轴向运动悬臂梁横向振动的磁力控制

《磁场中轴向运动导电梁磁弹性振动分析》篇一一、引言随着科技的发展，磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动问题逐渐成为研究热点。

这种振动现象不仅在电磁学、力学等领域具有重要应用，同时也为材料科学和工程应用提供了新的研究方向。

本文旨在分析磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动特性，探讨其影响因素及优化策略。

二、磁场与导电梁的基本理论磁场与导电梁的相互作用是磁弹性振动分析的基础。

磁场产生磁力，对导电梁产生作用力，导致其发生形变。

而导电梁在磁场中运动时，会产生感应电动势和感应电流，进一步影响其振动特性。

因此，理解磁场和导电梁的基本理论是进行磁弹性振动分析的前提。

三、轴向运动导电梁的磁弹性振动模型为了分析磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动，需要建立相应的振动模型。

该模型应考虑导电梁的物理参数（如长度、宽度、厚度、材料等）、磁场参数（如磁感应强度、磁场方向等）以及运动参数（如运动速度、加速度等）。

通过建立数学方程，描述导电梁在磁场中的轴向运动及其磁弹性振动过程。

四、磁弹性振动特性分析在建立振动模型的基础上，对磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动特性进行分析。

首先，分析磁场对导电梁的作用力及其影响因素，如磁场强度、方向、变化速率等。

其次，探讨导电梁的物理参数对振动特性的影响，如长度、宽度、厚度、材料等。

此外，还需考虑导电梁的运动参数，如运动速度、加速度等对振动特性的影响。

五、影响因素及优化策略通过分析磁弹性振动的特性，可以发现影响导电梁振动的因素较多。

为优化磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动性能，需要从以下几个方面进行考虑：1. 优化磁场参数：通过调整磁感应强度、磁场方向等参数，降低磁场对导电梁的不利影响。

2. 改善导电梁的物理参数：通过改变导电梁的长度、宽度、厚度以及材料等参数，提高其抗振动性能。

3. 控制运动参数：合理设计导电梁的运动速度、加速度等参数，以降低振动幅度和频率。

4. 采用减振技术：在导电梁上安装减振装置或采用减振材料，以降低磁弹性振动的幅度和频率。

悬臂梁振动控制系统的设计与实现悬臂梁是一种常见的结构体系，其振动控制具有重要的工程应用价值。

在工程实际中，对于悬臂梁振动控制系统的设计与实现，核心问题在于振动控制器的设计和振动目标的选择。

下文将会详细讨论悬臂梁振动控制系统的设计与实现。

一、悬臂梁振动控制理论基础悬臂梁是一种典型的动力系统，其振动特性直接影响了整个系统的稳定性和工作效率。

为了实现有效地振动控制，需要先对悬臂梁的振动理论进行深入的研究和了解。

在振动控制理论中，常用的方法包括模态分析法和频率分析法。

模态分析法是振动控制中比较常见的一种方法，它是通过对系统的模态进行分析，得到系统的振动等相关参数，如共振频率、振幅、相位等，并根据这些参数来设计振动控制策略。

与之不同的是，频率分析法则是通过分析系统的特征频率和振动频率之间的关系，来得出振动控制的策略。

二、悬臂梁振动控制目标的选择在悬臂梁振动控制设计中，选择合适的振动目标也是非常重要的。

通常来讲，振动控制目标可以分为减小振动幅值、抑制系统共振和降低噪声三种。

具体分析如下：1、减小振动幅值悬臂梁的振动幅值过大会引起系统的破坏和能源损耗等问题。

因此，减小振动幅值是振动控制的一个重要目标。

2、抑制系统共振由于共振会产生强烈的振动，因此需要将共振频率控制在合理范围内，以避免损坏系统的情况。

3、降低噪声在实际应用中，许多系统在工作时会产生噪声，这些噪声对人体和环境都有一定的危害。

因此，降低系统的噪声也是一个重要的振动控制目标。

三、悬臂梁振动控制器的设计振动控制器是实现悬臂梁振动控制的核心模块。

根据控制策略的不同，振动控制器可分为主动控制和被动控制两种类型。

1、主动控制主动控制是指通过主动干预系统，引入干扰力以控制振动。

其优点在于控制效果明显，在一定范围内能够适应不同的振动情况。

其缺点在于需要较大的能量投入，因此成本较高。

2、被动控制被动控制是指通过改变系统的刚度和阻尼等属性，来实现振动控制。

其优点在于成本低廉，较为稳定可靠。

《磁场中轴向运动导电梁磁弹性振动分析》篇一一、引言随着科技的发展，磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动问题逐渐成为研究的热点。

在众多领域，如电磁学、机械学、材料科学等，这一现象的深入研究对于提高设备的性能和稳定性具有重要意义。

本文将就磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动问题进行分析，以期为相关领域的研究提供参考。

二、问题分析在磁场中，轴向运动的导电梁受到磁力的作用，导致其发生磁弹性振动。

这种振动现象的机理较为复杂，涉及到电磁场理论、力学原理以及材料特性等多个方面。

首先，磁场中的电流会产生磁力，对导电梁产生作用力；其次，由于材料本身的磁弹性效应，导电梁在受到外力作用时会产生应力分布和变形；最后，由于材料自身的弹性恢复力以及阻尼力的影响，导电梁会呈现出特定的振动形式。

三、模型建立与分析方法针对磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动问题，本文建立了相应的物理模型和分析方法。

首先，根据电磁场理论，建立导电梁在磁场中的电流分布模型和磁力计算模型；其次，结合力学原理和材料特性，建立导电梁的应力分布和变形模型；最后，通过数值分析和仿真模拟，研究不同参数（如电流大小、材料属性等）对磁弹性振动的影响。

四、振动特性的研究在研究过程中，我们发现了磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动具有以下特点：首先，由于电流在导电梁中产生的磁力作用，使得其呈现出明显的振动规律；其次，材料本身的磁弹性效应对振动的频率和振幅有显著影响；最后，外部因素如阻尼力和支持条件等也会对振动产生影响。

这些特性的深入研究有助于提高设备性能和稳定性。

五、实验验证与结果分析为了验证理论分析的正确性，我们进行了实验验证。

通过改变电流大小、材料属性等参数，观察并记录导电梁的振动情况。

实验结果表明，理论与实际相符合，进一步验证了本文所建立模型的正确性。

此外，我们还对实验结果进行了详细分析，探讨了不同参数对磁弹性振动的影响程度及规律。

六、结论与展望通过对磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动分析，我们得出以下结论：首先，电流和材料属性是影响磁弹性振动的重要因素；其次，通过合理设计和优化设备参数，可以有效提高设备的性能和稳定性；最后，本文所建立的模型和分析方法为相关领域的研究提供了有益的参考。

第34卷第6期2021年12月振动工程学报Journal of Vibration EngineeringVol.34No.6Dec.2021磁场作用下轴向运动功能梯度Timoshenko梁的振动特性陈喜，唐有绮，柳爽（上海应用技术大学机械工程学院，上海201418）摘要:轴向运动结构的工程振动问题一直是动力学领域中的重要课题之一。

为了更全面地分析工程中的振动，针对磁场作用下轴向运动功能梯度Timoshenko梁的振动特性展开论述。

基于梁的动力学方程组和相应的简支边界条件，应用复模态方法，得到不同参数时固有频率和衰减系数与轴向运动速度的对应关系。

采用微分求积法分析磁场作用下前四阶固有频率和衰减系数随轴向运动速度的变化，并与复模态方法的结果进行对比验证。

数据结果表明复模态方法得到的结果是精确解析解。

衰减系数呈现不对称性，耦合固有频率呈现分离性。

随着轴速、磁场强度和功能梯度指数的增大，梁的固有频率减小；随着支撑刚度参数的增大，梁的固有频率增大。

关键词:Timoshenko梁；功能梯度材料；复模态方法；固有频率；衰减系数中图分类号:O326文献标志码:A文章编号:1004-4523（2021）06-1161-08DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2021.06.007引言随着科学技术的迅速发展，轴向运动功能梯度结构的磁力控制在航空航天、机械工程和交通运输等领域得到广泛的应用。

工程实际中，机械设备可能处于高温差的环境中或系统受到外部机械力作用而产生较大的振动，从而降低设备的可靠性和安全性，甚至带来重大的经济损失。

因此，研究磁场作用下轴向运动功能梯度结构的振动特性具有理论意义和实际意义。

轴向运动结构的研究最早可以追溯到Aiken［1］的实验观测和分析。

许多优秀的综述反映了该领域不同时期的研究进展［2⁃8］。

王乐等［9］求解自由边界下轴力对Timoshenko梁的横向振动影响。

Tang等［10］研究了不同边界条件下轴向运动Timoshenko梁的固有频率、模态以及临界速度。

《磁场中轴向运动导电梁磁弹性振动分析》篇一一、引言在当代物理学的领域中，磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动分析是一个重要的研究方向。

这一研究不仅涉及到电磁学、力学和材料科学的交叉领域，而且对于许多实际应用如传感器、电磁驱动器等的设计和优化具有重要指导意义。

本文旨在通过分析磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动现象，揭示其内在的物理机制和力学特性。

二、问题描述与模型建立我们考虑一个在磁场中沿轴向运动的导电梁。

该梁由非磁性材料制成，但具有导电性。

当电流通过梁时，由于洛伦兹力的作用，梁将发生振动。

我们建立了一个物理模型，该模型将电流、磁场、梁的物理特性（如弹性模量、质量密度等）以及振动模式等纳入考虑。

三、磁弹性振动分析首先，我们分析了磁场对导电梁的磁弹性作用。

在磁场中，电流与磁场相互作用产生洛伦兹力，这种力是导致梁发生振动的主要原因。

通过分析洛伦兹力的分布和大小，我们可以得出梁的振动模式和振幅。

其次，我们考虑了梁的物理特性对振动的影响。

例如，梁的弹性模量决定了其抵抗变形的能力，而质量密度则影响了振动的频率。

我们通过建立数学模型，分析了这些物理特性如何影响梁的振动。

此外，我们还考虑了外部因素如温度、湿度等对振动的影响。

这些因素可能改变梁的物理特性，从而影响其振动模式和振幅。

四、结果与讨论通过理论分析和数值模拟，我们得出了以下结论：1. 洛伦兹力是导致导电梁发生磁弹性振动的主要原因。

当电流通过梁时，洛伦兹力将使梁发生轴向振动。

2. 梁的物理特性（如弹性模量、质量密度）对振动有显著影响。

高弹性模量的梁更难以变形，而低质量密度的梁则具有更高的振动频率。

3. 外部因素如温度、湿度可能改变梁的物理特性，从而影响其振动模式和振幅。

因此，在实际应用中需要考虑这些因素的影响。

五、结论与展望本文对磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动进行了深入分析。

通过理论分析和数值模拟，我们揭示了洛伦兹力对梁的振动作用以及梁的物理特性和外部因素对振动的影响。

悬臂梁各阶振动及抑制研究作者：朱宁来源：《中国科技博览》2018年第32期[摘要]悬臂梁的振动在工程上害处比较大，我们通过研究悬臂梁振动系统，采用压电陶瓷片的正逆压电效应，建立了一套悬臂梁振动控制系统。

通过有限元法和试验模态分析方法分别得到铝制悬臂梁的第一、二、三阶固有频率和振幅。

根据有限元模态分析和试验模态分析的结果，用反演的方法得到在每一阶固有频率下的振幅大小。

[关键词]悬臂梁；振动控制；有限元；振幅中图分类号：TS533 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）32-0288-011 基本原理悬臂梁的振动是有很多自由度和对应的固有频率的连续弹性振动，它的振动可以看作是由很多个主振型叠加而成。

通过悬臂梁是一端固定的特点，采用分离变量法，可求得悬臂梁的频率方程：我们采用矩形截面的悬臂梁作为实验对象。

当给梁施加可变的激扰力，当梁产生共振时，此时力的频率就是悬臂梁在这一阶的固有频率。

2 实验结果2.1 操作方法粘贴好压电陶瓷片的金属铝板，一端被夹持在精密台虎钳上，形成悬臂梁布置，放置于实验平台上，。

金属铝板本体接入负极，压电片外表面电极全部接入正极。

数字千分表由磁性表座固定，并将测量头与定位滑台接触，万用表一端接定位滑台，一端接金属铝板。

2.2 振动激发让信号发生器生成连续正弦变化的信号，将信号功率放大（加100V电压），交流电压加在2组bimorph压电陶瓷片上，根据压电材料的极化特性，通电后，相对的两个压电陶瓷片，正向伸长，负向缩短，从而使得悬臂梁产生弯曲振动。

示波器接在作传感器用的压电陶瓷片外表面引出的一极和金属铝板一极。

观察铝板振动时示波器的变化。

当外加信号的频率达到26.47Hz附近时，铝板产生共振，此时称为第一阶弯曲振动模态。

增加频率，当到达141Hz左右时，第二阶弯曲振动模态产生。

当到360Hz左右时，第三阶弯曲振动模态产生。

用有限元分析得出的金属板的各阶振动模态。

2.3 振动抑制器材固定好后，慢慢旋转定位滑台使其往下，在刚与金属铝板接触时停止，记下此刻数字千分表的数值1。

第２０卷第６期２０２２年１２月动力学与控制学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬＶｏｌ．２０Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２０２２文章编号：１６７２ ６５５３ ２０２２ ２０（６） １０１ ０５ＤＯＩ：１０．６０５２／１６７２ ６５５３ ２０２２ ０４７　２０２２ ０８ ２０收到第１稿，２０２２ ０９ ２８收到修改稿．国家自然科学基金资助项目（１２１７２２８１，１１９７２２８４），基础加强１７３计划基金项目（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），陕西省科技创新团队资助（２０２２ＴＤ ６１）和陕西高校青年教师创新团队资助 通信作者Ｅ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析刘涛１　周洋忻２　胡伟鹏２（１．榆林市城市投资经营集团有限公司，榆林　７１９０００）（２．西安理工大学土木建筑工程学院，西安　７１００４８）摘要　轴向运动速度和材料的非均匀性对轴向运动功能梯度梁振动问题分析提出了严峻挑战．本文在简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型基础上，基于无限维动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，构造了横向振动模型的保结构数值格式，并在给定材料参数时给出了数值格式具有良好保结构性能的条件．分别采用微分求积法、复模态法和保结构方法分析横向振动模型的前六阶频率，发现保结构方法得到的频率结果与复模态法得到的结果吻合较好，在此基础上分析了微分求积法的主要误差来源，以指导微分求积法的改进，并为复杂动力学系统的数值求解提供了新途径．关键词　保结构，　轴向运动功能梯度梁，　对称破缺，　广义多辛，　横向振动中图分类号：Ｏ３０２文献标志码：Ａ引言功能梯度材料由于控制界面的成分和组织连续变化，使材料的热应力大为缓和，而在航空航天、机械工程、生物医药等领域应用广泛［１ ３］．智慧建造［４］这一全新概念的提出，使得传统单一均匀材料无法满足建筑设计工程的需求，因此，功能梯度材料将是未来实现很多智慧建造特殊功能的不二选择．作为智慧建造中的基本力学构件，功能梯度梁的动力学行为分析尤为重要．特别是在装配式智慧建造过程中，功能梯度梁运输及吊装过程的横向振动特性对运输和吊装过程的稳定性影响显著．Ｓａｎｋａｒ［５］基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁理论，得到了横向载荷作用下功能梯度梁弹性范围内的解．Ｒｅｄｄｙ［６］基于ｖｏｎＫａｒｍａｎ几何非线性理论，建立了功能梯度梁的非线性Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型．丁虎［７］、王忠民等［８］轴向运动功能梯度梁振动模型，并分别采用伽辽金法和微分求积法分析其振动特性，为本文分析功能梯度梁横向振动过程奠定了基础．刘金建等［９］基于Ｅｕｌｅｒ梁理论研究了轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性问题．Ｂａｌｉｒｅｄｄｙ和Ｐｉｔｃｈａｉｍａｎｉ［１０］分析了时变轴向载荷作用下功能梯度梁振动特性及稳定性．从本质上讲，功能梯度梁的材料非均匀性和梁式结构的轴向运动均属于动力学对称破缺［１１］因素．对于含有对称破缺因素的动力学系统，本课题组基于多辛分析方法，建立了广义多辛分析方法［１２］这一保结构理论框架，并解决了一系列复杂动力学问题［１３ １６］．因此，本文将基于保结构思想，分析轴向运动功能梯度梁的横向振动频率特性，为功能梯度梁的横向振动控制提供参考．１　轴向运动功能梯度梁横向振动模型本节参考文献［８，９］，简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型的建立过程．考虑一轴向运动的简支功能梯度矩形截面梁（图１），梁长度为Ｌ，横截面宽度为ｂ、高为ｈ，轴向运动速度为定常速度，大小为η．为了刻画材料特性沿界面高度方向的梯度，假定功能梯度材料有效杨氏模量和有效Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动　力　学　与　控　制　学　报２０２２年第２０卷密度均为ｚ坐标的函数，即Ｅ（ｚ）和ρ（ｚ）．图１　轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．１　Ｐｈｙｓｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ以含两种组分（如金属材料和陶瓷材料）的功能梯度材料为例，其有效材料参数可表述为：Ｅ（ｚ）＝（Ｅｃ－Ｅｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋Ｅｍ ＝Ｅｍ［（βＥ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］ρ（ｚ）＝（ρｃ－ρｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋ρｍ ＝ρｍ［（βρ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］（１）其中Ｅｃ，Ｅｍ，ρｃ，ρｍ分别为两种材料组分的物理参数，βＥ＝Ｅｃ／Ｅｍ，βρ＝ρｃ／ρｍ，ｋ为梯度指标．需要说明的是，从式（１）即可推导出功能梯度梁的中性层与几何对称中心重合．基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁基本假设，依据文献［８］，功能梯度梁上任意点的位移可由梁轴线上任意点的轴向位移ｕ（ｘ，ｔ）和横向位移ｗ（ｘ，ｔ）表述：ｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｔｕｚ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｗ（ｘ，ｔ）（２）功能梯度梁上任意点的正应变分量和正应力分量分别为：εｘ＝ ｘｕ－ｚ ｘｘｗσｘ＝Ｅ（ｚ）εｘ＝Ｅ（ｚ）（ ｘｕ－ｚ ｘｘｗ）（３）由其描述的梁的应变能可表述为：Ｕ＝１２∫Ｌ０∫ＡσｘεｘｄＡｄｘ ＝１２∫Ｌ０［Ｄ１（ ｘｕ）２－２Ｄ２ ｘｕ ｘｘｗ＋ Ｄ３（ ｘｘｗ）２］ｄｘ（４）其中，Ａ为梁的横截面面积，并且：（Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３）＝∫ＡＥ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ功能梯度梁上任意点两个方向的速度分量分别为：ｖｘ＝ ｔｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ）　＝ ｔｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｔｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｖｚ＝ ｔｗ（ｘ，ｔ）＋η ｘｗ（ｘ，ｔ）（５）由此描述的梁的动能可表述为：Ｋ＝１２∫Ｌ０∫Ａρ（ｚ）（ｖ２ｘ＋ｖ２ｚ）ｄＡｄｘ＝　１２∫Ｌ０｛Ｉ１［（ ｔｕ）２＋η２＋２η ｔｕ＋（ ｔｗ）２＋　η２（ ｘｗ）２＋２η ｔｗ ｘｗ］－２Ｉ２η ｔｘｗ－　２Ｉ２ ｔｕ ｔｘｗ＋Ｉ３（ ｔｘｗ）２｝ｄｘ（６）其中（Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３）＝∫Ａρ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ由哈密顿原理，忽略梁的轴向惯性力及其由轴向惯性力诱导的横向分布载荷项，并消去轴向位移项，得到轴向运动功能梯度梁横向振动方程：（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１） ｘｘｘｘｗ－（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１） ｔｔｘｘｗ＋　Ｉ１（ ｔｔｗ＋η２ｘｘｗ＋２η ｔｘｗ）＝０ｗｉｔｈｗ（０，ｔ）＝０ｗ（Ｌ，ｔ）＝０ｘｘｗ（０，ｔ）＝０ ｘｘｗ（Ｌ，ｔ）＝{０（７）２　振动模型的近似对称形式及保结构离散引入如下中间变量： ｔｗ＝ ｘψ＝Ｄ１φ－Ｄ１Ｉ１χＤ２Ｉ２－Ｄ１Ｉ３， ｘｗ＝φ， ｘχ＝φ，并定义状态向量：ｚ＝（ｗ，φ，χ，ψ，φ）Ｔ，轴向运动功能梯度梁横向振动方程（不含边界条件）可以写成如下近似一阶对称形式：Ｍ ｔｚ＋Ｋ ｘｚ＝ ｚＳ（ｚ）＋τ（ｚ）（８）其中，Ｍ，Ｋ∈Ｒ５×５为反对称矩阵：Ｍ＝００００１０００００００００００００００－１００００，Ｋ＝　０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０００００１０拟哈密顿函数为：Ｓ（ｚ）＝－１２［Ｉ１η２ｗ２＋（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１）φ２－２０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析 Ｉ１χ２＋（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１）ψ２］余项为：τ（ｚ）＝［－２Ｉ１ηψ，０，φ，０，０］Ｔ．与标准的多辛形式不同，近似对称形式含有如下对称破缺因素［１１］：①系数矩阵Ｍ，Ｋ及哈密顿函数Ｓ（ｚ）显含空间变量；②哈密顿函数梯度存在余项τ（ｚ）；③系数矩阵Ｍ非严格地反对称，因此将其分解Ｋ＝Ｋ＋Ｋ⌒０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１／２Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０－１／２－１／２００１／２０＋００００１／２００００００００００００００１／２１／２００１／２０ ①和③两个对称破缺因素引起的横向振动模型多辛结构残差和局部能量耗散均可以参照文献［１１］显式给出，第②个对称破缺因素在模拟仿真中的处理方式可参照参考文献［１７］进行．为避免与已有工作重复，在此不给出详细表达式和具体处理步骤，只在模拟结果中给出离散的多辛结构残差，以间接证明后续构造算法的有效性和保结构性能．在梁长度方位内（０≤ｘ≤Ｌ）采用空间步长进行均匀划分单元，并对系统采用时间步长进行Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ离散，得到保结构差分格式：Ｍδ＋ｔｚｊｉ＋１／２＋Ｋδ＋ｘｚｊ＋１／２ｉ＝ ｚＳ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）＋τ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）（９）其中：ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２＝１４（ｚｊｉ＋ｚｊｉ＋１＋ｚｊ＋１ｉ＋ｚｊ＋１ｉ＋１），δ＋ｘ，δ＋ｔ均为一阶前向差分．限于篇幅，格式的展开形式和消参后的形式不再给出，同时，离散的多辛结构残差和离散的局部能量耗散项也不再列出．需要强调的是，多辛结构残差是衡量格式保结构性能的重要依据，后续在数值结果中会详细讨论．３　数值算例为了将结果与文献［８，９］的部分结果进行对比，材料参数取值如下：Ｅｃ＝３９０ＧＰａ，Ｅｍ＝２１０ＧＰａ，ρｃ＝３９６０ｋｇ／ｍ３，ρｍ＝７８００ｋｇ／ｍ３．为保证数值格式的保结构性能，依照广义多辛理论［１２］，需要选取合适的时间步长使得在每一时间步内，离散的多辛结构绝对残差不超过差分格式的数值截断误差，即Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ），其中ｏ（Δｔ，Δｘ）为格式的数值截断误差．为了计算方便，忽略高阶项并取Δｔ／Δｘ＝０．５后，可以将数值截断误差上限估计值近似取为：ｏ（Δｔ，Δｘ）≤［ｏ］＝７Δｔ２（１０）在考虑梯度指标取值较大的情形下，确定容许的最大时间步长．取ｋ＝１０５，将时间步长取值从Δｔ＝０．００１ｓ逐渐增大，当式（１０）刚好严格满足时，得到最大允许时间步长为Δｔ＝０．０６４ｓ，此时的多辛结构残差与数值截断误差上限估计值之间的关系如图２所示．因此，在后续模拟过程中，取时间步长为Δｔ＝０．０５ｓ，空间步长为Δｘ＝０．１ｍ，就能保证所构造的格式具有良好的保结构性能．分别取ｋ＝０．００１，１００两种梯度指标，分别采用微分求积法（ＤＱＭ）［８］、复模态法（ＣＭＭ）［９］和保结构方法（ＳＰＭ）模拟轴向运动功能梯度梁的横向振动过程，得到梁的前六阶频率值如表１所示．从表１中不难发现，采用保结构分析方法得到的结果与复模态法得到的结果整体吻合较好．随着频率阶次升高，复模态法和保结构方法得到的频率结果明显低于微分求积法得到的结果．考察微分求积法的求解过程，可知微分求积法得到的结果产生以上偏差的主要原因在于以下两个方面：①在进行微分求积运算之前，将偏微分方程化为常微分方程过程中，只考虑了方程解的一阶频率分３０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动　力　学　与　控　制　学　报２０２２年第２０卷量而忽略了高阶频率分量；②微分求积法采用非均匀网格离散，无法判断每一时间步内不等式（Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ））的满足情况，不具有评价其保结构性能的条件．复模态法在一定程度上克服了上述两方面的问题，故得到的结果与本文保结构方法得到的结果吻合较好．上述结果表明，复模态法和保结构方法在分析轴向运动功能梯度梁横向振动问题中均具有较好的数值精度．图２　轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．２　Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅｒｅｓｉｄｕａｌｏｆｔｈｅｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ表１　前六阶频率结果对比（Ｈｚ）Ｔａｂｌｅ１　Ｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ（Ｈｚ）ｋＭｏｄｅＮｏ．ＤＱＭＣＭＭＳＰＭ１ｓｔ１８．０３８５１８．０３８５１８．０３８５２ｎｄ７２．５８０１７２．５３３９７２．５３３９０．００１３ｒｄ１６１．１９７５１６０．００１８１６０．００１８４ｔｈ２８９．８８０６２８６．２１４７２８６．２１４２５ｔｈ４５８．９３８０４５２．７３１１４５２．７０９６６ｔｈ６６６．２０３９６５９．９０１８６５９．３０８９１ｓｔ９．７８４９９．７８４９９．７８４８２ｎｄ３２．９０９１３２．２２８６３２．２２５９１００３ｒｄ８０．３６１０７８．４３９２７８．４２９８４ｔｈ１４８．１３１５１４４．３６１８１４３．８１００５ｔｈ２３７．２０２７２３１．２１５６２３０．９０３５６ｔｈ３４６．７７３８３３８．８０３３３３８．３２７１４　结论基于动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，本文针对轴向运动功能梯度梁横向振动的动力学模型，发展了保结构分析方法，并用于分析轴向运动功能梯度梁横向振动的频率分布情况．研究结果表明：本文构造的数值求解算法在求解步长满足给定条件时具有良好的保结构性能，得到的前六阶频率值与复模态法得到的结果吻合较好，同时分析了微分求积法得到的结果与保结构方法和复模态法得到的结果有明显差距的原因，为微分求积法的进一步改进指明了方向，也为轴向运动功能梯度梁横向振动这类复杂动力学问题的求解提供了新途径．参　考　文　献１ＲｅｄｄｙＪＮ，ＣｈｉｎＣＤ．Ｔｈｅｒｍｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｃｙｌｉｎｄｅｒｓａｎｄｐｌａｔｅｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅｒ ｍａｌＳｔｒｅｓｓｅｓ，１９９８，２１（６）：５９３～６２６２ＮａｅｂｅＭ，ＳｈｉｒｖａｎｉｍｏｇｈａｄｄａｍＫ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉａｌｓ：ａｒｅｖｉｅｗｏｆｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙ，２０１６，５：２２３～２４５３ＢａｒｔｌｅｔｔＮＷ，ＴｏｌｌｅｙＭＴ，ＯｖｅｒｖｅｌｄｅＪＴＢ，ｅｔａｌ．Ａ３Ｄ ｐｒｉｎｔｅｄ，ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｓｏｆｔｒｏｂｏｔｐｏｗｅｒｅｄｂｙｃｏｍ ｂｕｓｔｉｏｎ．Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１５，３４９（６２４４）：１６１～１６５４ＴｕａｎＡＮ，ＡｉｅｌｌｏＭ．Ｅｎｅｒｇｙｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｂｕｉｌｄｉｎｇｓｂａｓｅｄｏｎｕｓｅｒａｃｔｉｖｉｔｙ：ａｓｕｒｖｅｙ．ＥｎｅｒｇｙａｎｄＢｕｉｌｄｉｎｇｓ，２０１３，５６：２４４～２５７５ＳａｎｋａｒＢＶ．Ａｎｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＣｏｍｐｏｓｉｔｅｓＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，６１（５）：６８９～６９６６ＲｅｄｄｙＪＮ．Ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓｔｈｅｏ ｒｉｅｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＭｅｃｈａｎ ｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓｏｆＳｏｌｉｄｓ，２０１１，５９（１１）：２３８２～２３９９７ＤｉｎｇＨ，ＣｈｅｎＬＱ．Ｇａｌｅｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎａｔｕｒａｌｆｒｅ ｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２０１０，３２９（１７）：３４８４～３４９４８姚晓莎，王忠民，赵凤群．轴向运动功能梯度梁的横向振动．机械工程学报，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ＹａｏＸＳ，ＷａｎｇＺＭ，ＺｈａｏＦＱ．Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｍａｄｅｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉ ａｌｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））９刘金建，蔡改改，谢锋，等．轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性分析．动力学与控制学报，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ＬｉｕＪＪ，ＣａｉＧＧ，ＸｉｅＦ，ｅｔａｌ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ｉｎＣｈｉ ｎｅｓｅ））１０ＢａｌｉｒｅｄｄｙＳＮ，ＰｉｔｃｈａｉｍａｎｉＪ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｕｒｏｆｂｉ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓｕｂｊｅｃ ｔｅｄｔｏｖａｒｉａｂｌｅａｘｉａｌｌｏａｄ．ＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙＣｏｍｍｕｎｉｃａ ｔｉｏｎｓ，２０２２，３２：１０４０４３１１ＨｕＷ，ＷａｎｇＺ，ＺｈａｏＹ，ｅｔａｌ．Ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｏｆｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓ，２０２０，１０３：１０６２０７４０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析１２ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＨａｎＳＭ，ｅｔａｌ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｔｏｒｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅＰＤＥｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ，２０１３，２３５：３９４～４０６１３宋明哲，邓子辰，赵云平，等．含弱阻尼空间结构的耦合动力学保结构分析．动力学与控制学报，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ＳｏｎｇＭＺ，ＤｅｎｇＺＣ，ＺｈａｏＹＰ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｅｒｓｅｖｅｒｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｐａｔｉａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗｉｔｈｗｅａｋｄａｍｐｉｎｇ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））１４ＨｕＷ，ＨｕａｉＹ，ＸｕＭ，ｅｔａｌ．Ｍｅｃｈａｎｏｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｍｏｄｅｌｏｆｌｏｎｉｃ ｔｙｐｅｓｏｌｖｅｎｔ ｆｒｅｅｎａｎｏｆｌｕｉｄｓ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５９：１０７８３３１５ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＳｏｎｇＪ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｓｏｆｆｌｅｘｉｂｌｅｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇｈｕｂ ｂｅａｍｓｙｓｔｅｍ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５１：１０７３８９１６ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＺｈａｎｇＦ，ｅｔａｌ．Ｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｎｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｗｉｔｈｓｔｅｐ ｖａｒｉａｂｌｅｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ．Ｍｅｃｈａｎｉ ｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２２，１８０：１０９４２３１７ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＷａｎｇＢ，ｅｔａｌ．Ｃｈａｏｓｉｎａｎｅｍｂｅｄｄｅｄｓｉｎｇｌｅ ｗａｌｌｅｄｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ，２０１３，７２（１ ２）：３８９～３９８ＳＴＲＵＣＴＵＲＥ ＰＲＥＳＥＲＶＩＮＧＡＮＡＬＹＳＩＳＯＮＴＲＡＮＳＶＥＲＳＥＶＩＢＲＡＴＩＯＮＯＦＦＵＮＣＴＩＯＮＡＬＬＹＧＲＡＤＥＤＢＥＡＭＷＩＴＨＡＮＡＸＩＡＬＶＥＬＯＣＩＴＹＬｉｕＴａｏ１　ＺｈｏｕＹａｎｇｘｉｎ２　ＨｕＷｅｉｐｅｎｇ２（１．ＹｕｌｉｎＣｉｔｙＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔＣｏ．，Ｌｔｄ．，Ｙｕｌｉｎ　７１９０００，Ｃｈｉｎａ）（２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｘｉ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ　７１００４８，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｅａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌ’ｓｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｇｒｅａｔｃｈａｌｌｅｎｇｅｏｎｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ．Ｉｎｔｈｉｓｗｏｒｋ，ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｉｓｒｅｖｉｅｗｅｄｉｎｂｒｉｅｆｆｉｒｓｔｌｙ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｙｓｔｅｍ，ａｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｉｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｉｎｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅｃｒｉｔｉ ｃａｌｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｓａｔｉｓｆｙｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｇｉｖｅｎｍａｔｅｒｉａｌｐａｒａｍｅ ｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｍｏｄｅｌａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｅｍｐｌｏｙｉｎｇｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｒｏｍｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅ ｓｕｌｔｓ，ｉｔｃａｎｂｅｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｒｅｈｉｇｈｌｙｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｗｉｔｈｔｈｏｓｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｍａｉｎｆａｃｔｏｒｓｒｅｓｕｌｔｉｎｇｉｎｔｈｅｅｒｒｏｒａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｗｏｒｋｉｓｐｒｏｐｏｓｉｎｇａｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｂｌｅｍｌｉｋｅｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ，　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ，　ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇ，　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ，　ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎＲｅｃｅｉｖｅｄ２０Ａｕｇｕｓｔ２０２２，ｒｅｖｉｓｅｄ２８Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ２０２２．ＴｈｅｐｒｏｊｅｃｔｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（１２１７２２８１，１１９７２２８４），ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＳｔｒｅｎｇｔｈｅｎｉｎｇＰｒｏｇｒａｍｍｅＴｅｃｈｎｉｃａｌＡｒｅａＦｕｎｄ（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），ｔｈｅＦｕｎｄｏｆｔｈｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉ（２０２２ＴＤ ６１）ａｎｄＦｕｎｄｏｆｔｈｅＹｏｕｔｈＩｎｎｏ ｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ５０１Copyright ©博看网. 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时滞控制下轴向运动纳米梁横向振动的稳定性研究作者：朱灿李梦瑶来源：《贵州大学学报（自然科学版）》2022年第04期摘要：在軸向运动纳米梁系统中，速度会使系统产生力学行为复杂的横向振动，且对系统运行的稳定性有很大的影响。

将时滞控制方法应用在两端简支条件下的轴向运动纳米梁系统中，通过动力系统分支理论和幂级数法来考察系统运行的稳定性。

结果表明，时滞和反馈增益系数对两端简支轴向运动纳米梁系统的稳定区域有很大影响，恰当的时滞控制能够有效增强系统的稳定性，并可以消除系统的耦合颤振失稳现象。

关键词：时滞控制;稳定分析;幂级数法;纳米梁;轴向运动中图分类号：O322;O29文献标志码：A纳米梁是纳机电系统（nano-electromechanical system，NEMS）的基本组成结构，纳米梁加工工艺研究、纳米梁力学电学测试研究以及纳米梁在集成电路和传感器领域中应用研究具有重要意义。

MOTE[1-3]对物体轴向运动诱发产生的横向振动已有了很好的研究。

YANG和TAN等[4-5]研究了轴向运动梁外部激励和稳态响应固有频率之间的关系。

Z等[6]以轴向加速运动梁为研究对象，利用摄动法对该系统进行求解，分别对运动速度的波动频率接近系统自然频率2倍时出现的主参数共振情况以及速度的波动频率为系统两个自然频率的和时出现的组合参数共振情况进行分析，讨论不同共振情况下系统的稳定性。

李晓军和陈立群[7]以两端固支的轴向运动梁为研究对象，建立一种数值解析的方法，求解得到系统发生横向振动的自然频率和模态。

杨晓东和唐有绮[8]在复模态分析的基础上，得出轴向运动梁系统在发生横向振动时的频率和模态。

SATO等[9]利用中心流形定理和平均法研究带有时滞的非线性动力系统稳定周期解及其稳定性，讨论时滞对该系统自由振动和受迫振动的影响。

LIU等[10]研究一种时滞反馈控制参数的求解方法，并运用最优化控制方法对非线性振动系统进行减振控制。

SHANG 等[11-12]基于Helmoholtz振荡器系统，给出时滞位移反馈对其安全流域分形侵蚀的影响。