2010-2019高考数学理科真题分类训练---第十五讲 等差数列

新高考数学（理）数列03 等差数列（等差数列的和与性质）一、具体目标：等差数列 （1） 理解等差数列的概念.（2） 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的和与二次函数的关系及最值问题. 二、知识概述： 一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；()d m n a a m n-+=.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 4.等差数列的前和的求和公式：. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+【考点讲解】它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 二）方法规律：1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+； 四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++. 这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式：若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ， 公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 三）等差数列的性质： 1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 四）方法规律：1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和 灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 五）等差数列的和1. 等差数列的前n 项和公式{}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶{}n a若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 2．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．六）求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =L 依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- n a n a 【真题分析】【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【答案】A2.【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（ ）A ．12-B ．10-C ．10D ．12【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ． 【答案】B3.【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 【答案】A4.【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【答案】C5.【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【答案】1006.【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【答案】47.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n的最小值为___________．【解析】法一：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.法二：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,可得()()22224n a a n d n n =+-=-+-=-，()()()12818222n n a a n n n S n n +-===-，所以结合题意可知，n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【答案】 0，10-.8.【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________．【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【答案】169.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。

为（
）
A．1 B．2 C．4 D．8
3 读万卷书 行万里路
旗开得胜
4．【2017 年新课标 1 理科 12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习
数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是
16．已知数列{an} 满足
2(n
+ 1)an
−
nan+1
=
0,
a1
=
4
，则数列
(n
+ 1)
an (
+
2)
的前
n
项和为___________.
17．定义：从数列{an}中抽取 m(m ∈ N, m ≥ 3) 项按其在{an}中的次序排列形成一个新数列{bn} ，则称{bn} 为{an}的子数列；若{bn} 成等差（或等比），则称{bn} 为{an}的等差（或等比）子数列.
20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N：N＞100 且该数列的
前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是（
）
A．440 B．330 C．220 D．110 5．【2016 年新课标 1 理科 03】已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝（ ）
5 读万卷书 行万里路
（Ⅱ）是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
旗开得胜
16．【2011 年新课标 1 理科 17】等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn＝log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{ }的前 n 项和．

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=n2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b∈R,数列{a n}满足a1=a,a n+1=+b,n∈N*,则()A.当b=时,a10>10B.当b=时,a10>10C.当b=-2时,a10>10D.当b=-4时,a10>103.(2018·全国1·理T4)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a45.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A. fB. fC. fD. f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为( )A.-24B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A. B. C.10 D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A. B.- C. D.-17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m= ( )A.3B.4C.5D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )A.7B.5C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,S n的最小值为.5.(2019·全国1·文T14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1==a6,则S5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6= .8.(2018·北京·理T9)设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n-1(n∈N*),前n项和为S n,若,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为.11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1= ,S5= .15.(2016·北京·理T12)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .18.(2015·湖南·理T14)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .19.(2015·福建·文T16)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*).则数列前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n= .22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为.24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .27.(2014·全国2·文T16)数列{a n}满足a n+1=,a8=2,则a1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{a n}的前n项和最大.29.(2014·天津·理T11)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为.31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n.求数列{b n}的前n项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c n=求a1c1+a2c2+…+a2n c2n(n∈N*).4.(2019·天津·理T19)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c1=1,c n=其中k∈N*.①求数列{-1)}的通项公式;②求a i c i(n∈N*).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足:对每个n∈N*,S n+b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=,n∈N*,证明:c1+c2+…+c n<2,n∈N*.6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M- 数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,,其中S n为数列{b n}的前n项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数.若存在“M- 数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求{a n}的通项公式;(2)求+…+.8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意x∈N*,都有|b n-a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与{a n}接近,并说明理由;(2)设数列{a n}的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m:(3)已知{a n}是公差为d的等差数列.若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1, ],证明:存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n}是等差数列,其前n项和为S n(n∈N*);{b n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为T n(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求S n和T n;(2)若S n+(T1+T2+…+T n)=a n+4b n,求正整数n的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*),①求T n;②证明-2(n∈N*).12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n.设b n=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{b n}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{a n}的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.18.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列的前n项和T n.21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n}的前n项和为S n.已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(1)求通项公式a n;(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)令c n=,求数列{c n}的前n项和T n.27.(2016·天津·理T18)已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,b n是a n和a n+1的等比中项.(1)设c n=,n∈N*,求证:数列{c n}是等差数列;(2)设a1=d,T n=(-1)k,n∈N*,求证:.28.(2016·天津·文T18)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),且,S6=63.(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1, -(2a n+1-1)a n-2a n+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{a n}的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n}满足a3=2,前3项和S3=.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b1=a1,b4=a15,求{b n}的前n项和T n.34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n.37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{a n}的通项公式;(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·,求数列{b n}的前n项和T n.39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n;(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n,求T n.40.(2015·天津·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:+…+.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(2)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.49.(2014·安徽·文T18)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n b n,求T n.51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n}中,a1=,公比q=.(1)S n为{a n}的前n项和,证明:S n=;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{b n}的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列的前n项和.58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.。

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质 例 1：已知数列 a n ， b n 为等差数列，若 a 1 b 1 7 ， a 3 b 3 21 ，则 a 5 b 5 _______【答案】 35【解析】 ∵ a n ， b n 为等差数列，∴ a n b n 也为等差数列，∴ 2 a 3b 3a 1b 1a 5b 5 ，∴ a 5 b 5 2 a 3b 3a 1b 135 ．2．等比数列的性质例 2：已知数列 a n 为等比数列，若 a 4 a 610 ，则 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 的值为（）A ． 10B ． 20C ． 100D ． 200【答案】 C【解析】 与条件 a 4 a 6 10 联系，可将所求表达式向a 4 ， a 6 靠拢，从而 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 a 7 a 1 2a 7 a 3 a 3a 9a 42 2a 4a 6a 62a 42a 6 ，即所求表达式的值为 100 ．故选 C ．3．等差、等比综合例 3：设 a n 是等差数列， b n 为等比数列， 其公比 q 1 ，且 b i 0 i 1,2,3,L , n ，若 a 1 b 1 ，a 11b11，则有（ ）A ． a 6 b 6B ． a 6 b 6C ． a 6 b 6D ． a 6 b 6 或 a 6 b 6【答案】 B【解析】 抓住 a 1 ， a 11 和 b 1 ， b 11 的序数和与 a 6 ， b 6 的关系，从而以此为入手点．由等差数列性质出发， a 1 b 1 ， a 11 b 11 a 1a11b 1 b 11 ，因为 a 1 a 112a 6 ，而 b n 为等比数列，联想到 b 1 b 11 与 b 6 有关，所以利用均值不等式可得：b 1 b 11 2b 1 b112 b 622b 6 ；（ q 1 故b1b11，均值不等式等号不成立）所以 a1 a11b1 b11 2a6 2b6．即 a6 b6．故选 B．对点增分集训一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6 斤B．7斤C．8 斤D．9 斤【答案】 D【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1 4 ， a5 2 ，求 a2a3a4的值．由等差数列的性质可知：a2a4a1a1a53 ，a5 6 ， a32则 a2 a3a49 ，即中间三尺共重9 斤．故选 D．2．设 S n为等差数列 { a n } 的前n项和，若 S540， S9126 ，则 S7（）A． 66B． 68C． 77D． 84【答案】 CS55a340， S99a5126a38【解析】根据等差数列的求和公式，化简得a5，14根据等差数列通项公式得a12d8，解方程组得a12a14d14，d3S7 7a47 a13d72 3 377 ．故选 C．3．已知等比数列a n的前 n 项和为S n，且满足2S n2n1，则的值为（）A． 4B． 2C．2D．4【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643【解析】 根据题意，当 n1时， 2S 1 2a 1 4，故当 n 2 时， a n S n S n 12n 1 ，∵数列 a n 是等比数列，则 a 11，故41 ；解得2 ．故选 C ．24．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 714 ，则 S 11 （）A ． 140B ． 70C ． 154D ． 77【答案】 D【解析】 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 7 14 ，∴ S 11a 1 a 1111 a 5 a 71114 77 ．故选 D ．221125．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列， 且 a 1 ，a 3 ，a 2 成等差数列， 则公比 q 的值为（ ）A ． 1B ． 2C ．1 或1D ． 1或12 22【答案】 C【解析】 由题意知： 2a 3 a 1 a 2 ，∴ 2a 1 q 2 a 1 q a 1 ，即 2q 2q 1 ，∴ q 1 或 q1．故选 C ．26．公比不为 1 的等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 2a 1 ， 1a 2 ， a 3 成等差数列， 若 a 1 1 ，2则 S 4 （）A ． 5B ． 0C ． 5D ． 7【答案】 A【解析】 设 a n 的公比为 q ，由 2a 1 ，1a 2 ， a 3 成等差数列，可得a 22a 1 a 3 ，2若 a 1 1 ，可得 q2 q 2，解得 q21舍去，a 1 1 q 41 2 4则 S 45 ，故选 A ．1q127 ．等比数列 a n 的各项均为正数，且a 5 a 6 a 4 a 7 18 ，则 log 3 a 1log 3 a 2 Llog 3 a 10（ ）A ． 12B ． 10C ． 8D ． 2 log 3 5【答案】 B【解析】 由等比数列的性质结合题意可知：a 5a 6 a 4a 7 9 ，且 a1 a10a2 a9a3a8a4a7a5a69 ，据此结合对数的运算法则可得：log 3 a1log3 a2L log 3 a10log 3 a1 a2 L a10log3 9510 ．故选 B．8．设公差为2的等差数列a n，如果 a1a4a7 L a97 50 ，那么 a3 a6 a9 L a99等于（）A．182B．78C．148D．82【答案】 D【解析】由两式的性质可知： a3a6a9a99a12d a42d a72d a972d ，则 a3a6 a9a9950 66d82 ．故选 D．9．已知等差数列a n的前 n 项和为S n，且3S1 2S315 ，则数列a n的第三项为（）A． 3B．4C．5D． 6【答案】 C【解析】设等差数列a n的公差为 d，∵ 3S12S315 ，∴3a1 2 a1a2a315 3a16a2，∴ a12d5a3．故选 C．10．等差数列a n的前 n 项和为S n，若2a8 6 a10，则 S11（）A． 27B． 36C． 45D． 66【答案】 D【解析】∵ 2a6 a ，∴ a a6a，∴ a6，∴ S11 a1a1111a66，故6810610101126选 D．11．设a n是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n是其前 n 项的积，且K5 K6，K6 K7 K8，则下列结论错误的是（）．．A． 0q 1B． a71C． K9K5D． K 6与 K 7均为 K n的最大值【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643n n 1【解析】 等比数列 a n a 1q n 1， K n 是其前 n 的 ，所以 K n a 1 nq 2，由此 K 5 K 61 a 1 q 5 ， K 6K 7 1 a 1q 6 ， K 7 K 8 1 a 1q 7所以 a 7 a 1 q 6 1 ，所以 B 正确，由 1 a 1q 5 ，各 正数的等比数列，可知q 1 ，所以 A 正确，n n 1n n 1n n 131 a 1q 6 ， K na 1n q 2 可知 K n a 1n q 2q2，由 0 q 1 ，所以 q x减，n n13 在 n 6 ， 7 取最小 ，2所以 K n 在 n 6 ， 7 取最大 ，所以 D 正确．故 C ．12 ． 定函 数 f x如 下 表 ， 数 列 a n 足 a n 1f a n ， n N ， 若 a 1 2 ，a 1 a 2 a 3 La2018（ ）A ． 7042B ． 7058C ． 7063D ． 7262【答案】 C【解析】 由 知 f 13 ， f 2 5 ， f 34 ， f 4 6 ， f5 1 ， f6 2 ，∵ a 1 2 ， a n 1 f a n ， n N ，∴ a 1 2 ， a 2 f 25 ， a 3f 5 1 ， a 4f 1 3 ， a 5f 3 4 ， a 6f 4 6 ， a 7 f 6 2⋯⋯，∴ a n 是周期6 的周期数列，∵ 2018 336 6 2 ，∴ a 1 a 2 a 3 L a 2018 336 1 2 3 4 5 6 2 5 7063 ，故 C ．二、填空13．已知等差数列a n ，若 a 2a 3 a 7 6 ， a 1a 7 ________【答案】 4【解析】∵ a2 a3 a7 6 ，∴ 3a1 9d 6 ，∴ a1 3d 2 ，∴ a4 2 ，∴ a1a72a4 4 ．故答案为 4．14．已知等比数列a n的前n项和为 S n，若公比 q3 2 ，且 a1 a2a3 1 ，则 S12的值是___________．【答案】 15【解析】已知 a1a2a3a1 1q31，则 S3 1 ，1qa 1q12又 q 3 2代入得 a11q 1 ；∴ S12q115．设n是等差数列a的前n项和，若a5S n a312q 1 1 3 215 ．1 q10，则S9 _______．9S5【答案】 2S 9a99aa15109910【解析】925，又a，代入得S2 ．S555a3a39S5 5 9a5a1216．在等差数列a n中， a1a4a10a16a19100 ，则 a16a19a13的值是 _______．【答案】 20【解析】根据等差数列性质a1a4a10a16a195a10100 ，所以 a10 20 ，根据等差数列性质，a16a19a13a16a13a19a19a10a19a10 20 ．三、解答题17．已知数列a n中，a1 2 ， a n 12a n．（1）求 a n；（2）若 b n n a n，求数列b n的前 5 项的和 S5．【答案】（ 1） a n2n；（ 2）77．【解析】（ 1） a1 2 ， a n 1 2 a n，畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643则数列 a n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， a n 2 2n 1 2n ；（2） b n n a n n2n ，S 51 2 2 223 234 245 251 23 4 5222 23 24 251 55 2 25 277 ．21 218．设 a n是等差数列， 其前 n 项和为 S n n N * ； b n 是等比数列， 公比大于 0，其前 n 项和为 T n n N * ．已知 b 1 1， b 3b 2 2 ， b 4 a 3 a 5 ， b 5 a 42a 6 ．（1）求 S n 和 T n ；（2）若 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，求正整数 n 的值．【答案】（ 1） S n n n 1 ， T n 2n 1 ；（ 2） 4．2【解析】（ 1）设等比数列 b n 的公比为 q ，由 b 1 1 ， b 3b 2 2 ，可得 q 2q2 0 ．因为 q0 ，可得 q2 ，故 b n 2 n 1 ．所以 T n 1 2n2n 1 ．1 2 设等差数列 a n 的公差为 d ．由 b 4 a 3 a 5 ，可得 a 1 3d 4 ．由 b 5 a 4 2a 6 得 3a 1 13d 16 ，从而 a 1 1 ， d 1 ，故 an ，所以 Sn n1n．n22 1 n（2）由（ 1），有 T 1 T 2 LT n2122L2nn 2n 2 ．1 n 2n 12由 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，可得 n n12n1n 2 n 2n 1，2整理得 n 23n 4 0 ，解得 n1 （舍），或 n 4．所以 n 的值为 4．。

专题六 数列第十五讲 等差数列2019年1.（2019全国1理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- 2.（2019全国3理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 3.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .4.（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，,则5a = ________ . n S 的最小值为_______.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10D ．122．（2017新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．（2017新课标Ⅲ）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24B ．3C ．3D ．84．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．（2016年全国I ）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA ．100B ．99C ．98D ．97 6．（2015重庆）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝A ．－1B ．0C ．1D ．67．（2015浙江）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>8．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >9．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =A ．8B ．10C ．12D ．1410．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．1411．（2013新课标Ⅰ）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m＝A ．3B ．4C ．5D ．612．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p13．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．414．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=SA ．58B ．88C ．143D ．17615．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =A ．18B ．20C ．22D ．2416．（2011安徽）若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则A ．15B ．12C ．-12D ．-1517．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．11018．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．64 二、填空题19．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．20．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．21．（2017新课标Ⅱ）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 22．（2015广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 23．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时{}n a 的前n 项和最大．24．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．25．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____.26．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +_____． 27．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =， 则2a = ；n S = .28．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=___________．29．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．30．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________． 三、解答题31．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．32．（2017北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．33．（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 34．（2016年天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*N n ∈，n b 是n a 和1n a +的等差中项．(Ⅰ)设22*1,N n n n c b b n +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,N nkn kk a d T b n ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑35．（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。

一．选择题（共1小题）1．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n二．填空题（共4小题）2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝．3．（2019•北京）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝，S n的最小值为．4．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝．5．（2019•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．三．解答题（共2小题）6．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．7．（2019•北京）设{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝0，a3＝5，得，∴，∴a n＝7n﹣5，，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．二．填空题（共4小题）2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝4．【分析】根据a2＝3a1，可得公差d＝2a1，然后利用等差数列的前n项和公式将用a1表示，化简即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a1≠0，a7＝3a1可得，d＝4a1，∴＝＝，故答案为：4．【点评】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础题．3．（2019•北京）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝0，S n的最小值为﹣10．【分析】利用等差数列{a n}的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出a1＝﹣4，d＝1，由此能求出a5的S n 的最小值．【解答】解：设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝﹣3，S3＝﹣10，∴，解得a1＝﹣2，d＝1，∴a5＝a6+4d＝﹣4+4×1＝0，S n＝＝﹣4n+＝）2﹣，∴n＝4或n＝5时，S n取最小值为S4＝S6＝﹣10．故答案为：0，﹣10．【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝100．【分析】由已知求得首项与公差，代入等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3＝5，a3＝13，得d＝，∴a1＝a5﹣2d＝5﹣8＝1．则．故答案为：100．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题．5．（2019•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是16．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝8×（﹣5）+56＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．三．解答题（共2小题）6．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【分析】（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S5＝＝9a8＝﹣a5，变形可得a5＝3，即a1+4d＝2，若a3＝4，则d＝，则a n＝a7+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na6+d≥a7+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥6时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣6）d≥﹣2a1，又由S3＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a6，则有a5＝0，即a6+4d＝0，则有（n﹣2）3，又由a1＞0，则有n≤10，则有3≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题．7．（2019•北京）设{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d＝2，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅰ）由a1＝﹣10，d＝2，求出S n的表达式，然后转化求解S n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a6+8，a4+3成等比数列．∴（a3+8）4＝（a2+10）（a4+5），∴（﹣2+2d）3＝d（﹣4+3d），解得d＝8，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣10+7n﹣2＝2n﹣12．（Ⅰ）由a5＝﹣10，d＝2S n＝﹣10n+＝n2﹣11n＝（n﹣）2﹣，∴n＝5或n＝6时，S n取最小值﹣30．【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．。

D．8
【解答】解：∵ Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和， a4+a5＝24， S6＝ 48，
∴
，
解得 a1＝﹣ 2， d＝ 4， ∴ { an} 的公差为 4． 故选： C．
4．【 2017 年新课标 1 理科 12】 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数
学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
∴
a1+a1+d+4 a1
d，
把 a1＝ 2，代入得 d＝﹣ 3 ∴ a5＝ 2+4×（﹣ 3）＝﹣ 10． 故选： B．
3．【 2017 年新课标 1 理科 04】 记 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和．若 a4+a5＝24， S6＝ 48，则 { an} 的公差为
（
）
A．1
B．2
C．4
D．6
Sm
0，
m﹣ 1＞ 0， m＞ 1，因此 m 不能为 0， 得 a1＝﹣ 2， 所以 am＝﹣ 2+ （m﹣ 1）?1＝ 2，解得 m＝ 5，
另解：等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，即有数列 { } 成等差数列，
则
，，
成等差数列，
可得 2?
，
即有 0
，
解得 m＝ 5．
又一解：由等差数列的求和公式可得
，解得 a1＝ 1
当 n≥ 2 时， an＝ Sn﹣ Sn﹣1＝（
）﹣（
）
，
整理可得
，即
2，
故数列 { an} 从第二项开始是以﹣ 2 为首项，﹣ 2 为公比的等比数列， 故当 n≥ 2 时， an＝（﹣ 2） n﹣1，

因为an 是一个递增数列，且 a5 = 0 ，
所以 S n 的最小值为 S 4
或S5
，
S4
=
S5
=
( −4)
4+
431= 2
−10 .
1．B【解析】通解 设等差数列{ an} 的公差为 d ，∵ 3S3 = S2 + S4 ．
∴ 3(3a1
+
3 2 2
d
)=
2a1
+d
+
4a1
+
4 3 d 2
，解得
21．
2n n +1
【解析】设等差数列的首项为
a1 ，公差为
d
，则
a1
+2d
=3
4a1
+
4
2
3
d
=
，
10
解得a1 = 1 ，d = 1 ，
∴ Sn
=
na1
+ n(n −1) d 2
=
n(n +1) 2
1
，所以
Sn
=
2 k(k + 1)
=
2(1 k
−
1 )， k +1
n
所以
1 = 2[(1 − 1) +( 1 − 1) + +( 1 −
d
=
−3 2
a1 ，
∵ a1 = 2 ，∴ d = −3，
∴ a5 = a1 + 4d = 2 + 4 (−3) = −10 ．故选 B．
优解 设等差数列{ an} 的公差为 d ，∵ 3S3 = S2 + S4 ，∴ 3S3 = S3 − a3 + S3 + a4 ，

(1)f(x)存在唯一的极值点;
(2)f(x)=0 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
49.(2019·江苏,19,16 分,难度)设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为 f(x)的导函数.
(1)若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值;
(2)若 a≠b,b=c,且 f(x)和 f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求 f(x)的极小值;
3
38.(2015·全国 1·文 T14)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a= .
2
39.(2015·全国 2·文 T16)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax +(a+2)x+1 相切,则 a= .
x
1
40.(2015·陕西·理 T15)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y=x (x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐
T13) 已 知 函 数
y=f(x) 的 图 象 是 折 线 段
ABC, 其 中
A(0,0),B
1 2
,5
,C(1,0). 函 数
y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为________________.
44.(2012·全国·文 T13)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .
34.(2017·天津,文 10)已知 a∈R,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点(1,f(1))处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的
截距为 .

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n2.(2019·浙江·T 10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>103.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A.172B.192C.10D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.1D.114.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)216.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1917.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .3.(2019·江苏·T 8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 .4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .9.(2018·上海·T 10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1=12,则q=.10.(2018·江苏·T 14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k=____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *).则数列{1a n}前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 .24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数,求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. ①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; ②求∑i=12na i c i (n ∈N *).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M - 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n−2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列. (1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1, √2m],证明:存在d ∈R,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是等差数列.已知a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *), ①求T n ;②证明∑k=1n(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=2n+2-2(n ∈N *). 12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =ann .(1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{a n2n+118.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和T n.(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列{b na n21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .27.(2016·天津·理T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n+1的等比中项.(1)设c n =b n+12−b n 2,n ∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设a 1=d,T n =∑k=12n(-1)kb k 2,n ∈N *,求证:∑k=1n1T k<12d2.28.(2016·天津·文T18)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1−1a 2=2a 3,S 6=63. (1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)nb n 2}的前2n 项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1, a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式;(2)若S 5=3132,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =a n+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为n2n+1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+…+1n b n =b n+1-1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .40.(2015·天津·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=a nb n,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:{a n+12}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+…+1a n<32.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=n 2+n2,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-14na n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x+6=0的根.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{an 2n }的前n 项和. 49.(2014·安徽·文T18)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *.(1)证明:数列{a n n }是等差数列;(2)设b n =3n ·√a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n (n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)nb n ,求T n . 51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2.(1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{12n -12n+1}的前n 项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和.56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n }中,a 1=13,公比q=13.(1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-an 2;(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{1b n58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.。

A．－1
B．0
C．1
D．6
7．（2015 浙江）已知{an}是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn ．若 a3, a4 , a8 成等比
数列，则
A． a1d > 0, dS4 > 0
B． a1d < 0, dS4 < 0
C． a1d > 0, dS4 < 0
D． a1d < 0, dS4 > 0
的公差为
A．1
B．2
C．4
D．8
3．（2017 新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0．若 a2 ， a3 ， a6 成等比数列， 则{an}前 6 项的和为
1
千里之行始于足下
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A． − 24
B． − 3
C．3
D．8
4．（2017 浙江）已知等差数列{an} 的公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，则“ d > 0 ”是
专题六 数列
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第十五讲 等差数列
2019 年
1.（2019 全国 1 理 9）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4 = 0，a5 = 5 ，则
A． an = 2n − 5 B． an = 3n −10 C． Sn = 2n2 − 8n
D． Sn
=
1 2
n2
− 2n
2.（2019 全国 3 理 14）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， a1≠0，a2 = 3a1 ，则 S10 = ___________. S5
.
求数列
c n
的前 n 项和 Tn.
34．（2016 年天津高考）已知{an} 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的 n ∈ N* ，

专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科09】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n n2﹣2n【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝0，a5＝5，得，∴，∴a n＝2n﹣5，，故选：A．2．【2018年新课标1理科04】记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴a1+a1+d+4a1d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．【2017年新课标1理科04】记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．4．【2017年新课标1理科12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下的两项是20，21，再接下的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110【解答】解：设该数列为{a n}，设b n2n+1﹣1，（n∈N+），则a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．B项，仿上可知325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N＝1+2+3+…+n，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有2＝3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有3＝18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有4＝95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有5＝440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．5．【2016年新课标1理科03】已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100 B．99 C．98 D．97【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S99a5．∴9a5＝27，a5＝3，又∵a10＝8，∴d＝1，∴a100＝a5+95d＝98，故选：C．6．【2013年新课标1理科07】设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣2，S m＝0，S m+1＝3，则m＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：a m＝S m﹣S m﹣1＝2，a m+1＝S m+1﹣S m＝3，所以公差d＝a m+1﹣a m＝1，S m0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1＝﹣2，所以a m＝﹣2+（m﹣1）•1＝2，解得m＝5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•，即有0，解得m＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）＝﹣2，m（a1+a m）＝0，（m+1）（a1+a m+1）＝3，可得a1＝﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+10，解得m＝5．故选：C．7．【2013年新课标1理科12】设△A n B n∁n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n∁n的面积为S n，n＝1，2，3…若b1＞c1，b1+c1＝2a1，a n+1＝a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【解答】解：b1＝2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1＝2a1﹣c1﹣a1＝a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n（b n+c n﹣2a n），∵b1+c1＝2a1，∴b1+c1﹣2a1＝0，∴b n+c n﹣2a n＝0，∴b n+c n＝2a n＝2a1，∴b n+c n＝2a1，由此可知顶点A n在以B n、c n为焦点的椭圆上，又由题意，b n+1﹣c n+1，∴a1﹣b n，∴b n+1﹣a1，∴b n﹣a1，∴，c n＝2a1﹣b n，∴[][] []单调递增（可证当n＝1时0）故选：B．8．【2012年新课标1理科05】已知{a n}为等比数列，a4+a7＝2，a5a6＝﹣8，则a1+a10＝（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【解答】解：∵a4+a7＝2，由等比数列的性质可得，a5a6＝a4a7＝﹣8∴a4＝4，a7＝﹣2或a4＝﹣2，a7＝4当a4＝4，a7＝﹣2时，，∴a1＝﹣8，a10＝1，∴a1+a10＝﹣7当a4＝﹣2，a7＝4时，q3＝﹣2，则a10＝﹣8，a1＝1∴a1+a10＝﹣7综上可得，a1+a10＝﹣7故选：D．9．【2019年新课标1理科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1，a42＝a6，则S5＝．【解答】解：在等比数列中，由a42＝a6，得q6a12＝q5a1＞0，即q＞0，q＝3，则S5，故答案为：10．【2018年新课标1理科14】记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n+1，则S6＝．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2a n+1，①当n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1+1，②，由①﹣②可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S663，故答案为：﹣6311．【2016年新课标1理科15】设等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…a n的最大值为64．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，可得q（a1+a3）＝5，解得q．a1+q2a1＝10，解得a1＝8．则a1a2…a n＝a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）＝8n•，当n＝3或4时，表达式取得最大值：26＝64．故答案为：64．12．【2013年新课标1理科14】若数列{a n}的前n项和为S n a n，则数列{a n}的通项公式是a n＝．【解答】解：当n＝1时，a1＝S1，解得a1＝1当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣（），整理可得，即2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n＝（﹣2）n﹣1，经验证当n＝1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣113．【2012年新课标1理科16】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为．【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8）＝183014．【2015年新课标1理科17】S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）由a n2+2a n＝4S n+3，可知a n+12+2a n+1＝4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）＝4a n+1，即2（a n+1+a n）＝a n+12﹣a n2＝（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{a n}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵a n＝2n+1，∴b n（），∴数列{b n}的前n项和T n（）（）．15．【2014年新课标1理科17】已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n+1＝λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n＝λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1＝λS n﹣1，a n+1a n+2＝λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）＝λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n＝λ．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ＝a n+2﹣a n＝（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）＝2d，∴．∴，，∴λS n＝1，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ＝4．此时可得，a n＝2n﹣1．因此存在λ＝4，使得{a n}为等差数列．也可以先考虑前3项成等差数列，得出λ，再进一步验证即可．16．【2011年新课标1理科17】等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32＝9a2a6得a32＝9a42，所以q2．由条件可知各项均为正数，故q．由2a1+3a2＝1得2a1+3a1q＝1，所以a1．故数列{a n}的通项式为a n．（Ⅱ）b n（1+2+…+n），故2（）则2[（1）+（）+…+（）]，所以数列{}的前n项和为．17．【2010年新课标1理科17】设数列满足a1＝2，a n+1﹣a n＝3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1＝[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1＝3（22n ﹣1+22n ﹣3+…+2）+2＝32＝22（n +1）﹣1．而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n ﹣1．（Ⅱ）由b n ＝na n ＝n •22n﹣1知S n ＝1•2+2•23+3•25+…+n •22n ﹣1①从而22S n ＝1•23+2•25+…+n •22n +1②①﹣②得（1﹣22）•S n ＝2+23+25+…+22n ﹣1﹣n •22n +1．即．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1- B ．0C ．2D ．3【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0． 故选：B ．2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰“我羊食半马、“马主曰“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．1007【答案】D 【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则31(21)5021a -=-，解得1507a =， 所以马主人要偿还的量为：2110027a a ==， 故选D.3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321【答案】C【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列， 31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(12345678910111213141516171819202122232425)655N =++++++++++++++++++++++++=，222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++∴=+++++⋯+=⨯=．故299(91)9413692N +==⨯=.故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()n n S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】 由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--， 当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=， 所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =， 所以()43n a n n N*=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选C .5．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N*≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672 B ．673C ．1346D ．2019【答案】C 【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数， 可得{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...， 所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为20196733=⨯，所以数列{}n a 的前2019项的和为67321346⨯=， 故选C.6．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若2610a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A ．1 B．2C．2-D．【答案】D 【解析】{}n a Q 是等比数列326106a a a a ∴⋅⋅==6a ∴={}n b Q 是等差数列 1611637b b b b π∴++== 673b π∴=2106239614273tan tan tan tan tan 111333b b b a a a πππ+∴===-=-=-⋅--本题正确选项：D7．已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈L ，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞ B ．1(,)4+∞ C ．3[,)8+∞ D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】解：数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n ++++=+L ，① 当2n ≥时，21231111(1)(1)231n a a a a n n n -+++⋯+=-+--，② ①﹣②得：12n a n n=，故：22n a n =，数列{}n b 满足：22121214(1)n n n n n b a a n n +++==+221114(1)n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 则：2222211111114223(1)n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L21114(1)n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 由于*()1n n N T n nλ<∈+恒成立， 故：21114(1)1n n n λ⎛⎫-< ⎪++⎝⎭， 整理得：244n n λ+>+，因为211(1)4441n y n n +==+++在*n N ∈上单调递减， 故当1n =时，max213448n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 所以38λ>． 故选：D ．8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ） A ．()()20162018f a f a > B ．()()20172020f a f a > C ．()()20182019f a f a > D ．()()20162019f a f a >【答案】A 【解析】由()()()f x f y f x y =+，令0x =，1y =-，则()()()011f f f -=-0x <Q 时，()1f x > ()11f ∴-> ()01f ∴= 11a ∴=当0x >时，令y x =-，则()()()01f x f x f -==，即()()1f x f x =-又()1f x -> 当0x >时，()01f x << 令21x x >，则21>0-x x()()()1212f x f x x f x ∴-=，即()()()()22110,1f x f x x f x =-∈ ()f x ∴在R 上单调递减又()()11111011n n n n f a f f a f a a ++⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭111n na a +∴=-+ 令1n =，212a =-；令2n =，32a =-；令3n =，41a = 数列{}n a 是以3为周期的周期数列201632a a ∴==-，201711a a ==，2018212a a ==-，201932a a ==-，202011a a ==()f x Q 在R 上单调递减 ()()1212f f f ⎛⎫∴->-> ⎪⎝⎭()()20162018f a f a ∴>，()()20172020f a f a =，()()20182019f a f a <，()()20162019f a f a =本题正确选项：A 9．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1 【解析】 因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=-,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1.10．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 【答案】2 【解析】Q 正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，432111=+2a q a q a q ∴，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12q =， Q存在两项m a ，n a 使得1a ，2221164m n a q a +-∴=， 整理，得8m n +=，9119119()()(10)88m n m n m n m n n m+=++=++1(1028+=…， 则91m n+的最小值为2． 当且仅当9m n n m=取等号，但此时m ，*n N ∉．又8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：211．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 【答案】26 【解析】 解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数， 可得数列{}n a 为等差数列， 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++， 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称， Q 113212a a a a +=+=L 6872a a a π=+==，()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==L ，可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=． 故答案为：26．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，则n a =_____．【答案】122n +- 【解析】由题意，数列{}n a 满足22()n n S a n n N *=+∈， 则1122(1)(2,)n n S a n n n N *--=+-≥∈，两式相减可得11222,(2,)n n n n S S a a n n N *--+≥∈-=-， 即1222,(2,)n n n a a a n n N *-=+≥∈-整理得122,(2)n n a a n -=-≥，即12(2),(22)n n a a n -=-≥-，即12,(2)22n n a n a -=≥--，当1n =时，1122S a =+，即1122a a =+，解得12a =-，所以数列{}2n a -表示首项为124a -=-，公比为2的等比数列，所以112422n n n a -+-=-⨯=-，所以122n n a +=-.13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 【答案】200或330 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，641042102,6106a a d d a a d d =+=+=+=+，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即()()()210106102d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =， 当0d =时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=，于是2012019202071903302S a d ⨯=+=⨯+=， 故答案为200或330.14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【答案】 【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值， 所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：315．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．【答案】3116【解析】解：11222n n a a a n -+++=L ，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，2121221n n a a a n --++⋯+=-，又11222n n a a a n -++⋯+=，两式相减可得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得551131211612S -==-． 故答案为：3116．16．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.【答案】2222n n +-+【解析】由12(1)0n n n a na ++-=，得121n n a an n+=⨯+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，于是11422n n na n-+=⨯=， 所以12n n a n +=⋅，因为12(1)(2)(1)(2)n n a n n n n n +⋅=++++212221n n n n ++=-++， 所以(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和324321222222324321n n n S n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 2222n n +=-+. 17．定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列.【答案】（1）①12n n a -=；②见解析；（2）见证明【解析】解：（1）①因为21n n S =-，所以当1n =时，11211a =-=， 当2n ≥时，1121n n S --=-，所以()()1121212nn n n a --=---=.综上可知：12n n a -=.②假设从数列{}n a 中抽3项,,()k l m a a a k l m <<成等差， 则2l k m a a a =+，即1112222l k m ---⨯=+， 化简得：2212l k m k --⨯=+.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数， 所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以2212l k m k --⨯=+不成立. 因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列.若从数列{}n a 中抽(,4)m m N m ∈≥项，其前三项必成等差数列，不成立. 综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比. 设0n a b +=，则b Q +∈，故可设qb p=（p 与q 是互质的正整数）. 则需满足()()()2000n a k n a n a l ++=+++，即需满足2()()b k b b l +=+，则需满足2222k pk l k k b q=+=+.取k q =，则2l k pq =+.此时222222()2q q q b q q q p p p ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，2222()22q q q q b b l q pq q p p pp ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.故此时2()()b k b b l +=+成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比， 所以数列{}n a 存在等比子数列.18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131n n n b b b ba =++++++++L ，求数列{}nb 的通项公式； （3）令()*4n nn a b c n N =∈，数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）2(31)nn b =+；（3）()()12133142n n n n n T +-⨯++=+. 【解析】（1）因为2a 是1a 与4a 的等比中项，所以21111(2)(6)2a a a a +=+∴=，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）∵()31223131313131n n n b b b ba n =+++++≥++++L ① ∴311212313131313131n n n n n b b b b ba +++=+++++++++++L ② ②－①得：111231n n n n b a a +++=-=+，()11231n n b ++=+，故()()*231n n b n N =+∈。

专题六 数列第十五讲 等差数列2019年1. （2019全国Ⅰ文18）记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =－． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．2. （2019全国Ⅲ文14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.3.（2019天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数求()*112222n na c a c a c n N +++∈.4.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .2010-2018年一、选择题1．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2015新课标2）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．13．（2015新课标1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172 B ．192C ．10D ．12 4．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >5．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =A ．8B ．10C ．12D ．14 6．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．147．（2013新课标1）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝A ．3B ．4C ．5D ．68．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p 9．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．17611．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n s 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =A ．18B ．20C ．22D ．2412．（2011安徽）若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),nn a n a a a =--+++=则A ．15B ．12C ．-12D ．-1513．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．11014．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．64 二、填空题15．（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_____．16．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =____时，{}n a 的前n 项和最大．17．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．18．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____．19．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____． 20．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．21．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=____．22．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．23．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________．三、解答题24．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．25．（2018北京）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求12e e e n a aa+++．26．（2017天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ． 27．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 28．（2016年北京）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等差数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．29．（2016年山东）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T ． 30．（2015福建）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．31．（2015山东）已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为12+n n． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设(1)2n an n b a =+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 32．（2015北京）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 33．（2014新课标1）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 34．(2014新课标1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．35．（2014浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=．36．（2013新课标1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．37．（2013福建）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．（Ⅰ）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （Ⅱ）若519S a a >，求1a 的取值范围．38．（2013新课标2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．39．（2013山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T ,且12n n na T λ++=（λ为常数），令2n n c b =（*n ∈N ）．求数列{}n c 的前n 项和n R ．40．（2011福建）已知等差数列{}n a 中，1a =1，33a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．41．（2010浙江）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56S S +15=0．（Ⅰ）若5S =5，求6S 及1a ； （Ⅱ）求d 的取值范围．。

全国卷历年高考数列真题归类分析（2019.7含答案）（2015年-2019年共14套）一、等差、等比数列的基本运算（13小3大）1.（2016年1卷3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=选C.2．（2017年1卷4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】：()166********a a S a a +==⇒+=，451824a a a a +=+=，作差86824a a d d -==⇒=，故而选C.3.（2018年1卷4） 设为等差数列的前项和，若，，则（ ）A.B.C.D.【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.4.（2019年3卷14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 5．（2017年3卷9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）A ．24-B ．3-C ．3D ．8【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++，又∵11a =，代入上式可得220d d +=，又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 6.（2019年1卷9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A. 25n a n =-B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 方法2：本题还可用排除法，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．7.（2017年2卷15）等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ．【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n n n n a n S +==，那么()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，那么 11111111221......21223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ .8.（2016年2卷17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=．∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===．⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．9.（2017年2卷3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()71238112x -=-可得3x =，故选B.10.（2015年2卷4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++=（ ）（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84【解析】选B.设等比数列的公比为q,则a 1+a 1q 2+a 1q 4=21, 又因为a 1=3,所以q 4+q 2-6=0,解得q 2=2,a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=42.11．（2017年3卷14）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()3341128a a q ∴==⨯-=-．12.（2019年3卷5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A. 16B. 8C. 4D. 2【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．13.（2019年1卷14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--．14.（2016年1卷15）设等比数列{}n a 错误!未找到引用源。

专题六 数列第十五讲 等差数列答案部分2019年1.解析:设等差数列{}n a 的公差为d ,由4505S a ==，,得1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得132a d =-⎧⎨=⎩, 所以2542n n a n S n n =--=，,故选A.2.解析 设等差数列{}n a 的公差为d ,则 由10a ≠,213a a =可得,12d a =,1011011151511110()2(29)2(218)45()2428S a a a d a a S a a a d a a +++====+++. 3.解析 设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得152a d =-⎧⎨=⎩. 所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=. 4.解析:由题意得,2151351010a a d S a d =+=-⎧⎨=⋅+=-⎩,解得141a d =-⎧⎨=⎩.所以5140a a d =+=.因为{}n a 是一个递增数列,且50a =,所以n S 的最小值为4S 或5S ,()4543441102S S ⨯==-⨯+⨯=-.2010-2018年1.B 【解析】通解 设等差数列{}n a 的公差为d ,∵3243=+S S S .∴11132433(3)2422⨯⨯+=+++a d a d a d ,解得132=-d a , ∵12=a ,∴3=-d ,∴51424(3)10=+=+⨯-=-a a d .故选B.优解 设等差数列{}n a 的公差为d ,∵3243=+S S S ,∴333343=-++S S a S a , ∴343=-S a a ,∴13232⨯+=a d d , ∵12=a ,∴3=-d ,∴51424(3)10=+=+⨯-=-a a d .故选B. 2.C 【解析】解法一 由616343()3()48S a a a a =+=+=,得3416a a +=,由4534()()8a a a a +-+=,得538a a -=, 设公差为d ,即28d =,所以4d =.选C. 解法二 设公差为d ,则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =,故选C.3.A 【解析】设{}n a 的公差为d (0d ≠),由2326a a a =,得2(12)(1)(15)d d d +=++,所以2d =-,66561(2)242S ⨯=⨯+⨯-=-.选A. 4.C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=,当0d >,可得465+2S S S >；当465+2S S S >,可得0d >.所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件,选C.5.C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为{}n a 为等差数列,且95927S a ==,所以53a =.又108a =,解得10555d a a =-=,所以1d =,所以10059598a a d =+=,选C. 6.B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=,选B 42a =.7.B 【解析】由348,,a a a 成等比数列可得:2111(3)(2)(7)a d a d a d +=+?,即1350a d +=,所以153a d =-,所以10a d <. 又21441()422(23)023a a dS d a d d d +?==+=-<.8.C 【解析】∵数列1{2}n a a为递减数列,111111[(1)]()n a a a a n d a dn a a d =+-=+-,等式右边为关于n 的一次函数,∴10a d <.9.C 【解析】 设等差数列{}n a 的公差为d ,则3133S a d =+,所以12323d =⨯+,解得2d =,所以612a =.10.B 【解析】由等差数列的性质得1735a a a a +=+,因为12a =,3510a a +=,所以78a =,选B.11.C 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0,∴1a =-m a =-(m S -1m S -)=-2, 1m a += 1m S +-m S =3,∴公差d =1m a +-m a =1,∴3=1m a +=-2m +,∴m =5,故选C.12.D 【解析】设1(1)n a a n d dn m =+-=+,所以1p 正确；如果312n a n =-则满足已知,但2312n na n n =-并非递增所以2p 错；如果若1n a n =+,则满足已知,但11n a n n=+,是递减数列,所以3p 错；34n a nd dn m +=+,所以是递增数列,4p 正确. 13.B 【解析】由题意有153210a a a +==,35a =,又∵47a =,∴432a a -=,∴2d =. 14.B 【解析】4866+=2=16=8a a a a ∴,而()11111611+==11=882a a S a ,故选B. 15.B 【解析】由1011S S =,得1111100a S S =-=,111(111)0(10)(2)20a a d =+-=+-⨯-=.16.A 【解析】10121014710(1)(3102)a a a ++⋅⋅⋅+=-+-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-910(14)(710)[(1)(392)(1)(3102)]15=-++-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-+-⋅⨯-=.17.D 【解析】因为7a 是3a 与9a 的等比中项,所以2739a a a =,又数列{}n a 的公差为2-,所以2111(12)(4)(16)a a a -=--,解得120a =,故20(1)(2)222n a n n =+-⨯-=-, 所以1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=.18.A 【解析】887644915a S S =-=-=.19.14【解析】解法一 设{}n a 的公差为d ,首项为1a ,则111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得142a d =-⎧⎨=⎩,所以7767(4)2142S ⨯=⨯-+⨯=.解法二 32714a d +=,所以2d =.故432a a d =+=,故7477214S a ==⨯=. 20.63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ,251146536a a a d a d d +=+++=+=,∴6d =,∴3(1)663n a n n =+-⋅=-.21.21n n +【解析】设等差数列的首项为1a ,公差为d ,则1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩, 解得11a =,1d =, ∴1(1)(1)22n n n n n S na d -+=+⨯=,所以12112()(1)1nS k k k k ==-++, 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∑. 22.10 【解析】 由3456725a a a a a ++++=得5525a =,所以55a =,故285210a a a +==.23.8 【解析】 ∵数列{}n a 是等差数列,且789830a a a a ++=>,80a >.又710890a a a a +=+<,∴90a <.当n =8时,其前n 项和最大.24.7(1,)8--【解析】由题意可知,当且仅当8=n 时n S 取最大值,可得89000d a a <⎧⎪>⎨⎪<⎩,解得718d -<<-.25.－49【解析】设{}n a 的首项为1a ,公差d ,由100S =,1525S =,得112903215a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得123,3a d =-=,∴()321103n nS n n =-, 设()()321103f n n n =-,()220,3f n n n '=-当2003n <<时()0f n '<,当203n >,()0f n '>,由*n N ∈,当6n =时,()()31661036483f =-⨯=-当7n =时,()()3217107493f n =-⨯=-∴7n =时,n nS 取得最小值49-. 26.20【解析】 依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=. 或:()57383220a a a a +=+=27.1,(1)4n n +【解析】设公差为d ,则1122a d a d +=+,把112a =代入得12d =, ∴21a =,n S =1(1)4n n +28.35【解析】(解法一)因为数列{},{}n n a b 都是等差数列,所以数列{}n n a b +也是等差数列.故由等差中项的性质,得()()()5511332a b a b a b +++=+, 即()557221a b ++=⨯,解得5535a b +=. (解法二)设数列{},{}n n a b 的公差分别为12,d d ,因为331112(2)(2)a b a d b d +=+++1112()2()a b d d =+++1272()21d d =++= 所以127d d +=.所以553312()2()35a b a b d d +=+++=.29.21n a n =-【解析】221321,412(1)4a a a d d ==-⇔+=+-221n d a n ⇔=⇔=-30.10【解析】设{}n a 的公差为d ,由94S S =及11a =,得9843914122d d ⨯⨯⨯+=⨯+,所以16d =-.又40k a a +=, 所以11[1(1)()][1(41)()]066k +-⨯-++-⨯-=,即10k =.31.【解析】(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--.所以当4n =时,n S 取得最小值,最小值为−16.32.【解析】(Ⅰ)易知11a =,22a =,33a =且11b =,23b =,35b =所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-,3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.下面证明:对任意n ∈*N 且2n ≥,都有11n c b a n =-⋅. 当k ∈*N 且2k n ≤≤时,11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+ (22)(1)k n k =--- (1)(2)k n =--∵10k ->且20n -≤∴11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥. 因此对任意n ∈*N 且2n ≥,111n c b a n n =-⋅=-,则11n n c c +-=-. 又∵211c c -=-,故11n n c c +-=-对n ∈*N 均成立,从而{}n c 是等差数列(Ⅱ)设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为,a b d d ,下面我们考虑n c 的取值. 对11b a n -⋅,22b a n -⋅,n n b a n -⋅,考虑其中任意项i i b a n -⋅(i ∈*N 且1)i n ≤≤,i i b a n -⋅11[(1)][(1)]b a b i d a i d n =+--+-⋅ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面分0a d =,0a d >,0a d <三种情况进行讨论. (1)若0a d =,则i i b a n -⋅11()(1)b b a n i d =-⋅+- ①若0b d ≤,则11()()(1)0i i b b a n b a n i d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言,11n c b a n =-⋅ 此时11n n c c a +-=-,故{}n c 是等差数列②0b d >,则()()()0i i n n b b a n b a n i n d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言,1n n n n c b a n b a n =-⋅=-⋅ 此时11n n b c c d a +-=-,故{}n c 是等差数列 此时取1m =,则123,,,c c c ⋅⋅⋅是等差数列,命题成立.(2)若0a d >,则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数.故必存在m ∈*N ,使得当n m ≥时,0a b d n d -⋅+<则当n m ≥时,11()()(1)(0i i a b b a n b a n i d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此,当n m ≥时,11n c b a n =-⋅.此时11n n c c a +-=-,故{}n c 从第m 项开始为等差数列,命题成立.(3)0a d <,则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数.故必存在s ∈*N ,使得当n s ≥时,0a b d n d -⋅+>则当n s ≥时,()()()(0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此当n s ≥时,n n n c b a n =-⋅.此时n n n n n c b a n b a n n n -⋅==-+11()b a a b b d d n d a d n-=-⋅+-++ 令0a d A -=>,1a b d a d B -+=,1b b d C -= 下面证明n c CAn B n n=++对任意正数M ,存在正整数m ,使得当n m ≥时,nc M n>. ①若0C ≥,则取||[]1M B m A-=+([]x 表示不等于x 的最大整数) 当n m ≥时,||([]1)n c M B M B An B Am B A B A B M n A A--++=++>⋅+=≥≥ 此时命题成立. 若0C <,则取||[]1M C B m A--=+当n m ≥时||([]1)n c M C B An B C Am B C A B C n A--++++=+++≥≥ M C B B C M --++=≥此时命题成立.因此,对任意正数M ,使得当n m ≥时,nc M n>. 综合以上三种情况,命题得证.33.【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=,所以111=a ,当2≥n 时,56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ,又56+=n a n 对1=n 也成立,所以56+=n a n .又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则d b b b a n n n n +=+=+21. 当1=n 时,d b -=1121；当2=n 时,d b -=1722, 解得3=d ,所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n . (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ,于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ,两边同乘以２,得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ,两式相减,得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T .34.【解析】(Ⅰ)由题意得21n n n b a a +=,有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=,因此21212()2n n n n c c d a a d +++-=-=,所以数列{}n c 是等差数列. (Ⅱ)2222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋅⋅⋅+-+2422()n d a a a =++⋅⋅⋅+22()22n n a a d +=⋅22(1)d n n =+.所以2222111111111111()(1)2(1)21212nn n k k k kT d k k d k k d n d =====-=⋅-<+++∑∑∑. 35.【解析】(1)由已知12n n s a a =-有()11222n n n n n a s s a a n --=-=-≥,即()122n n a a n -=≥, 从而21312,4a a a a ==.又因为123,1,a a a +成等差数列,即1322(1)a a a +=+. 所以11142(21)a a a +=+,解得12a =.所以,数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列.故2nn a =.(2)由(1)得112n n a =. 所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--. 由1|1|1000n T -<,得11|11|21000n --<,即21000n>.因为9102512100010242=<<=, 所以10n ≥. 于是,使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10. 36.【解析】(Ⅰ)由题意有,1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩ ,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩.解得112a d =⎧⎨=⎩ 或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279)929()9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩. (Ⅱ)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是 2341357921122222n n n T --=++++++, ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-,故nT 12362n n -+=-. 37.【解析】(Ⅰ)方程2560x x -+=的两根为2,3,由题意得242, 3.a a ==设数列{}n a 的公差为d,则422,a a d -=故1,2d =从而13,2a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+. (Ⅱ)设2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为,n s 由(I)知12,22n n n a n ++=则 2313412...,2222n n n n n s +++=++++ 341213412 (22222)n n n n n s ++++=++++ 两式相减得31213112(...)24222n n n n s +++=+++-123112(1).4422n n n -++=+-- 所以1422n n n s ++=-.38.【解析】(Ⅰ)由题设,11211, 1.n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-两式相减得121().n n n a a a a λ+++-=由于10n a +≠,所以 2.n n a a λ+-=(Ⅱ)由题设,11a =,1211a a S λ=-,可得2 1.a λ=-由(Ⅰ)知,3 1.a λ=+令2132a a a =+,解得 4.λ=故24n n a a +-=,由此可得{}21n a -是首项为1,公差为4的等差数列,2143n a n -=-；{}2n a 是首项为3,公差为4的等差数列,241n a n =-.所以21n a n =-,12n n a a --=.因此存在4λ=,使得数列{}n a 为等差数列.39.【解析】(Ⅰ)由题意,36)33)(2(11=++d a d a ,将11=a 代入上式得2=d 或5-=d ,因为0>d ,所以2=d ,从而12-=n a n ,2n S n =(*∈N n ).(Ⅱ)由(1)知,)1)(12(1+-+=+⋅⋅⋅++++k k m a a a k n n n ,所以65)1)(12(=+-+k k m ,由*∈N ,k m 知,1)1)(12(>+-+k k m , 所以⎩⎨⎧=+=-+511312k k m ,所以⎩⎨⎧==45k m . 40.【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,则n S =1(1)2n n na d -+. 由已知可得111330,1, 1.5105,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得{}=2.n n a a n -故的通项公式为(2)由(Ⅰ)知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为1111111+++)21113232112n n n n ---=----（. 41.【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的公差1d =,且131,,a a 成等比数列,所以2111(2)a a =⨯+,即21120a a --=,解得11a =-或12a =.(Ⅱ)因为数列{}n a 的公差1d =,且519S a a >,所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<,解得152a -<<42.【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,由题意,211113a a a =即()()21111012a d a a d +=+于是()12250d a d +=所以0d =(舍去),2d =-故227n a n =-+(Ⅱ)令14732n n S a a a a -=+++⋅⋅⋅+.由(Ⅰ)知32631n a n -=-+,所以{}32n a -是首项为25,公差为6-的等差数列,从而 ()21323282n n n S a a n n -=+=-+. 43.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩, 解得,11a =,2d =.因此 21n a n =-*()n N ∈.(Ⅱ)由题意知:12n n nT λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+ 故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===- *()n N ∈ 所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n n n R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n n n R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414n n n -=--- 整理得1131(4)94n n n R -+=-, 所以数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-. 44.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则1(1).n a a n d =+- 由121,312 3.a a d ==-+=-可得解得d =－2.从而,1(1)(2)32.n a n n =+-⨯-=-(Ⅱ)由(I)可知32n a n =-, 所以2[1(32)]2.2n n n S n n +-==- 进而由2135235,S k k =--=-可得即22350k k --=,解得7 5.k k ==-或又*,7k N k ∈=故为所求.45.【解析】(Ⅰ)由题意知6S =515S -=－3,665a S S =-=－8. 所以115105,58.a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得1a =7,所以6S =－3,1a =7.S S＋15=0,(Ⅱ)因为56所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15=0,即2a12＋9da1＋10d2＋1=0.故(4a1＋9d)2=d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－或d≥.。

历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A＝{x|﹣1≤x≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{x|x}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，∴A∩B＝{x|2＜x或x＜0}，A∪B＝R，故选：B．7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，x＝5时，y＝1，2，3，4，x＝4时，y＝1，2，3，x＝3时，y＝1，2，x＝2时，y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A＝{x∈R||x|≤2}}，，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：A＝{x∈R||x|≤2，}＝{x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B＝{0，1，2}．应选D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =（ ）A ．{}|32x x -<<B ．{}|52x x -<<C ．{}|33x x -<<D ．{}|53x x -<<【答案】A 【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<， 则{}|32A B x x ⋂=-<<， 故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C. 3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =（ ）A ．{3,2,1,0}---B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B 【解析】因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤，{3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-． 故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3)D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]UA =-∞，所以()U A B =(]1,2，故选B.5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2yx 有2个交点，故A B ⋂的子集有4个.6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂=（ ） A ．{-1，0，1，2，3} B ．{-1，0，1，2} C ．{-1，0，1}D ．{-1，3}【答案】D 【解析】由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1RM x x =≤-或3}x ≥又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B =( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤， 又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-.故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R（ ） A ．{}1,0- B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】1|2B x x1|2R C Bx x即(){1,0}R A C B故选A 。

A．1
B．2
C．3
D．4
31（. 2017Ⅲ理 1）已知集合 A = (x, y) x2 + y2 = 1 ，B = (x, y) y = x ，则 A I B 中元素的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
32.（2018Ⅰ文 1）已知集合 A = 0，2 ， B = -2，-1，0，1，2 ，则 A I B = ( )
A．（-14，16）
B．（-14，20）
C．（-12，18）
D．（-12，20）
x-3 2.（2010Ⅱ文 2）不等式 0 的解集为( )
x+2
A．{x｜-2< x<3} B．{ x｜x<-2}
C．{ x｜x<-2,或 x>3} D．{ x∣x>3}
x -1
3.(2010Ⅱ文
5
理
3）若变量
x，y
1.集合
1.（2010Ⅰ文理 1）已知集合 A = x | x 2，x R，B = x | x 4，x Z ,则 A I B ＝( )
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}
2.（2010Ⅱ文 1）设全集 U= x N * | x 6 ,集合 A＝{1，3}，B＝{3，5}，则 CU A U B ＝( )
A．{-1，0}
B．{0，1}
C．{-1，0，1}
D．{0，1，2}
20.（2016Ⅰ文 1）设集合 A={1，3，5，7}，B＝{x| 2 x 5}，则 A∩B=( )
A．{1,3}
B．{3,5}
C．{5,7}
D．{1,7}
21.（2016Ⅰ理 1）设集合 A＝{x|x2－4x+3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则 A I B = ( )