永磁同步电机的复数数学模型

永磁同步电动机(PMSM)三相坐标系的数学模型2 PMSM 三相坐标系的数学模型为方便分析起见，将三相永磁的同步电动机看作是理想的电机，也就是说它符合下列假设：(1) 转子上面没有阻尼绕组；定子中各个绕组的电枢电阻、电感值相等，三相定子的绕组按对称的星形分布；(2) 其气隙磁场服从正弦分布而且各次谐波忽略不计，感应电动势也服从正弦分布；(3) 永磁体的等效的励磁电流恒定不改变；电机中的涡流、趋肤效应、电机铁芯饱和和磁滞损耗的影响均忽略不计；温度与频率不影响电机的参数。

坐标系正方向的选取： (1) 转子逆时针方向旋转为正； (2) 正向电流生出正向磁链；(3) 电压，电流的正方向按照电动机的惯例。

则静止三相坐标系里PMSM 的定子侧电压方程3333s s s s u R i p ψ=⋅+ (4-1)静止三相坐标系里PMSM 的定子侧磁链方程3333()s s s f s L i F ψψθ=⋅+⋅ (4-2) 式中，3A s B C i i i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3000000s R R R R ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，3A s B C ψψψψ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3A s B C u u u u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3sin ()sin(120)sin(120)s F θθθθ⎡⎤⎢⎥=-︒⎢⎥⎢⎥+︒⎣⎦3331cos120cos 240100cos1201cos120010cos 240cos1201001s m l L L L ︒︒⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=︒︒+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪︒︒⎝⎭⎝⎭电机统一理论和机电能量转换告诉我们，电机的电磁力矩[37]*I m ()s s e p T n i ψ=- (4-3) 式中，*代表取共轭复数，Im 代表取虚部。

3 PMSMdq 坐标系的数学模型三相交流电机是一个耦合强、非线性、阶次高的多变量系统，它在三相静止的坐标系里的数学模型相当复杂，应用传统的控制策略对其实现交流调速有很大的困难，所以对于一般的三相交流电机常常应用矢量控制的方法，采用坐标变换，把三相交流的绕组等效变换成两相互相垂直的交流绕组或者旋转的两相直流的绕组，等效变换以后其产生的磁动势相等，系统的变量之间得到了部分的解耦，它的数学模型得到了大大简化，使得对于系统的分析和控制也简化了很多，使得它的数学模型与比较简单的直流电机类似[52]。

永磁同步直线电机数学模型永磁同步直线电机是一种应用于直线运动控制系统的新型电机。

它具有高效率、高精度、高刚度和快速响应的特点，广泛应用于工业自动化、高速列车、机床、印刷、数控机床、半导体设备等领域。

永磁同步直线电机的数学模型是描述其运动规律的数学表达式。

通过建立数学模型，可以分析和预测电机的性能，并设计出最优的控制策略。

永磁同步直线电机的数学模型主要包括动态模型和静态模型两部分。

动态模型描述了电机的运动状态和响应特性。

它基于牛顿第二定律和电机动态方程建立，考虑了电机的负载惯性、摩擦力和电磁力等因素。

动态模型可以用于分析电机的加速度、速度和位置等动态性能。

静态模型描述了电机的静态特性。

它基于电机的静态平衡方程建立，考虑了电机的电磁力、重力和摩擦力等因素。

静态模型可以用于分析电机的静态力学性能，如电机的负载能力和刚度等。

在建立永磁同步直线电机的数学模型时，需要考虑电机的结构参数、电磁参数和控制参数等因素。

结构参数包括电机的长度、宽度和高度等几何尺寸，电磁参数包括电机的磁极数、电流和磁链等参数，控制参数包括电机的控制电流和控制电压等参数。

根据实际应用需求，可以对模型进行简化或者增加更多的参数，以提高模型的准确性和适用性。

通过数学模型，可以对永磁同步直线电机的性能进行分析和优化。

例如，可以通过模型预测电机的响应时间、稳态误差和精度等指标，在设计过程中选择合适的结构参数和控制参数，以实现最佳性能。

此外，还可以通过模型分析电机的负载能力和刚度，评估电机在不同工况下的可靠性和稳定性。

永磁同步直线电机的数学模型是分析和设计电机的重要工具。

通过建立准确的数学模型，可以深入理解电机的运动规律和特性，为电机的应用和控制提供有效的指导。

同时，也可以通过模型优化电机的性能，提高电机的效率和精度，满足不同领域和应用的需求。

永磁同步电机的数学模型及矢量控制原理WAA磁同步电机的转F上水盛体的安装方式的不同，则电机的制造丄适用场所、运行•性能、控制方法也郁有所五同。

根据氷磁体在转子上的位貰不同，永磁同步电机可分为小叫(i)表骷式永磁同应电机t Surface-mounted PMSM.简称SPMSM A. SPM)* Jt转f结构如下图所示。

SPM电机转子上的永磁体位于转子铁芯的表面,通常呈瓦片形, 为电机提供径向磁通。

另外,因外包钢膜上的感生涡流损耗,遣成较大的铁损，而且气隙较大•导致其效率较低。

但磁阻转矩较小.若对其进行合理的控制可获得较好的低速运转特性。

(ii)内埋式永磁同步电机(Interior PMSM,简称1PMSM或IPM),此类电机转子上的永磁体位于转了内部，通常呈条状。

由丁此种转子具仃不对称的磴路給构,所以它比SPMSM 分磁阳转矩，从而大大提离了电机的功率密度F实现屈磁控制。

同时，由于永磁休在转子铁芯内部，所以这类电机有更加坚固的转子結构,适合运转于高速场IPM 的定子电感随转『鎚极位西非线性变化.所以1PM的捽制性能随;匸子电流换柑相移影响口SPM与IPM的转于结构如图2.1所示。

本文上嘤研究SPMSM的数学模型及其矢豐控制方法。

水磁体铁芯<a> SPM转子结构<b) IPM转予结构图2.【永毬同歩电机转子蒂构2.2永磁同步电机的数学模型木节苜先建立PMSM的数学模型，这也是后续研究PMSM矢丘控制算法的屣础"接卜來分别对三相静止坐标系、两和邯止坐标系和两相旋转堰标系F的PMSM 的数学模型进行描述。

严格的说，永磁同步电机是一个存在非线性磁化特性和饱和效应的电磁装留，它的 动态方程式一个高阶微分方程，很难对它进行粘确求解，所以必须对它进行一定程度的 简化，将它化成一个二阶微分方程组。

为了突出主婆何题，先忽略次要因素，作如下假 设叫（1） 忽略谐波效应，设定子三相绕组完全对称且在空间中互差120°电角度，所 产生理想正弦磁动势；（2） 忽略永磁体的非线件饱和因素，认为各相绕纽的阴值、电感都是恒定的，FI Ro = R 、= R< = &丄（! = — = Lc ；（3） 不计电机的磁滞损耗和涡流损耗等： （4） 不考电频率和温度变化对电机参数的场响： （5） 转子上没有阻尼绕组，永磁体没有阻尼作用。

(一) PMSM 的‎数学模型交流电机是‎一个非线性‎、强耦合的多‎变量系统。

永磁同步电‎机的三相绕‎组分布在定‎子上，永磁体安装‎在转子上。

在永磁同步‎电机运行过‎程中，定子与转子‎始终处于相‎对运动状态‎，永磁体与绕‎组，绕组与绕组‎之间相互影‎响，电磁关系十‎分复杂，再加上磁路‎饱和等非线‎性因素，要建立永磁‎同步电机精‎确的数学模‎型是很困难‎的。

为了简化永‎磁同步电机‎的数学模型‎，我们通常做‎如下假设：1) 忽略电机的‎磁路饱和，认为磁路是‎线性的；2) 不考虑涡流‎和磁滞损耗‎；3) 当定子绕组‎加上三相对‎称正弦电流‎时，气隙中只产‎生正弦分布‎的磁势，忽略气隙中‎的高次谐波‎；4) 驱动开关管‎和续流二极‎管为理想元‎件；5) 忽略齿槽、换向过程和‎电枢反应等‎影响。

永磁同步电‎机的数学模‎型由电压方‎程、磁链方程、转矩方程和‎机械运动方‎程组成，在两相旋转‎坐标系下的‎数学模型如‎下：(l)电机在两相‎旋转坐标系‎中的电压方‎程如下式所‎示: d d s d d c q q q s q q c d di u R i L dt di u R i L dt ωψωψ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩其中，Rs 为定子‎电阻；ud 、uq 分别为‎d 、q 轴上的两相‎电压；id 、iq 分别为‎d 、q 轴上对应‎的两相电流‎；L d 、Lq 分别为‎直轴电感和‎交轴电感；ωc 为电角‎速度；ψd 、ψq 分别为‎直轴磁链和‎交轴磁链。

若要获得三‎相静止坐标‎系下的电压‎方程，则需做两相‎同步旋转坐‎标系到三相‎静止坐标系‎的变换，如下式所示‎。

cos sin 22cos()sin()3322cos()sin()33a d b q c u u u u u θθθπθπθπθπ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭ ⎪+-+⎝⎭(2)d/q 轴磁链方‎程： d d d f q q qL i L i ψψψ=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中，ψf 为永磁‎体产生的磁‎链，为常数，0f r e ωψ=，而是机械角‎cr p ωω=速度，p 为同步电‎机的极对数‎，ωc 为电角‎速度，e0为空载‎反电动势，其值为每项‎绕组反电动‎势(3)转矩方程：32e d q q d T p i i ψψ⎡⎤=-⎣⎦ 把它带入上‎式可得:3()233()22e f q d q d q f q d q d q T p i L L i i p i p L L i i ψψ⎡⎤=+-⎣⎦=+- 对于上式，前一项是定‎子电流和永‎磁体产生的‎转矩，称为永磁转‎矩；后一项是转‎子突极效应‎引起的转矩‎，称为磁阻转‎矩，若Ld=Lq ，则不存在磁‎阻转矩，此时，转矩方程为‎：32e f q t q T p i k i ψ== 这里，t k 为转矩常数‎，32t f k p ψ=。

永磁同步电机是一种应用非常广泛的电动机，具有体积小、效率高、功率密度大等优点，在各种工业领域中得到了广泛的应用。

永磁同步电机的性能很大程度上取决于其模型的准确性和有效性。

本文将主要介绍永磁同步电机的复矢量模型，特别是基于扩展反电动势的复矢量模型。

复矢量模型是电机研究中常用的数学工具，它能够很好地描述电机的动态特性和稳态特性，对于电机的控制和参数设计具有重要意义。

1. 永磁同步电机的基本原理永磁同步电机是一种采用稀土永磁材料作为励磁源的同步电机，其基本结构包括定子、转子和永磁体。

永磁同步电机具有没有励磁损耗、转子结构简单等优点，因此在工业应用中得到了广泛的应用。

2. 永磁同步电机的数学模型为了对永磁同步电机进行控制和参数设计，需要建立其数学模型。

永磁同步电机的数学模型通常包括定子坐标系和转子坐标系两种，其中转子坐标系的模型更为常用。

永磁同步电机的数学模型主要包括电动势方程、电磁转矩方程、定子电压方程和转子电流方程等。

3. 复矢量模型复矢量模型是一种在电机研究中广泛应用的数学模型，它能够很好地描述电机的动态特性和稳态特性。

复矢量模型通过使用复数表示电机的各种电气量，将电机的动态特性和稳态特性统一起来，方便进行分析和计算。

4. 基于扩展反电动势的复矢量模型扩展反电动势是永磁同步电机中一个重要的物理现象，它是指在电机的磁场存在变化时，会产生一个类似于反电动势的作用。

在永磁同步电机的复矢量模型中，扩展反电动势起着重要的作用，能够更准确地描述电机的动态特性和稳态特性。

5. 应用实例通过对永磁同步电机基于扩展反电动势的复矢量模型进行建模和仿真分析，可以更加准确地预测电机的性能，并能够为电机的控制和参数设计提供参考。

在实际工程应用中，基于扩展反电动势的复矢量模型能够更好地指导电机的设计和控制，提高电机的性能和效率。

永磁同步电机是一种应用广泛的电机，其复矢量模型在电机的控制和参数设计中起着关键作用。

基于扩展反电动势的复矢量模型能够更准确地描述电机的动态特性和稳态特性，为电机的设计和控制提供了有力的支持。

永磁同步电机数学模型建立永磁同步电机是一种常用的电动机类型，具有高效率、高功率密度和高控制精度等优点，在工业和交通领域得到广泛应用。

为了实现对永磁同步电机的控制和优化设计，需要建立其数学模型。

本文将介绍永磁同步电机的数学模型建立过程，并对其进行详细分析。

首先，永磁同步电机的数学模型可以分为两个部分：电磁模型和机械模型。

电磁模型描述了电机的电磁特性，包括电机的电感、电阻和磁链等参数；机械模型描述了电机的机械特性，包括电机的转动惯量、摩擦力和负载扭矩等参数。

在电磁模型中，首先需要建立电机的磁链方程。

磁链方程描述了电机的磁链与电机的电流之间的关系。

对于永磁同步电机而言，其磁链方程可以表示为：ψ= Ld * id + Lq * iq其中，ψ表示电机的磁链，Ld和Lq分别表示电机的d轴和q轴的电感，id和iq分别表示电机的d轴和q轴的电流。

接下来，需要建立电机的电流方程。

电流方程描述了电机的电流与电机的电压之间的关系。

对于永磁同步电机而言，其电流方程可以表示为：ud = R * id + ω* Lq * iq + ω* ψuq = R * iq - ω* Ld * id其中，ud和uq分别表示电机的d轴和q轴的电压，R表示电机的电阻，ω表示电机的角速度。

在机械模型中，首先需要建立电机的转动方程。

转动方程描述了电机的转动惯量与电机的转矩之间的关系。

对于永磁同步电机而言，其转动方程可以表示为：J * dω/dt = Tm - Tl - Tf其中，J表示电机的转动惯量，Tm表示电机的电磁转矩，Tl表示电机的负载转矩，Tf表示电机的摩擦转矩。

最后，需要建立电机的速度方程。

速度方程描述了电机的速度与电机的转矩之间的关系。

对于永磁同步电机而言，其速度方程可以表示为：dθ/dt = ω其中，θ表示电机的转角，ω表示电机的角速度。

通过以上的数学模型，可以对永磁同步电机进行建模和仿真，实现对电机的控制和优化设计。

在实际应用中，可以通过调节电机的电流和电压来控制电机的转矩和速度，从而实现对电机的精确控制。

PMSM 电机在旋转dq 坐标系中定子电压和定子磁链方程为d ds d q q q s q d d d d f q q q d u R i dtd u R i dt L i L iψωψψωψψψψ⎧=+-⎪⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎪=⎩(1)d u ,qu 为d 、q 轴的定子电压；d L ，qL 为d 、q 轴的电枢电感，对于隐极电机来说d L =q L =L；di ，q i为d 、q 轴的电枢电流；d ψ，q ψ为d 、q 轴的定子磁链；sR 为电枢绕组电阻；fψ为永磁铁产生的磁链，为常量；ω为电机电角速度，有r p ωω=，p 为电机的极对数，r ω为电机转子角速度；由式（1）推出：11d sd r q d q f s r d q r qdi R i p i u dt L L di p R p i i udtL L L ωψωω-⎧=++⎪⎪⎨--⎪=-+++⎪⎩ (2)PMSM 电机在旋转dq 坐标系中电磁转矩方程为()()1.5 1.5 1.5e d q q d d q d q f q f qT p i i p L L i i i p i ψψψψ=-⎡⎤=-+⎣⎦=(3)PMSM 电机的转子动力学方程为re m r d T T b Jdt ωω--=(4)e T 为电机的电磁转矩； mT 为电机的负载扭矩；b 为电机的阻尼系数； J 为电机的转动惯量；由式（3）式（4）可以推出1.5f m r q r p T d bi dt J J J ψωω--=++(5)状态方程为X AX Bu C =++选取,d d q q r i u X i u u ω⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，由式（2）式（5）推出10001,0,01.5000sr f s rm f R p L L p R A p B C L L L T p b J JJ ωψωψ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=---== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

(1)两相静止坐标下永磁同步电动机的数学模
型
永磁同步电动机的数学模型可以表示为：
1. 电磁转矩方程：
磁链方程：
ψd = Ld * id + (Lq - Ld) * iq
ψq = Lq * iq
电磁转矩方程：
Te = 1.5 * (ψd * iq - ψq * id)
其中，ψd和ψq分别表示直轴和交轴磁链，Ld和Lq表示直轴和交轴的电感。

2. 电流方程：
直轴电流方程：
Ud = R * id + ωe * Lq * iq + ψq * ωm
Uq = R * iq - ωe * Ld * id - ψd * ωm
其中，Ud和Uq分别表示直轴和交轴电压，R表示电阻，ωe表示定子电流的角频率，ωm表示转子电流的角频率。

3. 机械方程：
转速方程：
Te = J * dωm/dt + B * ωm
其中，Te表示电磁转矩，J表示转动惯量，B表示转子的摩擦阻尼系数。

综上所述，这些方程构成了永磁同步电动机的数学模型，可以用来描述其电磁转矩、电流和转速之间的关系。

同步电机数学模型同步电机的基本⽅程式及数学模型派克⽅程1.1理想电机假设（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，因此可以忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤效应作⽤等的影响；（2）定⼦的三个绕组的位置在空间互相相差120°电⾓度，3个绕组在结构上完全相同。

同时，他们均在⽓隙中产⽣正弦分布的磁动势；（3）定⼦及转⼦的槽及通风沟等不影响电机定⼦及转⼦的电感，因此认为电机的定⼦及转⼦具有光滑的表⾯；为了分析计算，还需要设定绕组电流、磁链正⽅向。

1.2abc 坐标下的有名值⽅程同步电机共有6个绕组分别为：定⼦绕组a,b,c ，转⼦励磁绕组f ，转⼦d 轴阻尼绕组D 以及转⼦q 轴阻尼绕组Q 。

需要求出每个绕组的电压、电流和磁链未知数，因此⼀共需要18个⽅程才能求解。

电压⽅程：00a a a ab b b b cc c c f f f fD D D D QQ Q Q u p r i u p r i u p r iu p r i u p r i u p r i ψψψψψψ=-??=-??=-?=-??=-≡??=-≡?D 绕组与Q 绕组均为⽆外接电源闭合绕组，因此电压均为0，从⽽上式中⼀共有8个⽅程。

磁链⽅程：11a a aa ab ac af aD aQ b b ba bb bc bf bD bQ c c ca cb cc cf cD cQ f f fa fb fc ff fD fQ Da Db Dc Df DD DQ D D Qa Qb Qc Qf QDQQ Q Q i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L L L L L L L i L L L L L L i L ψψψψψψ---==(33)12(33)21(33)22(33)abc fDQ i L L L i -?在电感矩阵中（针对凸极机），定⼦绕组⾃感和互感参数是随转⼦位置⽽变化的参数，⽽在转⼦绕组中，转⼦的⾃感和互感参数均为常数，⽽且D 轴与Q 轴正交，则D 轴绕组与Q 轴绕组互感为0。

交流永磁同步电动机数学模型的建立与分析1模型建立交流永磁同步电动机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）根据转子位置可以分为内转子、外转子两种。

主要部件有机座、定子铁心、定子线圈、转子铁芯、永磁体、轴、轴承和电机端盖等，此外还包括转子支撑部件、冷却涵道、接线盒等结构。

PMSM的定子主要指定子绕组与定子铁心部分，对于常见的三相绕组，三相绕组对称分布，各相绕组轴线在空间互差120°，且通入三相绕组的电流相位依次相差120°。

PMSM的转子包括永磁体、转子铁心、转轴、轴承等。

转子提供的磁场主要是由转子铁芯上极性交替的永磁体所发出的，具体气隙平均磁密值大小以及气隙磁密波形的正弦性，主要取决于转子铁芯中永磁体的尺寸、摆放形式以及隔磁措施等因素。

为了所建立模型求解以及推导的便利性，首先对交流永磁同步电动机作如下假设：1)定子绕组Y接，三相绕组对称分布，各相绕组轴线在空间互差120°；转子上的永磁体在定转子气隙内产生主磁场，该磁场沿气隙圆周呈正弦波分布，转子没有阻尼绕组；2)忽略定子绕组的齿槽对气隙磁场分布的影响；3)假设铁心的磁导率时无穷大，不考虑电机定子和转子铁芯的涡流损耗以及磁滞损耗；4)认为定子绕组侧空载反电动势波形为正弦波；5)忽略电动机参数（绕组电阻与绕组电感等）的变化。

图3.1 三相两极PMSM结构简图如图3.1 所示，定子三相绕组AX、BY、CZ沿圆周均匀分布，A、B、C为各项绕组的首端，X、Y、Z为各项绕组的尾端，电流由绕组的首段流出，尾端流入。

此时绕组产生的磁场方向规定为该绕组轴线的正方向，即as、bs 和cs 分别代表A 相、B 相和C 相绕组的轴线，各相绕组分别通入相位相差120° 的电流。

以as、bs、cs为坐标轴，建立三相静止坐标系（如图3.1所示）。

转子的电角位置与电角速度的正方向选取为逆时针方向。

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