实变函数复习提纲

《实变函数》期末复习提要内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。

第一章 集合1．考核要求：⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。

2．练习题单元练习题一、单项选择题1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A ⊂ (B) A B ⊂(C) C A ⊂ (D) A C ⊂2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A = (B) ∅=B(C) B A ⊂ (D) A B ⊂二、填空题1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 3.设]11,0(nA n +=，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n nA n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ． 三、证明题1.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有∞=+<≤==1}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：∞=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集1．考核要求：⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；⑸理解康托集的构造及其性质。

实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。

《实变函数》考试大纲一、课程说明本大纲适用数学专业。

1 本课程的目的和要求实变函数是数学专业重要的分析基础课之一这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，通过本课程的学习，应使出学生较好的掌握测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集的分析方法2 本课程的主要内容先介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时介绍实直线上的点集的性质，按着讲L-测度以及L-可测集的概念与性质，在介绍可测函数的概念与性质，接着是勒贝格积分的概念与性质，还有积分极限定理，R-积分与L-积分比较，Fubini定理，囿变函数，绝对连续函数及其中N-L公式，最后介绍Lp空间及其性质3 教学重点与难点本课程的重点是勒贝格测度与勒贝格积分。

实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，这使得初学者对实变函数往往不太习惯，为使学生能较好地适应这一过度，教师在讲解时尽可能将主要概念的产生背景，以北及概念之间的内在联系加以介绍。

例如，教师应向学生交代，为什么要研究新的积分,为什么要研究可列可加测度等，讲解时既要严格论证又要形象说明，同时要配合典型例题，适当地加强对学生的基础训练，这是一个重要的学习环节，教师应当给学生布置一定数量的习题，使学生通过做习题，加深对课文的理解，也帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。

4 本课程的知识范围与相关课程的关系本课是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解析几何中的一些基本知识，故本课程应安排在第四学期或第五学期讲授。

5 教材的选用绍兴文理学院数学系主要选用下面的教材江泽坚、吴智泉编《实变函数论》(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材).该教材论证严谨，重点突出，思路清晰，是一本国优教材。