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§等差数列及其前项和最新考纲考情考向分析.理解等差数列的概念．.掌握等差数列的通项公式与前项和公式．.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．.了解等差数列与一次函数的关系. 以考查等差数列的通项、前项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．．等差数列的通项公式如果等差数列{}的首项为，公差为，那么它的通项公式是＝＋(－).．等差中项由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项．．等差数列的常用性质()通项公式的推广：＝＋(－)(，∈*)．()若{}为等差数列，且＋＝＋(，，，∈*)，则＋＝＋.()若{}是等差数列，公差为，则{}也是等差数列，公差为.()若{}，{}是等差数列，则{＋}也是等差数列．()若{}是等差数列，公差为，则，＋，＋，…(，∈*)是公差为的等差数列．()数列，－，－，…构成等差数列．．等差数列的前项和公式设等差数列{}的公差为，其前项和＝或＝＋.．等差数列的前项和公式与函数的关系＝＋.数列{}是等差数列⇔＝＋(，为常数)．．等差数列的前项和的最值在等差数列{}中，>，<，则存在最大值；若<，>，则存在最小值．知识拓展等差数列的四种判断方法()定义法：＋－＝(是常数)⇔{}是等差数列．()等差中项法：＋＝＋＋ (∈*)⇔{}是等差数列．()通项公式：＝＋(，为常数)⇔{}是等差数列．()前项和公式：＝＋(，为常数)⇔{}是等差数列．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) ()等差数列{}的单调性是由公差决定的．(√)。
第2讲 等差数列及其前n 项和配套课时作业1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C.2．(2019·宁德模拟)等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8 答案 C解析 因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9,27，a 7＋a 8＋a 9成等差数列，∴a 7＋a 8＋a 9＝54－9＝45.故选B.4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( )A ．50B ．45C ．55D ．40 答案 B解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 5＋a 62＝45.故选B.5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )A ．9B ．15C ．18D ．36答案 C解析 由等差数列的通项公式及性质，可得S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C.6．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30B ．45C ．90D ．186答案 C解析 因为a 2＝6，a 5＝15，所以a 5－a 2＝3d ，d ＝3，所以{b n }是公差为6的等差数列，其前5项和为5a 2＋10×6＝90.故选C.7．(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝a 5b 5＝2，故选A.8．(2019·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.故选C.9．(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若a b n ＝3n －1，则b 2019＝( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020答案 D解析 由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－22＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n＋1＝3n －1.又由数列{a n }的公差不为0，知数列{a n }为单调数列，所以结合a b n ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2019＝2020.故选D.10．已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 6D ．S 6，S 7均为S n 的最大值 答案 C解析 因为S 5<S 6，所以S 5<S 5＋a 6，所以a 6>0，因为S 6＝S 7，所以S 6＝S 6＋a 7，所以a 7＝0，因为S 7>S 8，所以S 7>S 7＋a 8，所以a 8<0，所以d <0且S 6，S 7均为S n 的最大值，所以S 9<S 6.故选C.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1. 又S m ＝m a 1＋a m2＝m a 1＋22＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 12．(2019·苏州模拟)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2019a 2017＝( ) A ．4×20192－1 B ．4×20182－1 C ．4×20172－1 D ．4×20172答案 C解析 由题意知{a n }为等差比数列，a 2a 1＝1，a 3a 2＝3，a 3a 2－a 2a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＋1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，则a 2019a 2017＝a 2019a 2018×a 2018a 2017＝(2×2018－1)×(2×2017－1)＝4×20172－1.故选C.13．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________.答案 676解析 ∵a n ＋2－a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，2，n 为偶数，∴数列{a n }的奇数项为常数1，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 51 ＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25×2＋25×242×2＝676. 14．(2019·武汉模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78解析 由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0，a 9<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0.所以－1<d <－78.15．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．答案 10解析 ∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0， ∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38， 解得n ＝10.16．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n 与B n ，且满足A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N ＋)，则a 11b 11的值是________． 答案 43解析 根据等差数列的性质得：a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝21a 1＋a 21221b 1＋b 212＝A 21B 21＝148111＝43. 17．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.18．(2019·广东惠州调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使不等式S n <k 对一切n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．解 (1)证明：因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n＋2. 因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝2n －1，所以a n ＝12n －1. (2)由b n ＝a n2n ＋1，得b n ＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，所以要使不等式S n <k 对一切n ∈N *恒成立，则k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.19．(2019·洛阳市统考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n－3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3， 又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， 所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1， 即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2， 首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.20．(2019·唐山模拟)已知{a n }是公差为正数的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵{a n }是公差d >0的等差数列， ∴由a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16＝a 3＋a 6， 解得a 3＝5，a 6＝11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)∵a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，∴a n －1＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n －12n －3(n ≥2，n ∈N *)，两式相减，得b n2n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)， 则b n ＝4n －2(n ≥2，n ∈N *)， 当n ＝1时，b 1＝1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，4n －2，n ≥2，∴当n ≥2时，S n ＝1＋n －16＋4n －22＝2n 2－1.又n ＝1时，S 1＝1，适合上式， 所以S n ＝2n 2－1.。
课时作业28 等差数列及其前n 项和一、选择题1．若数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则S n 取最大值时，n ＝( )． A ．13 B ．14C ．15D ．14或152．等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1,2,3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )．A ．S 17B ．S 18C ．S 15D ．S 143．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 2OA →＋a 2 009OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 2 010＝( )．A ．2 010B ．1 005C ．22 010D ．2－20104．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2 011，S 2 0092 009－S 2 0072 007＝2，则S 2 011的值为( )．A ．－2 010B ．2 010C ．－2 011D ．2 011 5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )．A ．1升B ．6766升C ．4744升D ．3733升 6．等差数列{a n }中，a 1＝a 3＋a 7－2a 4＝4，则a n a n ＋1＋12n 2＋3n的值为整数时n 的个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．17．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )．A ．12B ．－12C ．32D ．－32 二、填空题8．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝__________，S n＝__________.9．已知{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝1，则a 6－a 5的值为__________． 10．等差数列的前n 项和为S n ，若S 7－S 3＝8，则S 10＝__________；一般地，若S n －S m＝a (n ＞m )，则S n ＋m ＝__________.三、解答题11．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋m ·2n(m 是与n 无关的常数且m ≠0)． (1)设b n ＝a n2n ，证明数列{b n }是等差数列，并求a n ；(2)若数列{a n }是单调递减数列，求m 的取值范围．12．a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{a n }是公差为正的等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和 S n .参考答案一、选择题1．B 解析：令a n ＝43－3n ≥0，解得n ≤433，故选B.2．C 解析：由a 5＋a 8＋a 11＝3a 1＋21d ＝3(a 1＋7d )＝3a 8是定值，可知a 8是定值，所以S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8是定值．故选C.3．B 解析：由于A ，B ，C 三点共线，及OB uuu r ＝a 2OA u u u r＋a 2 009OC u u u r ，∴a 2＋a 2 009＝1，S 2 010＝2 010(a 1＋a 2 010)2＝2 010(a 2＋a 2 009)2＝1 005.4．C 解析：S nn ＝na 1＋n (n －1)2dn＝a 1＋(n －1)d2，∴S n n 为以a 1为首项，以d2为公差的等差数列． ∴S 2 0092 009－S 2 0072 007＝2×d2＝2. ∴d ＝2.∴S 2 011＝2 011×(－2 011)＋2 011×2 0102×2＝－2 011.故选C.5．B 解析：设最上面一节容积为a ，容积依次增大d ，由题意知，4a 1＋6d ＝3和3a 1＋21d ＝4，可求得a 1＝1322，d ＝766.故a 5＝6766.故选B.6．C 解析：a 3＋a 7－2a 4＝2d ＝4， ∴d ＝2.∴a n ＝2n ＋2.∴a n a n ＋1＋12n 2＋3n ＝(2n ＋2)(2n ＋4)＋12n 2＋3n＝4＋20n (n ＋3).当n ＝1,2时，符合题意．7．D 解析：若m ＞0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m ＜0，则公差d ＝3π2－π23＝π3. 所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32，故选D.二、填空题8．1 14(n 2＋n ) 解析：由a 1＝12，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3－a 2＝12，∴{a n }是一个以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列．∴a n ＝12＋(n －1)×12＝12n ，∴a 2＝1，S n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12n ＝14n 2＋14n＝14(n 2＋n )． 9．96 解析：由a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1可知，a n ＋1a n 是等差数列，公差为1，其首项为a 2a 1＝1， ∴a n ＋1a n＝n . 累乘得a n ＝(n －1)(n －2)…3·2·1(n ≥2)， ∴a 6－a 5＝120－24＝96.10．20 n ＋mn －m·a 解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S 7－S 3S 10＝4a 1＋18d 10a 1＋45d ＝25＝8S 10⇒S 10＝20；同理S n －S mS n ＋m＝(n －m )·⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋n ＋m －12d (n ＋m )a 1＋(n ＋m )(n ＋m －1)2d＝n －m n ＋m ＝a S n ＋m⇒S n ＋m ＝n ＋mn －m·a .三、解答题11．解：(1)a n ＋1＝2a n ＋m ·2n，同除2n ＋1得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋m 2， 即b n ＋1＝b n ＋m2. ∴数列{b n }是首项为12，公差为m2的等差数列．∴b n ＝12＋(n －1)m 2＝mn ＋1－m 2.∵b n ＝a n2n ， ∴a n ＝b n ·2n ＝2n －1(mn ＋1－m )．(2)由(1)得：a n ＝2n －1(mn ＋1－m )，a n ＋1－a n ＝[m (n ＋1)＋1－m ]·2n －(mn ＋1－m )·2n －1＝2n －1(mn ＋1＋m )， ∵数列{a n }是单调递减数列，∴对任意的正整数n ，不等式2n －1(mn ＋1＋m )＜0恒成立，即m ＜－1n ＋1恒成立⇔m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ＋1min＝－12. ∴m ＜－12.12．解：(1)由a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27，且公差d ＞0，得a 2＝3，a 5＝9，∴d ＝a 5－a 23＝2，a 1＝1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．在T n ＝1－12b n 中，令n ＝1，得b 1＝23，当n ≥2时，T n ＝1－12b n ，T n －1＝1－12b n －1，两式相减得b n ＝12b n －1－12b n ，∴b n b n －1＝13(n ≥2)． ∴b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n (n ∈N *)．(2)c n ＝(2n －1)·23n ＝4n －23n ，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋332＋533＋…＋2n －13n ，S n 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋333＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，∴23S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋2×19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－2n －13n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13－13n －2n －13n ＋1＝43－4n ＋43n ＋1.∴S n ＝2－2n ＋23n (n ∈N *)．。
§6.2等差数列及其前n项和基础知识自主学习要点梳理1 •等差数列的定义如果一个数列列，这个常数叫做等第纟龄亓一项如果等差数列6｝的首项为引，公差为d,那公送的通项公式是____________ •3•等差中项如果____ 八暫纟魁做a与b的等差中项.4•等差数列的SwS（1） ________________________ 通项公式的推广：a n=a m+ , ________________________ （n,meN*）.（2）若｛aj为等差数列,且k+l=m+n, （JG_L.ni,nEN*）,则_________ ・丿（3）若｛%｝是等差数列，公差为d,则｛a?」也是等差数列，公差为—・（4）若｛a｝｛"｝是等差数列,贝J｛pa n+qb n｝是a k+a i=a m+a n2d等差数列项An 2+Bn, (A 2+B 2^0)设等差数列｛%｝的公差为d,其前n 项和S 产 或.Ml+陽） 6 •等差数列的前n 项和公式与函数的关系一2——n （n-l ）.s n = na 、-\ --------------- a数列｛a 」是等差数列的充要条件是其前n 项和公式（n ）是n 的二次函数或一次函数且不含常数（5）若｛召｝是等差数列，则a*, 为—的等差数列.5 •等麺列的前n 项和公式a k+m , mda k+2m ,（k ，mWN ）是公并即S 尸_E 2—n----- • + (%_ 尹7•在等差数列｛%｝中，引>0, d<0,则Sn 存在最 值;若aiV0,d>0,则Sn 存在最_值・8•等差数列与等差数列各项的和有关的性质小 (1) 若｛%｝是等差数列，贝9 也成—数列,其首项与｛%｝首项相同，公差是｛%｝公桦*・ (2) S m , S 2m , S3m 分别为｛%｝的前m 项，1沖2』项,前3m 项的和，S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 成—数列.等差等差1 2(3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质①若项数为勿，贝ijs偶・S奇②若项数为2n-1,则S偶二(n-1)(4)两£等差鬱誓&｝、肿｝的前n 项和Sn、Tn之间的关系为:陽+1 n基础自测1. (2009-辽宁文，3)代｝为等差数列，且a厂2a4=-1 ,a3=0,则公并d= ( A.-2 B. C. D.2解析根据题意得a7-2a4=f 1+6d-2(a1+3dj=-1,.*.aj=1 •又,.*a3=a1+2d=0J.*3= 222 •已知数列｛%｝中,a1=1,A. B.1c. 5 D・以上都不对得为等差数列.1勺+i3. （20094®建理，3）等差数列&｝的前n项和为S.,且S3=6&=4,则公差d等于（）CA.1B.C.2D.3解析设｛%｝首项为引蟄差为d,则S3=3a-|+ d=3a1+3cl=6,a3=a1+2d=4,.*.a1=0,d=2.3x2 24•已知等差数列&｝的前13项之和为39, Kija64-a7+a8等于( A.6 B.9 C.12解析由S〔3= =13a7=39得a7=3,.••a6+a7+a8=3a7=9. ]3(%+%3)2)D.18B2 2 a 5 _ 2a 5 _a^+a 9 _ 5a 3 2a 3 a x +a 59，9（% +宓）_9 %+。
2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n 项和教师用书 文 新人教版1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2或S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.3．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 60解析 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝52.(2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×6－12×(－2)＝6. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)(2016·某某)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 (1)C (2)20解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14， ∴S 7＝7a 1＋a 72＝49.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A 解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n}是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1 (2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·某某)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017 答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S n n}为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.3828 C.3929D.4030 答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现．题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75 D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9， 所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝a 11＋a 100×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝a 1＋a 110×1102＝a 11＋a 100×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 规X 解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·某某一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( ) A ．9 B ．22 C ．24 D ．32 答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( ) A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱 答案 D解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2017·某某调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 答案 C解析 由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51， 所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10.4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( )A ．24B ．48C ．66D ．132答案 D 解析 方法一 由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6， 得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132.方法二 由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12. 由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11a 1＋a 112＝11×2a 62＝132，故选D. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.*6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1 DD ．b n ＝2n ＋1答案 B解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k [2n ＋12×2n (2n －1)d ]， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，又公差d ≠0，解得d ＝2，k ＝14. 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.7．(2015·某某)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析 由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案 1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.答案 13 解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝k ＋1a 1＋a k ＋12＝k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212， 解得k ＝13.11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.12．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式，当n ＝1时，不满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.*13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1， 因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.。
【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第6章 数列 第二节 等差数列及其前n 项和AB 卷 文 新人教A 版1.(2014·大纲全国，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式.(1)证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是111()(21),nnk k k k aa k +==-=-∑∑所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.2.(2013·新课标全国Ⅰ，17)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和.解 (1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12(12n －3－12n －1)，从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n1－2n . 3.(2013·大纲全国，17)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ）， 解得a 1＝1，d ＝12.∴{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)∵b n ＝1na n＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －2n ＋1＝2n n ＋1.4.(2015·新课标全国Ⅰ，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172B.192C.10D.12解析 由S 8＝4S 4知，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，又d ＝1，∴a 1＝12，a 10＝12＋9×1＝192. 答案 B5.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A.5B.7C.9D.11解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.故选A.答案 A6.(2014·新课标全国Ⅱ，5)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.n (n ＋1) B.n (n －1)C.n （n ＋1）2D.n （n －1）2解析 因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋1).故选A.答案 A7.(2016·新课标全国Ⅱ，17)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.8.(2013·新课标全国Ⅱ，17)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列.(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解 (1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d ). 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列. 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .1.(2014·某某，2)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A.5 B.8 C.10D.14解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＝a 3＋a 5，因为a 1＝2，a 3＋a 5＝10，所以a 7＝8，选B. 答案 B2.(2015·某某，13)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________.解析 由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列.∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.答案 273.(2015·某某，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.解析 由题意设首项为a 1，则a 1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a 1＝5. 答案 54.(2013·某某，1)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝________. 解析 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝30，a 2＋a 3＝15. 答案 155.(2013·某某，12)若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c －a ＝________. 解析 设公差为d ，则d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.答案 726.(2012·，10)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解析 设公差为d ，则由a 1＝12，S 2＝a 3，得d ＝12，a 2＝1，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ＝12n ＋n （n －1）4＝n 2＋n4.故填1，n 2＋n4.答案 1n 2＋n47.(2014·某某，19)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解 (1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2. 从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *).(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)·(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 8.(2013·某某，19)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列. (1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4，∴a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，∵d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时， |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110，综上所述：|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.9.(2014·某某，5)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和.若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A.2B.－2C.12D.－12解析 由S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6成等比数列可得(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.答案 D10.(2013·某某，7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9等于( ) A.－6 B.－4 C.－2 D.2解析 由S 8＝4a 3知：a 1＋a 8＝a 3，a 8＝a 3－a 1＝2d ＝a 7＋d ，所以a 7＝d ＝－2.所以a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6. 答案 A11.(2012·某某，11)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A.1 006 B.2 012 C.503D.0 解析 T ＝2ππ2＝4，且cos π2＋2cos π＋3cos 3π2＋4cos 2π＝2，所以S 2 012＝2 0124×2＝1 006.故选A. 答案 A12.(2014·某某，13)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值X 围为________. 解析 由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－7813.(2014·某某，16)已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和. (1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝23(4n－1).14.(2013·某某，17)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值X 围.解 (1)∵数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列， ∴a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2.(2)∵数列{a n }的公差d ＝1，且S 5＞a 1a 9，∴5a 1＋10＞a 21＋8a 1， 即a 21＋3a 1－10＜0，解得－5＜a 1＜2， 故a 1的取值X 围为(－5，2)。
第2讲 等差数列及其前n 项和一、选择题1． {a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24解析 由S 10＝S 11得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析 由a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝－11＋a 9＝－6，得a 9＝5，从而d ＝2，所以S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，因此当S n 取得最小值时，n ＝6. 答案 A3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析 两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析 依题意得S 15＝a 1＋a 152＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝a 1＋a 162＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )． A ．8B ．7C ．6D ．5解析 由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数的个数是 ( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －2×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案 38．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析 依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 69．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________． 解析 (直接法)设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13， 所以d ＝59，所以数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，所以－3＋(n －1)·59≤0，所以n ≤325，又n ∈N *，前6项均为负值， 所以S n 的最小值为－293.答案 －29310．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案 11 7 三、解答题11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0， 故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋da 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c＝n＋4n －2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n . 解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列， 且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ； 当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值； (2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2， ① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1， 所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1.令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为T 7＝b 1＋b 72＝＋1－2＝7－212lg 2.。
第2讲 等差数列及其前n 项和基础知识整合1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从□01第2项起，每一项与它的前一项的□02差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为□03a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是□04A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的□05等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝□06a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝□07na 1＋n n －12d ＝□08n a 1＋a n2.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d, 则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d . (7)若等差数列的项数为2n (n ∈N *)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (8)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N *)，则S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1(S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)a n )．(9)由公式S n ＝na 1＋n n －1d 2得S n n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d2，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，首项为a 1，公差为等差数列{a n }公差的一半．1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝12，公差d ＝2，则a 9＝( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 4＝12⇒2a 1＋5d ＝12，d ＝2⇒a 1＝1，∴a 9＝a 1＋8d ＝1＋16＝17.故选D.2．(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12答案 B解析 设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22·d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32·d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10.故选B.3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．3答案 B解析 根据等差数列的性质，可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，因此S 2＝0.4．(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{a n }中，S 5＝25，a 2＝3，则a 7＝( ) A ．13 B ．12 C ．15 D ．14答案 A 解析 ∵S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝25，∴a 3＝5，又a 2＝3，∴d ＝a 3－a 2＝2，∴a 7＝a 3＋4d＝5＋8＝13.故选A.5．(2019·辽宁模拟)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 3＋a 4＋a 8＝25，则S 9＝( )A ．60B ．75C ．90D ．105 答案 B解析 由等差数列的性质知a 3＋a 4＋a 8＝3a 5＝25. ∴a 5＝253，∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝75.故选B.6．(2019·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11， ∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0， ∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C.核心考向突破考向一 等差数列的基本运算例1 (1)(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4<S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1答案 B解析 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1.故选B. (2)(2019·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，若lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，且a 5＝10，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．40B ．35C ．30D ．25答案 C解析 因为lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4⇒lg a 22＝lg a 1a 4⇒a 22＝a 1a 4⇒d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以a 1＝d ，又a 5＝a 1＋4d ＝10，所以a 1＝2，d ＝2，S 5＝5a 1＋5×42d ＝30.选C.(3)(2018·上海高考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝________.答案 14解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 4＝a 3＋d ＝2.∴S 7＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝14.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量转换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.即时训练 1.(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 20解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 22＝a 1＋(a 1＋d )2＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝10， 解得a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.3．已知数列{a n }中，a 3＝7，a 7＝3，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 10＝________. 答案 73解析 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ， 则1a 3－1＝16，1a 7－1＝12. ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列， ∴1a 7－1＝1a 3－1＋4d ，即12＝16＋4d ，解得d ＝112， 故1a 10－1＝1a 3－1＋7d ＝16＋7×112＝34，解得a 10＝73. 考向二 等差数列的性质角度1 等差数列项的性质例2 (1)(2019·温州模拟)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝5a 8＝120，所以a 8＝24.所以a 9－13a 11＝a 8＋d －13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.故选C. (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 8＝30，则下列一定为定值的是( ) A ．S 6 B ．S 7 C ．S 8 D ．S 9答案 D解析 由a 2＋a 5＋a 8＝30可得3a 5＝30，所以a 5＝10，S 6＝3(a 1＋a 6)不一定是定值；S 7＝72(a 1＋a 7)不一定是定值；S 8＝4(a 1＋a 8)不一定是定值；S 9＝a 1＋a 9×92＝2a 5×92＝90.选D.触类旁通等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将a n ＋a m ＝2a k (n ＋m ＝2k ，n ，m ，k ∈N *)与a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ＋n ＝p ＋q ，m ，n ，p ，q ∈N *)相结合，可减少运算量．即时训练 4.(2019·河南豫南、豫北联考)等差数列{a n }中，a 4＋a 10＋a 16＝30，则a 18－2a 14的值为( )A ．20B ．－20C ．10D ．－10答案 D解析 ∵a 4＋a 10＋a 16＝3a 10＝30，∴a 10＝10，又2a 14＝a 18＋a 10，∴a 18－2a 14＝－a 10＝－10，故选D.5．(2019·福建漳州模拟)在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n 的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案 B解析 由等差数列的性质知S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝18，∴a 5＝2，又a n －4＝30.∴S n ＝n a 1＋a n2＝n a n －4＋a 52＝16n ＝240，∴n ＝15.故选B.角度2 等差数列和的性质例3 (1)(2019·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 由等差数列的性质知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，∴S 20＝S 10＋S 303＝1＋53＝83.∴d ＝(S 20－S 10)－S 10＝23，∴S 40－5＝1＋3×23＝3，∴S 40＝8.故选B.(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.答案 5解析 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.触类旁通等差数列和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列，且有S 2n ＝na 1＋a 2n ＝…＝n a n ＋a n ＋1；S 2n －1＝2n －1a n ；若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中中间项.即时训练 6.(2019·大同模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2700，则a 50＝( )A ．－22.5B ．－21.5C ．28.5D ．20答案 C解析 由(a 51＋a 52＋…＋a 100)－(a 1＋a 2＋…＋a 50)＝50×50d ＝2700－200，得d ＝1.由a 1＋a 100＋a 2＋a 99＋…＋a 50＋a 51＝50(a 50＋a 51)＝2700＋200，得a 50＋a 51＝58，即2a 50＋d ＝58，所以a 50＝58－12＝572＝28.5.故选C.7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝( )A.310B.13C.18D.19答案 A解析 令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A. 考向三 等差数列的判定与证明例4 (1)(2019·辽宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1并且1a n －1＝2a n －1a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }的第100项为( )A.1100B.150C.12100 D.1250 答案 B 解析 ∵1a n －1＝2a n －1a n ＋1(n ≥2)，∴1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，首项为1a 1＝12，第二项为1a 2＝1，∴d ＝12，∴1a 100＝1a 1＋99d ＝50，∴a 100＝150.(2)(2019·昆明模拟)在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n .①证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； ②比较a n 与S n ＋7的大小． 解 ①证明：∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列． 由a 1＝35，b n ＝1a n －1，得b 1＝－52，∴S n ＝－5n 2＋n n －12＝n 22－3n . ②由①知，b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1，得a n ＝1＋1b n ＝1＋1n －72. ∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋1n －72.∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝1n －72也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n－7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴∀n ∈N *，a n －S n －7≤0，∴a n ≤S n ＋7.触类旁通等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． 3通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . 4前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.即时训练 8.(2019·河南郑州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝4,2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝298时，项数n ＝( )A ．100B ．99C ．96D ．101答案 A解析 因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －a n －1＝a n ＋1－a n .由a 1＝1，a 2＝4得d＝a 2－a 1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.由3n －2＝298，解得n ＝100.故选A.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意的n ∈N *恒成立，求λ的取值范围． 解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－22，得a 1＝4.S n ＝2a n －2n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n －a n －12n －1＝1，又a 121＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n2n ＝n ＋1，即a n ＝n ·2n ＋2n.因为a n >0，所以不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 等价于5－λ>2n －32n .即λ<5－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n .记b n ＝2n －32n ，b 1＝－12，b 2＝14，当n ≥2时，b n ＋1b n ＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6，则b 3b 2＝32，即b 3>b 2，又显然当n ≥3时，b n ＋1b n <1，所以(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<378.1．(2019·长沙模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小．选A.2．(2019·北京海淀模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解 解法一：由S 3＝S 11，得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1.又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大． 解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．答题启示求等差数列前n 项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小．若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．对点训练1．(2019·广东佛山模拟)设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 15，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则数列{S n }的最大项为( )A ．S 23B ．S 24C ．S 25D ．S 26 答案 C解析 设等差数列的公差为d ，∵3a 8＝5a 15，∴3a 1＋21d ＝5a 1＋70d ，∴a 1＋2412d ＝0. ∵a 1>0，∴d <0，∴a 1＋24d ＝a 25>0， a 1＋25d ＝a 26<0，∴数列{S n }最大项为S 25.故选C.2．(2019·黑龙江模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 答案 B解析 ∵S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B.。
6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1.等差数列（1)定义:一般地，如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d 表示.数学语言表示为a n+1—a n =d (n ∈N ＊），d 为常数。
（2）等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做a ，b 的 。
(3)等差数列{a n ｝的通项公式：a n = ，可推广为a n =a m +（n —m ）d.(4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d.2。
等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)a n =a 1+（n —1)d 可化为a n =dn+a 1-d 的形式。
当d ≠0时,a n是关于n 的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.（2）数列｛a n ｝是等差数列，且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数)。
1.已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n项和.（1）在等差数列｛a n}中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N*).特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n(m,n,p∈N＊）.（2）a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m ∈N＊).（3)S n,S2n-S n,S3n—S2n，…也成等差数列，公差为n2d。
（4)若{a n},{b n｝是等差数列,则｛pa n+qb n}也是等差数列.(5）若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+a2n）=n（a n+a n+1)；S偶-S奇=nd；S奇S偶=a na n+1。
（6)若项数为奇数2n—1,则S2n—1=（2n—1）a n；S奇—S偶=a n;S奇S偶=nn-1。
