21.2 二次函数的图象和性质(第3课时)-课件
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第3课时 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
17．如图是二次函数 y＝a(x＋1）2＋2 的图象的一部分，根据 图象回答下列问题． (1）抛物线与 x 轴的一个交点 A 的坐标是 (－3，0） ， 则抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标是 (1，0）； (2）确定 a 的值； (3）设抛物线的顶点是 P， 试求△PAB 的面积．
解：(2）将(1，0）代入 y＝a(x＋1）2＋2， 可得 0＝4a＋2，解得 a＝－12. (3）∵y＝a(x＋1）2＋2， ∴抛物线的顶点坐标是(－1，2）． ∵A(－3，0），B(1，0）， ∴AB＝xB－xA＝1－(－3）＝4. ∴S△PAB＝12×4×2＝4.
解：(1）将(1，0）代入 y＝(x－2）2＋m，得 0＝(1－2）2＋m， 解得 m＝－1. ∴二次函数的表达式为 y＝(x－2）2－1，且对称轴为直线
x＝2. 当 x＝0 时，y＝3，故 C(0，3）． ∵点 C 与点 B 关于抛物线的对称轴对称， ∴B(4，3）．
将 A(1，0），B(4，3）代入 y＝kx＋b，得 k4＋k＋b＝ b＝0， 3. 解得kb＝＝1－，1. ∴一次函数的表达式为 y＝x－1.
移得到，下列平移方法中正确的是( B ） A．先向左平移 2 个单位长度，在向上平移 1 个单位长度 B．先向左平移 2 个单位长度，在向下平移 1 个单位长度 C．先向右平移 2 个单位长度，在向上平移 1 个单位长度 D．先向右平移 2 个单位长度，在向下平移 1 个单位长度
10．将抛物线 y＝2(x－3）2－4 向右平移 2 个单位长度，再向 上平移 3 个单位长度后得到一条新的抛物线，则这条新的 抛物线的顶点为 (5，－1） ．
7.若二次函数 y＝(x－m）2＋m＋1 的对称轴是直线 x＝1，则该 函数的顶点坐标是(1，2）．
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
数学沪科版九年级(上册)21.2二次函数的图象和性质课件(共17张PPT)
04:09
17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
04:09
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
9
04:09
函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
04:09
13
达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。
21.2 二次函数的图象和性质(3)
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
1、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+k和 二次函数y=ax2+k的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
2、已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
a＜0 a＞0
向下 向上 向下
（0,c） （0,c）
最小值 Y随x的增 是C 大而减小 最大值 是C
Y随x的增 大而增大
y=ax2+c
a＜0
如图所示，直线L过A（4，0）和B（0，4）两点， 它与二次函数y=ax2• 的图象在第一象限内交于P点， 若△AOP的面积为 4 . （1）求P点的坐标；（2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y=ax2上下平移，使平移后的抛 物线经过点A？
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则 A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 (B )
y2
y1 y3 y4 x2 x4 x3 x1
D.y4>y2>y3>y1
3、已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ D） A. a+c B. a-c C. –c D. c
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振 动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题， 如切线、相交弦等。
05
习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零 点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的 横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的图像和性质ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答
21.2)y=a(x+h)2的图象和性质
位置
开口方向 增减性 最值
当x=-h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=-h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
开口大小
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）2 y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数的图像和性质
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
上节复习
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
k>0
k<0
k>0
k<0
开口向下 开口向上 开口 ︱a︱越大，开口越小；︱a︱越小，开口越大 关于y轴对称 对称性 顶点
(0,k)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
X=-1
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
二次函数y=a(x+h)2的性质：
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x+h)2 (a>0) 抛物线
在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0..
y 3x 2
y 3x 1
2
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
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5
x 10
y=x2-2
-2
(1) 抛物线y=x2-2,y=x2的开口方向、
对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2-2 与抛物线y=x2有什么
关系?
抛物线y=x2 -2: 开口向上,
对称轴是y轴, 顶点为(0,-2).
抛物线y=x2:
开口向上,
对称轴是y轴, 顶点为(0, 0).
二次函数y=ax2+k的性质
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单
位，所得的抛物线的函数式
是
y=4x2+3
。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单
位,所得的抛物线的函数式
是
y=-5x2-4
。
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 向下 ，
对称轴是 y轴 ，顶点坐标是 (0,5) ，
在对称轴的左侧，y随x的增大
而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的
增大而 减小 ，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个
值等于
5。
（5）抛物线y=7x2-3的开口 向上 ，
对称轴是 y轴 ，顶点坐标
是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随
x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
增大，
当x= 0 时，取得最 小 值，这个
值等于
-3 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
21 y 8
12 14
25
y=x2+1
…… ……
6
函数y=x2+1的图象与y=x2的
图象的位置有什么关系?
4
函数y=x2+1的图象
与y=x2的图象的形
2
y=x2
状相同吗?
O
5
x 10
-2
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2的开口方向、
a>0 向上
a<0 向下
(0 , k) y轴
(0 , k) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小= k
x=0时,y最大= k
抛物线y=ax2 + k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过 上下平移得到.
对称轴、顶点各是什么?
(2)抛物线y=x2+1 与抛物线y=x2有什么
关系?
抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1).
抛物线y=x2: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0, 0).
y y=x2+1
10
9
y=x2
8
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y=x2-2 …… 2
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
-1 -2
y
8
1 2 …… 14
-1 2 ……
6
函数y=x2-2的图象与
y=x2的图象的位置有什
么关系?
4
y=x2
函数y=x2 -2的图
2
象与y=x2的图象的
形状相同吗?
O
y＝ax2+k 图象 开口
a>0
a<0
y
y
(0,k)
o
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点 增减性
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点 （最大值为k）
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得 到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 下 平移 |k| 个单位 得到。
时,函数
y的值最小,最小值是 0 ,抛物线y=2x2
在x轴的 上 方(除顶点外).
试一试：
2、函数y=8x2的图象的开口
，对称
轴是
，顶点是
；当
x____时，y随x的增大而增大，当x____时，y随x
的增大而减小；
3、函数y=-3x2的图象的开口
，对称轴
是
，顶点是
；当
x____时，y随x的增大而增大，当x____时，y随x的
21.2 二次函数的图像 和性质（第3课时）
y=ax2 (a≠0)
a>0
图
y
象
a<0 y
O
x
开口方向
Ox 向上
向下
顶点坐标
(0 ,0)
(0 ,0)
对称轴
y轴
y轴
增
当x<0时，
当x<0时,
减
y随着x的增大而减小。 当x>0时，
y随着x的增大而增大。 当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 -2 和y=x2 的图像
解: 先列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 -2 … 7 2 -1 -2 -1 2 7 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
然后描点画图,得到y= x2 -2,y=x2的图像.
x ….. -2 y=x2 …… 4
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0)
,
对称轴是 y轴 ,在对称轴 右
侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 左 侧,
y随着x的增大而减小,当x= 0
教科书第27页习题21.2第 4题第（1）小题.
选作题： 1、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开 口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线 解析式。 （2）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经 过（1，2）的点的解析式，
选作题：
2、已知二次函数y＝5x2-（a+1）x＋a-4, 其对称轴为y轴，求a的值，并说出它的 最值.
结束寄语
•读书要从薄到厚, 再从厚到薄.
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的 图象向 上 平移 5 个单位得到； y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 下 平移 11 个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平 移 4 个单位可得y=-3x2的图象；将 y=2x2-7的图象向上 平移 7 个单位 得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图 象向 上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
增大而减小；
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1 和y=x2 的图像
解: 先列表
x ….. -2 -1 0 1 2 …… y=x2 … 4 1 0 1 4
…
y=然1x2后+描点… …画图5,得到y2= x2＋11,y=x22的图5像. ……
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2+1 …… 5
点A（1，-1），B（2，5），则函数
y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3
。
若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象
上，则点C的坐标为 (-2,5)
点D的
坐标为 ( 5,7) 或 ( 5,7)
.
小结 拓展
本节课我学到了…， 我感到最困难的是…
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值