1.2平面力系的平衡

第 2章
3、 合力矩定理
合力矩定理
设刚体上作用有一个平面汇交力系 F1,F2，…，Fn, 其 合力为 FR，由于合力FR与该力系等效，所以得出：合力对 由于合力F 与该力系等效，所以得出： 平面内任意点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数 平面内任意点之矩， 和。此即为合力矩定理，如下式所示： 此即为合力矩定理，如下式所示：
' FR = 2 2 F’ + F’y = Rx R
(∑ Fx )2 + (∑ F y )2
∑ Fy θ = arc tan = arc tan FRx ∑ Fx ’
’ FRy
第 2章
平面任意力系的简化
3、主矩：对前述附加的平面力偶系M1=MO(F1),M2=MO(F2),…,Mn=MO(Fn),根据力偶的 对前述附加的平面力偶系M ),… ),根据力偶的 性质可知，力偶对刚体只产生转动效应， 性质可知，力偶对刚体只产生转动效应，且转动效应的大小完全取决于力偶 矩的大小和转向，因此该附加的平面力偶系可简化为一个合力偶， 矩的大小和转向，因此该附加的平面力偶系可简化为一个合力偶， 该合力偶 之矩为 MO 。 MO 即称为原平面任意力系对简化中心 O 的 “主矩”。 主矩的大 主矩” 小等于各个分力偶矩的代数和， 小等于各个分力偶矩的代数和，亦即等于原任意力系 中各力 F1, F2, …, Fn, 对 之矩的代数和， 简化中心 O 之矩的代数和， 即： Mo = M1 + M2 + … + Mn = ∑M =∑Mo(F) 4、注意事项： 关于主矢：选取不同的简化中心，主矢不会改变， （1）关于主矢：选取不同的简化中心，主矢不会改变，因为主矢总是等于原 任意力系中各力的矢量和，也就是说， 位置无关。 任意力系中各力的矢量和，也就是说，主矢与简化中心 O 的 位置无关。 关于主矩： （2）关于主矩：主矩的大小等于原任意力系 中各力 F1, F2, …, Fn, 对简化中心 O 之矩的代 数和。因此，一般来说，主矩与简化中心 O 的 位置有关，提到主 数和。因此，一般来说， 位置有关， 矩时一定要指明是对哪一点的主矩。 矩时一定要指明是对哪一点的主矩。 关于等效：主矢与主矩的共同作用才与原任意力系等效。 （3）关于等效：主矢与主矩的共同作用才与原任意力系等效。
1）若已知合力 F及其与X轴的夹 及其与X 角α，则F在直角坐标系 xoy 的 X、 Y轴上的投影分别为Fx及Fy : 轴上的投影分别为Fx及 2) 投影的正负号规定如下：对Fx， 投影的正负号规定如下： Fx， 若从a 的方向与X轴正向一致， 若从a到b的方向与X轴正向一致， 则取正号,反之取负号。 Fy， 则取正号,反之取负号。对Fy，则以 类似方法决定其正负号. 类似方法决定其正负号. 3）若已知合力 F在X、Y轴上的 Fx、Fy，则合力F 投影 Fx、Fy，则合力F的大小由右 式之标量F表示、其方向由tanα表 式之标量F表示、其方向由tanα表 示：
例 题 1. 5
F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 N， N， N， N。 各力与x 各力与x轴之夹角如图所示。
解： 根据合力投影定理， 根据合力投影定理，得合力
在轴 x，y上的投影分别为： 上的投影分别为：
第 2章
例 题 1. 5 合力的大小： 合力的大小：
第 2章
1
第 2节
一 二 三 四
平面力系的平衡
力的投影和合力矩定理 力的平移定理 平面任意力系的简化 平面力系的平衡方程及应用
第 2章
1
平面力系的平衡
• 平面力系及其分类
• • • • • 平面力系： 各力作用线都在同一平面内的力系。 平面汇交力系：在平面力系中，各力作用线汇交于一点的力系。 平面力偶系： 在平面力系中，全部由力偶组成的力系。 平面平行力系：在平面力系中，各力作用线互相平行的力系。 平面任意力系：在平面力系中，各力作用线任意分布的力系。
FR= F1+ F2+…+ Fn = ∑F
第 2章
合力投影定理
• 2）合力投影定理 将上述等式 ( FR= F1+ F2+…+ Fn = ∑F ) 各端分别向 x、 y 轴投影，可得出合力投影定理：合力在坐标轴上的投 轴投影，可得出合力投影定理： 影等于各分力在同轴上投影的代数和。 影等于各分力在同轴上投影的代数和。
合力投影定理
2 2 FR = FRx + FRy = 171.3 N
F2
y FR
合力与轴x的夹角的正切为： 合力与轴x的夹角的正切为：
tanα =
Fy R Fx R
112.3 = = 8.343 129.3
60o
O
30o α
F1 x
45o
45o
F3
F4
所以，合力与轴x的夹角为 所以，合力与轴x
α = 41o
Fx=±ab=±Fcosα ab=± Fy=±a’b’=±Fsinα a’b’=±
F = F
2 x
+ F
y x
2 y
tan α =
F F

第 2章
（B）力在直角坐标轴上的分解 力在直角坐标轴上的分解
• 若将力 F（矢量，以红色表示，下同）沿 直角坐标轴方向分解，可得两个分力Fx及 Fy。必须注意，分力亦为矢量，其作用点 必须与原力 F 的作用点相同，其大小及方 向则按照力的平行四边形公理来确定。而 前述之投影Fx及Fy（标量，以黑色表示） 则为代数量，代数量无作用点，两者不可 混淆。只有在沿直角坐标轴方向分解时， 分力的大小才与对应坐标轴上的投影的绝 对值相等。
第 2章
平面任意力系的简化
（5）结论 ） 平面任意力系向平面内任一点简化可以得到 一个力和一个力偶 一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢 力偶， 量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢 主矢； 量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这 个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的 代数和，称为原力系的主矩。 主矩。 代数和，称为原力系的主矩
第 2章
合力矩定理
Fr
例 题 1. 6 解2：按合力矩定理 Mo（FR）＝Mo（Ft）＋Mo（Fr） ）＝M ）＋M ＝Ft r ＋0 ＝Fn cosα r ＝28.2 N·m 28.
b)
第 2章
合力矩定理
例 题 1.7 一轮在轮轴B 一轮在轮轴B处受一切 向力F的作用，如图2 10a 向力F的作用，如图2-10a所 示。已知F、R、r和α，试 已知F 求此力对轮与地面接触点A 求此力对轮与地面接触点A 的力矩。 的力矩。
第 2章
2、 合力投影定理
1）平面汇交力系的合力 设一刚体受平面汇交力系 F1, F2, …, Fn 作用，多次利用力在刚 作用， 体中的可传性和力的平行四边形公理，可推出： 体中的可传性和力的平行四边形公理，可推出： 此力系可合成 为一个合力F 为一个合力FR，即平面汇交力系的合力矢量等于该力系各分力的 矢量和，此合力矢量可由下式表示： 矢量和，此合力矢量可由下式表示：
第 2章
平面力系的平衡
一
力的投影与合力矩定理
1 力在直角坐标轴上的投影与分解 2 合力投影定理 3 合力矩定理
1、 力在直角坐标轴上的投影与分解
y
第 2章
a' Fy b'
A
B
o
a
Fx
b
x
第2章 (A) 力在直角坐标轴上的投影
在力F作用的平面内建立直角坐标系xoy，由力F的起点A 在力F作用的平面内建立直角坐标系xoy，由力F的起点A和终点 xoy B分别作x轴的垂线，垂足分别为 a、b，线段ab冠以适当的正负号 分别作x轴的垂线， 线段ab冠以适当的正负号 ab 即称为力F 轴上的投影， Fx表示之 表示之， Fx=± 即称为力F在x轴上的投影，用Fx表示之，即：Fx=±ab. 同理， 轴上的投影， Fy表示之 表示之， Fy=± b . 同理，力F在y轴上的投影，用Fy表示之，即：Fy=±a’b’.
第 2章
合力矩定理
Fy
C
Fx
第 2章
合力矩定理
MA（F）=MA（Fx）+ MA（Fy） ） MA（Fx）= -Fx CA = -Fx (OA - OC) Fy = -Fcosα (R - rcos α ) C MA（Fy） =Fy rsinα Fx =Frsinαsinα =Frsin2α MA（F）= -Fcosα (R - rcos α ) + Frsin2α ） =F ( r - Rcos α )
F O
d
F’ O
d
F A
A 1 3 2 4 F”
F’ O F”
d
F A O
F’
M=Fd
A
第 2章
力的平移定理
力的平移定理： 力的平移定理：揭示了力与力偶在对物体的作 用效应方面的区别和联系： 用效应方面的区别和联系： 可以将一个力转换或分解为一个力和一个力偶， 可以将一个力转换或分解为一个力和一个力偶， 也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为 一个力。 一个力。 也就是说：一个力不能与一个力偶等效， 也就是说：一个力不能与一个力偶等效，但一 个力可以和一个与它平行的力和一个力偶的 联合作用等效。 联合作用等效。
Hale Waihona Puke 第 2章1二、
力的平移定理
第 2章
1
力的平移定理 作用在刚体上A点处的力F 作用在刚体上A点处的力F，可以 平移到刚体内任意点O 平移到刚体内任意点O，但必须同时附 加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F 加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F 对新作用点O 对新作用点O之矩。
第2章 力的平移定理图解说明
Mo(FR)= Mo(F1)+ Mo(F2)+...+ Mo(Fn) =∑Mo(F) o(F o(F o(F =∑M