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分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例 4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
向量组线性相关性向量组线性相关性是数学中一个重要的概念，它可以在许多应用中使用，包括统计和线性代数。
它表明了两个变量是如何相互影响的，并且可以用来解释不同情况下变量之间的线性关系。
因此，了解这个概念对推断变量之间的关系非常重要。
在这篇文章中，我们将详细讨论向量组线性相关性的定义、特性和应用。
首先，我们将介绍什么是向量组，包括它的结构、特性和如何表示。
接下来，我们将讨论线性相关性的定义，它的两个重要特性，即相关系数和回归线。
最后，我们将讨论向量组线性相关性的应用，特别是在统计学中，它可以用来推断和预测数据集之间的关系。
首先，让我们来看看什么是向量组。
它是一组由单位矢量组成的数值，它们被称为标量。
向量组由坐标轴上的点组成，这些点的特性取决于它们的大小和关系。
例如，在二维空间中，每一个矢量都可以用它的横坐标和纵坐标来表示，这两个坐标是矢量的分量。
此外，矢量的大小是按照它们两个坐标的积来表示的，这个大小可以用简单的乘法计算，也可以用更复杂的三角函数计算。
其次，我们来讨论线性相关性。
线性相关性是指在两个变量之间存在线性关系的能力。
它可以用相关系数来表示。
相关系数是一个指标，表示两个变量的相关性。
它的值介于-1和1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无关。
因此，通过计算相关系数，可以了解两个变量之间的线性关系。
此外，另一个重要的线性相关性特性是回归线。
回归线是一条拟合两个变量之间线性关系的直线，它可以用来推测两个变量之间的关系。
通过画出回归线，可以更清楚地了解两个变量之间的关系，例如它们之间是线性相关还是非线性相关。
最后，我们来看看向量组线性相关性的应用。
它主要应用于统计学，用来推断和预测数据集之间的关系。
它也可以用来了解变量之间的线性依赖性，以及变量的趋势及其变化。
此外，它还可以用来帮助预测未来，因为它可以用来推断不同数据集之间的相关性。
总之，向量组线性相关性是一个非常重要的概念，它可以帮助我们了解变量之间的关系，推断不同数据集之间的关系，以及预测未来。
数学公式知识：空间向量间的线性相关性判定在空间向量中，我们可以通过线性相关性的判定来确定向量组是否存在不必要的向量。
这对于数学学习和应用来说都是非常有用的，因此本文将介绍空间向量间的线性相关性判定的基本概念和推导过程。
一、向量的线性组合首先我们需要了解向量的线性组合是什么。
向量的线性组合是指通过给定的若干个向量，分别乘以相应的标量，然后将它们相加而得到的新向量，例如：设有向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)和c=(c1,c2,c3)，则它们的线性组合可以表示为：λ1a + λ2b + λ3c = (λ1a1 + λ2b1 + λ3c1, λ1a2 +λ2b2 + λ3c2, λ1a3 + λ2b3 + λ3c3)其中λ1、λ2和λ3是实数，称为向量a、b和c的系数。
二、向量的线性相关与线性无关在了解了向量的线性组合之后，我们来看什么是向量的线性相关和线性无关。
如果存在一组不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得向量组V1，V2，……，Vn的线性组合为0，即：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么我们称向量组V1，V2，……，Vn是线性相关的；否则，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时向量组的线性组合才为0，我们就称向量组V1，V2，……，Vn是线性无关的。
换句话说，如果存在不全为0的系数使得线性组合为0，那么向量组就是线性相关的；如果要使得线性组合等于0，必须每一项的系数都为0，那么向量组就是线性无关的。
三、判断向量组的线性相关性现在让我们来看如何判断向量组的线性相关性。
在三维空间中，设有向量组V1，V2，……，Vn，我们想要判断它们是否线性相关。
如果存在不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性相关的。
反之，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性无关的。
