性质.［题点全练］角度一：比较指数式的大小1. (2018杭州模拟)已知a =彳中，b = 3, c = 5 1，则a , b , c 的大小关系是()A . a > b > c C . a > c > b2 3 1解析：选A •/2> 3, y = x;在 (0 ,+g )上是增函数,3 5 2•/詁1, y = 2 x 在R 上是减函数,> b =••• a > b > c.故选 A.角度二：简单指数方程或不等式的应用2. (2018湖州模拟)已知函数f(x)= m 9x — 3x ，若存在非零实数 x °,使得f(— x °)= f(x o )成立，则实数m 的取值范围是()A .；,+gB . 0,iC . (0,2)D . [2 ,+g )解析：选B 由题意得到f(— x)= f(x),B . b >a >c D . c >a > bb => c =(2)故所求实数m 的取值范围是——O［通法在握］应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略题型 求解策略比较幕值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幕再利用单调性比较大小; 不能化成同底数的，一般引入“ 1等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幕的运算性质化为同底数幕，再利用单调性转化为一般不等式求解所以 m 9 X — 3 x = m 9x — 3x , X31 一 1 m = —^^= v 一,3+1 3%+ 3 2, 又 m >0,1所以实数 m 的取值范围是O v m v 寸，故选B. 角度三：探究指数型函数的性质3.已知函数f(x)= ba(其中a , b 为常数且a > 0, 1)的图象经过点 A(1,6), B(3,24).(1) 试确定f(x);(2) 若不等式?f+ ［b ? — m > 0在x € ( — O , 1］上恒成立，求实数 m 的取值范围. 解：⑴•/ f(x)= ba x 的图象过点 A(1,6), B(3,24),b a = 6, ① b a 3= 24,②①得a 2= 4，又a >0且a 丰1, a = 2, b = 3, ••• f(x)= 3 2x .(2)由(1)知 + !^ / — m > 0在(—m , 1］上恒成立. 令 g (x )= 2 x + 3x则g(x)在(— O , 1］上单调递减,1 1 5• m w g(x) min =,整理得到: 在(—m , 1］上恒成立可转化为m w「+ 1x与研究一般函数的定义域、单调性（区间）、奇偶性、最值（值域）等性质的方法一致 [提醒]在研究指数型 1 ”的大小关系不明确时，要分类讨论.［演练冲关］1.设 a = of , b = 0.61.5, c = 1.50.6，则 a , b , c 的大小关系是()A . a v b v c C . b v a v cD . b v c v a解析：选C 因为函数y = 0.6x 在R 上单调递减，所以b = 0.61.5v a = 0.60.6v 1.又c = 1.50.6 > 1,所以 b v a v c.r2. (2019金华模拟)设函数f(x) = 1 X X 「x ，则满足f(x 2— 2)>f(x)的x 的取值范2X — 2 , x >0,围是 _______________________________________________________________________________ .解析：由题意x > 0时，f(x)单调递增，故f(x)>f(0) = 0,而x < 0时，f(x)= 0, 故若 f(x 2— 2)>f(x)，贝U x 2— 2>x ，且 x 2— 2>0, 解得x > 2或x v — 2. 答案：(一a, —2) U (2,+s )3. ______________________________________________ 函数f(x) = g 一 x 2 + 2x + 1的单调减区间为 _______________________________________________ .解析：设 u =— x 2 + 2x + 1, V y = 2 u 在 R 上为减函数，函数 f （x ） = 2 — x 2 + 2x + 1 的减区间即为函数u = — x 2 + 2x + 1的增区间.又 u =— x 2 + 2x + 1的增区间为（一a, 1],• f （x ）的减区间为（一a, 1].4o 1a 3— 8a 3b1•化简 一 ------------答案：（ — a, 1]一抓基础，多练小题做到眼疾手快探究指数型函数的性质 B . a v c v bA . a C . ab解析：选A 原式= af a — 8b103 2匸 + %1 a 1X a13a 的结果是（j — 22 4b4bf + 23 ab+ afB. bD. ab21 1 a 3a 3—2 c 1 124b3 + 2a 3b 3 + a 2 1 1 1 =a 3 a 3 a 3 = a.有a < b — a ,排除D ，故选B.4. (2017宁波期中)若指数函数f(x)的图象过点(一2,4)，则f(3)=+f(- x)< 2的解集为2.已知 a = ( 2)3, b = 25,c = 9*,则 a ,b ,c 的大小关系是() B .a <b <c C . b < c < ac < a < b解析：选 A a = ( 2)4 = 21 x 4= 2彳，b =c = 93= 32,由函数y = x3在(0, + g )上为增函数，得 a < c ,3 由函数y= 2x 在R 上为增函数，得 a > b , 综上得c > a > b.3. (2018丽水模拟)已知实数a , b 满足1 > 1 a > > 1，则()A . b < 2 b —aB . b >2 b — aC . a < b — a1解析：选B 由1> ，得> 4,得 4由1a >由 ，得 a > 1,，得 2a < b ,>,得 b < 4.>由 2a < b ,得 b >2a >2, a <b <2, 2••• 1< a < 2,2< b < 4.取 a =3 b =;,得&—a =寸7— 2=V 2, 有a > _ b — a ,排除C ; b > 2 b - a ,排除 A ; 取a =样b = 19得，b -a =能器 2b1a3+ 2€盼 4b21 a 3 1 1 — 2b 1 a 3 a 3 2b 3;不等式f(x)解得a =扌，所以指数函数解析式为 y = § x ，所以f(3) = £ 3=1;不等式f(x) + f( — x)< 5，即g)+ 2x < 2，设2x = t ,不等式化为辛+ t v 号，所以2*— 5t + 2V 0解得2< t < 2,即1< 2x < 2,所以一1 < x < 1,所以不等式的解集为(一1,1).1答案：1 (—1,1)5•若函数f(x) = a x — 1(a > 0 , a 丰1)的定义域和值域都是［0,2］,贝U 实数a = ________ . 解析：当a > 1时，f(x)= a x — 1在［0,2］上为增函数， 则 a 2— 1 = 2,二 a = ± 3.又 T a > 1, — a = . 3. 当0< a < 1时，f(x)= a x — 1在［0,2］上为减函数， 又••• f(0) = 0工 2, ••• 0< a < 1 不成立. 综上可知，a = 3.答案：3二保咼考，全练题型做到咼考达标1. (2018贵州适应性考试)函数y = a x +2— 1(a >0且a 丰1)的图象恒过的点是()B . (0, — 1)C • (— 2,0)D • (— 2,— 1)解析：选C 法一：因为函数 y = a x (a >0, a ^ 1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平 移2个单位，再向下平移 1个单位得到y = a x +2— 1(a >0, a 丰1)的图象，所以y = a x +2— 1(a> 0, a 丰1)的图象恒过点(一2,0)，选项C 正确.法二：令 x + 2 = 0, x = — 2,得 f(— 2) = a 0— 1= 0，所以 y = a x +2— 1(a >0, a ^ 1)的图象恒过点(—2,0)，选项C 正确.2.已知函数y = kx + a 的图象如图所示，则函数 y = a x + k 的图象可能是()解析：选B 由函数y = kx + a 的图象可得k < 0,0< a < 1，又因为与x 轴交点的横坐标 大于1，所以k >— 1，所以一1 < k < 0.函数y = a x +k 的图象可以看成把 y = a x 的图象向右平 移一k 个单位得到的，且函数 y = a x + k 是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于 1,结解析：设指数函数解析式为 y = a x ,因为指数函数 f(x)的图象过点(一2,4),所以4= a A • (0,0)合所给的选项，故选 B.G x ,x > i ,3.若函数f(x)=<是R 上的减函数，贝U 实数a 的取值范围是()［2— 3a x + 1, x w 1A. 2,0 v a v 1,解析：选C 依题意，a 应满足§2 — 3a v 0,112— 3a x 1 + 1》a ,2 3解得2< a w33 4A .偶函数，在［0 ,+m )单调递增B .偶函数，在［0 ,+m )单调递减C •奇函数，且单调递增D .奇函数，且单调递减解析：选 C 易知 f(0) = 0，当 x >0 时，f(x) = 1— 2—x ，— f(x)= 2—x — 1，而一x v 0,则f(— x)= 2—x — 1 = — f(x); 当 x v 0 时,f(x)= 2x — 1, — f(x) = 1 — 2x ,而—x >0,则 f( — x)= 1 —2— (—x)=1 — 2x =— f(x).即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.—15. (2018温州月考)若函数f(x) = ae —x — e x 为奇函数，则f(x — 1)v e — -的解集为()eA . ( — m, 0)B . ( — m, 2)C . (2 ,+m )D . (0 ,+m )解析：选D由于函数f(x)为R 上奇函数，所以f(0) = 0? a = 1，所以f(x)= A — e x ,e由于e x 为增函数，而r 为减函数，e 1 所以f(x)= 4 — e x是减函数，e1 1又因为 f(— 1) = e —，由 f(x — 1)v e — 可得 f(x — 1)v f(— 1), x — 1>— 1 ? x >0,故选 e e D.一 x6.已知函数f(x) = a (a > 0,且a 丰1)，且f( — 2) >f(— 3)，贝U a 的取值范围是 _________ 解析：因为 f(x)= a —x = * x ,且 f( — 2) > f( — 3),C. 3，D.2,-pm4.已知函数f(x) =1 — 2: x >0, 2x — 1, x v 0,则函数f(x)是(B.J ，所以函数f(x)在定义域上单调递增,1所以丄> 1, a 解得0 v a v 1.答案：(0,1) x + 1,7. (2018温州模拟)已知函数f(x)=$ x _ 1I 2 -2,b f (a)的取值范围是 ___________ .解析：依题意，在坐标平面内画出函数y = f(x)的大致图象，结合图象可知 b € 2, 1 j,2飞八bf(a)= bf(b)= b(b + 1) = b + bC 4, 2 丿 答案：号，2〕8.若不等式x 2+ ax v 2 2x +厂2恒成立，则a 的取值范围是 _________________解析：由指数函数的性质知 y = 2 x 是减函数， 因为2 x 2+ ax v 2 2x + a -2恒成立，所以x 2+ ax > 2x + a - 2恒成立， 所以 x 2+ (a - 2)x — a + 2> 0 恒成立， 所以△= (a — 2)2 — 4( — a + 2)v 0,即 (a — 2)(a — 2 + 4) v 0, 即(a — 2)(a + 2) v 0,故有一2v a v 2,即卩a 的取值范围是(一2,2).答案：(一2,2)(1)若a =— 1，求f(x)的单调区间; ⑵若f(x)有最大值3，求a 的值; ⑶若f(x)的值域是(0,+^ )，求a 的值.令 g(x)=— x 2— 4x + 3,由于g(x)在(—^,— 2)上单调递增，在(一2,+^)上单调递减，而y = t 在R 上单调递减，所以f(x)在(―R,— 2)上单调递减，在(—2,+^)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增0< x v 1, x > 1 ,设 a > b > 0,若 f(a) = f(b),则9.已知函数f(x) = 4 ax 2—4x + 3.解：(1)当a =— 1时, f(x)= x 2— 4x + 3,区间是(—2, + m)，单调递减区间是(一，一2).2⑵令g(x)= ax—4x+ 3, f(x)=由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值—1,方＞0,因此必有3a—4 =—1a解得a = 1,即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y= 3 g(x)的值域为(0, + m).应使g(x)= ax2—4x+ 3的值域为R,因此只能a= 0.(因为若a^0,贝U g(x)为二次函数，其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0, + m)时，a的值为0.10.已知函数f(x) = a|x+b|(a>0, b€ R).(1) 若f(x)为偶函数，求b的值；(2) 若f(x)在区间［2,+m )上是增函数，试求a, b应满足的条件.解：(1) ••• f(x)为偶函数，•••对任意的x€ R,都有f(—x) = f(x).即a|x+ Ja|—x+ b, |x+ b|= | —x+ b|,解得b= 0.x + b, x> —b,⑵记h(x)=|x+ 皆—x—b, x v—b.①当a> 1时，f(x)在区间［2, + m)上是增函数，即h(x)在区间［2,+ m)上是增函数，•••—b< 2, b> — 2.②当0 v a v 1时，f(X)在区间［2 , +m )上是增函数，即h(x)在区间［2 , +m )上是减函数，但h(x)在区间［—b, + m)上是增函数，故不存在a, b的值，使f(x)在区间［2, + m)上是增函数.• f(x)在区间［2, + m)上是增函数时，a, b应满足的条件为a> 1且b> —2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州模拟)已知定义在R上的函数g(x)= 2x+ 2—x+ |x|,则满足g(2x —1) v g(3) 的x的取值范围是________________ .解析：T g(x)= 2x+ 2_x+ |x|, • g( —x) = 2x+ 2_x+ | —x|= 2x+ 2_x+ |x|= g(x),则函数g(x) 为偶函数，当x>0 时，g(x) = 2x+ 2—x+ x,贝V g' (x)= (2x—2 —x) in 2 + 1 >0,则函数g(x)在[0,+s )上为增函数，而不等式g(2x — 1)v g(3)等价于 g(|2x — 1|)v g(3)|2x - 1|v 3,即—3v 2x — 1 v 3,解得一1v x v 2, 即卩x 的取值范围是(一1,2). 答案:(—1,2)—2x + b2.已知定义域为R 的函数f(x)= x +r -^是奇函数.2 十a(1)求a , b 的值；⑵若对任意的t € R ,不等式f(t 2— 2t) + f(2t 2— k)v 0恒成立，求k 的取值范围. 解：⑴因为f(x)是R 上的奇函数，—1 + b所以f(0) = 0，即 =0,解得b = 1.2+ a—2x + 1从而有f(x) =2+ a(2)由(1)知 f(x) =2—= — 2+由上式易知f(x)在R 上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2— 2t) + f(2f — k)v 0 等价于 f(¥ — 2t)v — f(2t 2— k)= f(— 2^+ k).因为f(x)是 R 上的减函数，由上式推得 t 2 — 2t >— 2t 2 + k.即对一切 t € R 有 3t 2— 2t — k >0,1从而△= 4+ 12k v 0,解得 k v — #故k 的取值范围为—2 + 1又由f(1) =-f(-1)知不丁 ，解得a = 2.。

指数与指数函数
挖命题 【考情探究】
分析解读 .指数函数是重要的基本初等函数,也是高考的常考内容.
.考查指数的计算、指数函数值的求法、比较大小等(例浙江题).
.考查指数函数与函数的基本性质、二次函数、不等式等相结合的题目(例浙江文题).
.预计年高考试题中,仍会对指数函数及其性质进行考查,特别是指数函数的图象在复习时应重视. 破考点 【考点集训】
考点一指数幂及其运算
.(浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试)已知,则. 答案 ;
.(浙江温州二模(月))已知,则的大小关系是.
答案>
考点二指数函数的图象与性质
.(浙江新高考调研卷三(杭州二中))设函数()π()·(≠),若存在∈[],使得()()成立,则实数的取值范围是( )
.∪.∪
.∪.∪
答案
.(浙江镇海中学测试卷一)已知函数()若存在两个不相等的实数,使得()(),则实数的取值范围为.
答案()
炼技法
【方法集训】
方法指数式值大小比较的方法
.(山东分)设,则的大小关系是( )
<<<<<<<<
答案
.(浙江浙东北联盟期中)已知∈,且≤,则( )
≤≤
≤≤
答案
方法指数函数的图象和性质的综合应用的解题策略。

§2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象．4.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)知识拓展1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (n ∈N *)．( × )(2)分数指数幂mna 可以理解为mn 个a 相乘．( × )(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n .( × ) (5)函数y ＝2－x 在R 上为单调减函数．( √ )题组二 教材改编2．[P59A 组T4]化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________. 答案 －2x 2y3．[P56例6]若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝________. 答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 4．[P59A 组T7]已知a ＝133()5-，b ＝143()5-，c ＝343()2-，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，∴133()5->143()5->⎝⎛⎭⎫350， 即a >b >1，又c ＝343()2-<⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴c <b <a .题组三 易错自纠5．计算：133()2-×⎝⎛⎭⎫－760＋148×42－ ________. 答案 2解析 原式＝132()3×1＋342×142－132()3＝2.6．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由题意知0＜a 2－1＜1，即1＜a 2＜2， 得－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.7．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8，∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．题型一 指数幂的运算1.a 3a ·5a4(a >0)的值是________．答案 1710a 解析a 3a ·5a4＝34152a a a⋅＝14325a--＝1710a .2．计算：2327()8--＋120.002-－10(5－2)－1＋π0＝________. 答案 －1679解析 原式＝⎝⎛⎭⎫－32－2＋12500－10(5＋2)(5－2)(5＋2)＋1，＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 3．(2017·兰州模拟)化简：41233322338(4a a b aab a--÷-+＝________.( a >0)答案 a 2解析 原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ ＝51116333111336(2)2a a a a b a ba-⨯⨯-＝a 2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二指数函数的图象及应用典例(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()答案 A解析f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A.(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案[－1,1]解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b 没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练(1)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________． 答案 1解析 方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三 指数函数的性质及应用命题点1 指数函数单调性的应用典例 (1)(2017·河南百校联考)已知f (x )＝2x －2－x，a ＝147()9-，b ＝159()7，则f (a )，f (b )的大小关系是________． 答案 f (b )＜f (a )解析 易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数，又a ＝147()9-＝149()7＞159()7＝b .∴f (a )＞f (b )．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－3,1)解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1， 即⎝⎛⎭⎫12a<8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， ∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1.∴0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3,1)． 命题点2 与指数函数有关的复合函数的单调性 典例 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________； (2)函数f (x )＝2211()2xx -++的单调减区间为____________．答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， 所以函数f (x )＝2211()2xx -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， 所以f (x )的减区间为(－∞，1]． (3)函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x 在R 上单调递增， 所以函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3 指数函数性质的综合应用 典例 已知函数f (x )＝2431()3axx -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3x x －－＋， 令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是 (－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x ＜0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－⎝⎛⎭⎫12a ，－1， ∴⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)(2017·江淮十校第三次联考)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )＞f (c x ) D ．与x 有关，不确定答案 A解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )关于x ＝1对称， 易知b ＝2，c ＝3，当x ＝0时，b 0＝c 0＝1，∴f (b x )＝f (c x )，当x ＞0时，3x ＞2x ＞1，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (b x )<f (c x )， 当x ＜0时，3x ＜2x ＜1，f (x )在(－∞，1)上单调递减， ∴f (b x )<f (c x )，综上，f (b x )≤f (c x )．指数函数底数的讨论典例 已知函数y ＝b ＋22x xa＋(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间⎣⎡⎦⎤－32，0上有最大值3，最小值52， 试求a ，b 的值．错解展示：现场纠错解 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－32，0，∴t ∈[－1,0]． ①若a >1，函数f (t )＝a t 在[－1,0]上为增函数，∴a t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，1，b ＋a 22x x ＋∈⎣⎡⎦⎤b ＋1a ，b ＋1， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (t )＝a t 在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎡⎦⎤1，1a ，b ＋a 22x x ＋∈⎣⎡⎦⎤b ＋1，b ＋1a ， 依题意得⎩⎨⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.综上知，a ＝2，b ＝2或a ＝23，b ＝32.纠错心得 在研究指数型函数的单调性或值域问题时，当底数含参数时，要对底数分类讨论．1．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D 解析 由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x－b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.2．设2x ＝8y ＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A ．18 B ．21 C ．24 D ．27 答案 D解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ， 解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.3．(2017·河南南阳、信阳等六市一模)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b答案 C解析 ∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1. ∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，⎝⎛⎭⎫a b x ＞1. ∴ab＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C. 4．(2018届吉林实验中学月考)设a ＝log 213，b ＝12e -，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b ＜a ＜c答案 C解析 ∵log 213<0,0<12e -<1，ln π>1，∴a <b <c . 5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞) 答案 C解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故选C.6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析 由f (1)＝19得a 2＝19， 所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.7．已知函数f (x )＝a －x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是__________． 答案 (0,1)解析 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1. 8．不等式222x x －＋>⎝⎛⎭⎫12x ＋4的解集为________．答案 (－1,4)解析 原不等式等价为222x x －＋>2－x －4，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x >－x －4，即x 2－3x －4<0，∴－1<x <4.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 (数形结合法)当0<a <1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图象，由图象可知0<2a <1，∴0<a <12； 同理，当a >1时，解得0<a <12，与a >1矛盾． 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 10．当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2) 解析 当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)，若a >1，y ＝a x 是增函数，则有a 2<2，可得－2<a <2，故有1<a <2；若0<a <1，y ＝a x 是减函数，则有a －2<2， 可得a >22或a <－22，故有22<a <1. 综上知a ∈⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)． 11．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． 答案 e解析 由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x ＜1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(当x ＝1时取等号)，当x ＜1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x ＞e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式； (2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24. 所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56.所以m ≤56.即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－14，14 解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14. ∴0≤g (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，14. ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－14，0. 故函数的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14. 14．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x ＜0， 则函数g (x )的最小值是________． 答案 0解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x ＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.15．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.答案 14解析 由函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，得1－4m ＞0，即m ＜14. 当a ＞1时，函数f (x )在[－1,2]上单调递增，最小值为a －1＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，m ＝12，与m ＜14矛盾； 当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上单调递减，最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4， 解得a ＝14，m ＝116，满足m ＜14，所以a ＝14. 16．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32， 得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12， ∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)恒成立，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。