3章3节 向量组的线性相关性

即：部份相关, 则全组相关； ?全组无关, 则部份无关。 ?
定理4 若向量组1 ,2 ,, s， 线性相关，而向量组
则向量 可由1 ,2 ,, s线性表示， 1 ,2 ,, s线性无关，
且表示法唯一。
无关组加一个后相关， 则后加者由原组表出法唯一。
定理5 设有两向量组 A:1 , 2 ,, s ; B:1 , 2 ,, t ;
定义1 给定向量组A : 1 , 2 ,, s , 如果存在不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0, 则称向量组
线性相关 ，否则称为线性无关 。
与上一节对应，本定义相当于零向量由一组向量线性表出
(线性组合)， 但这里要求k1 , k2 ,, ks不全为零。
§ 3.3 向量组的线性相关性
上一节分析了某向量与一组向量的线性组合关系，
以及线性组合的表示， 这一内容对应非齐次线性方程组
的有解判断以及求解的内容。为下一步学习向量之间的
相关性做好了理论准备，
本节将分析一组向量内各向量之间的线性相关性。 这一内容则对应齐次线性方程组的有解判断以及求解的
内容。
一、线性相关性概念
秩小于向量的个数s。
即为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。
推论1 s个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
充要条件是: 矩阵A (1 ,2 , s )的秩(等于)小于向量的个数s。
齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数 ——仅有零解；
推论2 n个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
1 0 2 r r = 1 2 4 2 1 r3 r1 1 5 7
1 0 2 1 0 2 0 1 1 0 2 2 0 5 5 0 0 0
得r 1，2，3 2 向量个数3，而r 1，2 2 =向量个数2，
由推论1知 1，2，3线性相关，1，2线性无关。 k 2c 1 若要得到相关关系式, 即从行简化矩阵中得相关系数 k 2 c k c 取其一组c = 1,即得相关关系式 21 +2 -3 0。 3
例 3 证明：若向量组，， 线性无关，则向量组 ，
k1 2c 当 k2 2c c 0 k c 3
时都能成立,
1 2 0 可知向量组 1 = 1 ， 2 = 2 ， 3 4 ， 线性相关。 1 7 5
二、线性相关性的判定
， 亦线性无关。
从而矩阵 ， ， 可经初等变换成为，， ， 即知r ， ， r ，， ，
而已知向量组，， 线性无关，由推论1知 r ，， =3 即知r ， ， 3，
2 定理1------组内表出问题
组内有一可由其它线性表出，全组线性相关；
组内无一可由其它线性表出，全组线性无关。
3定理2，推论1------秩与向量个数的关系
向量组线性无关； 向量组的秩=向量个数， 向量组的秩<向量个数，向量组线性相关。
4 推论2------向量方阵的行列式的值
能相互线性表示的两无关组， 其向量个数必相等。
例4 设向量组1，2，3线性相关， 向量组2，3，4线性无关，
证明
11能由2，3线性表示； 24不能由1，2，3线性表示。 证明1 因2，3，4线性无关，
由推论4知 2，3线性无关， 全组无关则部份无关
T
T
2 = 0,1, ,0
T
n = 0,0, ,1 称为n维单位坐标向量组， 讨论其线性相关性。
设有k11 k2 2 kn n o 解法一 用相关性定义，
则此齐次线性方程组的系数矩阵为 1 0 0 0 1 0 ， 其秩为n=未知数个数， n阶单位矩阵 0 0 1 可知该齐次线性方程组仅有0解，
说明 线性无关的充要条件是 o。 1当向量组只有一个向量时， 因此，单个零向量必然线性相关的， 因为1 o o。
包含零向量的任何向量组都是线性相关的，
因为01 02 1 o 0 s o,
2 仅含两个向量的向量组线性相关的充要条件是这两个向量
定理1 向量组1 ,2 ,, s ( s 2), 线性相关的充必要条件是
向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示。
证明见课本P98。
a1 j a2 j 定理2 设有向量组 j ( j 1, 2,, s), 则向量组 a nj 1 ,2 ,, s线性相关的充要条件是: 矩阵A (1 ,2 ,, s )的
同样成立。
推论3
当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,?
此向量组必线性相关。
即方程组中未知数的个数大于方程的个数时,? 方程组必有非零解。
以上给出了判断向量组线性无关(线性相关)的多个方法：
1 定义——基本法
齐次线性方程组仅有零解，系数矩阵的列向量线性无关； 齐次线性方程组有非零解，系数矩阵的列向量线性相关；
向量方阵行列式=0，向量组线性相关； 向量组线性无关。 向量方阵行列式 0，
以上都是判别向量组线性相关(线性无关)的充要定理。
应尽量掌握并记忆。
后面给出的：
推论3、定理3、推论4、定理4、定理5、推论5、推论6 属于相关或无关向量组的性质。 它们都由前面四组理论推出， 了解、理解就可以了。
例 1 n维向量组 1 = 1,0, ,0
再由推论1可知 ， ， 线性无关。
推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,?
此向量组必线性相关。
即方程组中未知数的个数大于方程的个数时,? 方程组必有非零解。
定理3 若向量组中有一部分向量(部份组)线性相关,?
则整个向量组线性相关。
推论4 线性无关的向量组中的任一部份皆线性无关。
使k11 k22 ks s 0成立；
1 ,2 ,, s线性无关 ——必须全为零的数k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0成立；
例
2 x1 2 x2 x3 0 齐次线性方程组 x1 2 x2 4 x3 0 5 x 7 x x 0 2 3 1
而题设1，2，3线性相关， 无关组加一个后相关， 由定理4知 则后加者由原组表出法唯一。 1能由2，3线性表示。
例4 设向量组1，2，3线性相关， 向量组2，3，4线性无关，
证明
11能由2，3线性表示； 24不能由1，2，3线性表示。 证明 2 反设4能由1，2，3线性表示， 而由1 结论，1能由2，3线性表示。
向量组B能由向量组A线性表示，
若s < t，则向量组B线性相关。
大组能由小组线性表示， 则大组线性相关。
则s t。
推论5 设向量组B能由向量组A线性表示， 若向量组B线性无关，
能线性表示无关组的向量组，其向量个数必不少于无关组。
推论6 设向量组A与B可以互相线性表示， 若A，B都是线性
无关的，则s t。
的对应分量成比例。两个向量线性相关的几何意义是这两个
向量共线。
3 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面。
如果k11 k22 ks s 0的成立, 当且仅当 k1 k2 ks 0, 则向量组A : 1 ,2 ,, s是线性无关的。
区别 1 , 2 ,, s线性相关 ——存在不全为零的数k1 , k2 ,, ks ,
解法二
用推论2，
n个n维单位坐标向量组构成的矩阵 1 0 0 0 1 0 是n阶单位矩阵， ， n 1， 2， 0 0 1
有 1， 2， ， n =1 0，
， n 线性无关。 由推论2知，n维单位坐标向量组 1， 2，
， 亦线性无关。
证法一 设有一组数k1 , k2 , k3 , 使k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0
亦即使(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) 0
k1 k3 0 应有 由于向量组，， 线性无关， k1 k2 0 k k 0 2 3
即应有k1 =k2 =k3 =0
由于使k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0成立的 k1，k2，k3全为零，
从而由线性无关定义知 ， ， 线性无关。
2章定理1：初等变换为等秩变换
例 3 证明：若向量组，， 线性无关，则向量组 ，
例
2 x3 0 x1 齐次线性方程组 x1 2 x2 4 x3 0 x 5x 7x 0 2 3 1
亦即
x1 2c 有无数解 x2 2c x c 3
1 0 2 0 k1 1 k2 2 k3 4 0 1 5 7 0
1 0 1 证法二 由于矩阵 ， ， ，， 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 而 1 1 0 = 2 0， 知 1 1 0 可逆， 无关组的秩 0 1 1 0 1 1 等于其向量个数
亦即
只有零解，
2 2 1 0 k1 1 k2 2 k3 4 0 仅当k1 =k2 =k3 = 0 5 7 1 0
才能成立,
2 2 1 线性无关。 = 1 ， = 2 ， 可知向量组 1 2 3 4 ， 5 7 1
齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。