10函数与方程及函数的应用零点定理

连续函数介值定理和零点定理### 连续函数介值定理与零点定理在数学中，连续函数介值定理和零点定理是两个重要的命题，它们对于理解和分析连续函数的性质具有重要意义。

这两个定理常常用于研究数学领域中的函数性质和方程解的存在性问题。

接下来，我们将对连续函数介值定理和零点定理进行详细介绍。

#### 连续函数介值定理连续函数介值定理是指在一定的条件下，若函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，则对于$f(a)$和$f(b)$之间的任意一个数$c$，都存在一个介于$a$和$b$之间的数$x_0$，使得$f(x_0) = c$。

简言之，连续函数介值定理指出了连续函数在闭区间上取值的全过程，也就是说，无论$f(a)$和$f(b)$之间的任何一个数，都有一个对应的函数取值点$x_0$。

这个定理帮助我们理解了连续函数在一定区间内的运动规律，具有很强的几何直观性。

#### 零点定理零点定理是指对于一个连续函数$f$，如果在区间$[a,b]$上$f(a)$和$f(b)$异号（即$f(a)$和$f(b)$一个大于零一个小于零），那么必定存在一个介于$a$和$b$之间的数$x_0$，使得$f(x_0) = 0$。

这意味着零点定理给出了连续函数零点存在的充分条件。

在实际问题中，零点常常对应了函数与坐标轴的交点，也就是函数取零的点，因此零点定理在方程求解、函数图像分析等方面有着广泛的应用。

综上所述，连续函数介值定理和零点定理为我们理解和分析连续函数提供了重要的工具和方法。

这两个定理帮助我们更好地理解了连续函数在闭区间上的运动规律和零点的存在性问题。

通过应用这两个定理，我们可以更深入地研究函数的特性，解决各种数学问题，具有着重要的理论和实际意义。

希望通过上述介绍，您能更好地理解连续函数介值定理与零点定理，并在数学学习和应用中灵活运用这两个重要的定理。

§1-10 函数的应用---根与零点及二分法【课前预习】阅读教材P86-90完成下面填空1．方程()0=x f 有实根 ⇔ ⇔2．零点定理：如果函数()x f y =在区间 上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数()x f y =在区间 内有零点，即存在()b a c ,∈，使得 ，这个c 也就是方程()0=x f 的根.3．二分法求函数()x f y =零点近似值的步骤： ⑴确定区间 ，验证 ，给定 。

⑵求 ；⑶计算 ；①若 ，则 ；②若 ，则令 ；③若 ，则令 。

⑷判断【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．下列函数中有2个零点的是 ( )A ．lg y x =B ．2x y =C ．2y x =D ．1y x =-2.若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( )A ．至少有一个零点B ．只有一个零点C ．没有零点D ．至多有一个零点3．函数)(x f =-x 2+5x-6的零点是4. 函数)(x f =x 21-(21)x 的零点个数 5.函数)(x f =x 3-x 2-x+1在[0,2]上 零点6.下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是（ ）A B C D7．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( )A ．0B ．1C ．0或lD ．不确定8．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点9．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上( )A ．一定没有零点B ．至少有一个零点C ．只有一个零点D ．零点情况不确定10．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()6,2-B ．[]6,2-C ．{}6,2-D ．()(),26,-∞-+∞ 11．方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个 12.二次函数()f x =ax 2+bx+c 中,ac<0则函数的零点个数是13.若()f x 的图像关于y 轴对称，且()f x =0有三个零点，则这三个零点之和等于14.若()f x =⎩⎨⎧--≤≥--21,112,12 x x x x x 或则函数g(x)= ()f x -x 的零点为15.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，()f x =x 3-x,则函数y=()f x 的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为16.已知函数()f x =4x +m.2x +1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点17．若函数()f x =(m-2)x 2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间（-1,0）和区间（1,2）内，则的取值范围是（ ）A ．(-21,41) B.(- 41,21) C.( 41,21) D.[ 41,21] 18.数()f x =ax+b(a ≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是19.数()f x =x 3-3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-2,2) B. [-2,2] C.(-∞，1) D. (1，+∞)20.=cosx 在(-∞,+∞)内 （ ）A ．没有根 B.有且仅有一个根 C. 有且仅有两个根 D. 有无穷多个根21.()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。

高等数学中的零点定理及其应用数学是一门基础学科，应用广泛，与各领域有着密不可分的联系。

其中，高等数学是各个领域中不可或缺的一门学科。

而零点定理是高等数学中非常重要和基础的一个部分，涉及到多个学科的交叉应用。

本文将主要介绍零点定理的概念、分类和应用。

一、零点定理的概念和分类零点定理是指在某些函数中，存在某些特殊值(称为零点)，使得函数在这些点处取值为零。

具体地说，若函数$f(x)$在点$x_0$处为零，则称$x_0$是$f(x)$的一个零点。

零点定理就是研究函数的零点及其性质的理论。

根据不同的函数类型和性质，零点定理可分为常微分方程的零点定理、复变函数的零点定理、二次型的零点定理、拓扑定理的零点定理等等。

这里重点介绍前三种。

1、常微分方程的零点定理设$y'=f(x,y)$是一个初值问题的解，其中$f$在闭区间$D=\{(x,y)\in R^2|a\leq x\leq b,\alpha\leq y\leq \beta\}$上连续，如果有一连续函数$G(x)$，使得$f$在$D$上满足$f(x,y)G(x)\leq0(\alpha\leq y\leq \beta)$，则$y'=f(x,y)$在区间$[a,b]$上必然有解，并且至少有一个零解。

2、复变函数的零点定理对于一函数$f(z)$，如果它在圆$|z|=R$内是连续的，假定$f(z)$在圆周上连续并且$f(z)$在圆内没有零点，则$f(z)$在圆周上至少有一个零点。

3、二次型的零点定理设$n$元二次型为$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j $，其中$a_{ij}$为常数，且$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$中不含常数项。

则它的正惯性等于零点距的个数，负惯性等于负的零点距的个数。

二、零点定理的应用零点定理在诸多领域中都有广泛的应用。

下面就以实例的形式逐一介绍：1、求函数零点先将原函数化简成$f(x)=0$的形式，就可以利用零点定理来计算零点了。

高二数学函数与方程试题答案及解析1.已知函数有零点，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意知有解，即方程有解，可转化为直线与方程所表示的曲线有交点，用数形结合思想可得的取值范围。

【考点】函数的零点与相应的方程根的关系及数形结合思想的应用。

2.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是．【答案】【解析】由于函数在区间上有10个零点（互不相同），因此与函数有10个不同的交点，由于函数周期为3，所以与函数在一个周期内交点个数为4，对于函数，当时，，为翻折之后抛物线的顶点，由于恒成立，要使在一个周期内的交点为4，满足，此时，函数在区间上有10个零点（互不相同）．【考点】函数的交点．3.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（）【答案】C【解析】函数在区间上存在零点，满足两条：一是函数在区间连续，二是，满足这两条的是【考点】函数的零点.4.函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，；则，所以函数的零点所在区间为.【考点】零点存在定理.5.已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，有且仅有3个零点，则方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且 a＞0．∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴＜＜1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3,4．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4,则有＜≤1；综上所述，＜a≤，故选C．考点:函数零点，对新概念的理解，分类整合思想6.函数的零点个数为 ( )A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】在同一个直角坐标系中画出的图像，易知两图像的交点只有一个，故选B。

【考点】利用函数图像判断函数零点的个数。

希尔伯特零点定理是微分方程理论中的一个重要定理，它描述了某些函数在一定条件下的一致收敛性质。

以下是希尔伯特零点定理的初等表述：假设函数$f(x)$ 在区间$[a,b]$ 上连续，并且在该区间上存在零点。

那么，存在与$f$ 在该区间上的零点个数一致的数列$c_n$（这个数列就是所谓的$f$ 的零点序列）。

在这个序列中，可以保证所有的点都包含在某个$\varepsilon$-邻域内，而且每个点的性质都有某种一致性，这里的$\varepsilon$ 是在考虑每个函数及其导数的范围中给定的一个足够小的正数。

换句话说，我们不仅可以得到该函数的零点数，还可以在局部的范围内找到这些零点的位置。

这个定理的证明主要依赖于函数的一致收敛性质和极限的概念。

首先，我们需要证明函数序列的一致收敛性质，即对于任意的$\varepsilon>0$，总存在一个足够小的正数$N$，使得对于所有的$n>N$，都有$f_n(x) \leq f_{n+1}(x) + \varepsilon$。

如果这样的$N$ 存在，那么就可以保证$f_n(x)$ 在某个邻域内一致收敛到$f(x)$。

其次，我们可以通过证明存在函数序列的一致收敛性质和函数本身的极限性质来证明零点定理。

以上就是希尔伯特零点定理的初等表述和证明思路。

这个定理是微分方程理论中的重要定理之一，它为微分方程的研究提供了一个有力的工具。

它不仅可以用于解决具体的微分方程问题，还可以推广到其他数学领域中的一致收敛和极限概念的研究中。

在实际应用中，希尔伯特零点定理对于微分方程的数值解法也有着重要的意义。

它可以帮助我们找到微分方程的解的近似值，并保证这些近似值的精度和一致性。

同时，它还可以为微分方程的研究提供新的思路和方法，促进微分方程理论的发展和应用。

总的来说，希尔伯特零点定理是一个非常重要的数学定理，它对于微分方程的研究和数值解法都有着重要的意义和作用。

考点12：零点定理【题组一求零点】1.函数/(X)=，T——(x<0),8 的零点为. -/c?g2(x+l)(x>0)【答案】-3【解析】当工<0时，/(x)=2x--=0,/.x=-3；8"'庶>0时，/(x)=-log2(x+l)=0,.\x=0t不满足，排除；故函数零点为一3故答案为：—3 2.若函数/(x)=log2(x+n)的零点为一2,则"=【答案】3【解析】根据题意，若函数/(x)=log2(x+a)的零点为・2,则，(・2)=log2(Z7-2)=0,即〃・2=1,解可得〃=3・故答案为33.设函数fW= <2x-2,x e[l.+oo)-V? -2a-,xe(-co,1)则函数y=f(x)的零点是【答案】o或1岸、f x>\x<\【解析顷对=°等价干值-2=。

或卜-2i=。

’解得M或1=0,所以，函数y=f(x)的零点是。

或1.故答案为：o或1.【题组二零点区间】1.函数/«=log3(x+2)+x-l的零点所在的一个区间是()A.(0,1)B.(L2)C.(2,3)D.(3.4)【答案】A【解析】f(0)=log32-l<0./⑴=log3(l+2)+l-l=l>0.所以/(0)/(1)<0,根据零点存任性定理.../⑴=logQ+2)+x—1的零点所在的•个区间是(0,1)・故选：A.2.已知函数/(工)=1理2*-土-2.在下列区间中，包含/(幻零点的区间是()■4I1A.(0,1)B.(1.3)C.(3.5)D.(5,7)【答案】D【解析】函数/(x) = log 2x —-^--2,在其定义域</(5) = log 25-3 = log 2|<0, f(7) = log 27^-2 = log 2^L>0, 故函数f(x)的? 间(5,7) |故逸：D3.函^f(x) = -x-sinx 在下列哪个区间必有零点((3.' c - g 土A.71B - 2-' D.3n2【答案】B【解析】V/(0) = 0-sin0 = 0. = /(汗)=?>0・<0.任区间;刁内必有零点故选:B【题组三零点个数】1.函数/⑴=3啊/|一1的零点个数为【答案】2【解析】函数f(x) = y\log 2x\-\的琴点,即方程y\log 2j]-i = 0的解,「|/心|=转化为函数)>=|/华2乂与的交点,在同一平而直角坐标系出函数ytpogiM 勺,=(!)的现象,如卜所示:x-l=O«两个实数根.即保f(x)=y\iog2x\-i^两个零点.2.函数f(x)=e x+x2-2/±区间(一2,1)内零点的个数为一【答案】2【T"I］令N+X2-2=0,b=-x2 +2.M*1*y=r\y=一『+2的图象如下图所示.由图可知，图象有两个3.函数f(x)=cosnx-<->X+1任区间［•1,2］上的零点个数为【答案】3【解析】根可知•函数/3)=cosg—(y+1在"•矶—1.2］上的等吊勺个数,即为》.、=cos/rx的图象，j函数、=(二)'一1的图象在［乂间［—1,2］1-1门在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示:可以发现有三个公尹M ，所以函数/(x)=cos^-(|r+l 在区间［T2］ |-.{J 个34.函数f(x) = \nx+x 2的零点个数是一【解析】因为y = lnx 与y = F 均在0,+oo 上为析".・所以函^ f(x) = \nx+x 2至多1)2=-1/e)乂 /[■!■] = ln 』+<0, /(l) = lnl + l = l>0. /|lj /(l)<0. EP 函数/'(x)在-J | I 行个5.函数f(x) = x-^-3,则/(司的零点个数为【答案】1【解析】函数/(犬)定义域为［O.+8)x — JF —3 = O = x — 3 =,=jv_3q\=JL 则以刀)的省点的个敖 撤y,=x — 3,»=J7・ XWp*。